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广东省珠海市金海岸中学高考数学复习专题讲座构建数学模型解数列综合题和应用性问题

广东省珠海市金海岸中学高三数学复习专题讲座构建

数学模型解数列综合题和应用性问题

高考要求

纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度重难点归纳

1 解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题

2 纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关

(1)事理关需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力

(2)文理关需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系

(3)事理关在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力

典型题例示范讲解

例1从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少

1，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业

的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加4

(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n

万元，写出a n ,b n 的表达式；

(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

命题意图本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型

知识依托本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点

错解分析 (1)问a n 、b n 实际上是两个数列的前n 项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差

技巧与方法正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧解 (1)第1年投入为800万元，

第2年投入为800×(1－51)万元，… 第n 年投入为800×(1－

1)n －1万元，

所以，n 年内的总投入为

a n =800+800×(1－

1)+…+800×(1－

51)n －1

=∑=n

k 1

800×(1－

k －1

=4000×［1－(5

4)n

］

第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+4

1)，…，

第n 年旅游业收入400×(1+

41)n －1万元

所以，n 年内的旅游业总收入为

b n =400+400×(1+

1)+…+400×(1+

1)k －1

=∑=n

k 1

400×(

5)k －1=1600×［(4

5)n －1］

(2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即1600×［(

5)n －1］－4000×［1－(

4)n ］＞0，

令x =(

54)n ，代入上式得 5x 2－7x +2＞0

解此不等式，得x ＜5

2，或x ＞1(舍去)

即(

4)n ＜

2，由此得n ≥5

∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入

例2已知S n =1+3

+…+

n 1,(n ∈N *

)，设f (n )=S 2n +1－S n +1,试确定实数m

的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n ，不等式

f (n )＞［lo

g m (m －1)］2－20

11［log (m －1)m ］2

恒成立

命题意图本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较

强的综合分析问题、解决问题的能力

知识依托本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙错解分析本题学生很容易求f (n )的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理

技巧与方法解决本题的关键是把f (n )(n ∈N *)看作是n 的函数，此时不等式的恒成立就转化为

函数f (n )的最小值大于［log m (m －1)］2－20

11［log (m －1)m ］2

解 ∵S n =1+

121++…+

1 (n ∈N *

)

213

(

212

21(

223

212

21213212

)()1(1213121

)(112>+-

+++-

+=+-

+-++

+=-++++++

+=-=∴++n n n n n n n n n n n f n f n n n S S n f n n 又

∴f (n +1)＞f (n )

∴f (n )是关于n 的增函数 ∴f (n ) min =f (2)=

93212

21=++

∴要使一切大于1的自然数n ，不等式

f (n )＞［lo

g m (m －1)］2－

11［log (m －1)m ］2

恒成立

只要

9＞［log m (m －1)］2－20

11［log (m －1)m ］2成立即可

由??

?≠->-≠>1

1,011,0m m m m 得m ＞1且m ≠2

此时设［log m (m －1)］2

=t 则t ＞0

于是??

??>->02011209

t t 解得0＜t ＜1

由此得0＜［log m (m －1)］2＜1 解得m ＞

1+且m ≠2

例 3 已知二次函数y =f (x )在x =2

2+t 处取得最小值－

(t ＞

0),f (1)=0

(1)求y =f (x )的表达式；

(2)若任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1［g (x )］为多项式，

n ∈N *),试用t 表示a n 和b n ；

(3)设圆C n 的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2

，圆C n 与C n +1外切(n =1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求r n 、S n

解 (1)设f (x )=a (x －

2+t )2

－

，由f (1)=0得a =1

∴f (x )=x 2－(t +2)x +t +1

(2)将f (x )=(x －1)［x －(t +1)］代入已知得 (x －1)［x －(t +1)］g (x )+a n x +b n =x n +1，上式对任意的x ∈R 都成立，

取x =1和x =t +1分别代入上式得

???+=++=++1

)1()1(1

n n n n n t b a t b a 且t ≠0，解得a n =t

1［(t +1)n +1－1］，b n =

t 1+［1－(t +1]n )

(3)由于圆的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，

又由(2)知a n +b n =1，故圆C n 的圆心O n 在直线x +y =1上，

又圆C n 与圆C n +1相切，故有r n +r n +1=2｜a n +1－a n ｜=2(t +1)n +1 设{r n }的公比为q ，则

112(1)2(1)n n n n n n r r q t r r q t ++++?+=+??+=+?? ①

②

②÷①得q =

n r r 1+=t +1，代入①得r n =

)1(21

+++t t n

∴S n =π(r 12+r 2

2+…+r n 2

)=3

221)

2()1(21

)

1(++π=

--πt t t q q

r n

［(t +1)2n

－1］

学生巩固练习

1 已知二次函数y =a (a +1)x 2－(2a +1)x +1，当a =1，2，…，n ，…时，其抛物线在x 轴上截得的线段长依次为d 1,d 2，…,d n ,…,则lim ∞

→n (d 1+d 2+…+d n )

的值是( )

A 1

B 2

C 3

D 4

2 在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2，4依次成等差数列，而1，y 1，y 2，8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是_________

3 从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升，然后再用水加满，再倒出b 升，再用水加满；这样倒了n 次，则容器中有纯酒精_________升

4 据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》 “2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7 3%，”如果“十·五”期间(2001年~2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元

5 已知数列{a n }满足条件 a 1=1,a 2=r (r ＞0),且{a n a n +1}是公比为q (q ＞0)的等比数列，设b n =a 2n －1+a 2n (n =1,2,…)

(1)求出使不等式a n a n +1+a n +1a n +2＞a n +2a n +3(n ∈N *)成立的q 的取值范围；

(2)求b n 和n

n S 1lim

∞

→，其中S n =b 1+b 2+…+b n ；

(3)设r =219 2－1，q =

1，求数列{

n b b 212log log +}的最大项和最小项的值

6 某公司全年的利润为b 元，其中一部分作为奖金发给n 位职工，奖金分配方案如下首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n 排序，第1位职工得奖金

b 元，然后再将余额除以n 发给第2位职工，

按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金 (1)设a k (1≤k ≤n )为第k 位职工所得奖金金额，试求a 2,a 3，并用k 、n 和b 表示a k (不必证明)；

(2)证明a k ＞a k +1(k =1,2,…,n －1),并解释此不等式关于分配原则的实

际意义；

(3)发展基金与n和b有关，记为P n(b),对常数b，当n变化时，求

P n(b)

lim

→

∞

7 据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7 4×108吨，占地562 4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问

(1)2001年回收废旧物资多少吨？

(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)？

(3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地？

8 已知点的序列A n(x n，0),n∈N,其中x1=0,x2=a(a＞0),A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，A n是线段A n－2A n－1的中点，…

(1)写出x n与x n－1、x n－2之间关系式(n≥3);

(2)设a n=x n+1－x n，计算a1,a2,a3，由此推测数列{a n}的通项公式，并加以证明；

x n

(3)求lim

→

∞

参考答案:

3 解析第一次容器中有纯酒精a －b 即a (1－

b )升，

第二次有纯酒精a (1－

b )－

b a a b a )

，即a (1－a

b )2升，故第n 次有纯酒精a (1－a

b )n 升

答案 a (1－

b )n

4 解析从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7 3%为公比的等比数列，∴a 5=95933(1+7 3%)4

≈120000(亿元) 答案 120000

5 解 (1)由题意得rq n －1+rq n ＞rq n +1

由题设r ＞0,q ＞0,故从上式可得 q 2－q －1＜0，解得2

1-＜q ＜

1+,

因q ＞0,故0＜q ＜25

1+;

(2)∵

0,2122122122212121

21≠=++=

++=∴==

---+++++++q a a q a q a a a a a b b q a a a a a a n

n n n n

n n

n n n n n

b 1=1+r ≠0，所以{b n }是首项为1+r ，公比为q 的等比数列，从而b n =(1+r )q n -1

当q =1时，S n =n (1+r ), 110;lim

lim

(1)n n n

S n r →∞

→∞

==+

(1)(1)

01,,1n

n r q q S q

+-<<=

-当时111;lim

lim

(1)(1)

n n n q q S r q r

→∞

--==

+-+

(1)(1)

1,,1n

n r q q S q

+->=

-当时 110,lim

lim

(1)(1)

n n n n

q S r q →∞

→∞

-==+-

1, (01)1

1lim 0, (1)

n n q

q r S q →∞-?<

=+??≥?

所以

(3)(2),(1)n n b r q

-=+由有

.2011log )1)(1(log log )1(log ]

)1[(log ])1[(log log log 22221

22212-+

=-+++=++=

-+n q

n r q n r q

r q r b b n n

n n b b C 212log log +=

记,从上式可知，

当n －20 2＞0，即n ≥21(n ∈N *)时，C n 随n 的增大而减小，故1＜C n ≤C 21=1+

8.0112

.20211+

=-=2 25 ①

当n －20 2＜0，即n ≤20(n ∈N *)时，C n 也随n 的增大而减小，故1＞C n ≥C 20=1+

.0112

.20201-

=-=－4 ②

综合①②两式知，对任意的自然数n 有C 20≤C n ≤C 21, 故{C n }的最大项C 21=2 25，最小项C 20=－4

7 解设a n 表示第n 年的废旧物资回收量，S n 表示前n 年废旧物资回收总量，则数列{a n }是以10为首项，1+20%为公比的等比数列

(1)a 6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(万吨) (2)S 6=

.016.1101

%)201(]

1%)

201[(106

=-+-+=99.2992≈99.3(万吨)

∴从1996年到2000年共节约开采矿石20×99 3≈1986(万吨)

(3）由于从1996年到2001年共减少工业废弃垃圾4×99.3=397.2(万吨)，

∴从1996年到2001年共节约

4.710

2.3974.562???≈3 平方公里

8 解 (1)当n ≥3时，x n =2

1--+n n x x ;

a x x x x x x x a a x x x x x x x a a x x a 41)2

1(21)(2

21)(212

,)2(2332

33421221

2232121=

=--

=-+=

-=-=--

=-+=-==-=

由此推测a n =(－

1)n -1

a (n ∈N )

证法一因为a 1=a ＞0,且

1111

1)(2

----+-

=-=

-+=

-=n n n n

n n n n n n n a x x x x x x x x x a (n ≥2)

所以a n =(－

1)n -1

上海市2019届高三数学理一轮复习专题突破训练：数列

上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练数列一、填空、选择题 1、（2016年上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 2、（2015年上海高考）记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（） A ．方程①有实根，且②有实根 B ．方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ．方程①无实根，且②无实根 3、（2014年上海高考）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞ =++ +，则q = . 4、（虹口区2016届高三三模）若等比数列{}n a 的公比1q q <满足，且24 344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞ ++ +=___________. 5、（浦东新区2016届高三三模）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 533S S =，则53 a a = 6、（杨浦区2016届高三三模）若两整数a 、 b 除以同一个整数m ，所得余数相同，即 a b k m -=()k Z ∈，则称a 、b 对模m 同余，用符号(mod )a b m ≡表示，若10(mod 6)a ≡(10)a >，满足条件的a 由小到大依次记为12,,,,n a a a ??????，则数列{}n a 的前16项和为 7、（黄浦区2016届高三二模）已知数列{}n a 中，若10a =，2i a k =*1 (,22,1,2,3, )k k i N i k +∈≤<=，则满足2100i i a a +≥的i 的最小值为 8、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足181a =，1 311log ,2, (*)3, 21n n n a a n k a k N n k ---+=?=∈?=+?，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 . 9、（闵行区2016届高三二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 2 2|2016|n S n a n （0a >），则使得1 n n a a +≤（n ∈* N ）恒成立的a 的最大值为 . 10、（浦东新区2016届高三二模）已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-?+，* n N ∈，则这个数列的前 n 项和n S =___________． 11、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连

高考文科数学数列经典大题训练(附答案)

1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =，（1）证明:数列{}n a 是等比数列；（2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． ; 2.（本小题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。

~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． % 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×．（1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式． {

、 ~

、 1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =，所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-，整理得14 3 n n a a -=． 5分由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ．所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分（2）解：因为14 ()3 n n a -=， ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9 分由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b

高考数学《数列》大题训练50题含答案解析

一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，

（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；（3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值；（2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5．（I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．

2011高考数学压轴题专题训练

2011高考数学压轴题专题训练--数列（36页WORD ）第六章数列高考题三、解答题 22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ （I ）设n n a b n = ，求数列{}n b 的通项公式（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 分析：（I ）由已知有 1112n n n a a n n +=++11 2 n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1 122 n n b -=-(* n N ∈) （II ）由（I ）知1 22n n n a n -=- , ∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n k k k k k -===-∑∑ 而 1 (2)(1)n k k n n ==+∑,又11 2n k k k -=∑ 是一个典型的错位相减法模型，易得 11 12 42 2n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 23.（2009北京理）已知数集{}()1212,, 1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与 j i a a 两数中至少有一个属于A . （Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；

高考数学数列大题训练答案版

高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前解析： (1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-，Q 1q ≠， ∴121, 2q q ==，∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2 n n n n T S -== （8分）当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a （2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a