第13章 电介质

第十三章 电介质

一、选择题

1、关于高斯定理，下列说法中哪一个是正确的？

(A) 高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D

为零．

(B) 高斯面的D

通量仅与面内自由电荷有关．

(C) 高斯面上处处D

为零，则面内必不存在自由电荷．

(D) 以上说法都不正确． ［ B ］ 2、关于静电场中的电位移线，下列说法中，哪一个是正确的？ (A) 起自正电荷，止于负电荷，不形成闭合线，不中断． (B) 任何两条电位移线互相平行． (C) 起自正自由电荷，止于负自由电荷，任何两条电位移线在无自由电荷的空间不相交． (D) 电位移线只出现在有电介质的空间． ［ C ］

3、一导体球外充满相对介电常量为εr 的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E ，则导体球面上的自由电荷面密度σ为

(A) ε 0 E ． (B) ε 0 ε r E ．

(C) ε r E ． (D) (ε 0 ε r - ε 0)E ． ［ B ］

4、在空气平行板电容器中，平行地插上一块各向同性均匀电介质板，如

图所示．当电容器充电后，若忽略边缘效应，则电介质中的场强E 与空

气中的场强0E

相比较，应有

(A) E = E 0，两者方向相同． (B) E > E 0，两者方向相同．

(C) E < E 0，两者方向相同． (D) E < E 0，两者方向相反． ［ C ］

5、设有一个带正电的导体球壳．当球壳内充满电介质、球壳外是真空时，球壳外一点的场强大小和电势用E 1，U 1表示；而球壳内、外均为真空时，壳外一点的场强大小和电势用E 2，

U 2表示，则两种情况下壳外同一点处的场强大小和电势大小的关系为 (A) E 1 = E 2，U 1 = U 2． (B) E 1 = E 2，U 1 > U 2．

(C) E 1 > E 2，U 1 > U 2． (D) E 1 < E 2，U 1 < U 2． ［ A ］

6、在一点电荷q 产生的静电场中，一块电介质如图放置，以点电荷所在

处为球心作一球形闭合面S ，则对此球形闭合面：

(A) 高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强． (B) 高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强． (C) 由于电介质不对称分布，高斯定理不成立． (D) 即使电介质对称分布，高斯定理也不成立．

［ B ］

7、一平行板电容器中充满相对介电常量为εr 的各向同性均匀电介质．已知介质表面极化电

荷面密度为±σ′，则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为：

E

(A) 0εσ'

．

(B) r εεσ0'

． (C) 0

2εσ'

． (D)

r

εσ'

． ［ A ］ 8、一平行板电容器始终与端电压一定的电源相联．当电容器两极板间为真空时，电场强度

为0E ，电位移为0D

，而当两极板间充满相对介电常量为εr 的各向同性均匀电介质时，电场

强度为E ，电位移为D

，则

(A) r E E ε/0 =，0D D =． (B) 0E E =，0D D r

ε=．

(C) r E E ε/0 =，r D D ε/0 =． (D) 0E E =，0D D

=． ［ B ］

9、在静电场中，作闭合曲面S ，若有0d =??S

S D (式中D

为电位移矢量)，则S 面内必定

(A) 既无自由电荷，也无束缚电荷． (B) 没有自由电荷． (C) 自由电荷和束缚电荷的代数和为零．

(D) 自由电荷的代数和为零． ［ D ］ 10、一个大平行板电容器水平放置，两极板间的一半空间充有各向同性均匀电介质，另一半为空气，如图．当两极板带上恒定的等量异号电荷时，

有一个质量为m 、带电荷为+q 的质点，在极板间的空气区域中处于平衡．此后，若把电介质抽去 ，则该质点 (A) 向下运动． (B) 向上运动． (C) 保持不动． (D) 是否运动不能确定．

［ B ］

11、C 1和C 2两空气电容器串联以后接电源充电．在电源保持联接

的情况下，在C 2中插入一电介质板，则 (A) C 1极板上电荷增加，C 2极板上电荷增加． (B) C 1极板上电荷减少，C 2极板上电荷增加． (C) C 1极板上电荷增加，C 2极板上电荷减少．

(D) C 1极板上电荷减少，C 2极板上电荷减少． ［ A ］

12、C 1和C 2两空气电容器并联以后接电源充电．在电源保持联接的情况下，在C 1中插入一电介质板，如图所示, 则 (A) C 1极板上电荷增加，C 2极板上电荷减少． (B) C 1极板上电荷减少，C 2极板上电荷增加． (C) C 1极板上电荷增加，C 2极板上电荷不变．

(D) C 1极板上电荷减少，C 2极板上电荷不变． ［ C ］

13、C 1和C 2两空气电容器，把它们串联成一电容器组．若在C 1

中插入一电介质板，则 (A) C 1的电容增大，电容器组总电容减小． (B) C 1的电容增大，电容器组总电容增大． (C) C 1的电容减小，电容器组总电容减小．

+Q

12

(D) C 1的电容减小，电容器组总电容增大． ［ B ］

14、C 1和C 2两空气电容器并联起来接上电源充电．然后将电源断开，

再把一电介质板插入C 1中，如图所示, 则

(A) C 1和C 2极板上电荷都不变． (B) C 1极板上电荷增大，C 2极板上电荷不变． (C) C 1极板上电荷增大，C 2极板上电荷减少． (D) C 1极板上电荷减少，C 2极板上电荷增大． ［ C ］ 15、如果在空气平行板电容器的两极板间平行地插入一块与极板面积相同的各向同性均匀电

介质板，由于该电介质板的插入和它在两极板间的位置不同，对电容器电容的影响为： (A) 使电容减小，但与介质板相对极板的位置无关． (B) 使电容减小，且与介质板相对极板的位置有关． (C) 使电容增大，但与介质板相对极板的位置无关．

(D) 使电容增大，且与介质板相对极板的位置有关． ［ C ］ 16、如果在空气平行板电容器的两极板间平行地插入一块与极板面积相同的金属板，则由于金属板的插入及其相对极板所放位置的不同，对电容器电容的影响为： (A) 使电容减小，但与金属板相对极板的位置无关． (B) 使电容减小，且与金属板相对极板的位置有关． (C) 使电容增大，但与金属板相对极板的位置无关．

(D) 使电容增大，且与金属板相对极板的位置有关． ［ C ］

17、如果某带电体其电荷分布的体密度 增大为原来的2倍，则其电场的能量变为原来的 (A) 2倍． (B) 1/2倍．

(C) 4倍． (D) 1/4倍． ［ C ］ 18、如图所示, 一球形导体，带有电荷q ，置于一任意形状的空腔导体中．当用导线将两者连接后，则与未连接前相比系统静电场能量将 (A) 增大． (B) 减小． (C) 不变． (D) 如何变化无法确定．

［ B ］

19、一空气平行板电容器充电后与电源断开，然后在两极板间充满某种各向同性、均匀电介质，则电场强度的大小E 、电容C 、电压U 、电场能量W 四个量各自与充入介质前相比较，增大(↑)或减小(↓)的情形为

(A) E ↑，C ↑，U ↑，W ↑． (B) E ↓，C ↑，U ↓，W ↓． (C) E ↓，C ↑，U ↑，W ↓．

(D) E ↑，C ↓，U ↓，W ↑． ［ B ］

20、一平行板电容器充电后仍与电源连接，若用绝缘手柄将电容器两极板间距离拉大，则极板上的电荷Q 、电场强度的大小E 和电场能量W 将发生如下变化

(A) Q 增大，E 增大，W 增大． (B) Q 减小，E 减小，W 减小． (C) Q 增大，E 减小，W 增大．

(D) Q 增大，E 增大，W 减小． ［ B ］

21、真空中有“孤立的”均匀带电球体和一均匀带电球面，如果它们的半径和所带的电荷都相等．则它们的静电能之间的关系是 (A) 球体的静电能等于球面的静电能． (B) 球体的静电能大于球面的静电能． (C) 球体的静电能小于球面的静电能．

(D) 球体内的静电能大于球面内的静电能，球体外的静电能小于球面外的静电能．

［ B ］

22、将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后，断开电

源．再将一块与极板面积相同的金属板平行地插入两极板之间，如图

所示, 则由于金属板的插入及其所放位置的不同，对电容器储能的影响为：

(A) 储能减少，但与金属板相对极板的位置无关． (B) 储能减少，且与金属板相对极板的位置有关． (C) 储能增加，但与金属板相对极板的位置无关．

(D) 储能增加，且与金属板相对极板的位置有关． ［ A ］

23、将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后，在保持与电源连接的情况下，再将一块与极板面积相同的金属板平行地插入两极板之间，如图所示．金属板的插入及其所处位置的不同，对电容器

储存电能的影响为：

(A) 储能减少，但与金属板相对极板的位置无关．

(B) 储能减少，且与金属板相对极板的位置有关． (C) 储能增加，但与金属板相对极板的位置无关．

(D) 储能增加，且与金属板相对极板的位置有关． ［ C ］

24、将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后，断开电源．再将一块与极板面积相同的各向同性均匀电介质板平行地插入两极板之间，如图所示. 则由于介质板的插入及其所放位置的不同，对电容器储能的影响为：

(A) 储能减少，但与介质板相对极板的位置无关． (B) 储能减少，且与介质板相对极板的位置有关． (C) 储能增加，但与介质板相对极板的位置无关． (D) 储能增加，且与介质板相对极板的位置有关．

［ A ］

25、将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后，在保持与电源连接的情况下，把一块与极板面积相同的各向同性均匀电介质板平行地插入两极板之间，如图所示．介质板的插入及其所处位置的不同，对电容器储存电能的影响为：

(A) 储能减少，但与介质板相对极板的位置无关．

(B) 储能减少，且与介质板相对极板的位置有关．

(C) 储能增加，但与介质板相对极板的位置无关．

(D) 储能增加，且与介质板相对极板的位置有关．［ C ］

二、填空题

1、分子的正负电荷中心重合的电介质叫做_______________ 电介质。

答案：无极分子

2、在外电场作用下，分子的正负电荷中心发生相对位移，形成___________________

答案：电偶极子

7、一平行板电容器，充电后与电源保持联接，然后使两极板间充满相对介电常量为εr的各向同性均匀电介质，这时两极板上的电场强度是原来的_________倍。

答案：1

17、如图所示，平行板电容器中充有各向同性均匀电介质．图中两组带有箭头的线分别表示电场线、电位移线．则其中(1)为__________________线。

(1)(2)

答案：电位移

18、如图所示，平行板电容器中充有各向同性均匀电介质．图中两组带有箭头的线分别表示电场线、电位移线．则其中(2)为__________________线。

(1)(2)

答案：电场

21、两个点电荷在真空中相距d1 = 7 cm时的相互作用力与在煤油中相距d2 = 5cm时的相互作用力相等，则煤油的相对介电常量εr =___________

答案：1.96

24、两个电容器1和2，串联以后接上电动势恒定的电源充电．在电源保持联接的情况下，

若把电介质充入电容器2中，则电容器1上的电势差____________。(填增大、减小、不变) 答案：增大

25、两个电容器1和2，串联以后接上电动势恒定的电源充电．在电源保持联接的情况下，若把电介质充入电容器2中，则电容器1极板上的电荷__________．(填增大、减小、不变) 答案：增大

26、设雷雨云位于地面以上500 m的高度，其面积为107 m2，为了估算，把它与地面看作一个平行板电容器，此雷雨云与地面间的电场强度为104 V/m，若一次雷电即把雷雨云的电能全部释放完，则此能量相当于质量为______________kg的物体从500 m高空落到地面所释放的能量．(真空介电常量ε 0 = 8.85×10-12 C2·N-1·m-2 )

答案：452

27、真空中均匀带电的球面和球体，如果两者的半径和总电荷都相等，则带电球面的电场能量W1与带电球体的电场能量W2相比，W1________ W2 (填<、=、>)．

答案：<

32、1、2是两个完全相同的空气电容器．将其充电后与电源断开，再将一块各向同性均匀电介质板插入电容器1的两极板间，如图所示, 则电容器2的电压U2如何变化？(填增大，减小或不变)_________。

答案：减小

33、1、2是两个完全相同的空气电容器．将其充电后与电源断开，再将一块各向同性均匀电介质板插入电容器1的两极板间，如图所示, 则电容器2的电场能量W2如何变化？(填增大，减小或不变) W2_____________．

答案：减小

34、两个空气电容器1和2，并联后接在电压恒定的直流电源上，如图所示．今有一块各向同性均匀电介质板缓慢地插入电容器1中，则电容器组的总电荷将__________。(填增大，减小或不变)

答案：增大

35、两个空气电容器1和2，并联后接在电压恒定的直流电源上，如图所示．今有一块各向同性均匀电介质板缓慢地插入电容器1中，则电容器组储存的电能将__________．(填增大，

减小或不变)

答案：增大

37、在相对介电常量εr = 4的各向同性均匀电介质中，与电能密度w e =2×106 J/cm 3 相应的电场强度的大小E =_______________________×1011 V/m ．

(真空介电常量 ε

0 = 8.85×10-12 C 2/(N ·m 2)) 答案：3.36

三、计算题 1、一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为R 1 = 2

cm ，R 2 = 5 cm ，其间充满相对介电常量为εr 的各向同性、均匀电介质．电

容器接在电压U = 32 V 的电源上，(如图所示)，试求距离轴线R = 3.5 cm 处的A 点的电场强度和A 点与外筒间的电势差．

解：设内外圆筒沿轴向单位长度上分别带有电荷+λ和-λ, 根据高斯定理可求得两圆筒间任一

点的电场强度为 r

E r εελ

02π=

则两圆筒的电势差为 1

200ln 22d d 21

2

1R R r r r E U r R R r R R εελ

εελπ=π==?

?? 解得 1

20ln 2R R U

r εελπ=

于是可求得Ａ点的电场强度为 A E )

/l n (12R R R U

= = 998 V/m 方向沿径向向外

A 点与外筒间的电势差： ??=='2

2

d )/ln(d 12R

R R R

r r

R R U r E U R

R R R U

212ln )/ln(=

= 12.5 V

2、一圆柱形电容器，外柱的直径为4 cm ，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度的大小为E 0= 200 KV/cm ．试求该电容器可能承受的最高电压． (自然对数的底

e = 2.7183)

解：设圆柱形电容器单位长度上带有电荷为λ，则电容器两极板之间的场强分布为

)2/(r E ελπ=

设电容器内外两极板半径分别为r 0，R ，则极板间电压为

???π==R r

R

r r r r E U d 2d ελ 0

ln 2r R

ελπ=

电介质中场强最大处在内柱面上，当这里场强达到E 0时电容器击穿，这时应有

002E r ελπ=

00ln

r R

E r U = 适当选择r 0的值，可使U 有极大值，即令

0)/ln(/d d 0000=-=E r R E r U

得 e R r /0=

显然有

2

2d d r U < 0， 故当 e R r /0= 时电容器可承受最高的电压

e RE U /0max = = 147 kV

3、两金属球的半径之比为1∶4，带等量的同号电荷．当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能．若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？

解：因两球间距离比两球的半径大得多，这两个带电球可视为点电荷．设两球各带电荷Q ，若选无穷远处为电势零点，则两带电球之间的电势能为

)4/(020d Q W επ=

式中d 为两球心间距离．

当两球接触时，电荷将在两球间重新分配．因两球半径之比为1∶4．故两球电荷之比Q 1∶Q 2 = 1∶4．

Q 2 = 4 Q 1

但 Q Q Q Q Q Q 25411121==+=+

∴5/21Q Q =，5/85/242Q Q Q =?= 当返回原处时,电势能为 002125

16

4W d Q Q W =π=

ε

4、一绝缘金属物体，在真空中充电达某一电势值，其电场总能量为W 0．若断开电源，使其上所带电荷保持不变，并把它浸没在相对介电常量为εr 的无限大的各向同性均匀液态电介质中，问这时电场总能量有多大？

解：因为所带电荷保持不变，故电场中各点的电位移矢量D

保持不变，

又 r

r r w D D DE w εεεεε02

00202112121====

因为介质均匀，∴电场总能量 r W W ε/0=

5、一个充有各向同性均匀介质的平行板电容器，充电到1000 V 后与电源断开，然后把介质从极板间抽出，此时板间电势差升高到3000 V ．试求该介质的相对介电常量．

解：有介质时的电容 d S C r /01εε=

其上电荷为 d S U C Q r /1000011εε== 介质抽去后的电容 d S C /02ε= 因电源断开，其上电荷不变 d S U C Q /3000022ε== 两式相等，即 d S r /10000εεd S /30000ε=

得到 εr = 3

6、两根平行“无限长”均匀带电直导线，相距为d ，导线半径都是R (R << d )．导线上电荷线密度分别为+λ和-λ．试求该导体组单位长度的电容．

解：以左边的导线轴线上一点作原点，x 轴通过两导线并垂直于导线．两导线间x 处的场强为 x E 02ελ

π=

)

(20x d -π+

ελ 两导线间的电势差为 ?--+π=R d R x x d x U d )1

1(20ελ

)ln (ln 20R d R R R d ---π=ελ

R

R d -π=ln

0ελ 设导线长为L 的一段上所带电量为Q ，则有L Q /=λ，故单位

长度的电容

U LU Q C /)/(λ==R

R d -π=

ln

ε

7、一空气平行板电容器，两极板面积均为S ，板间距离为d (d 远小于极

板线度)，在两极板间平行地插入一面积也是S 、厚度为t (

(1) 电容C 于多少？

(2) 金属片放在两极板间的位置对电容值有无影响？

解：设极板上分别带电荷+q 和-q ；金属片与A 板距离为d 1，与B 板距离为d 2；金属片与A 板间场强为 )/(01S q E ε=

金属板与B 板间场强为 )/(02S q E ε= 金属片内部场强为 0='E 则两极板间的电势差为 2211d E d E U U B A +=- )(210d d S q +=

ε)(0t d S

q -=ε

由此得 )/()/(0t d S U U q C B A -=-=ε

A

因C 值仅与d 、t 有关，与d 1、d 2无关，故金属片的安放位置对电容值 无影响．

8、如图所示，一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a ，外筒半径为b ，筒长都是L ，中间充满相对介电常量为εr 的各向同性均匀电介质．内、外筒分别带有等量异号电荷+Q 和-Q ．设 (b - a ) << a ，L >> b ，可

以忽略边缘效应，求：

(1) 圆柱形电容器的电容； (2) 电容器贮存的能量．

解：由题给条件 (a a b <<-)和b L >>，忽略边缘效应, 应用高斯定理可求出两

筒之间的场强为： )2/(0Lr Q E r εεπ=

两筒间的电势差 =π=

?r dr

L Q

U b

a

r εε02a b L Q r ln 20εεπ 电容器的电容 )]//[ln()2(/0a b L U Q C r εεπ==

电容器贮存的能量 2

2

1CU W =)/ln()]4/([02a b L Q r εεπ=

9、来顿瓶是早期的一种储电容器，它是一内外贴有金属簿膜的圆柱形玻璃瓶．设玻璃瓶内直径为8 cm ，玻璃厚度为2 mm ，金属膜高度为40 cm ．已知玻璃的相对介电常数为 5.0，其击穿场强是 1.5×107 V/m ．如果不考虑边缘效应，试计算：(1) 来顿瓶的电容值；(2) 它

顶多能储存多少电荷．[真空介电常量ε 0 = 8.85×10-12 C 2·N -1·m -2 ] 解：(1) 设内、外金属膜圆筒半径分别为R 1和R 2，高度均为L ，其上分别带电荷+Q 和-Q ．则玻璃内的场强为

)(2210R r R Lr

Q E r <<π=

εε

内、外筒之间的电势差

??=2

1

d R R r E U

?π=

2

1d 20R R r r r L Q

εε1

20ln 2R R L Q

r εεπ= 来顿瓶的电容 1

2

0ln 2R R L U

Q C r εεπ==

＝2.28×10-9 F

(2) 柱形电容器两金属膜之间场强以靠近内膜处场强为最大，令该处场强等于击穿场强，

即 E LR Q

R E r =π=

1

012)(εε(击穿)

则 E LR Q r 102εεπ=(击穿)= 6.67×10-5

C

此即所能储存的最大电荷．

10、半径分别为a 和b 的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多．今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q ．求：

(1) 每个球上分配到的电荷是多少？ (2) 按电容定义式，计算此系统的电容．

解：(1) 设两球上各分配电荷Q a ，Q b ，忽略导线影响，则Q a + Q b = Q ．两球相距很远，近似孤立，各球电势为：

)4/(0a Q U a a επ=, )4/(0b Q U b b επ= 因有细导线连接，两球等势，即 U a = U b = U U 为系统的电势．则 )4/(0a Q a επ)4/(0b Q b επ=

)/(//b a Q b Q a Q b a +==

得到 )/(b a aQ Q a +=， )/(b a bQ Q b += (2) 系统电容 a U Q U Q C //==a Q aQ /)4(0επ=)(40b a +π=ε

11、一平行板电容器，其极板面积为S ，两板间距离为d (d <

中间充有两种各向同性的均匀电介质，其界面与极板平行，相对

介电常量分别为εr 1和εr 2，厚度分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝d ，如图所示．设两极板上所带电荷分别为＋Q 和－Q ，求： (1) 电容器的电容． (2) 电容器储存的能量．

解：(1) 两极板间电位移的大小为 D ＝σ＝Q / S 在介质中的场强大小分别为

E 1 = D / (ε0εr 1) = Q / (ε0εr 1S ) E 2 = D / (ε0εr 2) = Q / (ε0εr 2S ) 两板间电势差

???

? ??+=

+=22110221112r r d d S Q d E d E U εεε()S d d Q r r r r 2101221εεεεε+= 电容 C = Q / U 121

221210r r r r d d S

εεεεε+=

(2) 电场能量 2

1221CU W =()S

Q d d r r r r 210212212εεεεε+=

12、一球形电容器，内球壳半径为R 1，外球壳半径为R 2，两球壳间充

有两层各向同性均匀电介质，其界面半径为R ，相对介电常数分别为

εr 1和εr 2，如图所示．设在两球壳间加上电势差U 12，求：

(1) 电容器的电容． (2) 电容器储存的能量． 解： (1) 设内外球壳上分别带有电荷＋Q 和－Q ，则两球壳间的电位

移大小为

D ＝Q / (4πr 2)

场强大小分别为 E 1 = D / (ε0εr 1) = Q / (4πε0εr 1r 2)

E 2 = D / (ε0εr 2) = Q / (4πε0εr 2r 2) 两球壳间电势差 ??

?+?=21

d d 2112R R

R

R r E r E U

()()2

202110144RR R R Q RR R R Q r r εεεεπ-+

π-=

()()[]2

12101122214R RR R R R R R R Q r r r r εεεεεπ-+-=

()()[]2

121021122122π4R RR R R R R R Q r r r r r r εεεεεεε-+-=

电容 C = Q / U 12()()

212111222

12104r r r r r r R R R R R R RR εεεεεεε-+-π=

(2) 电场能量 2

1221CU W =()()

212111222

12212102r r r r r r R R R R R U R RR εεεεεεε-+-π=

13、一个圆柱形电容器，内圆柱半径为R 1，外圆柱半径为R 2，长

为L (L >>R 2－R 1)，两圆筒间充有两层相对介电常量分别为εr 1和εr 2

的各向同性均匀电介质，其界面半径为R ，如图所示．设内、外圆筒单位长度上带电荷(即电荷线密度)分别为λ和－λ，求： (1) 电容器的电容． (2) 电容器储存的能量． 解：(1) 根据有介质时的高斯定理可得两筒之间的电位移的大小为

D = λ / (2πr ) 介质中的场强大小分别为

E 1 = D / (ε0εr 1) = λ / (2πε0εr 1r ) E 2 = D / (ε0εr 2) = λ / (2πε0εr 2r ) 两筒间电势差 ??

?+?=21

221d d R R

R R r E r E U

R R R R r r 220110ln π2ln π2εελ

εελ+=

()()[]2

1021122/ln /ln r r r r R R R R εεεεελπ+=

电容 ()()

R R R R L U Q

C r r r r /ln /ln 22112210εεεεε+π=

= (2) 电场能量 2

10211222

4ln ln

2r r r r R R R R

L C

Q W εεεεελπ???

? ?

?

+=

=

1r 2

14、在极板间距为d 的空气平行板电容器中，平行于极板插入一块厚度为

2

d

，面积与极板相同的金属板后，其电容为原来电容的多少倍？如果平行插入的是相对介电常量为εr 的与金属板厚度、面积均相同的介质板则又如何？

解：平行插入

2d 厚的金属板，相当于原来电容器极板间距由d 减小为 2

d

，则 000222

C d S

d S C ==='εε

插入同样厚度的介质板，相当于一个极板间距为d 2

1

的空气平行板电容器与另一个极板

间距为2

d

，充满介电常量为ε0 εr 的的电介质的电容器串联，则

002121

21111C C C C C C r r r r εεεε+=

+='+'='' 012C C r

r

εε+=

'' 15、如图所示，一平行板电容器，极板面积为S ，两极板之间距离为d ，中间充满介电常量按 ε = ε0 (1+

d

x

)规律变化的电介质．在忽略边缘效应的情况下，试计算该电容器的电容．

解：设两极板上分别带自由电荷面密度±σ，则介质中的电场强度分布为

()x d d

E +=

=

0εσεσ 两极板之间的电势差为 ??+==d d x d x d x E U 000d d εσ2ln 0

εσd

=

该电容器的电容值为 2

ln 0d S

U

S

C εσ=

=

16、一空气平行板电容器，极板面积为S ，两极板之间距离为d ， 如图所示．今在其间平行地插入一厚度为t 、面积为S / 2、介电常量为ε的各向同性均匀电介质板．略去边缘效应，试求该情况

下电容器的电容．

解：可把电容器看成两个电容器的并联，其中一个有介质板，一个没有介质板. 没有介质板的电容器极板面积为S /2，极板间距为d . 其电容为

d

S

C 201ε=

有介质板的电容器又可看成两个电容器的串联，其中一个是极板面积为S /2，极板间距为t ，

S

S d

中间充满电介质；另一个极板面积也是S /2，极板间距为d -t ，中间没有介质，它们的电容分别是

t

S

C 22ε=

, ()

t d S

C -=

203ε

这两个电容器串联后得

()[]()[]()[]()[]t d S t S t d S t S C -+-?=

2/2/2/2/0023εεεε()

t d t S -+=εεεε00 21 C 23再与C 1并联后得 ()d S t d t S C 221

000εεεεε+-+=

()[]()[]

t d d t d S 2 2000

εεεεεεε-+-+= 17、半径都是a 的两根平行长直导线，其中心线间相距d (d >> a )．求这

对导线单位长度的电容．

解：设两根导线上的电荷线密度分别为λ和－λ．如图所示．距离左边导线中心线为r 处的场强为 ()

r d r E -π+

π=

0022ελ

ελ 两导线之间的电势差为

?-???

??-+π=a d a r r d r U 20d 112ελ

??

?

???---π=a d a a a d 2ln 2ln 20ελ 2

02ln 2??

?

???-π=a a d ελa a d 2ln 0-π=ελ 单位长度的电容 ()[]a a d U U q C /2ln 0-π===

ελ

()

a d /ln 0επ≈

18、一平行板电容器，极板面积为S ，两极板之间距离为d ，其间充满着介电常量变化的电介质．在A 极板处为ε1，在B 极板处为ε2，其它处的介电常量与离开A 极板的距离成线性关系．略去边缘效应，试求该电容器的电容．

解：如图所示，设坐标原点在A 极板处，x 轴与板面垂直，则在x 处的介电常量为 x d

x 1

21εεεε-+= )0(d x ≤≤

x 处的电场强度为 ()[]

d x E x x /121εεεσ

εσ-+=

=

()x

d d

121εεεσ-+=

两极板之间的电势差为

O

d

x

A

B

()?

?

-+==

d

d

x x x d d

x E U 0

1210

d d εεεσ1

212ln εεεεσ-=d

该电容器的电容为 ()[]()1212/ln /εεεεσσ-==

d S U q C ()()

1212

/ln εεεεd S -=

19、如图所示，一空气平行板电容器，极板面积为S ，两极板之间距离为d ．今插入一块与极板面积相同而厚度为d / 3的各向同性均匀电介质板，其相对介电常量为εr ．试计算电容的改变量．

解：未插入介质板时的电容为(设极板电荷为Q ，场强为E 0 )

d

S

d E Q C 000ε==

插入介质板后，设Q 不变，两极板间电势差为 ????

?

?+=+=

r d E Ed d E U ε1

23313200 则电容变成为 ()

r r r r d S d E Q U Q C εεεεε21321300+=????

??+== 电容改变量 ()d S d S C C C r r 000213εεεε-+=

-=?()()

r r d S εεε2110+-= 作法二：未插入介质时，C 0 = ε0S / d

插入介质后看成二个电容串联， 3/201d S

C ε=

, 3

/02d S

C r εε=

()

r r d S C C C C C εεε2130212

1+=

+=

()()

r r d S C C C εεε21100+-=

-=?

20、如图所示，一空气平行板电容器，极板面积为S ， 两极板之间距离为d ，其中平行地放有一层厚度为t (t

的各向同性均匀电介质．略去边缘效应，试求其电容值．

解：设极板上的自由电荷面密度为σ．应用D 的高斯定理可得两极板之间的电位移为 D = σ

由D ~E 关系知，空气中的电场强度为 E 0 = σ / ε0

介质中的电场强度为 E = σ / (ε0εr ) 两极板之间的电势差为

U = E 0(d - t ) + Et ()t t d r εεσεσ

00+-=

()[]t d r r r

εεεεσ-+=10

电容器的电容为 ()t

d S

U

S

C r r r εεεεσ-+=

=

10

作法二： 看成二个电容串联， t

d S

C -=01ε， t

S

C r εε02=

()t

d S C C C C C r r r εεεε-+=

+=

10212

1

21、一电容器由三片面积均为S = 6.0 cm 2的金属箔片构成，相邻两箔片间的距离都是 d = 0.10 mm ，外面两箔片联在一起为一极，中间箔片作为另一极，如图

所示．

(1) 求电容C ．

(2) 当在这电容器上加U =220 V 电压时，三箔片上的电荷面密度各是多少？

(真空介电常量ε0 = 8.85×10-12 C 2/(N ·m 2) )

解：(1) 看成两个相同的电容器并联 d

S

C C 021ε=

=

d

S C C C 0212ε=

+==1.06×10-10 F= 106 pF (2) 忽略边缘效应，电荷看作均匀分布 CU Q =

外片： S CU S Q 221==σ=1.95×10-5 C/m 2= 0.195 C/cm 2 中片： 122σσ==S

Q

=0.39 C/cm 2

22、一个铜球壳浮在相对介电常量为εr ＝3.0的大油槽中，球的一

半浸在油中，如图所示． 球上净电荷为Q ＝2.0×10-6 C ．问球的上半部有多少电荷？下半部有多少电荷？

解：铜球可看成上、下两个半球电容器的并联．设空气中半球的电容为C 1，介质中半球的电容为C 2．则

C 1 = 2πε0R ， C 2 = 2πε0εr R ∵ 整个球为一个等势体．有

Q 1 / C 1 = Q 2 / C 2 且 Q 1＋Q 2＝Q

∴ 上半球带电荷 66

2111105.00

.31100.21--?=+?=+=+=r Q Q C C C Q ε

C

下半球带电荷 Q 2＝Q －Q 1＝1.5×10-

6 C

23、如图所示，一平行板电容器，由两块半径均为r 的圆形板构

成，两板间距离d <

(2) 任一时刻在极板上从半径为ρ (ρ < r )的圆周外流入圆周内的总电流 解：(1) 设t 时刻极板上电荷为q ，则两板间电势差为

u = q / C …… ① 其中 C = ε0πr 2 / d 而流过电阻R 的电流为 i ＝－d q / d t 则 u = iR ＝－R d q / d t …… ②

由①、②式得 d q / q ＝－d t / RC 由t ＝0时，q ＝Q 0 可求得

q = Q 0 exp(－t / RC )???

?

??π-

=t Rr d Q 2

00exp ε (2) 因为任一时刻两板间电场保持均匀，所以板上电荷分布均匀，则半径为ρ的圆周外总电荷为

()

2

22ρ-π?π=r r q Q ???

?

?

?π--=t Rr d Q r r 2

00222exp ερ 流入半径为ρ的圆周内的总电流为

t Q i d d -=()

???

? ?

?π-π-=t Rr d Q Rr d r 2

004022exp εερ 24、一平行板电容器，上极板带正电，下极板带负电，其间充满相对介电常量为εr = 2的各向同性均匀电介质，如图所示．在图上大致画出电介质内任一点P 处自由电荷产生的场强

E

， 束缚电荷产生的场强

E ' 和总场强E ．

答案：