文档库 最新最全的文档下载
当前位置:文档库 › 九年级数学上册第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定知识拓展黄金矩形北师大版

九年级数学上册第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定知识拓展黄金矩形北师大版

九年级数学上册第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定知识拓展黄金矩形北师大版
九年级数学上册第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定知识拓展黄金矩形北师大版

黄金矩形

当一个矩形的短边a和长边b满足下面的比例关系时:

b

=①

b

a+

:b

)

(:

a

就称为黄金矩形.

黄金矩形是一种非常美丽和令人兴奋的数学对象,它广泛地出现在艺术、建筑、人体和自然界中,心理学的测试表明:在所有形状的矩形中,黄金矩形是最令人赏心悦目的.公元前5世纪,古希腊的建筑师们就已经知道黄金矩形能使建筑物的比例协调,美观大方,他们建造的巴农神庙就是一个例子.

希腊雅典的巴农神庙

希腊人认为最优美的体形应该是许多重要部位都符合黄金矩形,许多著名的雕刻,绘画都是按黄金矩形的比例来设计和造型的.文艺复兴时期的著名画家达芬奇的著名作品《蒙娜丽莎》就是接黄金分割的比例来构图的.

现在,我们介绍怎样利用一个正方形作出黄金矩形.

1)作正方形.ABCD

2)取CD AB 、的中点M N 、连结.NM

3)连结.NC

4)延长AB 至E ,使.NC NE =

5)过E 作AE 的垂线,交DC 的延长线于.F

则AEFD 为一个黄金矩形.

我们来证明:AEFD 是一个黄金矩形,即证明:

AD

AE AE AE AD += ① 设a AD 2=,则a a a BC NB NC a BC a NB 5)2(,2,2222=+=+=

==, 所以.)53()51(2.)51(5.5a a a AE AD a a NE AN AE a NE +=++=++=+=+==

将AE AD 、的值代入①式,得

a

a a a )53()51()51(2++=+ 即 5

351512++=+ 或 526)51(2+=+

所以要证明①式,只要证明②成立就可以了,利用平方公式易证②成立.

因此,AEFD 是黄金矩形.

最新人教版九年级数学上册知识点总结史上最全

a ,x 2= a 2 2 2 数学上册知识点总结 21.1 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元) ,并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程,叫做一元二次方程。 注意一下几点: ① 只含有一个未知数;②未知数的最高次数是 2;③是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式: ax + bx + c = 0(a ≠ 0). 其中, ax 是二次项, a 是二次项系数; bx 是一次项, b 是一 次项系数; c 是常数项。知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 (1) ) 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一 般地,对于形如 x =a(a ≥ 0) 的方程,根据平方根的定义可解得 x 1= . (2) ) 直接开平方法适用于解形如 x 2=p 或(mx+a)2 =p(m ≠ 0) 形式的方程, 如果 p ≥0,就可以利用直接开平方法。 (3) ) 用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 (4) ) 直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平 方项的系数为 1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。

矩形定义及性质(教案)

矩形定义及性质 剑川县沙溪中学王仲磊 2号 课型:新授课课时:1节 教学目标 1、知道矩形的定义、矩形与平行四边形的联系; 2、能说出矩形的四个角都是直角及矩形的对角线相等的性质; 3、能推出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质; 4、能运用以上性质进行简单的证明和计算。 5、应用计算机辅助教学,充分展示数学问题的发生、发展及变化过程,培养学生的创新意识和创造能力。 教学重点和难点 重点:矩形的定义、性质及推论。 难点:能用矩形的性质进行简单的证明和计算。 教法:多媒体辅助教学法、启发引导法 教学过程 一、复习提问 1、平行四边形性质定理: (1)平行四边形的对角相等。(2)平行四边形的对边相等。 (3)平行四边形的对角线互相平分。推论:夹在两条平行间的平行线段相等。 2、平行四边形判定定理 (1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 (3)对角线互相平分的四边形是平行四边形。 (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 二、引入新课 请同学们观看一幅动画。(屏显) 一个角是直角 (1)(2)当平行四边形变化到位置(2 )时得到什么图形? (生回答,教师作点拨。) 三、讲解新课 1、请举几个生活中关于矩形的例子。(对学生的回答作灵活处理)

2、观察动画中平行四边形是如何演变成矩形的,也就是说当平行四边形满足什么条件的时候便成了矩形? 定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形。 3、矩形是特殊的平行四边形,它除了“有一个角是直角”外,还可能具有哪些平行四边形所没有的特殊性质呢? (引导学生根据研究平行四边形性质的经验,分别从边、角、对角线三个方面探索矩形的特性,这种探索的基础是矩形“有一个角是直角”。) 根据学生的回答:矩形的四个角都是直角。 4、如何说明“矩形的四个角都是直角”呢? 已知:如图四边形ABCD 是矩形,∠B=90o 。求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90o 证明:∵四边形ABCD 是矩形 ∴AB ∥DC (平行四边形对边平行) ∴∠C=∠B=90o (两直线平行,同旁内角 互补) 同理:∠D=90o 、∠A=90o 性质1:矩形的四个角都是直角。 知识拓展:让学生说出不同于老师的证法。(分组讨论) 5、下面我们来做一个游戏,请同学们关上你们的教材,观察教材的封面,用刻度尺测量书本的对角线。并回答屏幕上的问题。 教材的封面是什么图形? 派一名代表说出你们测量的数据?你能发现两条对角线间有什么特殊关系吗? 学生容易回答“矩形的对角线相等”。 如何证明“矩形的对角线相等”这一命题呢?请同学们根据屏幕上给出的图形、写出已知、求证,并证明这个命题。 已知:如图,ABCD 是矩形,对角线AC 、BD 交于点O 。求证:AC=BD 证明:在矩形ABCD 中 ∠ABC=∠DCB=90o ,AB=DC ,BC=CB ∴?ABC ≌?DCB ∴AC=DB 性质2:矩形的对角线相等。 6、矩形的一条对角线把矩形分成两个直角三 角形,矩形的对角线互相平分又相等,由此,我们可以得到直角三角形的什么重要性质。请同学们讨论,并大胆的猜想。(对学生的回答稍作点拨) 如图,已知ABCD 是矩形,对角线AC 、BD 相交 于点O 。求证:OB=21 AC 证明:在矩形ABCD 中, AC=BD (矩形对角线相等) 又∵OA=OC=21 AC

九年级上册数学知识点总结

九年级上册知识点总结 (数学) 2017年12月

第二十一章 一元二次方程 22.1 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。 注意一下几点: ① 只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式:)0(02≠=++a c bx ax 其中,2ax 是二次项,a 是二次项系数; bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项。 知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 22.2 降次——解一元二次方程 22.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 (1) 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一般地,对于形如)0(2≥=a a x 的方程,根据平方根的定义可解得a x a x -=+=21 (2) 直接开平方法适用于解形如p x =2或 )0(2≠=+m p a mx )(形式的方程, 如果 p≥0,就可以利用直接开平方法。 (3) 用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 (4) 直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。 (1) 把常数项移到等号的右边; (2) 方程两边都除以二次项系数;

北师大版九年级数学上册教案《矩形的性质与判定》教学设计

《矩形的性质和判定》教学设计 第一课时:矩形的性质 教材分析: 本节是九年级的第一章第二节的内容,这个年龄段的学生已经具备自主探究和合作学习的能力,他们喜欢动手,喜欢思考一些有挑战性的问题,喜欢向别人展示自己的成果。部分学生对学习数学有较强的兴趣,具有一定的探究数学问题的能力和数学活动的经验,逻辑推理能力较强。但大部分学生要把解题的整个过程表述完整、清楚比较困难。 教学目标: 【知识与技能】 (1) 掌握矩形的的定义,理解矩形与平行四边形的关系。 (2)理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明; (3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题,进一步培养学生的分析能力. 【过程与方法】 (1)经历探索矩形的概念和性质的过程,发展学生合情推理的意识; (2)通过灵活运用矩形的性质解决有关问题,掌握几何思维方法,并渗透运动联系、从量变到质变的观点. 【情感态度与价值观】 (1)在观察、测量、猜想、归纳、推理的过程中,体验数学活动充满探索性和创造性,感受证明的必要性,培养严谨的推理能力,体会逻辑推理的思维价值。

(2) 通过小组合作展示活动,培养学生的合作精神和学习自信心。 (3)从矩形与平行四边形的区别与联系中,体会特殊与一般的关系,渗透集合的思想。 教学重难点: 【教学重点】 掌握矩形的性质。 【教学难点】 运用综合法证明矩形的性质。 课前准备:多媒体,平行四边形教具,矩形纸片 教学过程: 一.创设情景,导入新课 活动内容:1、观察图形,都是一种特殊的平行四边形,说一说他们的特殊之处 2、探究矩形的定义 利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,让学生注意观察。在演示过程中让学生思考: (1)在运动过程中四边形还是平行四边形吗? (2)在运动过程中四边形不变的是什么? (3)在运动过程中四边形改变的是什么? 不变:对边仍保持相等,对边仍分别平行,所以仍然是平行四边形 变:角的大小 (4)角的大小改变过程中有特殊值吗?这时的平行四边形是什么图形。(矩形) 矩形的定义:有一个内角是直角的平行四边形是矩形 活动:1.复习平行四边形的性质和菱形的性质 2.平行四边形的面积 【设计意图】从学生的已有的知识出发,通过教具演示,让学生经历了矩形概念的探究过程,自然而然地形成矩形的概念。 二、分组讨论,探究新知

九年级上册数学知识点归纳详解

九年级上册数学知识点归纳详解数学是被很多人称之拦路虎的一门科目,同学们在掌握数学知识点方面还很欠缺,为此小编为大家整理了九年级上册数学知识点归纳详解,希望能够帮助到大家。 第21章二次根式 学生已经学过整式与分式,知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。二次根式一章就来认识这种式子,探索它的性质,掌握它的运算。 在这一章,首先让学生了解二次根式的概念,并掌握以下重要结论: 注:关于二次根式的运算,由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握,教科书先安排二次根式的乘除,再安排二次根式的加减。二次根式的乘除一节的内容有两条发展的线索。一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性,并运用二次根式的乘除法则进行运算;一条是由二次根式的乘除法则得到 并运用它们进行二次根式的化简。 二次根式的加减一节先安排二次根式加减的内容,再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。在本节中,注意类比整式运算的有关内容。例如,让学生比较二次根式的加减与整式的加减,又如,通过例题说明在二次根式的运算中,多项式

乘法法则和乘法公式仍然适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。 第22章一元二次方程 学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程一元二次方程。一元二次方程一章就来认识这种方程,讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实际问题。 本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念,给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解,对一元二次方程的解加以体会,并给出一元二次方程的根的概念, 22.2降次解一元二次方程一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。(1)在介绍配方法时,首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程,由平方根的概念,可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程,引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中,涉及二次项系数不是1的一元二次方程,也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程,学了公式法以后,学生对这个内容会有进一步的理解。

人教版九年级上册数学知识点总结

人教版九年级上册数学知识点总结 一元二次方程 易错点: a≠0 和a=0 方程两个根的取舍 知识点一:一元二次方程的定义:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。 注意一下几点: ①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。 知识点二:一元二次方程的一般形式: 一般形式:ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。 知识点三:一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 降次——解一元二次方程 配方法 / 知识点一:直接开平方法解一元二次方程 (1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a -. (2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。 (3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 (4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。 知识点二:配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。 (1)把常数项移到等号的右边; (2)方程两边都除以二次项系数; (3)) (4)方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式; (5)若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。 公式法 知识点一:公式法解一元二次方程 (1)一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么方程的两个根为 x= a ac b b 2 4 2 - ± - ,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。 (2)一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0)的过程。

九年级数学上册第4课时 黄金分割

作品编号:4862354798562348112533 学校:兽古上山市名扬镇装载小学* 教师:葛蝇给* 班级:朱雀捌班* 第4课时黄金分割 【知识与技能】 1.理解黄金分割的定义;会找一条线段的黄金分割点. 2.会判断一点是否是线段的黄金分割点. 【过程与方法】 通过找一条线段的黄金分割点,培养学生理解能力和动手能力. 【情感态度】 理解黄金分割点的现实意义,动手制作相关图形,感受黄金分割的美,体会教学的应用价值. 【教学重点】 找一条线段的黄金分割点. 【教学难点】 黄金分割比的应用. 一、情境导入,初步认识 现实生活中存在许多优美的图画和建筑,例如古埃及金字塔、古希腊巴台农神庙,这些建筑的边长之间的比都接近某一个数,你知道这个数是多少吗? 【教学说明】利用来源于生活中的美丽图象或建筑吸引学生的注意力,营造一个感受美、关注美、探究美的氛围,唤醒学生对美的感受. 二、思考探究,获取新知 动手量一量,五角星图案中,线段AC、BC的长度,然后计算AC AB 与 BC AC , 它们的值相等吗?

【教学说明】学生亲自动手操作,得到黄金比并加深对黄金分割的理解. 【归纳结论】在线段AB上,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如 果AC AB = BC AC ,那么称线段AB被点C黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点, AC与AB的比叫做黄金比. 三、运用新知,深化理解 1.已知C是线段AB的一个黄金分割点,则AC∶AB为(D) 2.把2米的线段进行黄金分割,则分成的较短的线段长为0.764 米. 3.如图,在平行四边形ABCD中,点E是边BC上的黄金分割点,且BE> CE,AE与BD相交于点F.那么BF∶FD的值为51 - . 4.在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,即比例越接近0.618越给人以美感.张女士的身高为1.68米,身体躯干(脚底到肚脐的高度)为1.02米,那么她应选择约多高的高跟鞋看起来更美.(精确到十分位) 解:设她应选择高跟鞋的高度是xcm, 则102 168 x x + + =0.618, 解得:x≈4.8cm.故答案为:4.8cm. 5.已知线段AB,求作线段AB的黄金分割点C,使AC>BC. 解:作法如下: (1)延长线段AB至F,使AB=BF,分别以A、F为圆心,以大于线段AB的长为半径作弧,两弧相交于点G,连接BG,则BG⊥AB,在BG上取点D,

九年级数学上册矩形的性质与判定

*学校:慧方明朗市泉山明镇坝靓小学* *教师:如来风* *班级:飞龙1班* 作品编号:GLK520321119875425963854145698357 第一章特殊平行四边形 1.2矩形的性质与判定——应用 【知识盘点】 1.直角三角形斜边上的中线等于_________. 2.如图1所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是边AB上的中线,若∠ADC=70°,则∠ACD=_______. (1) 3.四边形ABCD是矩形,若已知AB=8㎝,AC=10㎝,则AD= .矩形的周长= ,矩形的面积= . 4.已知矩形的两边长分别为8和6,则矩形的对角线长为 . 5.已知矩形的对角线长为3cm,一边长为2cm,则另一边长为 . 6.如图2所示,在矩形ABCD中,A C和BD是两条对角线,若AE⊥BD于E,∠DAE=2∠BAE,则∠FA C=________. (2) (3) (4) 【基础过关】 7.如图3所示,在四边形ABCD中,∠BDC=90°,AB⊥BC于B,E是BC?的中点,?连结AE,DE,则AE与DE的大小关系是() A.AE=DE B.AE>DE C.AE

使得C 点落在矩形ABCD 内部的E 处,FE 平分∠BFG ,则∠GFH 的度数a 满足( ) A .90°<α<180° B .α=90° C .0°<α<90° D .α随着折痕位置的变化而变化 ( 7) 【应用拓展】 10.如图8,矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ,∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长? 【综合提高】 (8) 11.如图9所示,在矩形ABC D 中,F 是BC 边上一点,AF 的延长线交DC 的延长线于G ,DE ⊥AG 于E ,且DE=DC ,请不添辅助线在图中找出一对全等三角形,并证明之. (9) 答案: 1.斜边的一半 2. 55° 3. 6cm 28cm 48cm 4. 10 5. 6. 30° 7.B 8.D 9.D 10. 解: ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ OA=OB. ∵ ∠AOB=60°, ∴ △AOB 是等边三角形. ∴ OA=AB=4(㎝), ∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝). 11.△ABF ≌△ADE ,证明过程(略) 5cm A D B C O

新版九年级数学上册知识点归纳(北师大版)

2014年(新版)九年级数学上册知识点归纳(北师大版) (八下前情回顾)※平行四边的定义:两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 .....,平行四边形不相邻的两顶点连成 的线段叫做它的对角线 ...。 ※平行四边形的性质:平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离:若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定 ※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ..。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。(矩形是轴对称图形,有两条对称轴) ※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3正方形的性质与判定 正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。(正方形是轴对称图形,有两条对称轴) ※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形; 邻边相等的矩形是正方形; 对角线相等的菱形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示): ※梯形定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

人教版九年级数学上册各章节知识点总结

人教版九年级数学上册知识点总结 第二十一章一元二次方程 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。 注意一下几点: ①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式:ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 典型例题: 1、已知关于x的方程(m+3)x 21 m- +(m-3)-1=0是一元二次方程,求m的值。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 (1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a -.

(2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。 (3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 (4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是: ①移项; ②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1; ③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程; ④解一元一次方程,求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。 (1)把常数项移到等号的右边; (2)方程两边都除以二次项系数; (3)方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式; (4)若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 (1)一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么方程的两个 根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公

苏科版数学九年级下册教案-6.2 黄金分割

《黄金分割》教学设计 一、教材分析: 本节课是初中数学九年级下册的内容,一方面,这是在学习了线段的比的基础上,对比例性质的的进一步深入和拓展;另一方面,又为学习相似三角形等知识奠定了基础,是进一步研究相似图形及其性质的工具性内容。鉴于这种认识,本节课在此本书中有重要的地位,本节课不仅有着广泛的实际应用,而且起着承前启后的作用。 黄金分割是现实生活中存在的一种现象,广泛的应用在设计、艺术等领域中,比如黄金矩形,就是黄金分割在设计中的一个主要应用:在设计建筑物、工艺品、日常用品涉及矩形时,如果设计成黄金矩形,看起来更具有美感.学生体会到数学与自然及人类社会的密切关系,丰富了学生的数学活动经验,促进了学生观察、分析、归纳、概括的能力和审美意识的发展。 通过学习“黄金分割”这样的题材,进一步体会数学的文化价值.有效的激发学生学习数学的兴趣,发展学生的动脑、动手能力,培养学生思维能力,增强学生学习数学自信心。有助于增强学生的创新意识和实践能力,为学生提供了实践和探索的机会。 这节课也有数学实验的味道,学生在具体活动中体验数学知识,并在现实情境中和已有知识的基础上体验和理解数学知识,是学生自己建构、探索数学知识的活动. 二、学情分析: 1、学生已有基础:学生对于真实情境以及现实生活中的数学问题具有极大的学习兴趣.而且,在前面的学习中,学生经历过探索概念的形成过程,获得了初步的数学活动经验和体验.学生对黄金分割的定义理解不存困难.也学过无理数、比例线段和一元二次方程的解法,,所以对于黄金比既能求出准确值也能算出近似值。 2、学生面临问题:学生思维能力处于发展阶段,动手能力较弱。 本节课引导学生从数学的角度思考问题,引导学生一步步的走入要解决的问题中心去,让学生自主、积极思维的同时,运用自己已有的知识去探索发现,感受数学的人文价值和与生活间的联系。

北师大版-数学-九年级上册- 矩形的性质与判定(3) 教学设计

第一章特殊平行四边形 2.矩形的性质与判定(三) 一、学生起点分析 学生已经学习了平行四边形的性质和判定,本学期也学习了一种特殊的平行四边形——菱形的性质和判定;本节前两课时,学生学习了矩形的性质与判定;本课时在前面学习的基础上进行矩形知识的综合应用。 在前面相关知识的学习中,学生已经经历了大量的证明活动,特别是平行四边形的相关证明推理,学生已经逐渐体会到了证明的必要性和证明在解决实际问题时的作用,同时,在前面的相关活动中,学生已经初步了解了归纳、概括及转化等数学思想方法,大量的活动经验丰富了学生的数学思想,锻炼了学生的能力,使学生具备了在解题中合理运用方法的能力。 二、教学任务分析 课本基于目前学生的知识和能力水平,对本课内容提出了具体的学习任务:进一步发展推理论证能力,运用综合法证明矩形的性质和判定定理,进一步体会证明的必要性和作用,体会归纳等数学思想方法。 对于本节课的知识,教科书提出的学习任务,重点集中在了学生的能力培养上,因为本节课的知识,对学生来说从认知角度上缺乏挑战性,大部分学生都已经能够熟练运用矩形的性质和判定方法,所以,在教学时,我们应该把目标上升一个层次,从关注学生是否能证明这些定理提高到关注学生如何找到解题思路,从关注学生是否能顺利证明提高到关注学生是否合理严密的使用数学语言严格证明,从关注学生合作解题提高到让每一个学生都能独立完成证明的过程。能力培养不仅是本节课教学过程中的近期目标,更是为今后学生学习数学知识打下基础的远景目标,能力的培养也必然带动学生情感态度目标的达成。同时,在教学中,还必须注意对不同层次的学生制定不同的教学任务,做到让每一个学生都能在课堂上有所收获。为此,本节课我们要达到的具体教学目标为: 知识与技能: ①知识目标:能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论;提高实际动手操作能力。 ②能力目标:经历探索、猜测、证明的过程,发展学生的推理论证能力,培养学生找到解题思路的能力,使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用; 过程与方法:通过学生独立完成证明的过程,让学生体会数学是严谨的科 学,增强学生对待科学的严谨治学态度,从而养成良好的习惯。 情感态度价值观:通过课堂的自主探究活动,让学生感受合作学习的成功,培养主动探求、勇于实践的精神,激发学生学习数学的激情,树立学好数学的信心。 三、教学过程

人教版九年级上册数学知识点总结

九年级上册知识点 二次根式知识点 考点1、无理数 无限不循环的小数,叫做无理数。 常见的无理数: 1、π以及π的有理数倍数。 2、、、; 3、2.01001000100001………… 考点2、二次根式的概念 形如(a≥0)的式子叫做二次根式。 1、被开放数a是一个非负数; 2、二次根式是一个非负数,即≥0; 3、有限个二次根式的和等于0,则每个二次根式的被开方数必须是0. 考点3、移因式于根号内、外的方法 移因式于根号外 1、当根号外的数是一个负数时,把负号留在根号外,然后把这个数平方后移到根号内 2、当根号内的数是一个正数时,直接把这个数平方后移到根号内 移因式于根号内 1、当根号内的数是正数时直接开方移到根号外 2、当根号内的数是负数时开方移到根号外后要添上负号 考点4、最简二次根式 知识回顾: 满足下列条件的二次根式,叫做最简二次根式: (1) 被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 知识特点: 1、最简二次根式中一定不含有分母; 2、对于数或者代数式,它们不能在写成a n×m的形式。 考点5、二次根式的化简与计算 二次根式的化简,实际上就是把二次根式化成最简二次根式,然后,通过合并同类二次根式的方法进行二次根式的加减运算。 二次根式的加减运算:a+b=(a+b),(m≥0); 二次根式的乘法运算:.=,( a≥0, b≥0); 二次根式的除法运算:÷=,( a≥0, b>0);

二次根式的乘方运算:=a,( a≥0); 二次根式的开方运算:= 考点6、与的异同点 1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根; 2、相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时, 无意义,而 一元二次方程 考点一、一元二次方程 1、一元二次方程:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式:,它的特征是:等式左边 十一个关于未知数x的二次多项式,等式右边是零,其中叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项,b叫做一次项系数;c叫做常数项。 考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接 开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知, 是b的平方根,当时,,,当b<0时,方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式,把公式中的a看 做未知数x,并用x代替,则有。 配方法的步骤:先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式 3、公式法

部编人教版初三数学上册知识点总结

部编人教版初三数学上册知识点总结 初三数学上册知识点总结第21-22章 第21章二次根式 学生已经学过整式与分式,知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。“二次根式” 一章就来认识这种式子,探索它的性质,掌握它的运算。 在这一章,首先让学生了解二次根式的概念,并掌握以下重要结论: 注:关于二次根式的运算,由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握,教科书先安排二次根式的乘除,再安排二次根式的加减。“二次根式的乘除”一节的内容有两条发展的线索。一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性,并运用二次根式的乘除法则进行运算;一条是由二次根式的乘除法则得到并运用它们进行二次根式的化简。 “二次根式的加减”一节先安排二次根式加减的内容,再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。在本节中,注意类比整式运算的有关内容。例如,让学生比较二次根式的加减与整式的加减,又如,通过例题说明在二次根式的运算中,多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。 第22章一元二次方程 学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程——一元二次方程。“一元二次方程”一章就来认识这种方程,讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实际问题。 本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念,给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解,对一元二次方程的解加以体会,并给出一元二次方程的根的概念,

“22.2降次——解一元二次方程”一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。 (1)在介绍配方法时,首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程,由平方根的概念,可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程,引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中,涉及二次项系数不是1的一元二次方程,也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程,学了“公式法”以后,学生对这个内容会有进一步的理解。 (2)在介绍公式法时,首先借助配方法讨论方程的解法,得到一元二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中,涉及有两个相等实数根的一元二次方程,也涉及没有实数根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。 (3)在介绍因式分解法时,首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程,引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法进行小结。 “22.3实际问题与一元二次方程”一节安排了四个探究栏目,分别探究传播、成本下降率、面积、匀变速运动等问题,使学生进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 初三数学上册知识点总结第23-24章 第23章旋转 学生已经认识了平移、轴对称,探索了它们的性质,并运用它们进行图案设计。本书中图形变换又增添了一名新成员――旋转。“旋转”一章就来认识这种变换,探索它的性质。在此基础上,认识中心对称和中心对称图形。 “23.1旋转”一节首先通过实例介绍旋转的概念。然后让学生探究旋转的性质。在此基础上,通过例题说明作一个图形旋转后的图形的方法。最后举例说明用旋转可以进行图案设计。 “23.2中心对称”一节首先通过实例介绍中心对称的概念。然后让学生探究中心对称的性质。在此基础上,通过例题说明作与一个图形成中心对称的图形的方法。这些内容之后,通过线段、平行四边形引出中心对称图形的概念。最后介绍关于原点对称的点的坐标的关系,以及利用这一关系作与一个图形成中心对称的图形的方法。

九年级数学学案: 第4课时 黄金分割

天才是百分之一的天分,再加上百分之 九十九的努力 第4课时黄金分割 学习目标: 1、认识线段的黄金分割,理解黄金分割的概念. 2、会运用黄金分割进行相关计算和证明. 学习重点:比例性质的应用和黄金分割的概念. 学习难点:运用黄金分割解决实际问题. 【预习案】 一、链接 请写出比例的基本性质. 二、导读 阅读课本P95-96,回答下列问题: (1)叫做黄金分割.(2)黄金分割点是如何确定的?一条线段有几个黄金分割点? 叫做线段的黄金分割点,叫做黄金比. 【探究案】 ㈠、黄金分割的定义:

1、动手操作,然后算一算,完成下面的填空: 度量线段AC 、BC 的长度,线段AC= ,BC= , 计算AB AC = 、AC BC = , AB AC 与AC BC 的值 A B C 相等吗? ※在线段AB 上,点C 把线段AB 分成两条线段 和 ,如果 = , 那么称线段AB 被点C ,点C 叫做线段AB 的 ,AC 与AB 的比叫做 。其中AB AC = ≈ ※⑴、黄金分割是一种分割线段的方法,一条线段的黄金分割点有 个。 ⑵、黄金比是两条线段的比,没有单位,它的比值为 ,精确到0.001为 。 2、想一想:点C 是线段AB 的黄金分割点,则AB AC = 。 ㈡、确定黄金分割点: 如图,已知线段AB ,按照如下方法作图: (1)经过点B 作BD ⊥AB ,使BD= 21AB. (2)连接AD ,在DA 上截取DE=DB. (3)在AB 上截取AC=AE.点C 就是线段AB 的黄金分割点。 ㈢、黄金矩形: 宽与长的比是:的矩形叫做黄金矩形。 【训练案】 1、若点C 是线段AB 的黄金分割点,且AC >CB ,则AB :AC= ;BC :AB= . 2、若在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中, =11B A AB =11C B BC 1111CD DA C D D A ==58且四边形A 1B 1C 1D 1的周长为80cm ,求四边形ABCD 的周长. 3、已知,如图在 △ABC 中 EC AE DB AD = E D A A B 5?12

北师大版九年级数学上册【教案】矩形及其性质【新版】

矩形及其性质 教学目标 知识与技能了解矩形的有关概念,理解并掌握矩形的有关性质. 过程与方法: 经过探索矩形的概念和性质的过程,发展学生合情推理意识;掌握几何思维方法. 情感态度与价值观 培养严谨的推理能力,以及自主合作精神;体会逻辑推理的思维价值. 重难点、关键 重点:掌握矩形的性质,并学会应用. 难点:理解矩形的特殊性. 关键:把握平行四边形的演变过程,迁移到矩形概念与性质上来,明确矩形是特殊的平行四边形. 教学准备 教师准备:投影仪,收集有关矩形的图片,制作教具. 学生准备:复习平行四边形性质,预习矩形这节内容. 学法解析 1.认知起点:已经学习了三角形、平行四边形、菱形,?积累了一定的经验的基础上学习本节课内容. 2.知识线索:情境与操作→平行四边形→矩形→矩形性质. 3.学习方式:观察、操作、感知其演变,以合作交流的学习方式突破难点.教学过程 一、联系生活,形象感知 【显示投影片】 教师活动:将收集来的有关长方形图片,播放出来,让学生进行感性认识,然后定义出矩形的概念. 矩形定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.(也就是小学学习过的长方形). 教师活动:介绍完矩形概念后,为了加深理解,也为了继续研究矩形的性质,拿出教具.同学生一起探究下面问题: 问题1:改变平行四边形活动框架,将框架夹角∠α变为90°,?平行四边形成为一个矩形,这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系?(教师提问)学生活动:观察教师的教具,研究其变化情况,可以发现:矩形是平行四边形的特例,属于平行四边形,因此它具有平行四边形的所有性质. 问题2:既然它具有平行四边形的所有性质,?那么矩形是否具有它独特的性质

初三上册数学知识点归纳人教版

初三上册数学知识点归纳人教版 【篇一】 不等式的概念 1、不等式:用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式。 2、不等式的解集:对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不等式的解。 3、对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集。 4、求不等式的解集的过程,叫做解不等式。 5、用数轴表示不等式的方法。 不等式基本性质 1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。 3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。 4、说明:①在一元一次不等式中,不像等式那样,等号是不变的,是随着加或乘的运算改变。②如果不等式乘以0,那么不等号改为等号所以在题目中,要求出乘以的数,那么就要看看题中是否出现一元一次不等式,如果出现了,那么不等式乘以的数就

不等为0,否则不等式不成立。 一元一次不等式 1、一元一次不等式的概念:一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是1,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式。 2、解一元一次不等式的一般步骤:(1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5)将x项的系数化为1. 一元一次不等式组 1、一元一次不等式组的概念:几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。 2、几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 3、求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。 4、当任何数x都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 5、一元一次不等式组的解法 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集。 (2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集。 6、不等式与不等式组 不等式:①用符号〉,=,〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式,不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数,不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号方向相反。

北师大版九年级上册数学矩形的性质教案

九年级数学上册教案 吧 斗 Assistant teacher 为 梦 想 奋

1.2矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 1.掌握矩形的概念和性质,理解矩形与平行四边形的区别与联系;(重点) 2.会运用矩形的概念和性质来解决有关问题.(难点) 一、情景导入 1.展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门、活动衣架、篱笆、井架等),想一想:这里面应用了平行四边形的什么性质? 2.思考:拿一个活动的平行四边形教具,轻轻拉动一个点,不管怎么拉,它还是一个平行四边形吗?为什么?(动画演示拉动过程如图) 3.再次演示平行四边形的移动过程,当移动到一个角是直角时停止,让学生观察这是什么图形(小学学过的长方形),引出本课题及矩形定义. 矩形是我们最常见的图形之一,例如书桌面、教科书的封面等都是矩形. 有一个角是直角的平行四边形是矩形.矩形是平行四边形,但平行四边形不一定是矩形,矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质. 二、合作探究 探究点一:矩形的性质 【类型一】矩形的四个角都是直角 如图,矩形ABCD中,点E在BC上,且AE平分∠BAC.若BE=4,AC=15,则△AEC的面积为() A.15 B.30 C.45 D.60 解析:如图,过E作EF⊥AC,垂足为F.

∵AE 平分∠BAC ,EF ⊥AC ,BE ⊥AB , ∴EF =BE =4, ∴S △AEC =12AC ·EF =1 2 ×15×4=30.故选B. 方法总结:矩形的四个角都是直角,常作为证明或求值的隐含条件. 【类型二】 矩形的对角线相等 如图所示,矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ,∠AOD =60°,AD =2,则AC 的长是( ) A .2 B .4 C .23 D .43 解析:根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC =OD =OA =1 2AC ,由∠AOD =60°得 △AOD 为等边三角形,即可求出AC 的长. ∵四边形ABCD 为矩形, ∴AC =BD ,OA =OC =12AC ,OD =OB =1 2 BD , ∴OA =OD .∵∠AOD =60°, ∴△AOD 为等边三角形, ∴OA =OD =2,∴AC =2OA =4. 故选B. 方法总结:矩形的两条对角线互相平分且相等,即对角线把矩形分成四个等腰三角形,当两条对角线的夹角为60°或120°时,图中有等边三角形,从而可以利用等边三角形的性质解题. 探究点二:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图,已知BD ,CE 是△ABC 不同边上的高,点G ,F 分别是BC ,DE 的中点, 试说明GF ⊥DE . 解析:本题的已知条件中已经有直角三角形,有斜边上的中点,由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理. 解:连接EG ,DG . ∵BD ,CE 是△ABC 的高, ∴∠BDC =∠BEC =90°. ∵点G 是BC 的中点,

相关文档
相关文档 最新文档