椭圆问题例解
一、已知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。
例1:已知椭圆的焦点是F 1(0,-1)、F 2(0,1),P 是椭圆上一点,并且PF 1+PF 2=2F 1F 2,求椭圆的标准方程。
解:由PF 1+PF 2=2F 1F 2=2×2=4,得2a =4.又c =1,所以b 2=3.
所以椭圆的标准方程是y 24+x 2
3=1.
2.已知椭圆的两个焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),且2a =10,求椭圆的标准方程. 解:由椭圆定义知c =1,∴b =52
-1=24.∴椭圆的标准方程为x 225+y 2
24
=1.
二、未知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。
例:1. 椭圆的一个顶点为()02,A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.
解:(1)当()02,A 为长轴端点时,2=a ,1=b ,
椭圆的标准方程为:11
42
2=+y x ; (2)当()02,A 为短轴端点时,2=b ,4=a , 椭圆的标准方程为:
116
42
2=+y x ;
三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出,求椭圆的标准方程。
例.求过点(-3,2)且与椭圆x 29+y 2
4
=1有相同焦点的椭圆的标准方程.
解:因为c 2
=9-4=5,所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2a 2-5=1.由点(-3,2)在椭圆上知9
a 2+
4a 2
-5
=1,所以a 2
=15.所以所求椭圆的标准方程为x 215+y 2
10
=1.
四、与直线相结合的问题,求椭圆的标准方程。
例: 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.
解:由题意,设椭圆方程为12
22=+y a
x ,
由?????=+=-+1012
22y a
x y x ,得()021222=-+x a x a , ∴22
2112a
a x x x M +=+=,2111a x y M M +=-=,
41
12===a x y k M M OM ,∴42=a ,
∴14
22
=+y x 为所求.
五、求椭圆的离心率问题。
例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率.
解:31222??=c a c ∴223a c =,∴333
1-=e . 例2 已知椭圆
19
82
2=++y k x 的离心率21=e ,求k 的值. 解:当椭圆的焦点在x 轴上时,82
+=k a ,92
=b ,得12
-=k c .由2
1
=e ,得4=k . 当椭圆的焦点在y 轴上时,92
=a ,82
+=k b ,得k c -=12
.
由21=
e ,得
4191=-k ,即4
5
-=k . ∴满足条件的4=k 或4
5
-=k .
六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题
例:1.若△ABC 的两个顶点坐标A (-4,0),B (4,0),△ABC 的周长为18,求顶点C 的轨迹方程。
解:顶点C 到两个定点A ,B 的距离之和为定值10,且大于两定点间的距离,因此顶点C 的轨迹为椭圆,并且2a =10,所以a =5,2c =8,所以c =4,所以
b 2=a 2-
c 2
=9,故顶点C 的轨迹方程为x 225+y 29=1.又A 、B 、C 三点构成
三角形,所以y ≠0.所以顶点C 的轨迹方程为x 225+y 29=1(y ≠0)答案:
x 2
25+
y 2
9=1(y ≠0)
2.已知椭圆的标准方程是x 2a 2+y 2
25=1(a >5),它的两焦点分别是F 1,F 2,且F 1F 2=8,弦AB 过点F 1,求△ABF 2
的周长.
4a =441.
3.设F 1、F 2是椭圆x 29+y 2
4
=1的两个焦点,P 是椭圆上的点,且PF 1∶PF 2=2∶1,求△PF 1F 2的
面积.
△PF 1F 2的面积为12PF 1·PF 2=1
2×2×4=4.
七、直线与椭圆的位置问题
例 已知椭圆1222=+y x ,求过点??
?
??2121,P 且被P 平分的弦所在的直线方程.
解法一:设所求直线的斜率为k ,则直线方程为??? ?
?
-=-2121x k y .代入椭圆方程,并整理得
()()023
2122212222=+-+--+k k x k k x k .
由韦达定理得2
2212122k k
k x x +-=+.
∵P 是弦中点,∴121=+x x .故得2
1
-=k .
所以所求直线方程为0342=-+y x .
解法二:设过???
??2121,P 的直线与椭圆交于()11y x A ,、()22y x B ,,则由题意得
?
????????=+=+=+=+④1.
③1②12
①1221212
2222
121y y x x y x y x ,
,
,
①-②得
02
2
2212
221=-+-y y x x . ⑤ 将③、④代入⑤得2
1
2121-=--x x y y ,即直线的斜率为21-.
所求直线方程为0342=-+y x .
八、椭圆中的最值问题
例 椭圆112
162
2=+y x 的右焦点为F ,过点()
31,A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标.
解:由已知:4=a ,2=c .所以2
1
=e ,右准线8=x l :.
过A 作l AQ ⊥,垂足为Q ,交椭圆于M ,故MF MQ 2=.显然MF AM 2+的最小值为AQ ,
即M 为所求点,因此3=M y ,且M 在椭圆上.故32=M x .所以()
332,M .
双曲线问题例解
一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。
例1 讨论
19252
2=-+-k
y k x 表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征. 解:(1)当9
,16222=-=b a c ,这些椭圆有共同的焦点(-4,0),(4,0).
(2)当259<
,k b -=92,16222=+=b a c ,这些双曲线也有共同的焦点(-4,0),)(4,0).
(3)25 例2 根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)过点??? ??4153,P ,?? ? ??- 5316,Q 且焦点在坐标轴上. (2)6=c ,经过点(-5,2),焦点在x 轴上. (3)与双曲线14 162 2=-y x 有相同焦点,且经过点() 223, 解:(1)设双曲线方程为 12 2=+n y m x ∵ P 、Q 两点在双曲线上, ∴???????=+=+1259256116225 9n m n m 解得???=-=916n m ∴所求双曲线方程为19 162 2=+-y x 说明:采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论,得“巧求”的目的. (2)∵焦点在x 轴上,6= c , ∴设所求双曲线方程为: 162 2=--λ λy x (其中60<<λ) ∵双曲线经过点(-5,2),∴ 16425=--λ λ ∴5=λ或30=λ(舍去) ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x 说明:以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉. (3)设所求双曲线方程为: ()16014162 2<<=+--λλλy x ∵双曲线过点() 223,,∴ 144 1618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ(舍) ∴所求双曲线方程为 18 122 2=-y x 三、求与双曲线有关的角度问题。 例 3 已知双曲线 116 92 2=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ,点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ,求21PF F ∠的大小. 解:∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF ∴362212 22 1=-+PF PF PF PF ∴1002 22 1=+PF PF ∵() 10044122222 1=+==b a c F F ∴ 9021=∠PF F (2)题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键,应引起我们的重视,若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢?请读者试探索. 四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。 例 4 已知1F 、2F 是双曲线14 22 =-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足 9021=∠PF F ,求21PF F ?的面积. 分析:利用双曲线的定义及21PF F ?中的勾股定理可求21PF F ?的面积. 解:∵P 为双曲线14 22 =-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点. ∴4221==-a PF PF ,52221==c F F ∵ 9021=∠PF F ∴在21F PF Rt ?中,202 21222 1==+F F PF PF ∵() 162212 22 12 2 1=-+=-PF PF PF PF PF PF ∴1622021=-PF PF ∴221=?PF PF ∴12 1 2121=?= ?PF PF S PF F 五、根据双曲线的定义求其标准方程。 例5 已知两点()051,-F 、()052,F ,求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹. 解:根据双曲线定义,可知所求点的轨迹是双曲线. ∵5=c ,3=a ∴164352 2 2 2 2 2 ==-=-=a c b ∴所求方程 116 92 2=-y x 为动点的轨迹方程,且轨迹是双曲线. 例 P 是双曲线136642 2=-y x 上一点,1F 、2F 是双曲线的两个焦点,且171=PF ,求2PF 的值. 解:在双曲线 136 642 2=-y x 中,8=a ,6=b ,故10=c . 由P 是双曲线上一点,得1621=-PF PF . ∴12=PF 或332=PF . 又22=-≥a c PF ,得332=PF . 六、求与圆有关的双曲线方程。 例6 求下列动圆圆心M 的轨迹方程: (1)与⊙()2222 =++y x C :内切,且过点()02, A (2)与⊙()112 21=-+y x C :和⊙()412 22=++y x C :都外切. (3)与⊙()9322 1=++y x C :外切,且与⊙()1322 2=+-y x C :内切. 解:设动圆M 的半径为r (1)∵⊙1C 与⊙M 内切,点A 在⊙C 外 ∴2-=r MC ,r MA =,2=-MC MA ∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支,且有: 2 2= a ,2=c ,272 22=-=a c b ∴双曲线方程为() 217 2222 -≤=-x y x (2)∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ,22+=r MC , 112=-MC MC ∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支,且有: 21= a ,1=c ,4 32 22=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为: ??? ? ?≥=-43134422 y x y (3)∵⊙M 与⊙1C 外切,且与⊙2C 内切 ∴31+=r MC ,12-=r MC ,421=-MC MC ∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支,且有: 2=a ,3=c ,5222=-=a c b ∴所求双曲线方程为: ()215 42 2≥=-x y x 抛物线问题例 一、求抛物线的标准方程。 例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程. (1)y x 42= (2))0(2≠=a ay x 解:(1)2=p ,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是:1-=y (2)原抛物线方程为:x a y 12 =,a p 1 2=∴ ①当0>a 时, a p 41