苏州大学理工类高等数学课次练习.

院系 专业 学号 姓名 8

9.1 多元函数的基本概念 一. 已知2

2),(y x x

y y x f -=+ ,求),(y x f

二. 求下列函数的定义域 1. y

x y

x z --

+=11 2. 2

2

1)ln(y

x x x y z --+

-=

3. )]1)(9ln[(2222-+--=y x y x z

三. 求下列极限,若不存在,说明理由 1.2

21

01lim

y

x xy

y x +-→→ 2. 2

2

2

20

0cos 1lim

y

x y x y x ++-→→

3. y

x x

y x +→→lim

0 4. 1

1lim

0-+→→xy xy y x

院系 专业 学号 姓名 9 9.2 偏导数 9.3 全微分 一.设 2

2),(y

x x

xy y x f ++= ,求 )1,0(),1,0(y x f f ''

二.设函数 2),,(22=??=y

f

y x f z ,且x x f x f y ='=)0,(,1)0,( ,求),(y x f

三.求下列函数的一阶偏导数

1. z

y

x u = 2.??+=

1

2

)(),(dx e

ds s f y x F x xy

y

3.y

x y x y x f arcsin )1(),(-+=

四.求下列函数的二阶偏导数

1.2

2444y x y x z -+= 2.y

x z =

院系 专业 学号 姓名 10 五.设 y

x e

z 11--= 求证

z y

z y x z x 222

=??+??

六.求下列函数的全微分 1.)sin(y x y e z x += 2.xyz

x u =

3.2

21ln y x z ++= ,求)

1,1(dz

七.求 22),(y x y x f += 在(0,0)点的偏导数

院系 专业 学号 姓名 11 9.4 多元复合函数的求导法则 1.设 3x xy z += ,求y

z

x z ??+

??

2.),sin (x y y e f z x

=,其中),(y x f 可微,求x

z ??

3. 设y x z e u z y x sin ,22

22

==++, 求

y

u x u ????,

4.设),(22y x xy f u +=,且f 可微,求y

u x u ????,

5设,cos ,sin ,1

)

(2

x z x a y a z y e u ax ==+-= 求dx du

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6.已知))ln(,(2

xy y x f z = ,求y

x z

x z ?????2,

7.设y xe u y x u f z ==),,,( ,其中f 连续偏导,求y

z x z ????,

8.设),,32(z

y e y x xf u ++= 求22y

u ??

9.设函数u 满足0=??+??+??z u y u x u ,作变换x z x y x -=-==ζηξ,, ,求证0=??ξ

u

院系 专业 学号 姓名 13 9.5隐函数的求导公式 1.设,0)sin(2=-++x y x e y 求dx

dy

2.设xyz z y x =++,求

y

z x z ????,

3.设),(2

2

y z y z x ?=+其中?可微,求y

z

??

4.设F xy y x y x F ,0),,(=-+可微,求dx

dy

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5.设023

=+-y xz z ,求222,x

z

y x z ?????

6.设???=++=++1

2

22z y x cz by ax ,求

dy

dx dy dz ,

7.证明由方程f bz cy az cx f ,0),(=--可微,确定的函数),(y x z z =满足c y

z b x z a =??+??

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9.6 多元函数微分学的几何应用 1. 求曲线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 在4

π

=t 处的切线方程和法平面方程

2. 求曲线???=++=++0

6

222z y x z y x 在点)1,2,1(-M 处的切线方程和法平面方程

3. 求曲面2z xy = 在点)2,4,1(处的切平面与法线方程

4. 求曲面422

22=++z y x 上平行于平面 12=-+z y x 的切平面方程

5. 求证曲面 3

a xyz =上任意一点处切平面与三个坐标轴所围四面体体积为常数

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9.7 方向导数和梯度 1. 求函数xyz u =在点)2,1,5(处,沿)2,1,5(到)14,4,9(的方向的方向导数

2. 求函数22z xy u -=在点)1,1,2(-处方向导数的最大值

3. 设222z y x u ++= ,求u

4. 求xyz xy x u ++=在点)1,2,1(-处的梯度,并求该梯度方向的方向导数

5. 求)(12222b y a x z +-=在点)2

,2(

b

a 处沿曲线12222=+

b y a x 的内法向量的方向导数

6. 设n

是曲面6322

22=++z y x 在点)1,1,1(P 处指向外侧的法向量,求函数

z

y x u 2286+=

在点P 处沿n

方向的方向导数

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9.8 多元函数的极值及其求法 1. 求y x xy xy y x f 22),(--=的极值

2. 求y e y x x y x f 22)2(),(++=的极值点和极值

3. 设22y x x u --=,求u 在区域}{

122≤+=y x D 上的最大值和最小值

4. 求曲线???=+=1

2

2xy y x z 上到xoy 坐标平面距离最短的点

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5. 求内接于椭球面122

2222=++c

z b y a x 且棱平行于坐标轴的体积最大的长方体

6. 求周长为p 2的三角形的最大面积

院系 专业 学号 姓名 19 第九章 习题课 1求偏导数 (1))ln(xy z = (2)z y x u )arctan(

-=

2.已知x

y e y x z arctan

2

2

)(-+= ,求dz

3.设),()(1y x y xy f x z ++=?其中?,f 具有二阶连续导数,求y

x z

???2

4.设),(),,(y x z z z x f y ==由方程0),,(=z y x F 确定,其中F f ,一阶连续可导,求dx

dy

5.设),(),,,(y x f xyz xy x f u =二阶可导,求z

x u

y x u x u ????????22,

,

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6.设}{ααsin ,cos ,2

2

=+-=l y xy x u 及点)1,1(P ,(1) 求l u ?? (2) 若l

u

??在P 处取得最大

值,求α

7.设),(y x z z =满足方程322=+-xy e z z

,且0)2,1(=z ,求)

2,1(dz

8.证明锥面221y x z ++=上任一点的切平面都经过其顶点

9.求周长为定值p 2的三角形,使它绕自己的一边旋转所产生的旋转体体积最大者