一题打天下之函数与导数36问

一题打天下之函数与导数

考点1：切线问题

已知函数322

()f x x ax bx a =+++

（１）当0a =，3b =-时，求()f x 在横坐标２处的切线方程

（2）若()f x 在横坐标－１处的切线方程为44y x =+，求,a b 的值

（3）当3a =-，2b =时，求曲线()9y f x =-过原点的切线方程

（4）当1b =时，曲线()y f x =存在垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围

（5）当0a =，2b =-时，求曲线()y f x =上的点到射线4(0)y x x =-≥的距离的最小值，并求这一点的坐标。考点2：单调性

已知函数322()f x x ax bx a =+++

（1）当0a =，3b =-时，求()f x 的单调区间

(2)当4b =时，若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围．

(3)当4b =时，若f (x )在(0，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．

（4）当0a =时，若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，求a 的取值范围

（5）当0a =时，若f (x )的单调递减区间为(－1,1)，求a 的值．

（6）当0a =若f (x )在区间(－1,1)上存在减区间，求a 的取值范围

（7）当0a =若f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围

(8)当b=0时讨论f (x )在[0,2]的单调性；

考点3：极值问题

已知函数322()f x x ax bx a =+++

（1）当0a =，12b =-时，求()f x 在的极值

（2）若()f x 在1x =处取得极小值0，求()f x 的极大值

（3）当3b =时，函数()f x 有两个不同的极值点（或三个单调区间），求a 的取值范围。

（4）当3b =时，函数()f x 在(2,3)至少有一个极值点，求a 的取值范围

（5）当1b =时，函数()f x 在(0,)+∞上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围。

(6)当0b =时，讨论函数()f x 在区间[0,2]上的极值

考点4：最值

已知函数322()f x x ax bx a =+++

（1）当32a =-

，0b =时，求()f x 在区间[0,2]上的最值 （2）若230a b -=，求函数()f x 在区间[-1,6]上的最小值()g a ，并求函数()g a 取得最小值时的a,b 的值

（3）当0b =时，讨论函数()f x 在区间[0,2]上的最小值

（4）当0b =时，若函数()f x 在区间[0,2]上的最小值为8,求a 的值

（5）当0b =时，讨论函数()f x 在区间[0,2]上的最大值

（6）当0b =时，若函数()f x 在区间[0,2]上的最大值为(2)f ，求a 的取值范围

考点5：不等式恒成立问题

已知函数322()f x x ax bx a =+++

（1）当1a =-时，若对任意的[0,)x ∈+∞，都有()f x 0≥恒成立求b 的取值范围

（2）当2b a =-时，若对任意的(2,)x ∈+∞，都有()f x >2a 恒成立，求a 的取值范围

（3）当9b =时，若对任意的(0,)x ∈+∞，都有6ln '()0x x f x +≥恒成立，求a 的取值范围

（4）当0a =，3b =-时，证明：任意的x R ∈，都有1()2x x f x e e

+≥-恒成立 （5）当0b =时，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞且12x x <都有1212()()()f x f x a x x -<-成立，求a 的取值范围

(6) 当1a =-时，若(,0)x ?∈-∞都有()x f x e ≤恒成立，求b 的取值范围（思路1参变分离+洛必达求极限，思路2分类讨论+放缩取点）

考点6：零点问题

已知函数322()f x x ax bx a =+++

（1）当0a =，3b =-时，讨论方程()f x =m 的根的个数

( 2 ) 当2b a =-时，讨论函数()f x 的零点个数

( 3 ) 当2b a =-时，若函数()f x 有两个零点求a 的取值范围

（4）当b a =-， 若()f x 在(0,)+∞上有两个极值点，求a 的取值范围（极值点转零点）

（5）当b a =-， 若()f x 在(0,)+∞上有两个极值点12,x x ，求证122x x +> （极值点偏移）