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椭圆、双曲线。抛物线问题例解及练习

椭圆问题例解

一、已知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。

例1:已知椭圆的焦点是F 1(0,-1)、F 2(0,1),P 是椭圆上一点,并且PF 1+PF 2=2F 1F 2,求椭圆的标准方程。

解:由PF 1+PF 2=2F 1F 2=2×2=4,得2a =4.又c =1,所以b 2=3.

所以椭圆的标准方程是y 24+x 2

3=1.

2.已知椭圆的两个焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),且2a =10,求椭圆的标准方程. 解:由椭圆定义知c =1,∴b =52

-1=24.∴椭圆的标准方程为x 225+y 2

24

=1.

二、未知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。

例:1. 椭圆的一个顶点为()02,A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.

解:(1)当()02,A 为长轴端点时,2=a ,1=b ,

椭圆的标准方程为:11

42

2=+y x ; (2)当()02,A 为短轴端点时,2=b ,4=a , 椭圆的标准方程为:

116

42

2=+y x ;

三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出,求椭圆的标准方程。

例.求过点(-3,2)且与椭圆x 29+y 2

4

=1有相同焦点的椭圆的标准方程.

解:因为c 2

=9-4=5,所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2a 2-5=1.由点(-3,2)在椭圆上知9

a 2+

4a 2

-5

=1,所以a 2

=15.所以所求椭圆的标准方程为x 215+y 2

10

=1.

四、与直线相结合的问题,求椭圆的标准方程。

例: 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.

解:由题意,设椭圆方程为12

22=+y a

x ,

由?????=+=-+1012

22y a

x y x ,得()021222=-+x a x a , ∴22

2112a

a x x x M +=+=,2111a x y M M +=-=,

41

12===a x y k M M OM ,∴42=a ,

∴14

22

=+y x 为所求.

五、求椭圆的离心率问题。

例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率.

解:31222??=c a c ∴223a c =,∴333

1-=e . 例2 已知椭圆

19

82

2=++y k x 的离心率21=e ,求k 的值. 解:当椭圆的焦点在x 轴上时,82

+=k a ,92

=b ,得12

-=k c .由2

1

=e ,得4=k . 当椭圆的焦点在y 轴上时,92

=a ,82

+=k b ,得k c -=12

由21=

e ,得

4191=-k ,即4

5

-=k . ∴满足条件的4=k 或4

5

-=k .

六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题

例:1.若△ABC 的两个顶点坐标A (-4,0),B (4,0),△ABC 的周长为18,求顶点C 的轨迹方程。

解:顶点C 到两个定点A ,B 的距离之和为定值10,且大于两定点间的距离,因此顶点C 的轨迹为椭圆,并且2a =10,所以a =5,2c =8,所以c =4,所以

b 2=a 2-

c 2

=9,故顶点C 的轨迹方程为x 225+y 29=1.又A 、B 、C 三点构成

三角形,所以y ≠0.所以顶点C 的轨迹方程为x 225+y 29=1(y ≠0)答案:

x 2

25+

y 2

9=1(y ≠0)

2.已知椭圆的标准方程是x 2a 2+y 2

25=1(a >5),它的两焦点分别是F 1,F 2,且F 1F 2=8,弦AB 过点F 1,求△ABF 2

的周长.

4a =441.

3.设F 1、F 2是椭圆x 29+y 2

4

=1的两个焦点,P 是椭圆上的点,且PF 1∶PF 2=2∶1,求△PF 1F 2的

面积.

△PF 1F 2的面积为12PF 1·PF 2=1

2×2×4=4.

七、直线与椭圆的位置问题

例 已知椭圆1222=+y x ,求过点??

?

??2121,P 且被P 平分的弦所在的直线方程.

解法一:设所求直线的斜率为k ,则直线方程为??? ?

?

-=-2121x k y .代入椭圆方程,并整理得

()()023

2122212222=+-+--+k k x k k x k .

由韦达定理得2

2212122k k

k x x +-=+.

∵P 是弦中点,∴121=+x x .故得2

1

-=k .

所以所求直线方程为0342=-+y x .

解法二:设过???

??2121,P 的直线与椭圆交于()11y x A ,、()22y x B ,,则由题意得

?

????????=+=+=+=+④1.

③1②12

①1221212

2222

121y y x x y x y x ,

①-②得

02

2

2212

221=-+-y y x x . ⑤ 将③、④代入⑤得2

1

2121-=--x x y y ,即直线的斜率为21-.

所求直线方程为0342=-+y x .

八、椭圆中的最值问题

例 椭圆112

162

2=+y x 的右焦点为F ,过点()

31,A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标.

解:由已知:4=a ,2=c .所以2

1

=e ,右准线8=x l :.

过A 作l AQ ⊥,垂足为Q ,交椭圆于M ,故MF MQ 2=.显然MF AM 2+的最小值为AQ ,

即M 为所求点,因此3=M y ,且M 在椭圆上.故32=M x .所以()

332,M .

双曲线问题例解

一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。

例1 讨论

19252

2=-+-k

y k x 表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征. 解:(1)当9-k ,09>-k ,所给方程表示椭圆,此时k a -=252,k b -=92

,16222=-=b a c ,这些椭圆有共同的焦点(-4,0),(4,0).

(2)当259<-k ,09<-k ,所给方程表示双曲线,此时,k a -=252

,k b -=92,16222=+=b a c ,这些双曲线也有共同的焦点(-4,0),)(4,0).

(3)25

例2 根据下列条件,求双曲线的标准方程.

(1)过点??? ??4153,P ,??

?

??-

5316,Q 且焦点在坐标轴上.

(2)6=c ,经过点(-5,2),焦点在x 轴上.

(3)与双曲线14

162

2=-y x 有相同焦点,且经过点()

223, 解:(1)设双曲线方程为

12

2=+n

y m x ∵ P 、Q 两点在双曲线上, ∴???????=+=+1259256116225

9n

m n m 解得???=-=916n m

∴所求双曲线方程为19

162

2=+-y x 说明:采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论,得“巧求”的目的. (2)∵焦点在x 轴上,6=

c ,

∴设所求双曲线方程为:

162

2=--λ

λy x (其中60<<λ) ∵双曲线经过点(-5,2),∴

16425=--λ

λ ∴5=λ或30=λ(舍去)

∴所求双曲线方程是15

22

=-y x 说明:以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉.

(3)设所求双曲线方程为:

()16014162

2<<=+--λλλy x ∵双曲线过点()

223,,∴

144

1618=++-λ

λ

∴4=λ或14-=λ(舍)

∴所求双曲线方程为

18

122

2=-y x 三、求与双曲线有关的角度问题。

例 3 已知双曲线

116

92

2=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ,点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ,求21PF F

∠的大小. 解:∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF

∴362212

22

1=-+PF PF PF PF ∴1002

22

1=+PF PF

∵()

10044122222

1=+==b a c F F

∴ 9021=∠PF F

(2)题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键,应引起我们的重视,若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢?请读者试探索.

四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。

例 4 已知1F 、2F 是双曲线14

22

=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足 9021=∠PF F ,求21PF F ?的面积.

分析:利用双曲线的定义及21PF F ?中的勾股定理可求21PF F ?的面积.

解:∵P 为双曲线14

22

=-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点. ∴4221==-a PF PF ,52221==c F F

∵ 9021=∠PF F

∴在21F PF Rt ?中,202

21222

1==+F F PF PF

∵()

162212

22

12

2

1=-+=-PF PF PF PF PF PF

∴1622021=-PF PF ∴221=?PF PF ∴12

1

2121=?=

?PF PF S PF F 五、根据双曲线的定义求其标准方程。 例5 已知两点()051,-F 、()052,F ,求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹.

解:根据双曲线定义,可知所求点的轨迹是双曲线. ∵5=c ,3=a

∴164352

2

2

2

2

2

==-=-=a c b

∴所求方程

116

92

2=-y x 为动点的轨迹方程,且轨迹是双曲线.

例 P 是双曲线136642

2=-y x 上一点,1F 、2F 是双曲线的两个焦点,且171=PF ,求2PF 的值. 解:在双曲线

136

642

2=-y x 中,8=a ,6=b ,故10=c . 由P 是双曲线上一点,得1621=-PF PF .

∴12=PF 或332=PF .

又22=-≥a c PF ,得332=PF . 六、求与圆有关的双曲线方程。

例6 求下列动圆圆心M 的轨迹方程:

(1)与⊙()2222

=++y x C :内切,且过点()02,

A (2)与⊙()112

21=-+y x C :和⊙()412

22=++y x C :都外切.

(3)与⊙()9322

1=++y x C :外切,且与⊙()1322

2=+-y x C :内切. 解:设动圆M 的半径为r

(1)∵⊙1C 与⊙M 内切,点A 在⊙C 外

∴2-=r MC ,r MA =,2=-MC MA

∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支,且有:

2

2=

a ,2=c ,272

22=-=a c b

∴双曲线方程为()

217

2222

-≤=-x y x (2)∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切

∴11+=r MC ,22+=r MC ,

112=-MC MC

∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支,且有:

21=

a ,1=c ,4

32

22=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为:

??? ?

?≥=-43134422

y x y

(3)∵⊙M 与⊙1C 外切,且与⊙2C 内切

∴31+=r MC ,12-=r MC ,421=-MC MC ∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支,且有:

2=a ,3=c ,5222=-=a c b

∴所求双曲线方程为:

()215

42

2≥=-x y x

抛物线问题例

一、求抛物线的标准方程。

例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程.

(1)y x 42= (2))0(2≠=a ay x 解:(1)2=p ,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是:1-=y (2)原抛物线方程为:x a y 12

=,a

p 1

2=∴ ①当0>a 时,

a p 41

2=,抛物线开口向右, ∴焦点坐标是)0,41(a ,准线方程是:a x 41-=. ②当0

2-=,抛物线开口向左,

∴焦点坐标是)0,41(a ,准线方程是:a

x 41-=. 综合上述,当0≠a 时,抛物线2ay x =的焦点坐标为)0,41(a ,准线方程是:a

x 41-=.

二、求直线与抛物线相结合的问题

例2 若直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点,且AB 中点的横坐标为2,求此直线方程.

解法一:设),(11y x A 、),(22y x B ,则由:??

?=-=x

y kx y 82

2

可得:04)84(2

2=++-x k x k .

∵直线与抛物线相交,0≠∴k 且0>?,则1->k .

∵AB 中点横坐标为:28

422

21

=+=+∴k k x x , 解得:2=k 或1-=k (舍去). 故所求直线方程为:22-=x y .

解法二:设),(11y x A 、),(22y x B ,则有22

21

2188x y x y ==. 两式作差解:)(8))((212121x x y y y y -=+-,即2

121218

y y x x y y +=

--. 421=+x x 444)(22212121-=-+=-+-=+∴k x x k kx kx y y ,

4

48

-=∴k k 故2=k 或1-=k (舍去).

则所求直线方程为:22-=x y .

三、求直线中的参数问题

例3(1)设抛物线x y 42

=被直线k x y +=2截得的弦长为53,求k 值.

(2)以(1)中的弦为底边,以x 轴上的点P 为顶点作三角形,当三角形的面积为9时,求P 点坐标.

解:(1)由???+==k

x y x

y 242得:0)44(422=+-+k x k x

设直线与抛物线交于),(11y x A 与),(22y x B 两点.则有:4,12

2121k x x k x x =?-=+

[][]

)

21(5)1(54)(5))(21(22212212212k k k x x x x x x AB -=--=-+=-+=∴

53)21(5,53=-∴=∴k AB ,即4-=k

(2)9=?S ,底边长为53,∴三角形高55

65

392=?=h ∵点P 在x 轴上,∴设P 点坐标是)0,(0x 则点P 到直线42-=x y 的距离就等于h ,即

5

5

6124022

20=

+--x 10-=∴x 或50=x ,即所求P 点坐标是(-1,0)或(5,0). 四、与抛物线有关的最值问题

例4 定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动,求AB 的中点到y 轴的距离的

最小值,并求出此时AB 中点的坐标.

解:如图,设F 是x y =2的焦点,A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ,又M 到准线的垂线为MN ,C

、D 和N 是垂足,则

2

321)(21)(21=≥+=+=

AB BF AF BD AC MN . 设M 点的横坐标为x ,纵坐标为y ,41+=x MN ,则4

5

4123=-≥x .

等式成立的条件是AB 过点F .

当45=x 时,4

12

21-=-=P y y ,故

22

122)(212

221221=-=++=+x y y y y y y ,

221±=+y y ,2

2±=y . 所以)22

,45(±M ,此时M 到y 轴的距离的最小值为45.

例 已知点)2,3(M ,F 为抛物线x y 22=的焦点,点P 在该抛物线上移动,当PF PM +取最小值时,点P 的坐标为__________.

解:如图,

由定义知PE PF =,故2

13

=≥≥+=+MN ME PM PF PF PM . 取等号时,M 、P 、E 三点共线,∴P 点纵坐标为2,代入方程,求出其横坐标为2, 所以P 点坐标为)2,2(.

椭圆问题练习

一、已知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。

例1:已知椭圆的焦点是F 1(0,-1)、F 2(0,1),P 是椭圆上一点,并且PF 1+PF 2=2F 1F 2,求椭圆的标准方程。

二、未知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。

例:1. 椭圆的一个顶点为()02,A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.

三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出,求椭圆的标准方程。

例.求过点(-3,2)且与椭圆x 29+y 2

4

=1有相同焦点的椭圆的标准方程.

四、与直线相结合的问题,求椭圆的标准方程。

例: 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.

五、求椭圆的离心率问题。

例 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率.

六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题

例:1.若△ABC 的两个顶点坐标A (-4,0),B (4,0),△ABC 的周长为18,求顶点C 的轨迹方程。

2.已知椭圆的标准方程是x 2

a 2+y 2

25=1(a >5),它的两焦点分别是F 1,F 2,且F 1F 2=8,弦AB 过点F 1,求△ABF 2的周长.

3.设F 1、F 2是椭圆x 29+y 2

4

=1的两个焦点,P 是椭圆上的点,且PF 1∶PF 2=2∶1,求△PF 1F 2的

面积.

七、直线与椭圆的位置问题

例 已知椭圆1222=+y x ,求过点??

?

??2121,P 且被P 平分的弦所在的直线方程.

八、椭圆中的最值问题

例 椭圆112

162

2=+y x 的右焦点为F ,过点()

31,A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标.

双曲线问题练习

一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。

1 讨论

19252

2=-+-k

y k x 表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征.

二、根据已知条件,求双曲线的标准方程。

2 根据下列条件,求双曲线的标准方程.

(1)过点??? ??4153,P ,??

?

??-

5316,Q 且焦点在坐标轴上.

(2)6=c ,经过点(-5,2),焦点在x 轴上.

(3)与双曲线14

162

2=-y x 有相同焦点,且经过点()

223,

三、求与双曲线有关的角度问题。

3 已知双曲线116

92

2=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ,点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ,求21PF F ∠的大小.

题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键,应引起我们的重视,若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢?

四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。

4 已知1F 、2F 是双曲线14

22

=-y x 的两个焦点,

点P 在双曲线上且满足 9021=∠PF F ,求21PF F ?的面积.

五、根据双曲线的定义求其标准方程。 5 已知两点()051,-F 、()052,F ,求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹.

6 P 是双曲线136

642

2=-y x 上一点,1F 、2F 是双曲线的两个焦点,且171=PF ,求2PF 的值.

六、用定义法求与圆有关的双曲线方程。

7 求下列动圆圆心M 的轨迹方程:

(1)与⊙()2222

=++y x C :内切,且过点()02,

A (2)与⊙()112

21=-+y x C :和⊙()412

22=++y x C :都外切.

(3)与⊙()9322

1=++y x C :外切,且与⊙()1322

2=+-y x C :内切.

抛物线问题练习

一、求抛物线的标准方程。

1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程.

(1)y x 42= (2))0(2≠=a ay x 分析:(1)先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种,求出p ,再写出焦点坐标和准线方程. (2)先把方程化为标准方程形式,再对a 进行讨论,确定是哪一种后,求p 及焦点坐标与准线方程.

二、求直线与抛物线相结合的问题 2 若直线2-=kx y 与抛物线x y 82

=交于A 、B 两点,且AB 中点的横坐标为2,求此直线方程.

三、求直线中的参数问题

3(1)设抛物线x y 42=被直线k x y +=2截得的弦长为53,求k 值.

(2)以(1)中的弦为底边,以x 轴上的点P 为顶点作三角形,当三角形的面积为9时,求P 点坐标.

四、与抛物线有关的最值问题

4 定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动,求AB 的中点到y 轴的距离的最小值,并求出此时AB 中点的坐标.

5 已知点)2,3(M ,F 为抛物线x y 22=的焦点,点P 在该抛物线上移动,当PF PM +取最小值时,点P 的坐标为__________.

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