MIDAS中PSC变截面箱梁施工阶段及PSC设计例题

PSC变截面箱梁施工阶段及PSC设计例题

北京迈达斯技术有限公司

2007年3月19日

一、结构描述 (2)

二、结构建模 (4)

三、分步骤说明 (4)

1、定义材料和截面特性 (4)

2、建立上部梁单元并赋予单元截面属性 (7)

3、定义结构组并赋予结构组单元信息 (11)

4、定义边界组并定义边界条件 (12)

5、定义荷载工况和荷载组 (13)

6、定义施工阶段 (14)

7、分阶段定义荷载信息 (14)

8、分析及后处理查看 (20)

9、按照JTG D62规范的要求对结构进行PSC设计 (21)

PSC变截面箱梁施工阶段及PSC设计例题

对于常规的PSC连续梁桥我们通常可以参考建模助手建立的模型，对于特殊的桥型或有特殊要求的结构我们需要按照一般方法建立有限元模型，施加边界和荷载进行分析。这个例题主要说如何使用一般方法建立PSC连续梁桥并定义施工阶段进行施工阶段分析和按照JTG D62规范对结构进行设计验算。

一、结构描述

这是一座50+62+50的三跨预应力混凝土连续箱梁桥，这里仅模拟其上部结构。施工方法采用悬臂浇注，跨中截面和端部截面如图1所示。

图1-1 跨中截面示意

图1-2 支座截面示意

桥梁立面图如图2所示。

图2 连续梁立面图

图3 钢束布置形状

二、结构建模

对于施工阶段分析模型，通常采用的建模方法是：

1、定义材料和截面特性（包括混凝土收缩徐变函数定义）；

2、建立上部梁单元并赋予单元截面属性；

3、定义结构组并赋予结构组信息；

4、建立边界组并定义边界条件；

5、定义荷载工况和荷载组；

6、定义施工阶段；

7、分阶段定义荷载信息（分施工阶段荷载和成桥荷载两部分）；

8、分析，分析完成后定义荷载组合进行后处理结果查看；

9、定义设计验算参数按照JTG D62对结构进行长短期及承载能力验算。

下面就每个步骤分别详述如下——

三、分步骤说明

1、定义材料和截面特性

本模型中涉及的材料包括混凝土主梁（C40）、预应力钢绞线（Strand1860）。如下图4所示。

图4 材料列表

通常对于预应力混凝土结构（PSC结构）按照现浇施工时，要考虑混凝土的收缩徐变效应，因此需要在建模前要定义混凝土的收缩徐变函数，按照如下图所示定义混凝土收缩徐变函数。

图5 混凝土收缩徐变函数定义

主梁截面为变截面箱梁，共有两个控制截面，一个是跨中截面，一是支座位置处截面。以跨中截面和支座处截面定义变截面。截面列表如图6所示。其中跨中截面和支座截面在前面的结构描述中都有图示。“跨中-支座”以及“支座-跨中”的变截面定义通过分别导入跨

中截面和支座截面来定义就可以了。如图6所示。

图6-1 截面列表

图6-2 跨中-支座段变截面

图6-3 支座-跨中段变截面

2、建立上部梁单元并赋予单元截面属性

建立桥梁模型时，如果要同时进行施工阶段分析，要针对施工的特点建立有限元模型，例题中所示结构按照悬臂法施工，悬臂施工段为每段3m ，因此在建立模型时考虑按1.5m 或3m 长度单元建立模型，本例题中主梁是直梁结构，因此建模方式可选性很广，可以通过扩展单元的方式建立、或者从AutoCAD 导入已划分节段的主梁中心线、或者通过逐个建立单元的方式，这里采用扩展单元的方式建立一半主梁，然后通过镜像单元生成另一半主梁。

首先在（0,0,0）位置上建立主梁端部节点，然后通过对该节点进行扩展生成左半部主梁结构。如下图所示——

图7 扩展生成左半边主梁

然后对生成的左半边主梁进行镜像生成另一半主梁，如下图所示，

扩展单元时输入的间距： 6@3,2,8@3,2,1,3@2,1,2,8@3,1

图8 镜像生成另一半主梁

生成全桥单元后，因为由镜像生成的梁单元的编号顺序也是镜向的，因此要对所有梁单元进行重新编号，以便于后续的单元选择（保证单元编号有规律的连续性对单元的选择操作很有帮助）。

上述步骤生成全桥单元时使用的是跨中截面，因此对生成的全桥单元应根据其实际对应的截面信息修改单元的截面信息，可以通过修改单元参数修改单元信息，也可以通过MIDAS 特有的拖放功能赋予单元截面信息，这里以拖放的方式赋予每段单元实际的截面信息。

首先选择支座附近单元，修改其截面类型为“支座”截面，打开单元编号显示，选择单元“18to20，43to45”，如下图——

图9 拖放功能修改支座附近单元的截面信息

同样的方法，选择单元“9to17，34to42”，将截面“3：跨中-支座”拖放至模型窗口，得到如下图所示的模型——

图10 修改截面高度由低变高段（跨中-支座）

同样的方法，选择单元“21to29，46to54”，将截面“4：支座-跨中”拖放至模型窗口，得到如下图所示的模型——

通过拖放功能对选择的单元修改其截面信息 拖放：将鼠标放置在树形菜单“支座截面”

处，按住不放将鼠标拖到模型窗口中

图11修改截面高度由低变高段（支座-跨中）

赋予变高梁段变截面信息后，发现桥梁模型显示都是锯齿状，此时需要将同类的变截面定义为一个变截面组，保证单元截面变化的连续性。在树形菜单双击“跨中-支座”，在变截面组信息中定义名称为“跨中-支座”，z 轴变化选择2项式变化，对称轴为单元组的i 端；

图12-1 变截面组“跨中-支座”定义图示

在树形菜单双击“支座-跨中”，在变截面组信息中定义名称为“支座-跨中”，z轴变化选择2项式变化，对称轴为单元组的j端；

3、定义结构组并赋予结构组单元信息

结构组名称及结构组单元信息如下表所示——

*注：“左支座处梁段”、“右支座处梁段”、“左侧满堂支架区段”、“右侧满堂支架区段”还应包括在步

骤4中建立的支座节点。

建立好模型后，就可以对执行程序自动修改构件理论厚度的功能了。

如图选择所有梁单元，在“模型〉材料和截面特性〉修改时间依存材料特性”中选择修改构件理论厚度——

图13 修改构件理论厚度

4、定义边界组并定义边界条件

边界采用一般支承来模拟，因为截面选择的是顶对齐，因此需要在梁底支座支承的位置处建立支座节点，然后将支座节点和主梁节点通过弹性连接〉刚性连接起来。

选择中部节点19、20、44、45，选择节点〉复制移动，对选择的两个节点向下复制5.9m ，生成新节点64~67；选择边跨端部节点1和63，选择节点〉复制移动，对选择的两个节点向下复制3.05m ，生成新节点68、69。（新生成的支座节点要按照步骤3的注释中说明的将节点放置在对应的结构组中。）

定义边界组和边界信息如下表所示。

得到结构的边界条件如下图所示——

点击得到

*注：约束、荷载及其他模型中内容可以在“视图〉显示”中定义显示，如上述边界条件的显示，在显示菜单中选择要显示内容进行显示即可——

5、定义荷载工况和荷载组

6、定义施工阶段

本模型采用悬臂浇注施工方法，从施工零号块开始，对称浇注两端悬臂段，直至全桥合龙，共分12个施工阶段。施工阶段信息如下表所示——

7、分阶段定义荷载信息

本例题主要模拟5种荷载作用：结构自重、挂篮荷载、预应力荷载、混凝土收缩徐变荷载、公路一级车道荷载。以上5种荷载，除收缩徐变由程序根据已定义的收缩徐变函数自动计算外，其他的都要定义荷载信息。下面分述如下——

1）自重：在荷载中选择自重，按照下图指定荷载工况名称、荷载组、自重系数添加即

可。

2）挂篮荷载：主梁合龙前，在悬臂端都有挂篮荷载的作用，由于结构是对称施工，而且结构本身也是对称结构，因此施工过程中的等效挂篮荷载也是对称的。在这里通过节点荷载来模拟。挂篮作用在悬臂端外 2.452m处m处，挂篮换算荷载为10KN及附加弯矩24.52KNm。

以第一阶段挂篮1为例，定义挂篮荷载如下图所示——

选择显示第一施工阶段，然后选择两个零号块的右端节点22和47，选择荷载工况为“模架移动装置”，荷载组选择“挂篮1”，添加节点荷载值Fz=-10KN，My=24.52KNm适用，然后再选择节点17和42，选择荷载工况为“模架移动装置”，荷载组选择“挂篮1”，添加节

点荷载值Fz=-10KN，My=-24.52KNm适用。

3）预应力荷载：定义预应力荷载分三步骤，钢束特性值——钢束布置形状——钢束预应力荷载。钢束布置形状只能在基本状态下添加，而预应力荷载可以在施工阶段添加。

例题中的结构顶板和底板均配预应力钢束，因此涉及两种钢束特性值，如下图所示——

钢束布置形状首先定义一对顶板束和一对底板束作为标准钢束，其他位置的钢束通过钢束的复制移动功能生成。将第一施工阶段顶板束作为顶板的标准束。底板束采用第11阶段

边跨合龙时的左侧底板束作为底板标准束。

*注：只有“单元”类型钢束支持复制移动钢束时重新分配单元以及根据分配单元长度自动调整钢束长度的功能。所以选择钢束坐标轴为“单元”类型，方便使用钢束的复制移动功能建立其他钢束形状。

其他钢束形状的建立通过钢束复制移动建立，复制钢束时最重要的是要保证钢束位置准确。

顶板束1-2：在钢束布置形状中选择钢束“顶板束1-1”，建立第二阶段顶板束——

*注：如果选择了“自动调整钢束长度”功能，程序根据重新分配单元的长度通过调整钢束的直束部分来调整建立新钢束。然后对复制生成的钢束名称更名为顶板束01-02。重新分配单元编号可通过查看每个施工阶段主梁段的单元编号即可。

对于顶板上的钢束形状可以通过复制功能很快的生成，钢束复制移动的时候可以一次复制或移动生成多根钢束，以顶板束01-01为例，以此钢束为源钢束，可以一次性生成主梁顶部所有靠近主梁右侧的钢束。如下图所示——

在复制底板束时，仅通过对源钢束形状的复制移动对于变高度梁单元的底板束是不足的，还需要使用钢束布置形状中的另一项功能，即程序根据底板变化形状自动调整钢束在x 向的布置形状。

对上述定义好的底板束中，钢束深入到变截面单元10及其后面单元的钢束，其形状需作改动，改动方式如下图所示，

定义好钢束布置形状后，就可以定义钢束预应力荷载了，这项内容建议在施工阶段执行。如第一施工阶段要张拉零号块顶板两根钢束，在阶段显示第一施工阶段，然后选择荷载〉预应力荷载〉钢束预应力，荷载工况选择“预应力”，荷载组选择钢束1-0，如下图所示——

4

）公路一级车道荷载：按照“选择移动荷载规范——定义车道——定义车道——定义

显然底板钢束布置形状在右侧深入主梁内部的z 向位置偏上，需要按照底板的变化向下弯曲。

移动荷载工况”的顺序定义移动荷载。移动荷载属于成桥荷载，必须在基本状态下定义。

在定义车道时，可以指定车轮间距，来模拟车辆或车道的三维布载形式，如果车轮间距输入为0，则该荷载即为规范规定的等效二维荷载。

8、分析及后处理查看

定义好以上各项荷载后，就可以选择执行分析了，但在进行分析计算之前，首先要在主菜单分析中定义相应的分析控制选项，这里要定义的是移动荷载分析控制选项和施工阶段分析控制选项，前者包括定义移动荷载分析输出内容和冲击系数计算方法，后者包括施工阶段分析 的各项参数。

在查看后处理结果之前，要先定义荷载组合，在分析结果查看时，可以在任何一栏内定义荷载组合中，可以选择按照规范自动生成组合，也可根据经验自定义荷载组合。

后处理的查看除常规的反力、位移、内力、应力查看外，对于移动荷载分析还可利用一旦荷载追踪功能查看移动荷载的最不利布置情况，并可将这种荷载布置形式转化为静力荷载，在动力分析、非线性分析中代替移动荷载使用。还可查看每个施工阶段的分析结果，以及预应力损失计算的详细结果，在结果〉分析结果表格〉预应力钢束〉预应力损失...结果表格中按照施工阶段查看每项预应力损失。

注：图中绿色圆点标志即为荷载加载位置，程序默

认在单元的二分点上加载，如果增大要求加载

数学建模典型例题

一、人体重变化 某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克?天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。 一、问题分析 人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。 二、模型假设 1、以脂肪形式贮存的热量100%有效 2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存 3、假设体重的变化是一个连续函数 4、初始体重为W0 三、模型建立 假设在△t时间内： 体重的变化量为W（t+△t）-W(t)； 身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t）） 将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量； 转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt； 四、模型求解 d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686 W(0)=W0 解得： 5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686) 即： W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686) 当t趋于无穷时，w=81; 二、投资策略模型 一、问题重述 一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i 的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本a ij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）ij

MIDAS例题---连续梁教学内容

4×30m连续梁结构分析 对4*30m结构进行分析的第一步工作是对结构进行分析，确定结构的有限元离散，确定各项参数和结构的情况，并在此基础上进行建模和结构计算。 建立斜连续梁结构模型的详细步骤如下。 1. 设定建模环境 2. 设置结构类型 3. 定义材料和截面特性值 4. 建立结构梁单元模型 5. 定义结构组 6. 定义边界组 7.定义荷载组 8.定义移动荷载 9. 定义施工阶段 10. 运行结构分析 11. 查看结果 12.psc设计 13. 取一个单元做横向分析

概要： 在城市桥梁建设由于受到地形、美观等诸多方面的限制，连续梁结构成为其中应用的最多的桥梁形式。同时，随着现代科技的发展，连续梁结构也变得越来越轻盈，更能满足城市对桥梁的景观要求。 本文中的例子采用一座4×30m的连续梁结构（如图1所示）。 1、桥梁基本数据 桥梁跨径布置：4×30m＝120； 桥梁宽度：0.25m（栏杆）＋2.5m（人行道）＋15.0m（机动车道）＋2.5m（人行道）+0.25（栏杆）＝20.5m； 主梁高度：1.6m；支座处实体段为1.8m； 行车道数：双向四车道＋2人行道 桥梁横坡：机动车道向外1.5％，人行道向内1.5％； 施工方法：满堂支架施工； 图1 1/2全桥立面图和1.6m标准断面

2、主要材料及其参数 2.1 混凝土各项力学指标见表1 表1 2.2低松弛钢绞线（主要用于钢筋混凝土预应力构件） 直径：15.24mm 弹性模量：195000 MPa 标准强度：1860 MPa 抗拉强度设计值：1260 MPa 抗压强度设计值: 390 MPa 张拉控制应力：1395 MPa 热膨胀系数：0.000012 2.3普通钢筋 采用R235、HRB335钢筋，直径：8～32mm 弹性模量：R235 210000 MPa / HRB335 200000 MPa 标准强度：R235 235 MPa / HRB335 335 MPa 热膨胀系数：0.000012 3、设计荷载取值： 3.1恒载： 一期恒载包括主梁材料重量，混凝土容重取25 KN/m 3。 二期恒载：人行道、护栏及桥面铺装等（该桥梁上不通过电信管道、水管等）。 其中： 桥面铺装：采用10cm的沥青混凝土铺装层；沥青混凝土安每立方24kN计算，则计算铺装宽度为15m，桥面每米铺装沥青混凝土重量为：0.16×24×15＝57.6kN/m；

数学建模典型例题(二)

6 小行星的轨道模型 问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1. 表6.1 坐标数据 由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为 012225423221=+++++y a x a y a xy a x a . 问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据： （x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）. 由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定 系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得 ???? ?????-=++++-=++++-=++++-=++++-=++++.122212221222122212225554253552251454424344224 135342 3333223125242 232222211514213112211y a x a y a y x a x a ， y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a 这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵

数学建模常用的十种解题方法

数学建模常用的十种解题方法 摘要 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。数学建模的十种常用方法有蒙特卡罗算法；数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法；解决线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题的数学规划算法；图论算法；动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法；最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法；网格算法和穷举法；一些连续离散化方法；数值分析算法；图象处理算法。 关键词：数学建模；蒙特卡罗算法；数据处理算法；数学规划算法；图论算法 一、蒙特卡罗算法 蒙特卡罗算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法。在工程、通讯、金融等技术问题中, 实验数据很难获取, 或实验数据的获取需耗费很多的人力、物力, 对此, 用计算机随机模拟就是最简单、经济、实用的方法; 此外, 对一些复杂的计算问题, 如非线性议程组求解、最优化、积分微分方程及一些偏微分方程的解⑿, 蒙特卡罗方法也是非常有效的。 一般情况下, 蒙特卜罗算法在二重积分中用均匀随机数计算积分比较简单, 但精度不太理想。通过方差分析, 论证了利用有利随机数, 可以使积分计算的精度达到最优。本文给出算例, 并用MA TA LA B 实现。 1蒙特卡罗计算重积分的最简算法-------均匀随机数法 二重积分的蒙特卡罗方法(均匀随机数) 实际计算中常常要遇到如()dxdy y x f D ??,的二重积分, 也常常发现许多时候被积函数的原函数很难求出, 或者原函数根本就不是初等函数, 对于这样的重积分, 可以设计一种蒙特卡罗的方法计算。 定理 1 )1( 设式()y x f ,区域 D 上的有界函数, 用均匀随机数计算()??D dxdy y x f ,的方法: (l) 取一个包含D 的矩形区域Ω,a ≦x ≦b, c ≦y ≦d , 其面积A =(b 一a) (d 一c) ; ()j i y x ,,i=1,…,n 在Ω上的均匀分布随机数列,不妨设()j i y x ,, j=1，…k 为落在D 中的k 个随机数, 则n 充分大时, 有

Midas GTS操作例题列表

GTS操作例题列表: 基础例题 1 二维平行隧道施工阶段分析 2 三维隧道施工阶段分析 3 三维连接隧道施工阶段分析 4 二维路堤施工阶段分析 5 三维基坑开挖阶段地下水渗流分析 6 铁路移动荷载分析 7 三维基坑支护施工阶段分析 8 桥台基础施工阶段分析 9 二维衬砌分析 高级例题 10 地铁施工阶段分析 11 铁路隧道Y型连接段施工阶段分析 12 城市交叠隧道施工阶段分析 实际工程列表 1 公路隧道-断层带区段 2 公路隧道-断层带区段 3 公路隧道-洞门_端差 4 公路隧道-洞门_无端差 5 公路隧道-曲线隧道 6 公路隧道-三维并行隧道 7 公路隧道-避难所 8 公路隧道-河谷区段 9 公路隧道-联拱隧道 10 护岸结构-防浪堤连接区段 11 护岸结构-护岸墙连接区段 12 铁路隧道-横穿上部公路隧道 13 地铁隧道-管棚支护导坑法隧道 14 基础-桥台基础 15 其他隧道-U形隧道 16 土坝 17 堆石坝 验证例题列表 1 无限弹性体上的圆孔 2 无限弹性体上的球腔 3 横观同性无限弹性体上的圆孔 4 莫尔-库伦无限体上的圆孔 5 各向不同应力作用下无限弹性体上的直线圆形隧道 6 弹性地基上的条形基础 7 条形荷载作用下的弹性Gibson地基

8 弹性半无限体上的圆形基础 9 莫尔-库伦地基上的条形和圆形基础 10 条形基础承载力(粘聚力随深度变化) 11 屈雷斯卡地基上的正方形基础 12 冲切问题中的塑性流动 13 剑桥粘土和修正剑桥粘土模型的三轴试验 14 基坑支护 15 倾斜面上的隧道挖掘 16 [稳定流] 三角形土坝 17 [稳定流] 限制水流的截水墙 18 [稳定流] 坝基截流 19 [稳态] 水库粘土层 20 [稳态] 无侧限大坝渗流 21 [稳定流] 倾斜渗透 22 [稳定流] 大坝竖直面(Muskat问题) 23 [稳定流] 向河堤无侧限流动 24 [稳定流] 隧道渗流问题 25 [非稳定流] 水井径向流 26 [非稳定流] 固结分析 27 [非稳定流] 水库蓄水分析 28 [非稳定流] 水位骤降分析 29 [固结] Cryer’s问题 30 [固结] 饱和土固结分析

数学建模典型例题

一、人体重变化 某人得食量就是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中得503８焦/天。每天得体育运动消耗热量大约就是６9焦/（千克?天)乘以她得体重(千克)。假设以脂肪形式贮存得热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量４１868焦。试研究此人体重随时间变化得规律. 一、问题分析 人体重W（t)随时间t变化就是由于消耗量与吸收量得差值所引起得,假设人体重随时间得变化就是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W得变化值列出微分方程。 二、模型假设 1、以脂肪形式贮存得热量１０0%有效 2、当补充能量多于消耗能量时,多余能量以脂肪形式贮存 3、假设体重得变化就是一个连续函数 4、初始体重为Ｗ0 三、模型建立 假设在△t时间内： 体重得变化量为W（t＋△ｔ）—W(t); 身体一天内得热量得剩余为（1０4６7—50３8-６9*W（t)） 将其乘以△ｔ即为一小段时间内剩下得热量； 转换成微分方程为:ｄ[W(t+△t）-Ｗ（t）］=(１0467—５038－6９*W（ｔ))ｄt; 四、模型求解 d（５42９—6９W)/（54２9-69W)＝-６9ｄt/416８6 W(0）=W0 解得： ５4２9-６９W=（54２９－69W0)ｅ（－6９t/４1686) 即：

W（t）=５4２９／６9—（5429－６9Ｗ０)/５４29e(-6９t/41686） 当t趋于无穷时，ｗ=８１; 二、投资策略模型 一、问题重述 一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间得最佳方案。５年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时,这家公司评估在年i得开始买进汽车并在年j得开始卖出汽车,将有净成本ａｉj（购入价减去折旧加上运营与维修成本).以千元计数ａiｊ得由下面得表给出： 请寻找什么时间买进与卖出汽车得最便宜得策略。 二、问题分析 本问题就是寻找成本最低得投资策略,可视为寻找最短路径问题.因此可利用图论法分析,用Dijkstra算法找出最短路径，即为最低成本得投资策略。 三、条件假设 除购入价折旧以及运营与维护成本外无其她费用; 四、模型建立 二 5 11 7 三６ 4

midas Civil Designer 连续梁-弯桥-跟随例题

Civil Designer 连续梁-弯桥-跟随例题 2014年4月23日 北京迈达斯技术有限公司

目录 一、CDN模型及分析结果导入 (1) 二、定义构件 (1) 三、项目设计 (2) 四、查看结果 (3) 五、结果调整—调束 (4) 六、结果调整—调筋 (6) 七、柱的设计 (8) 八、更新模型数据至Civil (9)

一、CDN模型及分析结果导入 1.运行midas Civil，打开模型“连续梁-弯桥-演示”，点击运行分析（点或者按F5键）； 2.点击主菜单PSC（设计）>CDN>创建新项目（或点击创建新项目并执行设计）； 3.在CDN中，点击模型>保存，将模型保存以“连续梁-弯桥-演示”保存； Tips：也可以通过Civil>导出模型和分析结果文件导出模型文件*.mct以及分析结果文件*.mrb后，打开midas CDN软件，模型>导入>导入Civil模型和结果文件（*.mct,*.mrb）。 二、定义构件 1.点击主菜单模型>自动，选择目标点击全部选择，勾选名称，可以自定义构件的名 称，验算位置选择各段，点击确认；（也可以手动定义构件，点击模型>手动，手动选择单元进行构件定义，并定义该构件的名称以及类型，点击确认；或者根据构件

的类型进行构件定义，点击模型>类型，选择目标以及类型（梁、柱、基础、任意），点击确认；） Tips：定义构件可以选择三种方式：自动、手动、类型，定义好构件之后可以通过手动方式对已定义好的构件进行重新定义，在左侧工作树中显示定义完成的构件，可勾选是否显示或修改构件名称、类型等等，同时模型以定义完成的构件模式显示。 三、项目设计 1.点击主菜单RC/PSC设计>设置，设置“设计参数”“验算选项”，验算选项部分勾选全选，该菜单整合了RC和PSC设计参数，以及按规范要求的验算选项； 2.点击RC/PSC设计>生成，将Civil中的荷载组合完全导入至CDN中，同时，按承载能力、正常使用、弹性阶段优化荷载组合分类；（如未导入荷载组合，亦可点击自动生成，选择设计规范，自动生成荷载组合） 3．点击RC/PSC设计>运行，选择目标完成设计； Tips:在初次设计时，也可以进行“一键设计”，无需定义构件，默认按每个单元即是一个构件进行快速设计，直接点击“RC/PSC>运行”即可;如果需要修改构件的设计参数，点击RC/PSC设计>参数。

数学建模知识竞赛题库

数学建模知识竞赛题库 1.请问计算机中的二进制源于我国古代的哪部经典? D A.《墨经》 B.《诗经》 C.《周书》 D.《周易》 2.世界上面积最大的高原是？D A.青藏高原 B.帕米尔高原 C.黄土高原 D.巴西高原 3.我国海洋国土面积约有多少万平方公里? B A.200 B.300 C.280 D.340 4.世界上面值最高的邮票是匈牙利五百亿彭哥，它的图案是B A.猫 B.飞鸽 C.海鸥 D.鹰 5. 龙虾是我们的一种美食、你知道它体内的血是什么颜色的吗？B A.红色 B.蓝色 C.灰色 D.绿色 6.MATLAB使用三维向量[R G B]来表示一种颜色，则黑色为（D ） A. [1 0 1] B. [1 1 1] C. [0 0 1] D. [0 0 0] 7.秦始皇之后，有几个朝代对长城进行了修葺？ A A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 8.中国历史上历时最长的朝代是？A A.周朝 B.汉朝 C.唐朝 D.宋朝 9我国第一个获得世界冠军的是谁？C A 吴传玉 B 郑凤荣 C 荣国团 D 陈镜开 10.我国最早在奥运会上获得金牌的是哪位运动员？B A.李宁 B.许海峰 C.高凤莲 D.吴佳怩

11.围棋共有多少个棋子？B A.360 B.361 C.362 D.365 12下列属于物理模型的是:A A水箱中的舰艇 B分子结构图 C火箭模型 D电路图 13名言：生命在于运动是谁说的？C A.车尔尼夫斯基 B.普希金 C.伏尔泰 D.契诃夫 14.饱食后不宜剧烈运动是因为B A.会得阑尾炎 B.有障消化 C.导致神经衰弱 D.呕吐 15、MATLAB软件中，把二维矩阵按一维方式寻址时的寻址访问是按（B）优先的。 A.行 B.列 C.对角线 D.左上角16红军长征中，哪次战役最突出反应毛泽东的军事思想和指挥才?A A.四渡赤水B.抢渡大渡河C.飞夺泸定桥D.直罗镇战役 17色盲患者最普遍的不易分辨的颜色是什么？A A.红绿 B.蓝绿 C.红蓝 D.绿蓝 18下列哪种症状是没有理由遗传的？ A.精神分裂症 B.近视 C.糖尿病 D.口吃 19下面哪个变量是正无穷大变量？（A ）

数学建模优化问题经典练习

1、高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳 万元，可使用的金属板有500t，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外，不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号为100万元，中号为150万元，大号为200万元，现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大， max=4*x1+5*x2+6*x3-100*y1-150*y2-200*y3; 2*x1+4*x2+8*x3<=500; 2*x1+3*x2+4*x3<=300; 1*x1+2*x2+3*x3<=100; @bin(y1); @bin(y2); @bin(y3); y1+y2+y3>=1; Global optimal solution found. Objective value: 300.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 100.0000 0.000000 X2 0.000000 3.000000 X3 0.000000 6.000000 Y1 1.000000 100.0000 Y2 0.000000 150.0000 Y3 0.000000 200.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 300.0000 1.000000 2 300.0000 0.000000 3 100.0000 0.000000 4 0.000000 4.000000 5 0.000000 0.000000

MIDAS弹簧单元例题

7. 弹簧分析 概述 在本例题比较和验算结构的支承条件和弹簧刚度不同时产生的结构的反力、位移和内力。 弹簧连接 图 7.1 分析模型 材料 钢材 : Grade3 弹性模量(E) : 2.1 x 106 kgf/cm2 截面 截面面积(Area) : 1.0 x 10-2 m2 截面惯性矩(I yy) : 8.333 x 10-6 m2 荷载 节点集中荷载: 10.0 tonf 弹簧系数

区分k1 (tonf·m/radian) k2 (tonf/m) k3 (tonf/m) 模型 1 模型 2 模型 3 100,000 10 100,000 1 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000

设定基本环境 打开新文件以‘Support.mgb’为名保存。定义单位体系为‘m’和‘tonf’。 文件 / 新文件 文件 / 保存( Support ) 工具/ 单位体系 长度> m ; 力 > tonf? 图 7.2 设定单位体系 设定结构类型为X-Z平面。 模型 / 结构类型 结构类型> X-Z 平面?

定义材料以及截面 选择材料为钢材Grade3（GB(S)）。 模型 / 材料和截面特性 / 材料 类型> 钢材 规范>GB(S) ; 数据库 > Grade3? 模型 / 材料和截面特性 / 截面 数值 截面号( 1 ) ; 名称( 截面) 截面特性值 > 面积( 0.01 ) ; Iyy ( 8.333e-6 )? 图 7.3 定义材料图 7.4 定义截面

建立节点和截面 为建立模型 1的梁单元，先输入节点。 正面, 捕捉点 (关), 捕捉轴线 (关) 捕捉节点 (开), 捕捉单元 (开), 自动对齐(开) 模型 / 节点 / 建立节点 坐标 ( x, y, z ) ( 0, 0, 0 ) 图 7.5 建立节点

减速路障间距设计 ;经典数学建模题目分析

组号：702 田宇；孙蕙雯；樊博 校园减速路障间距设计 摘要：减速路障的间距设计合理对于减速带作用的发挥具有重要的意义。本文利用查阅的相关资料，采用Lingo回归分析和最小二乘法，对汽车的加速时加速度和加速时的加速度进行了参数估计。根据题意进行数学建模，建立了汽车在一条具有多个减速带的公路上加速后减速匀速通过减速带的一维直线运动的模型。通过牛顿运动学公式进行了模型求解，最后得出了相邻减速带间的最佳距离。 关键词：减速带间距；一维直线运动模型；最小二乘法

一、问题的提出 1.1 问题的背景 校园、居民小区的道路中间，常常设置用于限制汽车速度的减速带（路障）。减速带使路面稍微拱起以达到车辆减速目的，设置在需要车辆减速慢行的路段和容易引发交通事故的路段，是用于减速机动车、非机动车行使速度的新型交通专用安全设置。减速带很大程度减少了各交通要道口的事故发生，是交通安全的新型专用设施。汽车在行驶中既安全又起到缓冲减速目的，提高交通道口的安全。随着校园车辆的逐渐增多，在校园中合理的设置减速带又成为一个很重要的实际问题。 减速带的使用效果在很大程度上取决于车辆的运行速度和减速带的放置间距间距。因此，为确保限速安全和驾驶人的舒适，合理设定道路的限速具有很重要的意义。 1.2 问题重述 校园道路需要设置路障以限制车速，如果车速不超过40km/h，应该相距多远？ 二、问题的分析 2.1 模型预备知识 道路减速带的减速原理：道路减速带的减速是通过影响驾驶员的驾驶心理实现的。当车辆以较高速度进入道路减速带时,剧烈的振动会从轮胎经车身及座椅传递给驾驶员,使驾驶员产生强烈的生理刺激(包括振动刺激和视觉刺激)和心理刺激,从而促使驾驶员主动减速,使车辆以较低的速度通过道路减速带。 2.2问题的分析 1、汽车通过减速带时速度近于零，过减速带后加速。 2、车速达到40km/h时因为前面有下一个减速带而减速，至减速带处车速又近于零。 3、如此循环达到减速目的。

历年全国数学建模试题及其解法归纳

历年全国数学建模试题及解法归纳 赛题解法 93A非线性交调的频率设计拟合、规划 93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划 94B锁具装箱问题图论、组合数学 95A飞行管理问题非线性规划、线性规划 95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A最优捕鱼策略微分方程、优化 96B节水洗衣机非线性规划 97A零件的参数设计非线性规划 97B截断切割的最优排列随机模拟、图论 98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化 99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟 99B钻井布局0-1规划、图论 00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工 神经网络 00B钢管订购和运输组合优化、运输问题 01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建

赛题解法 01B 公交车调度问题多目标规划 02A车灯线光源的优化非线性规划 02B彩票问题单目标决策 03A SARS的传播微分方程、差分方程 03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题 04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化 05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理 05B DVD在线租赁随机规划、整数规划 06A出版社书号问题整数规划、数据处理、优化06B Hiv病毒问题线性规划、回归分析 07A 人口问题微分方程、数据处理、优化07B 公交车问题多目标规划、动态规划、图 论、0-1规划 08A 照相机问题非线性方程组、优化 08B 大学学费问题数据收集和处理、统计分 析、回归分析 2009年A题制动器试验台的控制方法分析工程控制 2009年B题眼科病床的合理安排排队论，优化，仿真，综 合评价 2009年C题卫星监控几何问题，搜集数据

数学模型经典例题

一、把椅子往地面一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地放稳了，就四脚连线成长方形的情形建模并加以说明。（15分） 解：一、模型假设： 1. 椅子四只脚一样长，椅脚与地面的接触可以看作一个点，四脚连线呈长方形。 2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，地面可以看成一张光滑曲面。 3. 地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。 （3分） 二、建立模型： 以初始位置的中位线为坐标轴建立直角坐标系，用θ表示椅子绕中心O 旋转的角度，椅子的位置可以用θ确定： ()f θ记为A 、B 两点与地面的距离之和 ()g θ记为C 、D 两点与地面的距离之和 由假设3可得，()f θ、()g θ中至少有一个为0。 由假设2知()f θ、()g θ是θ的连续函数。 （3分） 问题归结为： 已知()f θ和()g θ是θ的连续函数，对任意θ， ()()0f g θθ=，且设()()00,00g f =>。证明存在0θ， 使得()()000f g θθ== （3分） 三、模型求解： 令()()()h f θθθ=－g 若()()000f g =，结论成立 若()()000f g 、不同时为，不妨设()()00,00g f =>，椅子旋转()180π或后，AB 与CD 互换，即()()0,0g f ππ>=，则()(0)0,0h h π><。 （3分） 由f g 和的连续性知h 也是连续函数。根据连续函数的基本性质，必存在 ()000θθπ<<使000()0,()()h f g θθθ==即。 最后，因为00()()0f g θθ=，所以00()()0f g θθ==。 （3分） 图 5

midas例题

Vrification Manual
Modeling, Integrated Design & Analysis Software
?

Example-1
Title
Cylindrical Hole in an Infinite Elastic Medium
Description
This problem concerns the determination of stresses and displacements for the case of a cylindrical hole in an infinite elastic medium subjected to in-situ stress field σ xx = p1 , σ yy = p2 . The problem tests the isotropic elastic material model, the plane-strain condition and axisymmetric geometry. The infinite elastic boundary is also tested in this example. A cylindrical hole with a radius of 1 m exists in an infinite body under a uniform compressive stress of -30 MPa. It is assumed that the problem is symmetric about both the horizontal and vertical axes. Further, it is assumed that the radius of the hole is small compared to the length of the cylinder. This assumption permits the 3D problem to be reduced to a 2D plane-strain problem.
Soil
Cylindrical hole
Fig. 1.1 Cylindrical hole in an infinite elastic medium
1

midas操作例题资料-钢箱梁

Civil＆Civil Designer 一、钢箱梁操作例题资料 1概要 钢桥是高强、轻型薄壁结构，截面和自重比混凝土桥小，跨越能力大，因而在实际工程中有广泛应用。钢桥按形式可大致分为钢箱梁、钢板梁（工字钢）、钢桁梁、组合梁桥等类型。钢桥在使用时不仅要求钢材具有较高的强度，而且还要求具有良好的塑性。钢桥的刚度相对比较小，变形和振动比混凝土桥大。为了保证车辆行驶安全和舒适性、避免过大的变形和振动对钢桥结构产生不利的影响，钢桥必须有足够的整体刚度[2] 。钢桥缺点除容易腐蚀影响耐久性外，另一缺点是疲劳。影响疲劳的因素很多，除钢材品质、连接的构造与方法等外，与荷载性质、疲劳细节关系也很大。钢箱梁除钢材等力学特性外，还具有箱梁的受力特点，广泛应用于市政高架、匝道、大跨度斜拉桥、悬索桥、拱桥加劲梁、大跨连续钢箱梁及人行桥钢箱梁等方面。 本专题将通过介绍工程概况、结合规范构造检查、midas Civil详细建模过程以及midas Civil Designer设计平台及结果查看等操作流程，希望能为读者结合实际项目学习程序，通过程序了解钢箱梁提供帮助。

钢箱梁操作例题资料 2 钢桥概况及构造检查 2.1 钢桥概况 主梁为20+30+40+30m单箱单室正交钢箱梁，钢材为Q345；桥面宽8m，梁高2.335m，翼缘板长1.8m；顶板、腹板、翼缘板均厚16mm，底板标准段厚16mm，支座两侧3~3.5m范围内加厚为24mm；顶板设置闭口U型加劲肋；翼缘板、腹板均设置板型加劲肋；底板标准段设置板型加劲肋，桥墩两侧5~7m范围内设置T型加劲肋；横隔板等设置距离详见图1~图3所示。 建模之前，应按照《公路钢结构桥梁设计规范》(JTG D64—2015)[1] （以下简称规范）对钢桥面板、加劲肋、翼缘板及腹板等尺寸进行构造检查。 2.2构造检查 2.2.1钢桥面板 近年来正交异性钢桥面板出现疲劳和桥面铺装损伤的现象较为普遍，为保证钢桥面板具有足够的刚度，需对最小厚度有要求；为减小应力集中和避免采用疲劳等级过低的构造细节，需对纵向闭口加劲肋尺寸进行规定[1]。 表1 钢桥面构造检查

高中常见数学模型案例

高中常见数学模型案例 中华人民共和国教育部2003年4月制定的普通高中《数学课程标准》中明确指出：“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，“数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。”教材中常见模型有如下几种: 一、函数模型 用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用，两个变量或几个变量，凡能找到它们之间的联系，并用数学形式表示出来，建立起一个函数关系（数学模型），然后运用函数的有关知识去解决实际问题，这些都属于函数模型的范畴。 1、正比例、反比例函数问题 例1：某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营者中货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系是___________。 分析：欲求货物数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式，关键是要弄清原价、进价、新价之间的关系。 若设新价为b ，则售价为b （1－20%），因为原价为a ，所以进价为a （1－25％） 解：依题意，有25.0)2.01()25.01()2.01(?-=---b a b 化简得a b 45=，所以x a bx y ??==2.0452.0，即+∈=N x x a y ,4 2、一次函数问题 例2：某人开汽车以60km/h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50km/h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路x （km ）表示为时间t （h ）的函数，并画出函数的图像。 分析：根据路程＝速度×时间，可得出路程x 和时间t 得函数关系式x （t ）；同样，可列出v(t)的关系式。要注意v(t)是一个矢量，从B 地返回时速度为负值，重点应注意如何画这两个函数的图像，要知道这两个函数所反映的变化关系是不一样的。 解：汽车离开A 地的距离x km 与时间t h 之间的关系式是：?? ???∈--∈∈=]5.6,5.3(),5.3(50150]5.3,5.2(,150]5.2,0[,60t t t t t x ，图略。 速度vkm/h 与时间t h 的函数关系式是：?? ???∈-∈∈=)5.6,5.3[,50)5.3,5.2[,0)5.2,0[,60t t t v ，图略。 3、二次函数问题 例3：有L 米长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全等小矩形组成的矩形，试问小矩形的长、宽比为多少时，窗所通过的光线最多，并具体标出窗框面积的最大值。

数学建模经典例题

A题机组组合问题 当前的科学技术还不能有效地存储电力，所以电力生产和消费在任何时刻都要相等，否则就会威胁电力系统安全运行。又由于发电机组的物理特性限制，发电机组不能够随心所欲地发出需要的电力。为了能够实时平衡变化剧烈的电力负荷，电力部门往往需要根据预测的未来电力负荷安排发电机组起停计划，在满足电力系统安全运行条件下，追求发电成本最小。 在没有电力负荷损耗以及一个小时之内的电力负荷和发电机出力均不变的前提下，假定所有发电机组的发电成本都是由3部分组成，它们是启动成本（Startup Cost），空载成本（No load cost）和增量成本（Incremental Cost）。需要考虑的约束有： 1．负荷平衡约束：任何小时，电力负荷之和必须等于发电机发电出力之和。 2．系统备用约束：处于运行状态的发电机的最大发电能力减去其出力称为该发电机的备用容量，处于停运状态的发电机的备用容量为0。任何小时，发电机的备用容量之和必须大于系统备用要求。 3．输电线路传输容量约束：线路传输的电能必须在它的传输容量范围内。 4．发电机组出力范围约束：处于运行状态的发电机组的发电出力必须小于其最大发电能力（Pmax, MW）。 5．机组增出力约束（Ramp Up, MW/h）：发电机组在增加发电出力时，不能太快，有一个增加出力的速度上限，在一定时间内（通常是10分钟，为简单起见，本题取1个小时）不能超过额定范围。 6．机组降出力约束（Ramp Down, MW/h）：与机组增出力约束类似，发电机组在减少发电出力时也有一个减少出力的速度上限。 问题1：3母线系统 有一个3母线系统，其中有2台机组、1个负荷和3条输电线路，已知4个小时的负荷和系统备用要求。请求出这4个小时的最优机组组合计划。最终结果应该包括总成本、各小时各机组的状态、各小时各机组的发电出力和各小时各机组提供的备用。所有数据请见下面图及表格，“3BusData”目录中还有包含了本题所有表格数据的5个xml文件。

midas桥梁抗震分析与设计例题

桥梁抗震分析与设计 北京迈达斯技术有限公司 2007年8月

前言 为贯彻《中华人民共和国防震减灾法》，统一铁路工程抗震设计标准，满足铁路工程抗震设防的性能要求，中华人民共和国建设部发布了新的《铁路工程抗震设计规范》，自2006年12月1日起实施。新规范规定了按“地震动峰值加速度”和“地震动反应谱特征周期”进行抗震设计的要求，明确了铁路构筑物应达到的抗震性能标准、设防目标及分析方法，增加了钢筋混凝土桥墩进行延性设计的要求及计算方法。 从1999年开始，中华人民共和国交通部也在积极制定新的《公路工程抗震设计规范》、《城市桥梁抗震设计规范》。从以上规范的征求意见稿中可以看出，新规范中桥梁抗震安全设置标准采用多级设防的思想，增加了延性设计和减隔震设计的相应规定，对于结构的计算模型、计算方法、以及计算结果的使用有更加具体的规定。 随着新规范的推出，工程师急迫需要具备桥梁抗震分析与设计的能力。Midas/Civil具备强大的桥梁抗震分析功能，包括振型分析、反应谱分析、时程分析、静力弹塑性分析以及动力弹塑性分析，可以很好地辅助工程师进行桥梁抗震设计。

目录 一桥梁抗震分析与设计注意事项 (1) 1. 动力分析模型刚度的模拟 (1) 2. 动力分析模型质量的模拟 (1) 3. 动力分析模型阻尼的模拟 (1) 4. 动力分析模型边界的模拟 (2) 5.特征值分析方法 (2) 6.反应谱的概念 (3) 7.反应谱荷载工况的定义 (4) 8.反应谱分析振型组合的方法 (4) 9.选取地震加速度时程曲线 (5) 10.时程分析的计算方法 (5) 二桥梁抗震分析与设计例题 (7) 1. 概要 (7) 2. 输入质量 (8) 3. 输入反应谱数据 (10) 4. 特征值分析 (12) 5. 查看振型分析与反应谱分析结果 (13) 6. 输入时程分析数据 (18) 7. 查看时程分析结果 (20) 8. 抗震设计 (22)

数学建模典型例题

数学建模典型例题 某学校有三个系共200名学生,其中甲系100名,乙系60名,丙系40名.若学生代表会议设20各级席位,公平而又简单的席位分配方法是按学生人数的比例分配,显然甲乙丙三系分别应占有10,6,4个席位,现在丙系有6名学生转入甲乙两系,各系人数如表第二列所示,仍按比例(表中第三列)分配席位时出现了小数(表中第四列),在将取得整数的19席分配完毕后,三席同意剩下的1席参照所谓惯例分给比例中小数最大的系,于是三系分别占有10,6,4席(表中第5列) 因为有20个代表会议在表决的时候可能出现10:10的局面,会议决定下一届增加一席,他们按照上述方法重新分配席位,计算结果见表6,7列,显然这个结果对丙系太不公平了.因为总席位增加一席,而丙系却由4席减为3席. 按照比例并参照惯例的席位分配

系别学生学生人数 20个席 20个席位 21个席位 21个席位人数的比例(% 的分配的分配的分配的分配 比例分配参照惯例比例分配参照惯例 的席位的结果的席位的结果 甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 丙 34 17.0 3.4 4 3.570 3 总和 200 100.0 20.0 20 21.000 21 要解决这个问题必须舍弃所谓惯例，找到衡量公平分配席位的指标，并由此建立新的分配分配方法

解答: Pī/Nī表示第ī个单位每个代表名额代表的人数 采用相对标准,引入相对不公平概念.如果P1/n1>P2/n2,则说明A方是吃亏的,或说对A方不公平. 对A的相对不公平度: rA(n1,n2)=(p1/n1-p2/n2)/(p2/n2)=(p1n2)/(p2n1)-1 对B的相对不公平度: rB(n1,n2)=(p2n1)/(p1n2)-1 情形1: P1/(n1+1)>p2/n2,表明即使A方再增加一个名额,仍然对A方不公

数学建模例题及解析

。 例1差分方程——资金的时间价值 问题1:抵押贷款买房——从一则广告谈起 每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。先看一下下面的广告(这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告)，任何人看了这则广告都会产生许多疑问，且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等，人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢?为什么每个月要付1200元呢?是怎样算出来的?因为人们都知道，若知道了房价(一次付款买房的价格)，如果自己只能支付一部分款，那就要把其余的款项通过借贷方式来解决，只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了，从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。现在我们来进行数学建模。由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。 a.明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的： 需要借多少钱，用记； 月利率(贷款通常按复利计)用R记； 每月还多少钱用x记； 借期记为N个月。 b．建立变量之间的明确的数学关系。若用记第k个月时尚欠的款数，则一 个月后(加上利息后)欠款，不过我们又还了x元所以总的欠款为 k=0，1，2，3， 而一开始的借款为。所以我们的数学模型可表述如下 (1) c. (1)的求解。由

(2) 这就是之间的显式关系。 d．针对广告中的情形我们来看(1)和(2)中哪些量是已知的。N=5年＝60个月， 已知；每月还款x＝1200元，已知A。即一次性付款购买价减去70000元后剩下 的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率R也没告诉你，这造成了我们决策的困难。然而，由(2)可知60个月后还清，即，从而得 (3) A和x之间的关系式，如果我们已经知道银行(3)表示N＝60，x＝1200给定时0 A。例如，若R ＝0．01，则由(3)可算得的贷款利息R，就可以算出0 53946元。如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70000十53946＝ 123946元的话，你就应自己去银行借款。事实上，利用图形计算器或 Mathematica这样的 数学软件可把(3)的图形画出来，从而可以进行估算决策。以下我们进一步考虑 下面两个问题。 注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还，因而要你用 某种不动产(包括房子的产权)作抵押，即万一你还不出钱了，就没收你的不动产。 例题1某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款60000元，月利率0．01，贷款 期25年＝300月，这对夫妇希望知道每月要还多少钱，25年就可还清。假设这 对夫妇每月可有节余900元，是否可以去买房呢?

数学建模典型例题

典型例题 1．报童每天订购的报纸，每卖出一份赢利a 元，如果卖不出去并将报纸退回发行单位，将赔本b 元．每天买报人数不定，报童订报份数如超过实际需要，就要受到供过于求的损失；反之，要受到供不应求的损失．设P (m )是售出m 份报纸的概率，试确定合理的订报份数，使报童的期望损失最小． 解：设报童每天订购Q 份报纸，则其收益函数为 ?? ?>≤--=Q m am Q m b m Q am m y , ,)()( 利润的期望为 ∑∑∞ +==+ -+=1 )()(])[()]([Q m Q m m aQP m P bQ m b a m y E 比较各个m 的)]([m y E 值，使其最大者即为所求．若m 的取值过多，可将)]([m y E 当成m 的连续函数或借鉴连续函数求极值的方法令 0d )] ([d =m m y E ． 2．血友病也是一种遗传疾病，得这种病的人由于体内没有能力生产血凝块因子而不能使出血停止．很有意思的是，虽然男人及女人都会得这种病，但只有女人才有通过遗传传递这种缺损的能力．若已知某时刻的男人和女人的比例为1：1.2，试建立一个预测这种遗传疾病逐代扩散的数学模型． 解：假设有α%的人患有血友病，并假设下一代与上一代虽人数可能不等，但所生男女比例一样．基于这样一个假设，不妨设下一代男女与上一代相同，设初始第一代男女分别占总人数的比例占总人数的比例为 a 0，b 0，由题设，a 0：b 0=1：1.2．注意到只有女人遗传血友病，由此，第一代将有%2 1 0αb 个女人及 %2 1 0αb 个男人有血友病，血友病占总人数的百分比为 %2 .22 .1%0001αα=+= b a b c 同理，第二代将有 %21210αb ?个女人及%2 1 210αb ?个男人有血友病，血友病占总人数的百分比为 %2 .22 .121% 21 0002αα?=+=b a b c 依次类推，第n 代将有%)2 1(0αb n 个女人及%)2 1(0αb n 个男人有血友病，血友病占总人数的百分比为 %2 .22 .1)21(% )21 (10001αα?=+=--n n n b a b c 令∞→n ，则0→n c ． 3．某石油公司必须就下一个打井位置作出决定．如果打出来的井什么也没有（既无油也无天然气），则投资费用（打井费用）全部赔掉．如果打出来的是气井，则可以说是部分成功，如果打出来