求逆矩阵方法

1. 求逆矩阵方法的应用之一

例 解：

2．求逆矩阵方法的应用之二

利用矩阵的初等行变换也可以判断一个矩阵是否可逆，即分块矩阵(A ︱E )经过初等行变换，原来A 的位置不能变换为单位阵E ，那么A 不可逆。

例 解：

而上面分块矩阵的第一块第二行全为零，它不可能变换为单位矩阵，所以A 不可逆。

3．求逆矩阵方法的应用之三

对一般的矩阵方程 求解，我们可以先求1A - ，然后求X ＝1

A -

B 。

现在我们介绍另外一种方法求矩阵方程。

1112120,113A A -?? ?=- ? ???设求。112100120010113001A E ?? ?=- ? ???

（）2131r r r r +-112100032110001101?? ???→ ? ?-??110302030312001101?-? ???→- ? ?-??

132322r r r r --30211012010133001101??- ???→- ? ? ?-??313r 1423310012010133001101??-- ? ?→- ? ?- ???12r r -11423312133101A -??-- ? ??=- ? ?- ???112122145,41211111A A ----?? ?- ?= ? ?-??

设求。12121000214501004121001011110001A E ?---? ?- ?= ? ? ?-??（）12121000036921000969401001231001?---? ?- ?→ ?- ? ?-??12121000000011030969401001231001?---? ?- ?→ ?- ? ?-??AX B =

其实在推导求逆矩阵方法的过程就是求解矩阵方程的过程，因为求1

A -就是求解矩阵方程 的解，而对一般的矩阵方程 只要将 中的E 换成

B ，然后利

用初等行变换，即

其中的1

A -

B 即为所求矩阵方程 的X 。

例

解：

AX E =AX B =()A E ()()

122n n n n A B E A B -???????→ AX B =123252213134343A B AX B X ????

? ?=== ? ? ? ?????设，，若，求。123252213134343A B ?? ?= ? ???（）1232502519026212?? ?→---- ? ?----??102140251900113?--? ?→---- ? ?---??100320204600113?? ?→- ? ?---??1003

20102300113?? ?→-- ? ???132X 2313A B -?? ??==-- ? ???

总结求矩阵的逆矩阵的方法

总结求矩阵的逆矩阵的方法 课程名称： 专业班级： 成员组成： 联系方式：

摘要：矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快 捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 关键词：矩阵逆矩阵方法 Method of finding inverse matrix Abstract: Matrix in linear algebra is the main content,many prictical problems with the matrix theory is simple and fast. The inverse matrix andmatrix theory the important content, the solution of inverse matrix nature has become one of the main research contents of linear algebra. The paper will give some method of finding inverse matrix. Key words: Matrix inversematrix method

正文： 1.引言:矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 2.求矩阵的逆矩阵的方法总结： 2.1 矩阵的基本概念 矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩 阵中的位置。比如，或表示一个矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。 特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。 当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对 角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称 为单位矩阵，记为，即：。如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如， 是一个阶下三角矩阵，而则是一个阶上三角矩阵。今后我们用表示数域上的矩阵构成

逆矩阵的几种常见求法

逆矩阵的几种常见求法 潘风岭 摘 要 本文给出了在矩阵可逆的条件下求逆矩阵的几种常见方法，并对每种方法做了具体的分析和评价,最后对几种方法进行了综合分析和比较. 关键词 初等矩阵； 可逆矩阵 ； 矩阵的秩； 伴随矩阵； 初等变换． 1． 相关知识 1.1 定义1 设A 是数域P 上的一个n 级方阵，如果存在P 上的一个n 级方阵B ，使得AB=BA=E,则称A 是可逆的，又称A 是B 的逆矩阵．当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 唯一确定，记为1-A ． 定义2 设()ij n n A a ?=,由元素ij a 的代数余子式ij A 构成的矩阵 11 2111222212n n n n nn A A A A A A A A A ?? ? ? ? ??? 称为A 的伴随矩阵，记为A *. 伴随矩阵有以下重要性质 AA *= A *A=A E. 注:注意伴随矩阵中的元素ij A 的排列顺序. 1．2 哈密尔顿-凯莱定理

设A 是数域P 上的一个n n ?矩阵，f A λλ=E-（）是A 的特征多项式， 则 11122()10n n n nn f A A a a a A A E -=-++ ++ +-=（）（） (证明参见[1]） ． 1.3 矩阵A 可逆的充要条件 1.3.1 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 0≠（也即()rank A n =）; 1.3.2 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可写成一些初等矩阵的乘积（证明参见[1]）； 1.3.3 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换（特别只通过初等行或列变换）化为n 级单位阵（证明参见[1]）； 1.3.4 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是存在一个n 级方阵B ，使得AB=E （或BA=E ）； 1.3.5 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的n 个特征值全不为0；（证明参见[2]）； 1.3.6 定理 对一个s n ?矩阵A 作一初等行变换就相当于在A 的左边乘上相应的s s ?初等矩阵；对A 作一初等列变换就相当于在A 的右边乘上相应的n n ?初等矩阵.（证明参见[1]） 2．矩阵的求逆 2.1 利用定义求逆矩阵 对于n 级方阵A ，若存在n 级方阵B ，使AB=BA=E ，则1B A -=.

总结求矩阵的逆矩阵的方法

总结求矩阵的逆矩阵的方法-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

总结求矩阵的逆矩阵的方法 课程名称： 专业班级： 成员组成： 联系方式：

摘要：矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数 研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 关键词：矩阵逆矩阵方法 Method of finding inverse matrix Abstract: Matrix in linear algebra is the main content,many prictical problems with the matrix theory is simple and fast. The inverse matrix andmatrix theory the important content, the solution of inverse matrix nature has become one of the main research contents of linear algebra. The paper will give some method of finding inverse matrix. Key words: Matrix inversematrix method

正文： 1.引言:矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 2.求矩阵的逆矩阵的方法总结： 2.1 矩阵的基本概念 矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素 在矩阵中的位置。比如，或表示一个 矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。 特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。 当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称 为付对角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即：。如一个阶

求逆矩阵的方法

求逆矩阵的方法与矩阵的秩 一、矩阵的初等行变换 （由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A 的行列式A 值和它的伴随矩阵*A .当A 的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.） 定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： (1) 将矩阵中某两行对换位置； (2) 将某一行遍乘一个非零常数k ； (3) 将矩阵的某一行遍乘一个常数k 加至另一行. 并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换. 矩阵A 经过初等行变换后变为B ，用 A →B 表示，并称矩阵B 与A 是等价的. （下面我们把）第i 行和第j ， ”；把第i 行遍乘k k ”；第j 行的k 倍加至第i 为“ + k ”. 例如，矩阵 A = ????? ?????321321321c c c b b b a a a ???? ? ?????321 3 21321 c c c a a a b b b ???? ??????32 1 321321c c c b b b a a a ???? ? ?????32 1321321 kc kc kc b b b a a a ???? ? ?????32 1 321321 c c c b b b a a a ??? ? ? ??? ??+++32 1 332 2113 21 c c c ka b ka b ka b a a a （关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材） 二、运用初等行变换求逆矩阵 由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n 阶可逆矩阵A ，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I ，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I 上，就可以把I 化成A -1.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A 的右边写上一个同阶的单位矩阵I ，构成一个n ?2n 矩阵 ( A , I )，用初等行变换将左半部分的A 化成单位矩阵I ，与此同时，右半部分的I 就被化成了1-A .即 ( A , I )初等行变换 ?→???( I , A -1 ) 例1 设矩阵 A = ???? ? ?????--23 2 311111 ③k ①，② ②+①k

矩阵求逆方法大全-1

求逆矩阵的若干方法和举例 苏红杏 广西民院计信学院00数本（二）班 [摘 要] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面 的读者参考。 [关键词] 逆矩阵 初等矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等 引 言 在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。 定义: n 阶矩阵A 为可逆，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是n 阶单位矩阵，此时，B 就称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即：1-=A B 方法 一. 初等变换法（加边法） 我们知道，n 阶矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=m Q Q Q 21， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。即，必有一系列初等矩阵 m Q Q Q 21使 E A Q Q Q m m =-11 （1） 则1-A =E A Q Q Q m m =-11 （2） 把A ，E 这两个n 阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n 阶矩阵（A ，E ），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成 11Q Q Q m m -（A ，E ）=（11Q Q Q m m -，A ，E Q Q Q m m 11 -）=（E ，1-A ） （3） 这样就可以求出矩阵A 的逆矩阵1-A 。 例 1 . 设A= ???? ? ??-012411210 求1-A 。 解：由（3）式初等行变换逐步得到： ????? ??-100012010411001210→ ????? ??-100012001210010411 →???? ? ??----123200124010112001→

函数的微分和逆矩阵求法

函数的微分和逆矩阵求法 数学102班：张学亮 指导教师：连铁艳 （陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021） 一、1.一元函数的高阶微分 定义 1 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ?， 且0()o x x U x +?∈时，相应地函数有增量 00()()y f x x f x ?=+?-， 如果其增量可表示为 ()y A x o x ?=?-?， 其中A 不依赖于x ?，则称函数()y f x =在点0x 处一阶可微，并称A x ?为函数()y f x =在点0x 处的一阶微分，记作dy ，即 0|x x dy A x ==?。 可证 A=0'()f x 即 00|'()x x dy f x dx ==。 定义 2 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ?，且0()o x x U x +?∈时，相应地函数有增量 00()()y f x x f x ?=+?- 如果其增量可表示为 () 2 ()2! B y A x x o x ?=?+ ?-?， 其中A ，B 不依赖于x ?，则称函数()y f x =在点0x 处二阶可微，并称A x ?，2 ()B x ?为函数 ()y f x =在点0x 处的一阶微分、二阶微分，记作2 ,dy d y ，即 0|x x dy A x ==?，0 22 |()x x d y B x ==?。 可证 00'(),''()A f x B f x == 即 00|'()x x dy f x dx ==，()2 2 0''d y f x dx =。 根据以上形式，我们可以借助第五章的泰勒公式来定义函数的更高阶的微分 定义 3 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ?，且0()o x x U x +?∈时，相应地函数有增量 00()()y f x x f x ?=+?- 如果其增量可表示为 () () ()2 212! ! n n n A A y A x x x o x n ?=?+ ?++ ?-? ，

(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)

逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ， 因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证

A 2 =????????? ???0000000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???00000000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3= ? ? ?? ? ???????1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=???? ? ?????521310132. 解 [A I]→??????????100521010310001132→???? ? ?????001132010310100521 → ??????????--3/16/16/1100010310100521→???? ??????-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001

矩阵及逆矩阵的求法

矩阵的可逆性与逆矩阵的求法 目录 摘要 (1) 第1章．矩阵 (2) 1.1矩阵的定义 (2) 1.2矩阵的运算 (2) 第2章．矩阵的可逆性及逆矩阵 (5) 2.1矩阵的基本概念 (5) 2.2矩阵可逆的判断方法 (6) 2.3矩阵可逆性的求法 (10) 第3章．逆矩阵的拓展 (17) 3.1广义逆矩阵的引入 (17) 3.2广义逆矩阵的定义及存在 (17) 第4章．总结 (21) 参考文献 (22) 致谢 (23) 附件：论文英文简介

矩阵的可逆性与逆矩阵的求法 [摘要]：矩阵理论是现代代数学的重要分支理论之一，它也为现代科技及现代经济理论研究提供不可或缺的数学支持。在线性代数研究中引入矩阵的目的之一就是为了研究线性方程组B AX 求解及更一般的矩阵方程求解提供数学工具，其中矩阵的可逆性及逆矩阵的求法是最主要的内容。本文从矩阵的基本概念及运算入手，主要探讨和归纳矩阵可逆性的四种判定方法和求逆矩阵的五种方法，并引进Matlab这一数学软件求逆矩阵的程序，同时关注广义逆矩阵意义及求法。 [关键词]：矩阵可逆性逆矩阵广义逆求法

矩阵可逆性的判断和可逆矩阵的求法是矩阵理论学习的重点与难点，也是研究矩阵性质及运算中必不可少的一部分。本文在分析和归纳判断矩阵的可逆性和逆矩阵的求法，给出了四种判断矩阵可逆的方法，其中有初等矩阵的应用，有行列式的应用，还有向量的线性无关和线性方程组的应用。逆矩阵的求法给出了五种方法：分别是行变换、列变换、伴随矩阵、分块矩阵法以及Matlab 软件的解法，同时也讨论了广义逆矩阵的求法。对矩阵可逆性的判断与逆矩阵的求法将会给矩阵的学习带来很大的帮助。 第1章 矩 阵 1.1矩阵的定义 定义1 由st 个数ij c 排成一个s 行t 列的表 ???? ?? ? ??st s s t t c c c c c c c c c 2 1 2222111211 叫作一个s 行t 列（或t s ?）矩阵，ij c 叫作这个矩阵的元素。 定义2 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换： )(i 交换矩阵的两行（列）； )(ii 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的元素； )(iii 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一元素后加到另一行（列）的对应元素上。 矩阵的初等变换在线性方程组求解，求矩阵的秩及求矩阵的逆矩阵方面都有重要的作用。 1.2矩阵运算 定义1 数域F 的数a 与F 上一个n m ?矩阵)(ij a A =的乘积aA 指的是n m ?矩阵 )(ij aa ，求数与矩阵的乘积的运算叫作数与矩阵的乘法。 定义2 两个n m ?矩阵)(),(ij ij b B a A ==的和B A +指的是n m ?矩阵)(ij ij b a +，求两

总结求逆矩阵方法

总结求逆矩阵方法 直接算会死人的。根据矩阵特点用不用的分解，写成几个例程，每次实验之前进行尝试，根据尝试结果在算法里决定里决定用哪个。 irst 我想问： 1.全阶矩阵A的求逆运算inv(A) 和稀疏矩阵B（阶数和a一样） 的求逆运算inv(B)是不是采取一样的方法啊？也就是说他们的 计算量是不是一样的啊？不会因为是稀疏矩阵就采取特殊的 方法来处理求逆吧？ 我电脑内存256M ，做4096*4096的矩阵求逆还可以，上万阶的 就跑不动了 稀疏存储方式会减少不必要的计算，虽然原理还是一样，不过 计算量大大减少了。 2.如果一个矩阵C非零元素都集中在主对角线的周围，那么对C求逆最好 应该采用什么样的方法最好呢？ 一般还是用LU分解＋前后迭代的方法，如果矩阵对角占优就更好办了。 只不过还是需要稀疏存储。 稀疏矩阵的逆一般不会是稀疏矩阵，所以对高阶的稀疏矩阵求逆， 是不可行的，对1万阶的全矩阵需要的内存差不多已经达到了pc的 极限，我想最好的办法就是迭代，既然是稀疏，乘法的次数就有限， 效率还是很高的。 不过求逆运算基本上就是解方程，对稀疏矩阵，特别是他那种基本上非零元素都在对角线附近的矩阵来说，LU分解不会产生很多的注入元，所以用LU分解解方程方法的方法是可行的。 如果用迭代法，好像也就是共轭梯度法了。 C的资源网络上有很多google一下 或者到https://www.wendangku.net/doc/7612561225.html,，https://www.wendangku.net/doc/7612561225.html,上找找 或者用IMSL for C 或者用Lapack 或者用Matlab+C混合编程 有现成代码，但要你自己找了

也可以使用程序库 second 30,000*30,000的稀疏矩阵求逆如何实现？ 试试基于krylov子空间方法的算法吧。 如arnoldi和GMRES方法。 matlab中有函数可以直接调用。 直接help gmres就可以了。 如果效果还不好。 就用用预处理技术。 比如不完全lu预处理方法。。等等。。 各种各样的预处理+GMRES是现在解决大规模稀疏矩阵的主力方法。。 维数再多还是用不完全LU分解预处理+CG or Gmres 我一个同学这么求过200W阶的矩阵 求逆一般是不可取的，无需多说。但稀疏矩阵的直接解法还是不少的。基本上都是对矩阵进行重新排序以期减少填充或运算量。 在matlab里面，有许多算法可以利用： colamd, colmmd, colperm, spparms, symamd, symmmd, symrcm. 根据是否对称，采用LU分解或者chol分解。 这些算法在internet上搜一下，很多都有相应的C或fortran版本。 稀疏矩阵的存储最常见的是压缩列（行）存储，最近发现一种利用hash表来存储的，其存取复杂度是O（1）,很是不错。有幸趣的可以看看下面网页咯，作者提供了源程序。 事实上Hash表存储的效率也跟Hash算法有关，弄不好的话，不见得比直接按行或者列 顺序检索快。而且规模越大，效率肯定越来越低。 https://www.wendangku.net/doc/7612561225.html,rmatik.hs-bremen.de/~brey/ 对称正定的稀疏矩阵很好办啊，用LU分解就可以了。 如果维数实在太大，比如超过10^4量级，那就只能用 共轭梯度法之类的迭代法求解了。

逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)

逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且 （E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K 证明因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K, 因A K= 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E， 同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E， 因此E-A是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K. 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K. 由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.

例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???000030000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证 A 2=???? ????? ???0000 000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???0000 0000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3 =? ? ?? ? ???? ???1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.

用矩阵的初等变换求逆矩阵

2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。 用矩阵的初等变换求逆矩阵 一、问题提出 在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢 （饿了再吃） 二、求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”） 我们已学习了矩阵初等变换的性质，如 1.定理 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。 2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。 3.定理的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。即 4.推论 A 可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。 （1） 由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E)，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么 （2） 由（1）式 代入（2）式左边， 上式说明分块矩阵(A ︱E)经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置变换为我们所要求的1A -,即 21121111111112112112s t s s t t m P P P AQ Q Q E A P P P P EQ Q Q Q R R R ----------=?=?11121m R R R A E ---=111121m R R R A ----=()()122n n n n A E E A -???????→ 1*1A A A -=()()()1111A A E A A A E E A ----==111121m A R R R ----=()()111121m R R R A E E A ----=

逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)

E-A) 1= E + A + 2 K1 + … +A (E- A )(E+A + A 2+…+ A K 1)= E-A K (E-A) (E+A+A 2 + …+A K 1)=E， 逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容 ,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷 .逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容 , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一 .本文将给出几种求逆矩阵的方法 . 1. 利用定义求逆矩阵 定义：设A、B都是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB= BA = E,则称A 为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证：如果方阵A满足A k= 0,那么EA是可逆矩阵,且 证明因为E与A可以交换，所以 因A K= 0 ,于是得 同理可得( E + A + A 2 + … +A K 1 )(E-A)=E ， 因此E-A是可逆矩阵，且 (E-A) 1 = E + A + A 2 +…+A K 1 同理可以证明 (E+ A) 也可逆,且

E-A 的逆矩阵. (E+ A) 1 = E -A + A 2+…+ (-1 ) K1A K1 . 由此可知，只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E A 的逆矩阵. 例2 设 A = 00 20 00 03 ,求 0003 0000 分析 由于A 中有许多元素为零，考虑A K 是否为零矩阵，若为零矩阵，则可以 采用例2的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证 00 2 0 0 0 0 6 2 00 0 6 3 0 0 0 0 4 A 2 = ■ A 3= ， A 4 =0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 而 (E-A)(E+A+ A 2 + A 3 )=E , 所以 1 1 2 6 1 2 3 0 1 2 6 (E-A) E+A+ A 2 + A . 0 0 1 3 0 0 0 1 2. 初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法 ?如果A 可逆，则A 可通过 初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵R,P 2 , P S 使 （1） p 1 p 2 p s A=I ，用 A 1 右乘上式两端，得： （2） p 1 p 2 p s I= A 1 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单 位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1. 用矩阵表示（ A I ） 为（ I A 1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法， 它是实际应用中比较简单的一种方法 .需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初 等

总结求逆矩阵方法

3、逆矩阵的求法 1.1一般矩阵的逆矩阵的求法 定义3.1.1 设A 是一个n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵B ，使A B =B A =E ，则称A 为可逆矩阵，并称B 是A 的可逆矩阵。 例3.1 已知n 阶矩阵A 满足0322=-+E A A 。证明A +4E 可逆并求出()14-+E A . 证明：把0322=-+E A A 变形为(A +4E )（E A 2-）=-5E ，可得（A +4E ）（E A 5251+-）=E ，所以存在一个矩阵B =E A 5 251+-，B 使（A +4E ）B =E 。由定义得A +4E 可逆，且B ()14-+E A =B =E A 5 251+-. 3.1.2 用伴随矩阵去求逆矩阵 定理3.1.1 n 阶矩阵A =（ij a ）为可逆的充要条件是A 非奇异。且 1-A =A 1112111222212n n n n nn A A A A A A A A A ????????????L L M M M L ，其中ij A 是A 中元素ij a 的代数余子式。矩阵112111222212n n n n nn A A A A A A A A A ???????????? L L M M M L 称为矩阵A 的伴随矩阵，记作*A ，于是有1-A =A 1 *A . 例3.2 判断矩阵A =???? ??????343122321，A 是否可逆？若可逆，求 1-A . 解： 因为A =2≠0，所以A 可逆。又 11A =2，12A =-3，13A =2， 21A =6，22A =-6，23A =2， 31A =-4，32A =5，33A =-2. 所以1-A =A 1*A =21??????????----222563462=??????????----1112532323 1. 3.1.3 用初等变换去求逆矩阵 如果A 可逆，则A 可通过初等行变换化为单位矩阵E ，即存在相应的初等矩阵1E 、2E …s E 使s E …2E 1E A ＝E （1），用1-A 又乘上式两端，得s E …2E 1E E

n阶矩阵求逆矩阵(C++面向对象)

课程设计报告

信息系统开发语言（一）课程设计 ——n 阶方阵求逆的实现 一、课程设计目的 1、了解什么是矩阵及逆矩阵。 2、通过VC++6.0编写一个实现求矩阵逆矩阵的程序。 3、巩固和加深学生对算法课程基本知识的理解和掌握。 4、培养利用算法知识解决实际问题的能力。 5、掌握利用程序设计语言进行算法程序的开发、调试、测试. 6、掌握书写算法设计说明文档的能力。 7、提高综合运用算法、程序设计语言、数据结构知识的能力。 二、问题描述 给出任意一个维数大于1小于256的矩阵，通过程序求出其逆矩阵。 如???? ??????=2221 20 1211 10 020100 a a a a a a a a a A ，存在矩阵B ，使得矩阵A 与B 的乘积为单位矩阵，则称矩阵B 为矩阵A 的逆矩阵。 三、问题分析 根据矩阵与逆矩阵的定义，即矩阵A 与矩阵B 相乘等于单位矩阵的思路，编辑程序。 为使问题更加简单明了化，现举除一个具体例子，便于理解，我们在求解数学题

目中，经常会遇到这一类的题目： 如求方阵A 的逆矩阵 ??????????=2221 20 1211 10 020100a a a a a a a a a A 拿到这个题，我们首先应该是理解什么叫矩阵及逆矩阵，我们根据定义可知，一个矩阵如果存在逆矩阵，那么这个矩阵的秩一定不会小于该矩阵的维数，拿到一个题，要求一个逆矩阵的方法是很多的，比较常用的还是先把矩阵化为上三角或者下三角矩阵，，判断矩阵是否存在逆矩阵，然后，然后根据矩阵与逆矩阵之积等于单位矩阵从而得出逆矩阵，这是比较一般的思路，我们一下设计基本上也是以此为基础的。 四、算法分析、设计与描述 1．算法分析和设计 对于矩阵求逆，逆矩阵的定义是：对于n 阶方阵A ，若存在矩阵B ，使得 AB=BA=E ，则称A 为可逆矩阵，简称A 可逆，并称B 为A 的逆矩阵。A 存在逆矩阵的充要条件是|A|≠0。若用定义的方法求解，计算量大，当矩阵的阶数很大时很浪费时间，为了节省时间，通过查阅资料和上网搜索，决定采用高斯-约旦发来进行方阵的求逆操作。 对于矩阵的乘法，利用矩阵乘法定义即可实现，矩阵的乘法的定义是：若A 是一个m*n 阶矩阵，B 是一个n*p 阶矩阵，则AB=C 是一个m*p 阶矩阵，而C 中的每一个（i,j ）元都等于A 的第i 行中的各元和B 的第j 列的各对应元之乘积的和。只要按照该定义就可以求出两个矩阵的乘积。 2．算法描述 a.高斯-约旦法求解逆矩阵的算法描述如下：

逆矩阵地求法及逆矩阵地指导应用

逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用 摘要：在现代数学中，矩阵是一个非常有效而且应用广泛的工具，而逆矩阵则是矩阵理论中一个非常重要的概念。关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有非常重要的意义。目前，对于逆矩阵的求法及其应用领域的研究已比较成熟。本文将对逆矩阵的定义、性质、判定方法及求法进行总结，并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方面的应用。 关键词：矩阵逆矩阵逆矩阵的求法逆矩阵的应用 The methods for identifying inverse matrix and application of inverse matrix Abstract: In modern mathematics，matrix is an effective tool with extensive application，and inverse matrix is a significant concept in matrix theory. The disduss about the way to evaluating inverse matrix and its application is of an important meaning with mature development at present. This paper will summarize the definition and properties of inverse matrix and disscuss the methods evaluating inverse matrix.We will also talk about the application of inverse matrix, especially its application in encoding and decoding. Keywords: Matrix Inverse matrix The way to evaluating inverse matrix Application of inverse matrix