高中数学必修2立体几何知识点

福外高中高一数学必修2第一、二章立体几何综合测试题

班级_________姓名_________学号___________

一、 选择题 本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目的要求,请将答案填写在题后的表格中.

1.若a 与b 是异面直线,且直线c ∥a ,则c 与b 的位置关系是 ( ) A .相交 B .异面 C .平行 D .异面或相交

2.下列说法中正确的是 ( ) A.平行于同一直线的两个平面平行; B.垂直于同一直线的两个平面平行;

C.平行于同一平面的两条直线平行; D.垂直于同一平面的两个平面平行.

3.圆锥的底面半径为a ,侧面展开图是半圆面,那么此圆锥的侧面积是 ( ) A .2

2a π B .2

4a π C .2

a π D .2

3a π

4.三个平面把空间分成7部分时,它们的交线有 ( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.1或2条

5.设α、β、r 是互不重合的平面,m ,n 是互不重合的直线,给出四个命题: ①若m ⊥α,m ⊥β,则α∥β ②若α⊥r ,β⊥r ,则α∥β ③若m ⊥α,m ∥β,则α⊥β ④若m ∥α,n ⊥α,则m ⊥n

其中正确命题的个数是 ( ) A .1 B .2 C .3 D .4

6.△ABC 是边长为1的正三角形,那么△ABC 的斜二测平面直观图C B A '''?的面积为( )

A .

43 B .83 C .86 D .16

6 7.设正方体的表面积为242

cm ,一个球内切于该正方体,那么这个球的体积是 ( ) A .

π3

43cm B .π63cm C .π383cm D .π332

3cm

8.正方体ABCD- A 'B 'C 'D '中,面对角线B'C和A'B所成的角是 ( )

A.450

B.600

C.900

D.300

9. 如右图,一个空间几何体正视图与左视图为全等的等边三角形,俯视图为一个半径为1的圆及其圆心,那么这个几何体的表面积为 ( ) A.π B.π3

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C.π2

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D.3+π

10.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,折后连结BD ,构成三棱锥D-ABC,若棱BD 的长为2

2

a .则此时三棱锥D-ABC 的体积是 ( ) A .

12

2a 3

B .123a 3

C .246a 3

D .61a 3

俯视图

左视图

正视图

二、填空题 本大题共5小题,每小题4分,共20分.请将答案填写在横线上. 11.一个底面直径..和高.都是4的圆柱的侧面积为 . 12.圆锥底面半径为1,其母线与底面所成的角为0

60,则它的侧面积为__________________. 13.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2,这个长方体对角线的长是__________________. 14.已知△ABC 为直角三角形,且0

90=∠ACB ,AB=10,点P 是平面ABC 外一点, 若PA=PB=PC ,且P O⊥平面ABC ,O为垂足,则OC=__________________.

15.已知圆柱的侧面展开图是边长为4和6的矩形,则该圆柱的表面积为__________________________ . 三、解答题 本大题共3小题,每小题10分,共30分.解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤.

16.(本题满分10分) 在三棱锥V —ABC 中,V A=VB=AC=BC=2,AB=32,VC=1,

求二面角V —AB —C 的大小.

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17.(本题满分10分) 如图,在三棱锥S-ABC 中, ABC ?为直角三角形,且90ACB ∠=

SA ⊥平面ABC ,AD SC ⊥. 求证:AD ⊥平面SBC .

18.(本题满分10分) 如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO ⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点. 求证:(Ⅰ)PA

∥平面BDE ;(Ⅱ)平面PAC ⊥平面BDE .

S

D C

B A

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19.(本题满分10分) 如图,在三棱锥S-ABC 中,平面SAC ⊥平面ABC ,且△SAC 是正三角形, O 是AC 的中点,D 是AB 的中点. (Ⅰ) 求证:OD//平面SBC; (Ⅱ) 求证:SO ⊥AB .

20.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中,

E 、

F 分别为1DD 、DB 的中点. (Ⅰ)求证:EF //平面11ABC D ; (Ⅱ)求三棱锥EFC B V -1的体积.

参考答案

一、

选择题 本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,

C

B

A

O

S

D

C

D

B

F

E D 1

C 1

B 1

A

A 1

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只有一项符合题目的要求,请将答案填写在题后的表格中.

二、填空题 本大题共5小题,每小题4分,共20分.请将答案填写在横线上.

11.16π 12.π2 13.

6 14.5 15.

2418

248

++π

π

三、解答题 本大题共4小题,每小题10分,共40分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分10分)

解: 取AB 的中点O ,连接VO ,CO-------------------------------------1分 因为△V AB 为等腰三角形

∴VO ⊥AB--------------------------------------------1分 又因为△CAB 为等腰三角形

∴CO ⊥AB---------------------------------------------1分 则∠VOC 为二面角V —AB —C 的平面角------------------------------2分 ∵AB=32,∴AO=3----------------------------------------------- 1分

又V A=2

则在R t △VOA 中,VO=1------------------------------------1分 同理可求:CO=1------------------------------------------1分 又已知VC=1

则△VOC 为等边三角形,∴∠VOC=0

60-------------------------------1分 ∴二面角V —AB —C 为0

60.------------------------------------------1分

17.(本题满分10分)

证明: 90ACB ∠=

B C A C ∴⊥ ----------------------------------------2分

又SA ⊥平面ABC , ?BC 平面ABC SA BC ∴⊥ ------------------------------------------------------2分 因为SA 与AC 是平面SAC 内的两条相交直线

BC ∴⊥平面SAC ---------------------------------------------2分 又 ?AD 平面SAC

S

D

B A

BC AD ∴⊥ -----------------------------------------------------2分 又,SC AD SC BC C ⊥=

?SC 平面SBC ,?BC 平面SBC

AD ∴⊥平面SBC ------------------------------------------2分 18.(本题满分10分)

证明:(Ⅰ)连结EO , -----------------------------------------------1分

在△P AC 中,

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∵O 是AC 的中点,E 是PC 的中点,

∴OE ∥AP .-----------------------------------------------2分 又∵OE ?平面BDE ,----------------------------------1分 P A ?平面BDE ,-----------------------------------------1分 ∴P A ∥平面BDE .---------------------------------------1分 (Ⅱ)∵PO ⊥底面ABCD ,

∴PO ⊥BD .-------------------------------------------------1分 又∵AC ⊥BD ,且AC PO =O , ∴BD ⊥平面P AC .-----------------------------------------2分 而BD ?平面BDE ,----------------------------------------1分 ∴平面P AC ⊥平面BDE .---------------------------------------1分 19.(本题满分10分)

(Ⅰ)证明: ∵O 是AC 的中点,D 是AB 的中点

∴OD//BC---------------------------------------------------2分

又?BC 平面SCB------------------------------------------1分

OD ?平面SCB-------------------------------------------------1分

∴ OD//平面SBC-------------------------------1分

(Ⅱ) 证明:SAC ?是正三角形, O 是AC 的中点,

∴SO AC ⊥----------------------------------------------2分

又∵平面SAC ⊥平面ABC

∴SO ACB ⊥平面------------------------------------2分

∴SO AB ⊥----------------------------------------------1分

20.证明:(Ⅰ)连结1BD ,在B DD 1?中,E 、F 分别为1D D ,DB 的中点,则

11111111////EF D B

D B ABC D EF ABC D EF ABC D ?

?

??????

平面平面平面

C

B

A

O

S

D

D 1

C 1

(Ⅱ)11CF BDD B ⊥ 平面

1CF EFB ∴⊥平面 且 C F B F

==

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11

2

EF BD =

=

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1B F ===

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13B E ===

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∴22211EF B F B E += 即190EFB ∠=

11113B EFC C B EF B EF V V S CF --?∴==??=111

32

EF B F CF ????

=11

132

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?=

必修二第二章综合检测

一、平行

1.直线a//b ,a//平面α,则b 与平面α的位置关系是 。线面平行、位置关系 2.已知直线a//平面α,平面α//平面β,则a 与β的位置关系为

3.已知直线a ⊥直线b, a//平面β,则b 与β的位置关系为 . 4.若直线l 与平面α的一条平行线平行,则l 和α的位置关系是 ( ) A α?l B α//l C αα//l l 或? D 相交和αl

5.若直线a//平面α,直线a ?β,且α∩β=b ,则a,b 关系为 ( ) A. a ⊥b B. a ∩b =A C.a//b D. 异面直线

6.下列三个命题在“_____”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题(其中m l , 为直线,βα,为平面),则此条件是 .

①αα//____//l m l m ???????;②αα//____////l m m l ??????;③αβαβ//____l l ???

?

??

⊥⊥ 7.一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( ).

线面平行、位置关系

A. 异面

B. 相交

C. 平行

D. 不能确定 8、下列条件能得到直线l 1,l 2互相平行的是 ( ) 。

A .l 1,l 2都平行于同一个平面

B .l 1,l 2与同一个平面所成的角相等

C .l 1平行于l 2所在的平面

D .l 1,l 2都垂直于同一个平面 9.对于相异直线a 、b 和不重合平面α,β,b a //的一个充分条件是 (泉州质检) A .α//a ,α//b B .α//a ,β//b ,βα// C .βα⊥,α⊥a ,β//b D .α⊥a ,β⊥b ,βα// 10.如果直线a 平行于平面β ( ) A 直线a 与平面内任一直线平行

B 平面内有且只有一个直线与已知直线平行

C 平面内有无数直线与直线a 平行,它们在平面内彼此平行

D 平面内任意直线都与直线a 异面

11.平面α与平面β平行的条件可以是( )

A.α内有无穷多条直线与β平行;

B.直线a//α,a//β

C.直线a α?,直线b β?,且a//β,b//α

D.α内的任何直线都与β平行 12.平面α∥平面β的一个充分条件是( )

A .存在一条直线a ,a //α , a //β

B .存在一条直线a a a αβ?,,∥

C .存在两条平行直线a b a b a b αββα??,,,,∥,∥

D .存在两条异面直线a b a a b αβα?,,,∥,∥

13. 平面α ∥平面β ,a ?α ,b ?β ,则a 、b 一定是( ).面面平行、位置关系 A .两条平行直线 B .异面直线 C .相交直线 D .无公共点的两条直线 二、垂直

1.三条直线a 、b 、c ,若a ⊥c 且b ⊥c ,则a 、b 的位置关系必定是 ( ) A 相交 B 平行 C 异面 D 相交、平行、异面都可能 2. 下列四个命题中错误的个数是( ). 垂直

① 垂直于同一条直线的两条直线相互平行 ② 垂直于同一个平面的两条直线相互平行 ③ 垂直于同一条直线的两个平面相互平行 ④ 垂直于同一个平面的两个平面相互垂直

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 3.若直线a ⊥直线b ,且a ⊥平面α,则有 ( ) A .α//b B. α?b C .α⊥b D .αα?b b 或//

4.(湖南卷5)已知直线m,n 和平面βα,满足βα⊥⊥⊥,,a m n m ,则( )

.A n β⊥ ,//.βn B 或β?n α⊥n C . ,//.αn D 或α?n

5.若平面α、β互相垂直,则 ( ) A α中的任意一条直线垂直于β B α中有且只有一条直线垂直于β C 平行于α的直线垂直于β D α内垂直于交线的直线必垂直于β 6.已知两个平面垂直,下列命题

①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线; ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线; ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面;

④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 7、设b a ,是两条直线,βα,是两个平面,则下列命题成立的是( )(1),,//;(2)//,;(3),//;(4),,a b a b b a a a a a b a b αααααββαββααβαβ

⊥⊥?⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥则则则则

A.(1)(2)

B.(2)(3)

C.(3)(4)

D.(1)(4)

8如图,ABC 是直角三角形,∠ACB=?90,PA ⊥平面ABC ,此图形中有 个直角三角形 9.α、β是两个不同的平面,m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断: ① m ⊥ n ②α⊥β ③ m ⊥β ④ n ⊥α

以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题: 三、求角

1.在右图的正方体中,M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点,

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则异面直线AC 和MN 所成的角为( ) A .30° B .45°

C .90°

D . 60° 2、 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中与AD 1成600角的面对角线的条数是 A 、4条 B 、6条 C 、8条 D 、10条

3.空间四边形ABCD 中,若AB AD AC CB CD BD =====,则AC 与BD 所成角为 A 、030 B 、045 C 、060 D 、090

4. 直线a,b 相交于O,且a,b 成角600, 过O 与a,b 都成600角的直线有 ( )

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A.1条

B. 2条

C.3条

D.4条 5.长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知A 1A=1,AD=1,AB=2. 则体对角线AC 1与平面ABCD 所成角为 ( )

A .300

B .450

C .600

D .以上都不对

1 A

(第5题)

1

A A

B

C

P

6.(四川?理?14题)在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱长为2,底面三角形的边长为1,则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是

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7.(福建卷(6)如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB=BC =2,AA 1=1, 则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为( )

23

D.13

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8. 如图, 点A 是BCD 所在平面外一点,AD=BC ,E 、F 分别是AB 、CD 的中点,且

EF=

2

2

AD ,则异面直线AD 和BC 所成的角为 。

9.在三棱锥P —ABC 中,PA=PB=PC=BC , 且2

π

=∠BAC 则PA 与底面ABC 所成角为 .

10.如图长方体中,AB=AD=23,CC 1=2,则二面角

C 1—B

D —C 的大小为( )

(A )300 (B )450 (C )600 (D )900

四 、距离

1.三个平面两两垂直,且交于同一点P ,空间一点Q 到三个平面的距离分别为3,4,

12,那么P 、Q 两点的距离等于

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2.如图所示,A 是△BCD 所在平面外一点,M 、N 分别是

△ABC 和△ACD 的重心,若BD =6,则MN =___________.

3.已知△ABC 中,AB =2,BC =1,∠ABC =120°,平面ABC 外一点P 满足P A =PB =PC =2,则三棱锥P —ABC 的体积是 ( )

A.

25 B.35 C.45 D.6

5

五.基本概念、定理的应用

1、下列命题为真命题的是( )

(A )平行于同一平面的两条直线平行 (B )垂直于同一平面的两条直线平行 (C )与某一平面成等角的两条直线平行 (D )垂直于同一直线的两条直线平行 2、已知直线,a b 和平面α,下列推理错误..

的是 ( ) A 、a α⊥且b α??a b ⊥ B 、a ∥b 且a α⊥? b α⊥

C 、a ∥α且b α??a ∥b

D 、a b ⊥且b α⊥?a ∥α或a α?

3、点P 在平面ABC 外,若PA=PB=PC ,则点P 在平面ABC 上的射影是△ABC 的 ( ) A.外心 B.重心 C.内心 D.垂心 4.下列说法正确的是 ( )

①一个平面内有两条直线与另一个平面平行,则这两个平面互相平行; ②两个平面垂直于同一条直线,则这两个平面互相平行; ③两个平面垂直于同一个平面,则这两个平面互相平行; ④两个平面同时平行于某一个平面,则这两个平面互相平行; A .①② B .②③ C .②③④ D .②④

A B C D

A 1

B 1

C 1

D

1

A

B

C

G

F E

D

5.下列命题中不正确的是 ( ) A 垂直于同一条直线的两个平面平行 B 垂直于同一个平面的两条直线互相平行

C 过平面α的一条斜线的平面β与α一定不垂直

D 平行于同一平面的两个平面平行。

6.下列命题中,不正确的是 ( ) A 过平面外一点作此平面的垂线有且只有一条 B 过一点作已知直线的垂面有且只有一个

C 过平面外一点作平行于此平面的直线有且只有一条

D 过直线外一点作此直线的平行线有且只有一条 7.给出下列命题

①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 8、给出下列命题

① a ∥b,a α⊥ =>b α⊥ ②a α⊥, b α⊥ => a ∥b ③a α⊥, b a ⊥ =>b ∥α ④a ∥α, b a ⊥ =>b α⊥ ⑤a ∥b,a α? =>b α// 其中正确的是( )

A ①②

B ①②③⑤

C ②③④

D ③④⑤

9、直线a,b,c 及平面α,β,γ,下列命题正确的是( )

A 、若a ?α,b ?α,c ⊥a, c ⊥b 则c ⊥α

B 、若b ?α, a//b 则 a//α

C 、若a//α,α∩β=b 则a//b

D 、若a ⊥α, b ⊥α 则a//b

10、设b a ,是两条直线,βα,是两个平面,则下列命题成立的是( )

(1),,//;(2)//,;(3),//;(4),,a b a b b a a a a a b a b αααααββαββααβαβ

⊥⊥?⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥则则则则

A.(1)(2)

B.(2)(3)

C.(3)(4)

D.(1)(4) 11、 有三个平面α,β,γ,下列命题中正确的是

A 、若α,β,γ两两相交,则有三条交线

B 、若α⊥β,α⊥γ,则β∥γ

C 、若α⊥γ,β∩α=a ,β∩γ=b ,则a ⊥b

D 、α∥β,β∩γ=?,则α∩γ=?

六、综合应用

1.在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD =DC ,E 是P C 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F .

(1)证明 P A //平面EDB ; (2)证明PB ⊥平面EFD ;

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(3)求二面角C-PB-D 的大小. 2.如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO ⊥底面ABCD ,E 是PC

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的中点。2PO AB == 求证:(1)PA ∥平面BDE (2)平面PAC ⊥平面

BDE

(3)求二面角E-BD-A的大小。(12分)

3.如图,PA⊥平面ABC,AE⊥PB,AB⊥BC,AF⊥PC,PA=AB=BC=2 (1)求证:平面AEF⊥平面PBC;

(2)求二面角P—BC—A的大小;

A

B C

P

E

F

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