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课后训练

专题一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用

第1讲集合与简单逻辑用语

1. 命题“若α＝π

4，则tan α＝1”的逆否命题是______________________________．

答案：若tan α≠1，则α≠π

2. 集合M ＝{x|lgx>0}，N ＝{x|x 2≤4}，则M ∩N ＝________．答案：(1，2]

解析：∵ M ＝(1，＋∞)，N ＝[－2，2]，∴ M ∩N ＝(1，2]．

3. 若命题“$x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是______________．

答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)

解析：不等式对应的二次函数开口向上，则Δ＝(a －1)2－4＞0.

4. 若集合A ＝{y|y ＝x 1

3，－2≤x ≤2}，B ＝????

y ??y ＝2－1x ，0

答案：(－∞，3

解析：集合A ＝[－32，3

2]，B ＝(－∞，1]，

∴ A ∪B ＝(－∞，3

2]．

5. 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有____________人.

答案：8

解析：画韦恩图．设同时参加数学和化学小组的有x 人，则20－x ＋11＋x ＋4＋9－x ＝36，x ＝8.

6. 设p ：|4x －3|≤1，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0，若非p 是非q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________________．

答案：???

?0，12 解析：p ：|4x －3|≤1－1≤4x －3≤1，

∴ 1

≤x ≤1； q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0

(x －a)[x －(a ＋1)]≤0，∴ a ≤x ≤a ＋1.

由题意知p 是q 的充分不必要条件，故有?????a ≤12，a ＋1＞1，或?

????a ＜12，a ＋1≥1，则0≤a ≤1

7. 已知a 、b 均为实数，设集合A ＝??????x ??a ≤x ≤a ＋45，B ＝????

x ??b －13≤x ≤b ，且A 、B 都是集合{x|0≤x ≤1}的子集．如果把n －m 叫做集合{x|m ≤x ≤n}的“长度”，那么集合A ∩B 的“长度”的最小值是________．

答案：2

解析：?????a ≥0，a ＋4

5≤1

0≤a ≤1

5，?????b －13≥0，b ≤1

13≤b ≤1，利用数轴分类讨论可得集合A ∩B

的“长度”的最小值为13－15＝2

15.

8. 已知M ＝????

??（x ，y ）|y －3

x －2＝a ＋1，N ＝{(x ，y)|(a 2－1)x ＋(a －1)y ＝15}，若M ∩N ＝?，则a 的值为________．

答案：1，－1，5

2，－4

解析：集合M 表示挖去点(2，3)的直线，集合N 表示一条直线，因此由M ∩N ＝?知，

点(2，3)在集合N 所表示的直线上或两直线平行，由此求得a 的值为1，－1，5

，－4.

9. 设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有正整数根的充要条件是n ＝________________．

答案：3或4

解析：令f(x)＝x 2－4x ＋n ，n ∈N *，f(0)＝n ＞0，∴ f(2)≤0即n ≤4，故n ＝1，2，3，4，经检验，n ＝3，4适合，或直接解出方程的根，x ＝2±4－n ，n ∈N *，只有n ＝3，4适合．

10. 对任意两个集合M 、N ，定义：M －N ＝{x|x ∈M ，且x N}，M*N ＝(M －N)∪(N

－M)，设M ＝{y|y ＝x 2

，x ∈R }，N ＝{y|y ＝3sinx ，x ∈R }，则M*N ＝____________．

答案：{y|y>3或－3≤y<0}

解析：∵ M ＝{y|y ＝x 2，x ∈R }＝{y|y ≥0}，N ＝{y|y ＝3sinx ，x ∈R }＝{y|－3≤y ≤3}，∴ M －N ＝{y|y>3}，N －M ＝{y|－3≤y<0}，∴ M*N ＝(M －N)∪(N －M)＝{y|y>3}∪{y|－3≤y<0}＝{y|y>3或－3≤y<0}．

11. 记函数f(x)＝2－

x ＋3

x ＋1

的定义域为A ，g(x)＝lg[(x －a －1)(2a －x)](a<1)的定义域为B.

(1) 求集合A ；

(2) 若B íA, 求实数a 的取值范围．解：(1) 2－x ＋3

x ＋1≥0T

2x ＋2－（x ＋3）

x ＋1

≥0T

x －1

x ＋1

≥0T(x －1)(x ＋1)≥0且x ≠

－1

Tx ≥1或x ＜－1.

∴ 集合A ＝{x|x ≥1或x ＜－1}．

(2) (x －a －1)(2a －x)＞0(a<1)(x －a －1)(x －2a)＜0.∵ a ＜1，∴ 2a ＜a ＋1.∴ 2a ＜x ＜a ＋

1.∴ 不等式的解为2a ＜x ＜a ＋1.∴ 集合B ＝{x|2a ＜x ＜a ＋1}．

∵ B íA ，∴ 2a ≥1或a ＋1≤－1，∴ a ≥1

或a ≤－2.

又a<1，则实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪????

12，1.

12. 已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2≤0}，集合B ＝{y|y ＝x 2－2x ＋a}，集合C ＝{x|x 2－ax －4≤0}．命题p ：A ∩B ≠?；命题q ：A í C.

(1) 若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围； (2) 若命题p ∧q 为真命题，求实数a 的取值范围．

解：(1) A ＝[1，2]，B ＝[a －1，＋∞)，

若p 为假命题，则A ∩B ＝?，故a －1＞2，即a ＞3. (2) 命题p 为真，则a ≤3.

命题q 为真，即转化为当x ∈[1，2]时，f(x)＝x 2－ax －4≤0恒成立，

(解法1)则?????f （1）＝1－a －4≤0，

f （2）＝4－2a －4≤0，

解得a ≥0.

(解法2)当x ∈[1，2]时，a ≥x －4

恒成立，

而x －4

x 在[1，2]上单调递增，故a ≥????x －4x max ＝0. 故实数a 的取值范围是[0，3]．

13. 设数列{a n }的各项都不为零，求证：对任意n ∈N *且n ≥2，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋

a n －1a n

＝n －1a 1a n

成立的充要条件是{a n }为等差数列．证明：(充分性)若{a n }为等差数列，设其公差为d ，

则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＝1d [(1a 1－1a 2)＋(1a 2－1a 3

)＋…＋(1a n －1－1a n )] ＝1d ????1a 1－1a n ＝a n －a 1da 1a n ＝n －1

a 1a n

. (必要性)若1a 1a 2＋1a 2a 3

＋…＋1

a n －1a n ＝n －1a 1a n ，

则

1a 1a 2＋1a 2a 3

＋…＋1a n －1a n ＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1

，两式相减得 1

a n a n ＋1＝n

a 1a n ＋1－n －1

a 1a n

a 1＝na n －(n －1)a n ＋1. ①

于是有a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2， ② 由①②得na n －2na n ＋1＋na n ＋2＝0，

所以a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1(n ≥2)．

又由1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3

a 3－a 2＝a 2－a 1，所以n ∈N *，2a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，故{a n }为等差数列．

第2讲函数、图象及性质

1. 已知f(x)是定义在R 上的函数，且f(x)＝f(x ＋2)恒成立，当x ∈[－1，1]时，f(x)＝x 2，则当x ∈[2，3]时，函数f(x)的解析式为____________．

答案：f(x)＝(x －2)2

解析：因为函数满足f(x)＝f(x ＋2)，所以函数周期为2.又x ∈[2，3]，x －2∈[0，1]，则f(x)＝f(x －2)＝(x －2)2.

2. 若函数h(x)＝2x －k x ＋k

3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是________.

答案：[－2，＋∞)

解析：因为h′(x)＝2＋k x 2，所以h′(x)＝2＋k x 2＝2x 2

＋k

2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－

2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)． 3. 若函数f(x)＝k －2x

1＋k·2x

(k 为常数)在定义域上为奇函数，则k ＝________．

答案：±1

解析：∵ f(x)为定义域上的奇函数，∴ f(x)＋f(－x)＝0.k －2x 1＋k·2x ＋k －2－x

1＋k·2－

＝0.得(k 2－1)(22x

＋1)＝0.∵ 22x ＋1≠0，∴ k 2－1＝0，解得k ＝±1.

4. 定义在(－1，1)上的函数f(x)＝－5x ＋sinx ，如果f(1－a)＋f(1－a 2)>0，则实数a 的取值范围为________．

答案：(1，2)

解析：函数为奇函数，在(－1，1)上单调递减，f(1－a)＋f(1－a 2)＞0，得f(1－a)＞f(a 2－1)．

∴ ????

?－1＜1－a ＜1，－1＜a 2－1＜11－a ＜a 2

－1

，T1＜a ＜ 2.

5. 函数f(x)＝1－2x ＋1

x ＋3

的定义域为________．答案：(－3，0]

解析：?????1－2x

≥0x ＋3>0

T－3

6. 函数f(x)对于任意实数x 满足条件f(x ＋2)＝1f （x ）

，若f(－1)＝1

2，则f(2 013)＝

________．答案：2

解析：函数满足f(x ＋2)＝1f （x ），故f(x ＋4)＝1

f （x ＋2）

＝f(x)，函数周期为4，f(2 013)

＝f(1)．又f(3)＝1

f （1）

＝f(4－1)＝f(－1)，∴ f(1)＝2.

7. 设函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －a|的图象关于直线x ＝1对称，则实数a 的值为________．答案：3

解析：画图可知a ＋（－1）

＝1，a ＝3.[也可利用f(0)＝f(2)求得，但要检验]

8. 设f(x)是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f(x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f(x)

＝2－

x －1，则f ????23，f ????32，f ????13的大小关系是______________．(按从大到小的顺序排列)

答案：f ????23＞f ????32＞f ????

13 解析：函数y ＝f(x ＋1)是偶函数，所以f(－x ＋1)＝f(x ＋1)，即函数关于x ＝1对称．所以f ????23＝f ????43，f ????13＝f ????53，当x ≥1时，f(x)＝????12x －1单调递减，所以由43＜32＜53，得f ????43＞f ????32＞f ????53，即f ????23＞f(32)＞f(13

)． 9. 函数f(x)的定义域是R ，其图象关于直线x ＝1和点(2 , 0)都对称，且f ????－12＝2，则f ???

?12＋f ????2 0132＝______．

答案：0

解析：函数图象关于直线x ＝1对称，则f(x)＝f(2－x)，函数图象关于点(2, 0)对称，则f(x)＝－f(4－x)，∴ f(x ＋2)＝－f(x)，∴ f(x ＋4)＝f(x)，

∴ f ????2 0132＝f ????1 006＋12＝f ????52＝－f ????1

2. 又f ????－12＝－f ????4＋12＝－f ????12， ∴ f ????12＋f ????2 0132＝0.

10. 已知函数f(x)＝?

???

?－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x ＞0.若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是____________．

答案：[－2，0]

解析：在直角坐标系中画出函数y ＝|f(x)|的图象，y ＝ax 为过原点的一条直线，当a>0时，与y ＝|f(x)|在y 轴右侧总有交点，不合．当a ＝0时，成立．当a<0时，找出与y ＝|－x 2＋2x|，x ≤0相切的情况，y ′＝2x －2，切线方程为y ＝(2x 0－2)(x －x 0)＋x 20－2x 0，由分析可知x 0＝0，所以a ＝－2.综上，a ∈[－2，0]．

11. 已知f(x)＝3x ，并且f(a ＋2)＝18，g(x)＝3ax －4x 的定义域为区间[－1，1](a ∈R )． (1) 求函数g(x)的解析式； (2) 判断g(x)的单调性；

(3) 若方程g(x)＝m 有解，求实数m 的取值范围．

解：(1) ∵ f(a ＋2)＝18，f(x)＝3x ，∴ 3a ＋2＝18

3a ＝2，

∴ g(x)＝(3a )x －4x ＝2x －4x ，x ∈[－1，1]．

(2) g(x)＝－(2x )2＋2x ＝－????2x －122

＋14

，当x ∈[－1，1]时，2x ∈????12，2，令t ＝2x ，∴ y ＝－t 2＋t ＝－????t －122＋1

4，由二次函数单调性知当t ∈????12，2时y 是减函数，又t ＝2x 在[－1，1]上是增函数，∴ 函数g(x)在[－1，1]上是减函数．(也可用导数的方法证明)

(3) 由(2)知t ＝2x ，2x ∈???

12，2，则方程g(x)＝m 有解m ＝2x －4x 在[－1，1]内有解m ＝t －t 2＝－????t －122＋1

4，t ∈????12，2，∴ m 的取值范围是?