求三角形或四边形周长最小问题

三角形或者四边形周长最小问题

例一：已知直角坐标系中，A 、B 两点坐标分别为A （4，2）、B （-2，

4）、C 点在X 轴上，

求：⊿ ABC 周长最小时，C 坐标，并求出这个最小值。

解：画出坐标系如图，作B 点关于X 轴对称点E ，E 点坐标（-2，-4）。则，AE 直线方程式可列方程组如下，并交X 轴于点C 。

244(2)k b k b =+??-=-+?

×× 解得，K=1，b=-2，则直线AE 解析式为：y=x-2，C 点坐标为（2，0）。证明：

BC=EC ，AC=AC ，当E 、C 、A 三点共线时，AC+EC 最短。 又因为，AB 长是固定值，对周长的大小不具备影响。

所以⊿ ABC 周长最小时，指点B 关于X 轴的对称点与点A 的连线的交点，就是所求的坐标C 点。

⊿ ABC 周长最小值=AE+AB+BC

例二：已知直角坐标系中矩形OABC ，坐标点分别为O （0，0）、A （4，0）、C 点（0，2）且D 点为OC 中点，E 、F 分别是OA 上的动点，且EF=2，求：四边形DEFB 周长最小时，E 、F 坐标，并求出这个最小值。

解：画出坐标系如图，过点D 做D 点关于X 轴对称点P ，则P 点坐

标（0，-1），过点B沿BC方向平移两个单位，该点坐标H（2，2）。连结PH，交动点所在轴X轴于点E，则E点就是所求周长最小值所在的动点位置。将该点E沿X轴正方向平移两个单位，就是F点所在位置。

证明：

D点与P点对称，所以DE=PE；

又因为HB//=EF，所以BF=HE

所以，DE+BF=PE+EH，又因为，PEH在一条直线上，

根据“两点之间线段最短”公理，所以点E，就是所求动点在周长最小时所在位置。

P（0，-1），H（2，2），则直线PH解析式为：y=3

2

x-1，设点E横坐标为x，则E点坐标为E（x，0），当y=0时，就

是其与X轴的交点，代入解得，x=2

3，即点E（2

3

，0），点F（8

3

，0），

经检算，点E、F都在OA范围内，答案有效。

四边形DEFB周长

=

例三：已知边长为4的等边三角形ABC中，点D为AB点中点，M、N分别为AC、BC边上的动点，求⊿DMN周长最小值。

分析：上两道题，都是运用“两点之间线段最短”公理，将两未知边，合在一边直线上。本题有两个动点，一个定点，因此很可能，要将该定点用两次。

解：以点D为原点，AB边所在直线为X轴，建立直角坐标系。作点D关于AC、AB为对称轴的对称点，分别为E、F，根据对称轴的性质可知，AC垂直平分DE，因此AC为ED的中垂线的一段。根据中垂线性质定理：线段垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等，可得ME=MD，同理可得NF=ND，因此就将⊿DMN三边放在同一条直线上，即EF=⊿DMN周长。

因为AD=2，∠A=60°所以ADE=30°所以

横坐标为-3，即点E坐标为（-3。同理可得

点E

点F坐标为（3

。则EF=6

即⊿DMN周长最小值=6

总结：

1、方法：解三角形或者四边形周长最小值，只能用几何法。

2、原理：两点之间线段最短。

3、思路：将两条或者三条未知线段放在同一直线上，固定长

线段不用多管，只是算周长时要记得加上。

4、手段：做已知固定点的对称点，对称轴就是动点所在直线。

5、必记：一定要有证明过程，一定要验算结果。

附录：代数法解此类题所暴露出来的问题

二次函数专题训练(三角形周长最值问题)含问题详解

1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式； （2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值； （3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．

2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E． （1）求直线AD的解析式； （2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值； （3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM 重合部分的面积是?APQM面积的时，求?APQM面积．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值； （3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

苏州市2019年中考《坐标系中三角形周长最小值问题》复习指导

利“刃”在手亿“折”成“直” —例析坐标系中三角形周长最小值问题 在近几年的各地中考中，与线段相关的最值问题频频出现，已然成为一道亮丽的风景线.而其中以平面直角坐标系为载体来设计三角形周长最小值问题，更是中考命题所关注的热点之一本文以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，供参考. 1.三角形的三个顶点中仅有一个顶点是动点 例1 (2019年河南省，有改动)如图1，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A 、C 间的一个动点(含端点)，过点P 作PF BC ⊥于点F .点D 、E 的坐标分别为(0,6),(-4,0)，连接,,PD PE DE .是否存在点P ，使PDE ?的周长最小?若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由. 分析 存在.理由:易求抛物线的解析式为2188y x =- +.设21 (,8)8 P m m -+(80)m -≤≤， 则2221118(8),2888PF m m PD m =--+===+，故2PD PF =+, PDE ?的周长=2DE EP PD DE EP PF ++=+++. 如图2，过E 点作EG BC ⊥于点G .当,,E P F 三点共线，即点P 为EG 与抛物线的交点时， EP PF +的值最小，此时21 4,(4)868 P E P x x y ==-=-?-+=，所以PDE ?周长最小时点P 的坐标为 (-4,6). 点评 本例三角形的三个顶点中，点P 为动点，点,D E 均为定点.由于DE 的长为定值，欲使PDE ?的周长最小，只需满足PD PE +的值最小即可.进而利用“点P 运动的过程中，PD 与PF 的差为定值”这一有力武器，将问题转化为“求定直线BC 上一动点F 与直线外一定点E 的距离的最小值”，最终借助“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”确定点P 的位置. 例2 (2019年山西省，有改动)如图3，在平面直角坐标系中，抛物线2 23y x x =-++与x 轴交于A 、 B 两点，与y 轴交于点 C ，点 D 是该抛物线的顶点.请在直线AC 上找一点M ，使BDM ?的周长最小， 求出M 点的坐标. 分析 易知(1,0),(3,0),(0,3),(1,4)A B C D -，故4,10AB AC ===，直线AC 的解析式为33y x =+.

二次函数及三角形周长,面积最值问答

二次函数与三角形周长，面积最值问题 知识点：1、二次函数线段，周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题 【新授课】 考点1：线段、周长问题 例1.(2018·宜宾)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1）， 如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。

练习 1、如图，已知二次函数24 =-+的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）． y ax x c （1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出y x O A B

2、如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC ∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C （0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，求线段DE长度的最大值；

练习 1x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，1、如图，抛物线y= 2 0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标； ⑵判断△ABC的形状，证明你的结论； ⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值． （4）过点F作FG垂直X轴，并与直线BC交于点H，求FH的最大值。

专题24解三角形中的最值、范围问题(解析版)

专题24 解三角形中的最值、范围问题 解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意2 2 ,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===，其中为ABC V 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网 例如：（1）2 2 2 2 2 2 sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=?+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=?+=（恒等式） （3） 22sin sin sin bc B C a A = 2、余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 变式：()()2 2 21cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值 4、三角形中的不等关系 （1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 （2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系： sin sin cos cos a b A B A B A B >?>?>?<

周长最小值专题(完整版师用)

周长最小值专题（完整版师用） A.线段和最小值 两种基本模型 如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？ 求线段和最小值的一般步骤： ①选点P所在直线l为对称轴；画出点A的对称点A’ ②连结对称点A’与B之间的线段，交直线l于点P， 点P即为所求的点，线段A’B的长就是AP+BP的最小值。 基本解法::利用对称性,将“折”转“直”

基础训练 1.如图11，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为 A.1 B. C. D.2 试题分析：连接AC，与MN所得交点即为所求P点，因为D与A关于MN对称，的最小值即符合两点之间线段最短，所以AC与MN交点即为所求P点。因为，，所以，所以，所以，此时，所以，即 2. 如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是________。 图4 分析：首先分解此图形，构建如图5模型，因为E、B在直线AC 的同侧，要在AC上找一点P，使PE+PB最小，关键是找出点B或E关于AC的对称点。如图6，由菱形的对称性可知点B和D关于AC对称，连结DE，此时DE即为PE+PB的最小值， 图5 图6

由∠BAD=60°，AB=AD ，AE=BE 知， 322 3DE =?= 故PE+PB 的最小值为 3。 2.如图，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点，若⊙O 的半径长为1，则AP+BP 的最小值为___。 P 位于A ′B 与MN 的交点处，AP+BP 的值最小； 作A 关于MN 的对称点A ′，根据圆的对称性，则A ′必在圆上， 连接BA ′交MN 于P ，连接PA ，则PA+PB 最小，此时PA+PB=PA ′+PB=A ′B ，连接OA 、OA ′、OB ， B.三角形周长最小值 1.彰州）如图4，∠AOB=45°，P 是∠AOB 一点，PO=10， （彰州）如图4，∠AOB=45°，P 是∠AOB 一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值． 分析：点P 是角部的一个定点，要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形周长最小，只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条折线． 解：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连结P 1P 2， 根据轴对称性易知：OP 1=OP 2=OP=10，∠P 1OP 2=2∠AOB=90°，因而P 1P 2=102， 故△PQR 周长的最小值为102． 2.如图，抛物线y=-x2+bx+c 与x 轴交于A(1，0)，B(-3，0)两点， P 2 P 1 O A B P R Q O 图4

解三角形中相关的取值范围问题

解决与三角形相关的取值范围问题 例1：在锐角ABC 中，2A B =，则c b 的取值范围是 例2：若ABC 的三边,,a b c 成等比数列，,,a b c 所对的角依次为,,A B C ，则sin cos B B +的取值范围是 例3：在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列。（1）求B 的大小。 （2）若5b =，求ABC 周长的取值范围。 例4：在ABC 中，2222 3a b c ab +=+，若ABC ，则ABC 的面积的最大值为

例5：（2008，江苏）满足 2,AB AC =的ABC 的面积的最大值是 例6：已知角,,A B C 是ABC 三个内角，,,a b c 是各角的对边，向量 (1cos(),cos )2A B m A B -=-+， 5(,cos )82A B n -=，且98 m n ?= （1）求tan tan A B ?的值。 （2）求 222 sin ab C a b c +-的最大值。 通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力，是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮助。 巩固练习 1．在ABC 中，2,1a c ==，则C ∠的取值范围为 2．若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的取值范围是

二次函数与三角形周长,面积最值问题

知识点：1、二次函数线段，周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题 【新授课】 考点1：线段、周长问题 例1.(2018·宜宾)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1）， 如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。 练习 1、如图，已知二次函数24 y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐

标． 2、如图，抛物线y =ax 2-5ax +4（a ＜0）经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC =BC ． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使|MA -MB |最大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0， 3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE ⊥BC 于E ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，求线段DE 长度的最大值；

练习 1、如图，抛物线y =2 1x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论； ⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值． （4）过点F 作FG 垂直X 轴，并与直线BC 交于点H ，求FH 的最大值。 2、 如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x = -与抛物线214 y x bx c =-++交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为-8． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E ．设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值．

高考大题---解三角形中有关最值问题的题型汇总

解三角形中有关最值问题的题型汇总 1.（2010年浙江高考）在ABC ?中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，设S 为ABC ?的面积，满足)(4 3222c b a S -+=。 （1）求角C 的大小； （2）求B A sin sin +的最大值。 2（2011年湖南高考）在ABC ?中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，且满足C a A c sin sin = （1） 求角C 的大小； （2） 求)4cos(sin 3π +-B A 的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小。 3.（2011年全国新课标2）在ABC ?中，?=60B ，AC=3，求AB+2BC 的最大值。 4.（2012太原模拟）ABC ?中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，设向量),(a b a c m --=→，),(c b a n +=→，若→m 平行于→n 。 （1）求角B 的大小； （2）求C A sin sin +的最大值。 5（2012年浙江宁波模拟）已知函数θθπ2cos )4( sin 32)(2-+=x f ，A 为ABC ?中的最小内角，且满足32)(=A f 。 （1）求角A 的大小； （2）若BC 边上的中线长为3，求ABC S ?的最大值。 6. （2013年全国新课标2）在ABC ?中，c b a ,,C B A 所对的边分别为 ，，角，已知B c C b a sin cos += （1）求B ； （2）若b=2, 求ABC S ?的最大值。

7（2014年陕西高考）在ABC ?中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角。 （1）若c b a ,,成等差数列，证明sinA+sinC=2sin(A+C); （2）若c b a ,,成等比数列，求cosB 的最小值。 8.(2015年山东高考)设)4(cos cos sin )(2π+ -=x x x x f （1）求)(x f 的单调区间； （2）在锐角ABC ?中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，若)2(A f =0，a=1，求ABC S ?的最大值。 9.（2016年北京高考）在ABC ?中，ac b c a 2222+=+ （1）求角B 的大小； （2）C A cos cos 2+求的最大值。 10（2016高考山东理数）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A +=+ （Ⅰ）证明：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC 的最小值． 11．（2016河南中原名校一联，理10）在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ， c ，已知向量()cos ,cos m A B = ，(),2n a c b =- ，且//m n ． （1）求角A 的大小； （2）若4=a ，求ABC S ?的最大值。 12.（2016绥化模拟）在ABC ?中，232cos 2 --x x C 是方程的一个根。 （1）求角C ； （2）当a+b=10时，求ABC ?周长的最小值。

专题24解三角形中的最值、范围问题(解析版)

专题24 解三角形中的最值、范围问题解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角” “角转边”，另外要注意a c,ac,a2 c 2三者的关系 . 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式” ，其中的核心是“变角” ，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式 . a b c 1、正弦定理：2R，其中R为ABC 外接圆的半径 sin A sinB sinC 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化 . 其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征 . 如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行学/科-+ 网 2 2 2 2 2 2 例如：（1） sin A sin B sin AsinB sin C a b ab c （2）bcosC ccosB a sin B cosC sinC cosB sin A （恒等式） bc sin B sinC （3） a 2 sin 2 A a sin A 2、余弦定理：a2 b2 c2 2bc cos A 22 变式：a2b c 2bc 1 cosA 此公式在已知a, A的情况下，配合均值不等式可得到 b c和bc 的 最值 4、三角形中的不等关系 （1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可 . 由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 （2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系： a b A B sinA sinB cosA cosB 其中由A B cosA cosB 利用的是余弦函数单调性，而A B sinA sinB 仅在一个三角形内有效. 5 、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值） （2）利用均值不等式求得最值

中考数学指导复习例析坐标系中三角形周长最小值问题练习

—例析坐标系中三角形周长最小值问题 在近几年的各地中考中，与线段相关的最值问题频频出现，已然成为一道亮丽的风景线.而其中以平面直角坐标系为载体来设计三角形周长最小值问题，更是中考命题所关注的热点之一本文以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，供参考. 1.三角形的三个顶点中仅有一个顶点是动点 例1 (2015年河南省，有改动)如图1，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A 、C 间的一个动点(含端点)，过点P 作PF BC ⊥于点F .点D 、E 的坐标分别为(0,6),(-4,0)，连接,,PD PE DE .是否存在点P ，使PDE ?的周长最小?若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由. 分析 存在.理由:易求抛物线的解析式为2188 y x =-+.设21(,8)8 P m m -+(80)m -≤≤， 则2221118(8),2888PF m m PD m =--+===+，故2PD PF =+, PDE ?的周长=2DE EP PD DE EP PF ++=+++. 如图2，过E 点作EG BC ⊥于点G .当,,E P F 三点共线，即点P 为EG 与抛物线的交点时，EP PF +的值最小，此时2 14,(4)868P E P x x y ==-=-?-+=，所以PDE ?周长最小时点P 的坐标为(-4,6). 点评 本例三角形的三个顶点中，点P 为动点，点,D E 均为定点.由于DE 的长为定值，欲使PDE ?的周长最小，只需满足PD PE +的值最小即可.进而利用“点P 运动的过程中，PD 与PF 的差为定值”这一有力武器，将问题转化为“求定直线BC 上一动点F 与直线外一定点E 的距离的最小值”，最终借助“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”确定点P 的位置. 例2 (2012年山西省，有改动)如图3，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点.请在直线AC 上找一点M ，使BDM ?的周长最小，求出M 点的坐标. 分析 易知(1,0),(3,0),(0,3),(1,4)A B C D -，故4,10AB AC ===，直线AC 的解析式为33y x =+. 如图4，作点B 关于直线AC 的对称点B '，连接B D ',交AC 于点M ，则BDM ?即为符合题意的周长最小的三角形.(证明如下:不妨在直线AC 上取异于点M 的任一点M '，

二次函数专题训练(三角形周长最值问题)含答案(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】 1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．

2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E． （1）求直线AD的解析式； （2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△P M Q′与□APQM重合部分的面积是?APQM面积的时，求?APQM面积．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），

且OC=OB，tan∠ACO=． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值； （3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

三角形中的最值问题

第42课 三角形中的最值问题 考点提要 1．掌握三角形的概念与基本性质． 2．能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数，解决三角形中的最值问题． 基础自测 1．（1）△ABC 中，cos A A =，则A 的值为 30° 或90° ； （2）△ABC 中，当A= 3π 时，cos 2cos 2B C A ++取得最大值 3 2 ． 2．在△ABC 中，m m m C B A 2:)1(:sin :sin :sin +=，则m 的取值范围是 2 1 >m ． 解 由m m m c b a C B A 2:)1(:::sin :sin :sin +==， 令mk c k m b mk a 2,)1(,=+==，由b c a c b a >+>+,，得2 1>m ． 3．锐角三角形ABC 中，若A=2B ，则B 的取值范围是 30o＜B ＜45o ． 4．设R ，r 分别为直角三角形的外接圆半径和内切圆半径，则 r R 1． 5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的边长分别是,,a b c ，若23b ac =，则B 的取值范围是 0°＜B ≤120° ． 6．在△ABC 中，若A>B ，则下列不等式中，正确的为 ①②④ ． ①A sin >B sin ； ②A cos B 2sin ； ④A 2cos B ?a >b A R sin 2?>B R sin 2?A sin >B sin ，故①正确； A cos < B cos ?)2sin(A -π<)2 sin(B -π ?A>B ，故②正确（或由余弦函数 在(0,)π上的单调性知②正确）； 由A 2cos B sin ?A>B ，故④正确． 知识梳理 1．直角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的边长分别是,,a b c ，C=90°，若内切圆的半径为r ，则2 a b c r +-= ． 2．在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础，起到工具性的作用．它们在处理三角形中的三角函数的求值、化简、证明、判定三角形的形状及解三角形等问题中

求三角形或四边形周长最小问题

三角形或者四边形周长最小问题 例一：已知直角坐标系中，A 、B 两点坐标分别为A （4，2）、B （-2， 4）、C 点在X 轴上， 求：⊿ ABC 周长最小时，C 坐标，并求出这个最小值。 解：画出坐标系如图，作B 点关于X 轴对称点E ，E 点坐标（-2，-4）。则，AE 直线方程式可列方程组如下，并交X 轴于点C 。 244(2)k b k b =+??-=-+? ×× 解得，K=1，b=-2，则直线AE 解析式为：y=x-2，C 点坐标为（2，0）。证明： BC=EC ，AC=AC ，当E 、C 、A 三点共线时，AC+EC 最短。 又因为，AB 长是固定值，对周长的大小不具备影响。 所以⊿ ABC 周长最小时，指点B 关于X 轴的对称点与点A 的连线的交点，就是所求的坐标C 点。 ⊿ ABC 周长最小值=AE+AB+BC 例二：已知直角坐标系中矩形OABC ，坐标点分别为O （0，0）、A （4，0）、C 点（0，2）且D 点为OC 中点，E 、F 分别是OA 上的动点，且EF=2，求：四边形DEFB 周长最小时，E 、F 坐标，并求出这个最小值。 解：画出坐标系如图，过点D 做D 点关于X 轴对称点P ，则P 点坐

标（0，-1），过点B沿BC方向平移两个单位，该点坐标H（2，2）。连结PH，交动点所在轴X轴于点E，则E点就是所求周长最小值所在的动点位置。将该点E沿X轴正方向平移两个单位，就是F点所在位置。 证明： D点与P点对称，所以DE=PE； 又因为HB//=EF，所以BF=HE 所以，DE+BF=PE+EH，又因为，PEH在一条直线上， 根据“两点之间线段最短”公理，所以点E，就是所求动点在周长最小时所在位置。 P（0，-1），H（2，2），则直线PH解析式为：y=3 2 x-1，设点E横坐标为x，则E点坐标为E（x，0），当y=0时，就 是其与X轴的交点，代入解得，x=2 3，即点E（2 3 ，0），点F（8 3 ，0）， 经检算，点E、F都在OA范围内，答案有效。 四边形DEFB周长 = 例三：已知边长为4的等边三角形ABC中，点D为AB点中点，M、N分别为AC、BC边上的动点，求⊿DMN周长最小值。

福建省泉州第五中学高三数学：微专题《隐含圆的解三角形最值问题》教学设计

微专题《隐含圆的解三角形最值问题》教学设计 泉州五中数学组教学内容：《隐含圆的解三角形最值问题》 课型：复习课 设计理念：以学生发展为本，体现学生主体地位；以学科素养为根，培养数学运算能力。 一、教学内容分析 本节课是在系统复习《解三角形》之后进行的微专题教学，主要针对解三角形中的最值问题，是对《解三角形》的进一步深化、提升。爱因斯坦曾说:提出一个问题往往比解决一个问题更为重要。本节课将以两类隐藏圆的三角形为背景设置最值问题，从试题编拟的视角进行演绎并呈现于课堂，从中总结、归纳解三角形中求最值的常见思路、方法．通过本节课的学习可以从命题的角度居高临下地认识解三角形最值问题，从而让学生学会在制高点处思考、解题．同时，本节课也将渗透逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等数学素养．因此，学好本节课将有利于学生形成规律性的知识网络和提高数学思维能力． 二、学习者特征分析 学生已经系统复习并掌握了三角函数的性质、三角恒等变换及解三角形等知识，为微专题《解三角形的最值问题》的复习奠定了基础。同时，学生的思维普遍活跃，对进一步探索解三角形中的最值问题有了比较浓厚的兴趣，有了较强的求知欲望．但学生的学习仅仅停留于解题，往往只能就题论题，且从未曾以命题者的角度研究过试题，未能迅速洞察问题的本质。 三、教学目标设计 本着教学内容的特点和高三学生的认知能力与数学思维特征，设定的教学目标为：能较熟练地应用正余弦定理解三角形；能较熟练应用三角函数的性质、基本不等式、导数等求解最值问题。在经历解题视角的变换中，突破成规，感受数学的系统特征、辩证特征、开放特征；在经历编制试题的过程中，培养勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，从而树立科学的治学态度。并通过例题与变式题的解题训练，使数学解题意志、习惯和个性素养得以发展。 四、教学重难点设计 基于教材内容的地位、课程标准的要求、根据学生的认知水平和学习经验，确定本节课的学习重难点：

人教版必修五解三角形精选难题及其答案

人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.锐角中，已知，则的取值范围是 A. B. C. D. 2.在中，角的对边分别为，且满足，则 的形状为 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 3.在中，，则的 值等于 A. B. C. D. 4.在中，有正弦定理：定值，这个定值就是的外 接圆的直径如图2所示，中，已知，点M在直线EF上从左到右运动点M不与E、F 重合，对于M的每一个位置，记的外接圆面积与 的外接圆面积的比值为，那么 A. 先变小再变大 B. 仅当M为线段EF 的中点时，取得最大值 C. 先变大再变小 D. 是一个定值 5.已知三角形ABC 中，边上的中线长为3，当三角形ABC的面积最大 时，AB 的长为 A. B. C. D. 6.在中，分别为内角所对的边，，且满足 若点O 是外一点，，平面四边形OACB 面积的最大值是 A. B. C. 3 D. 7.在中，，则使有两解的x 的范围是 A. B. C. D. 8.的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，则 的面积为 A. B. C. D. 1 1 / 19

9.在中，若，则是 A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 10.在中，已知分别为的对边，则为 A. B. 1 C. 或1 D. 11.设锐角的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且， 则b的取值范围为 A. B. C. D. 12.在中，内角所对边的长分别为，且满足 ，若，则的最大值为 A. B. 3 C. D. 9 二、填空题（本大题共7小题，共35.0分） 13.设的内角所对的边分别为且，则角A的大小 为______ ；若，则的周长l的取值范围为______ ． 14.在中，所对边的长分别为已知 ，则______ ． 15.已知中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则 的形状是______ ． 16.在中，若，则的形状为______ ． 17.在中，角的对边分别为，若， 且，则______ ． 18.如果满足的三角形恰有一个，那么k的取值范围是 ______ ． 19.已知的三个内角的对边依次为，外接圆半径为1，且满足 ，则面积的最大值为______ ． 三、解答题（本大题共11小题，共132.0分） 20.在锐角中，是角的对边，且． 求角C的大小； 若，且的面积为，求c的值．

三角形周长最小值专题

三角形周长最小值专题 A.线段和最小值 两种基本模型 如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？ 求线段和最小值的一般步骤： ①选点P所在直线l为对称轴；画出点A的对称点A’ ②连结对称点A’与B之间的线段，交直线l于点P， 点P即为所求的点，线段A’B的长就是AP+BP的最小值。 基本解法::利用对称性,将“折”转“直”

基础训练 1.如图11，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为 A.1 B. C. D.2 试题分析：连接AC，与MN所得交点即为所求P点，因为D与A关于MN对称，的最小值即符合两点之间线段最短，所以AC与MN交点即为所求P点。因为，，所以，所以，所以，此时 ，所以，即 2. 如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是________。 图4 分析：首先分解此图形，构建如图5模型，因为E、B在直线AC 的同侧，要在AC上找一点P，使PE+PB最小，关键是找出点B或E

关于AC 的对称点。如图6，由菱形的对称性可知点B 和D 关于AC 对称，连结DE ，此时DE 即为PE+PB 的最小值， 图5 图6 由∠BAD=60°，AB=AD ，AE=BE 知， 322 3 DE =?= 故PE+PB 的最小值为 3。 2.如图，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点，若⊙O 的半径长为1，则AP+BP 的最小值为__ _。 P 位于A ′B 与MN 的交点处，AP+BP 的值最小； 作A 关于MN 的对称点A ′，根据圆的对称性，则A ′必在圆上， 连接BA ′交MN 于P ，连接PA ，则PA+PB 最小，此时PA+PB=PA ′+PB=A ′B ，连接OA 、OA ′、OB ，

高中数学专题：解三角形中的最值问题

解三角形中的最值问题 解三角形中的最值问题有两种解题思路： 1. 转化为三角函数求最值问题，有两个转化方法： （1）利用正弦定理将边转化为角的正弦值，A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=. （2）利用三角形内角和和诱导公式进行角的转化，C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+，C B A tan )tan(-=+. 最终转化为一个角的三角函数形式，求其最值. 2. 转化为利用均值不等式（ab b a 222≥+）求最值问题，主要与余弦定理或其推论相结合，求三角形面积的最大值，或某一个内角余弦值的最小值. 一．转化为三角函数求最值问题. 例1.（2016年北京卷理科15题） 在ABC ?中，ac b c a 2222+=+. （1）求B 的大小； （2）求C A cos cos 2+的最大值. 解：（1）ac b c a 2222=-+，则由余弦定理得： 22222cos 222==-+=ac ac ac b c a B ，4 π=B ， （2） )4cos(cos 2)cos(cos 2cos cos 2π +-=+-=+A A B A A C A

A A A A A sin 2 2cos 22sin 22cos 22cos 2+=+-= 1)4 sin(≤+=πA 当24π π =+A 时，C A cos cos 2+取最大值，为1. 例2.（2011年全国卷理科16题） 在ABC ?中， 60=B ，3=AC ，则BC AB 2+的最大值为 . 解：设3==AC b ，AB c =，BC a =， 由正弦定理得：22 3 3sin sin sin ====C c B b A a ， 则A a sin 2=，C c sin 2=， 所以A B A A C a c BC AB sin 4)sin(2sin 4sin 222++=+=+=+ A A A A A A A cos 3sin 5sin 4cos 3sin sin 4)60sin(2+=++=++= 72)sin(72≤+=?A ；（其中5 3tan =?）， 当1)sin(=+?A 时，BC AB 2+取最大值，为72. 例3.（2018年北京卷文科14题） 若ABC ?的面积为)(43222b c a -+，且C 为钝角，则=B ；a c 的取值范围是 . 解：由余弦定理得B ac b c a cos 2222=-+， 所以B ac B ac S cos 243sin 21?==，则3tan =B ，所以3 π=B ， 由正弦定理得：

专题 与解三角形有关的最值问题

与解三角形有关的最值问题 与三角形有关的最值问题主要涉及求三角函数值最值，边长的最值，面积、向量的最值．解决这类的问题方法有：一、 将所给条件转化为三角函数，利用三角函数求解最值； 二、 将所给条件转化为边，利用基本不等式或者函数求解最值；三、 建立坐标系，求出动点的轨迹方程，利用几何意义求解最值；四、 多元问题可消元后再用上述方法求解．如2018年T14就是与解三角形有关的最值问题． 例1在△ABC 中，已知A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＋2c 2 ＝8，则△ABC 面积的最大值为________． 例2在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B . (1) 求角C 的大小； (2) 若△ABC 的外接圆直径为1，求a 2＋b 2＋c 2的取值范围． 思维变式题组训练 1. 在△ABC 中，已知2cos 2A 2＝33sin A ，若a ＝23，则△ABC 周长的取值范围为________． 2. 在△ABC 中，若sin C ＝2cos A cos B ，则cos 2A ＋cos 2 B 的最大值为________． 3. 在锐角三角形 ABC 中，已知2sin 2 A ＋ sin 2B ＝ 2sin 2C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为________．

4. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，b )，n ＝(cos A ，cos B )， p ＝? ?? ??22sin B ＋C 2，2sin A ，若m ∥n ，|p |＝3. (1) 求角A ，B ，C 的值； (2) 若x ∈? ?????0，π2，求函数f (x )＝sin A sin x ＋cos B cos x 的最大值与最小值． 与解三角形有关的最值问题 与三角形有关的最值问题主要涉及求三角函数值最值，边长的最值，面积、向量的最值．解决这类的问题方法有：一、 将所给条件转化为三角函数，利用三角函数求解最值； 二、 将所给条件转化为边，利用基本不等式或者函数求解最值；三、 建立坐标系，求出动点的轨迹方程，利用几何意义求解最值；四、 多元问题可消元后再用上述方法求解．如2018年T14就是与解三角形有关的最值问题． 例1在△ABC 中，已知A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＋2c 2 ＝8，则△ABC 面积的最大值为________． 例2在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B . (1) 求角C 的大小； (2) 若△ABC 的外接圆直径为1，求a 2＋b 2＋c 2的取值范围．

中考《坐标系中三角形周长最小值问题》复习指导

利“刃”在手亿“折”成“直” —例析坐标系中三角形周长最小值问题 在近几年的各地中考中，与线段相关的最值问题频频出现，已然成为一道亮丽的风景线.而其中以平面直角坐标系为载体来设计三角形周长最小值问题，更是中考命题所关注的热点之一本文以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，供参考. 1.三角形的三个顶点中仅有一个顶点是动点 例1 (2015年河南省，有改动)如图1，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A 、C 间的一个动点(含端点)，过点P 作PF BC ⊥于点F .点D 、E 的坐标分别为(0,6),(-4,0)，连接,,PD PE DE .是否存在点P ，使PDE ?的周长最小?若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由. 分析 存在.理由:易求抛物线的解析式为2188 y x =-+.设21(,8)8 P m m -+(80)m -≤≤， 则2221118(8),2888PF m m PD m =--+===+，故2P D P F =+, PDE ?的周长=2DE EP PD DE EP PF ++=+++. 如图2，过E 点作EG BC ⊥于点G .当,,E P F 三点共线，即点P 为EG 与抛物线的交点时，EP PF +的值最小，此时214,(4)868P E P x x y ==-=-?-+=，所以PDE ?周长最小时点P 的坐标为(-4,6). 点评 本例三角形的三个顶点中，点P 为动点，点,D E 均为定点.由于DE 的长为定值，欲使PDE ?的周长最小，只需满足PD PE +的值最小即可.进而利用“点P 运动的过程中，PD 与PF 的差为定值”这一有力武器，将问题转化为“求定直线BC 上一动点F 与直线外一定点E 的距离的最小值”，最终借助“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”确定点P 的位置. 例2 (2012年山西省，有改动)如图3，在平面直角坐标系中，抛物线2 23y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点.请在直线AC 上找一点