黄冈中学高考数学压轴题精编精解100题
黄冈中学
高考数学压轴题精编精解
精选100题，精心解答
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1．设函数()1,12
1,23
x f x x x ≤≤?=?
-<≤?，
()()[],1,3g x f x ax x =-∈，其中a R ∈，记函数()g x 的
最大值与最小值的差为()h a 。 （I ）求函数()h a 的解析式；
（II ）画出函数()y h x =的图象并指出()h x 的最小值。 2．已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,
()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111
,(1)22
n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:
（Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2n n a a +<（Ⅲ）若12
a =则当n ≥2时,!n n
b a n >?. 3．已知定义在R 上的函数f (x ) 同时满足：
（1）21212122()()2()cos24sin f x x f x x f x x a x ++-=+（12,x x ∈R ，a 为常数）； （2）(0)()14
f f π
==；
（3）当0,4
x π
∈
［］时，()f x ≤2
求：（Ⅰ）函数()f x 的解析式；（Ⅱ）常数a 的取值范围．
4．设)0(1),(),,(22
222211>>=+b a b
x x y y x B y x A 是椭圆上的两点，
个 个 满足0),(),(
2211=?a y b x a y b x ，椭圆的离心率,2
3=e 短轴长为2，0为坐标原点. （1）求椭圆的方程；
（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；
（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 5．已知数列{}n a 中各项为：
12、1122、111222、 (111)
?????? 222n
??????
…… （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n 项之和S n .
6、设1F 、2F 分别是椭圆22
154
x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF ?的最大值和最小值；
（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？
若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
7、已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上. (1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；
.B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-
（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由 （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.
8、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；
（3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)2f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。
9、已知二次函数),(2)(2
R c b c bx x x f ∈++=满足0)1(=f ，且关于x 的方程
0)(=++b x x f 的两实数根分别在区间（-3，-2），（0，1）内。
（1）求实数b 的取值范围；
（2）若函数)(log )(x f x F b =在区间（-1-c ，1-c ）上具有单调性，求实数C 的取值范
围
10、已知函数,1)2
1
(,)1,1()(-=-f x f 上有意义在且任意的x 、)1,1(-∈y 都有
).1()()(xy
y
x f y f x f ++=+
（1）若数列).(),(12,21
}{*211n n
n n n x f N n x x x x x 求满足∈+==+ （2）求)21()1
31()111()51
(12+++++++n f n n f f f 的值.
11.在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为 A （0，－1），B （0, 1）平面内两点G 、M 同时
满足①0GA GB GC ++= , ②||MA = ||MB = ||MC
③GM ∥AB
（1）求顶点C 的轨迹E 的方程
（2）设P 、Q 、R 、N 都在曲线E 上 ，定点F
0） ，已知PF ∥FQ
,
RF ∥FN 且PF 2RF
= 0.求四边形PRQN 面积S 的最大值和最小值.
12．已知α为锐角，且12tan -=
α，
函数)4
2sin(2tan )(2
π
αα+
?+=x x x f ，数列{a n }的首项)(,2
1
11n n a f a a ==
+. ⑴ 求函数)(x f 的表达式； ⑵ 求证：n n a a >+1；
⑶ 求证：),2(211
11111*21N n n a a a n
∈≥<++++++<
13．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足()
111,21n n a a a n N *
+==+∈
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足n n b n b b b b a )1(44
4411
11321+=---- ，证明：{}n a 是等差数列；
（Ⅲ）证明：
()23111123
n n N a a a *++++<∈ 14．已知函数()(),02
32
32≠++-=a cx x a x a x g （I ）当1=a
时，若函数()x g 在区间()1,1-上是增函数，求实数c 的取值范围；
（II ）当2
1≥
a 时，（1）求证：对任意的[]1,0∈x ，()1/
≤x g 的充要条件是43≤c ；
（2）若关于x 的实系数方程()0/
=x g 有两个实根βα,，求证：,1≤α
且1≤β的充
要条件是.4
1
2a a c -≤≤-
15．已知数列{a n }前n 项的和为S n ，前n 项的积为n T ，且满足(1)2n n n T -=。
①求1a ；②求证：数列{a n }是等比数列；③是否存在常数a ，使得
()
()()2
12n n n S a S a S a ++-=--对n N +∈都成立？ 若存在，求出a ，若不存在，说明理由。
16、已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，其图像均在x 轴的上方，对任意的
[0,)m n ∈+∞、，都有()[()]n f m n f m = ，
且(2)4f =，又当0x ≥时，其导函数'()0f x >恒成立。
（Ⅰ）求(0)(1)F f -、的值；
（Ⅱ）解关于x
的不等式：2
2f ??
≥????
，其中(1,1).k ∈-
17、一个函数()f x ，如果对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在()f x 的定义域内，就有()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“保三角形函数”．
（I ）判断(
)1f x =
()2f x x =，()23f x x =中，哪些是“保三角形函数”，哪些不
是，并说明理由；
（II ）如果()g x 是定义在R 上的周期函数，且值域为()0,+∞，证明()g x 不是“保三
角形函数”；
（III ）若函数()sin F x x =，x ∈()0,A 是“保三角形函数”，求A 的最大值． （可以利用公式sin sin 2sin cos 22
x y x y
x y +-+=）
18、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1
n n a
S a a =--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设21=
+n
n n
S b a ，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值； （Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设1
11
11n n n c a a +=
++-，数列{}n c 的前n 项和为T n . 求证：1
23
n T n >-．
19、数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公
比不为1的等比数列。 （I ）求c 的值；
（II ）求{}n a 的通项公式。
（III ）由数列{}n a 中的第1、3、9、27、……项构成一个新的数列{b n }，求n
n n b b 1
lim +∞→的值。
20、已知圆M P N y x M 为圆点定点),0,5(,36)5(:22=++上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足0,2=?=. （I ）求点G 的轨迹C 的方程；
（II ）过点（2，0）作直线l ，与曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，设,OB OA OS +=
是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，
求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.
21．飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达
区域安排三个救援中心（记为A ，B ，C ），B 在A 的正东方向，相距6km,C 在B 的北偏东300
，相距4km,P 为航天员着陆点，某一时刻A 接到P 的求救信号，由于B 、C 两地比A 距P 远，因此4s 后，B 、C 两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s. （1）求A 、C 两个救援中心的距离； （2）求在A 处发现P 的方向角；
（3）若信号从P 点的正上方Q 点处发出，则A 、B 收到信号的时间差变大还是变小，并
证明你的结论.
22．已知函数||1y x =+
，y =，11()2t y x x
-=+
(0)x > 的最小值恰好是方程32
0x ax bx c +++=的三个根，其中01t <<．
C B A
（Ⅰ）求证：2
23a b =+；
（Ⅱ）设1(,)x M ，2(,)x N 是函数32()f x x ax bx c =+++的两个极值点．
①若122
||3
x x -=
，求函数()f x 的解析式； ②求||M N -的取值范围．
23．如图，已知直线l 与抛物线y x 42=相切于点P (2，1)，且与x 轴交于点A ，O 为坐标
原点，定点B 的坐标为（2，0）.
（I ）若动点M 满足0||2=+?AM BM AB ，求点M 的轨迹C ；
（II ）若过点B 的直线l ′（斜率不等于零）与（I ）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F
（E 在B 、F 之间），试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围.
24．设.2)(,ln )(),(2)(--==--=e
p
qe e g x x f x f x q px x g 且其中（e 为自然对数的底数）
（I ）求p 与q 的关系；
（II ）若)(x g 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （III ）证明： ①)1()1(->≤+x x
x f ；
②)1(41
2ln 33ln 22ln 2222+--<+++n n n n
n （n ∈N ，n ≥2）.
25．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1
n n a
S a a =
--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）
． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设021n
n
S b a =
+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值； （Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设1
11
11n n n c a a +=
++-，数列{}n c 的前n 项和为T n ，
求证：123
n T n >-．
26、对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点．如果
函数2()(,*)x a
f x b c N bx c
+=
∈-有且仅有两个不动点0、2，且1(2)2f -<-． （Ⅰ）试求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）已知各项不为零的数列{}n a 满足14()1n n S f a = ，求证：1111
ln n n
n a n a ++-<<-；
（Ⅲ）设1
n n
b a =-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：200820071ln 2008T T -<<．
27、已知函数f （x ）的定义域为{x | x ≠ kπ，k ∈ Z }，且对于定义域内的任何x 、y ，有f （x - y ） =
f (x )·f (y )＋1
f (y )－f (x )
成立，且f （a ） = 1（a 为正常数），当0 < x < 2a 时，f （x ） > 0．（I ）判断f （x ）
奇偶性；（II ）证明f （x ）为周期函数；（III ）求f （x ）在[2a ，3a ] 上的最小值和最大值．
28、已知点R （－3,0）,点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上 ,且满足230PM MQ +=
，0RP PM ?=
.
（Ⅰ）⑴当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设1122(,) (,)A x y B x y 、为轨迹C 上两点，且111, 0x y >>，N(1,0)，求实数λ，使
AB AN λ= ，且163
AB ||=
29、已知椭圆W 的中心在原点，焦点在x
轴上，离心率为
3
6. 椭圆W 的左焦点为F ，过左准线与x 轴的交点M 任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆W 交于不同的两点A 、B ，点A 关于x 轴的对称点为C . （Ⅰ）求椭圆W 的方程；
（Ⅱ）求证：CF FB λ=
(λ∈R )；
（Ⅲ）求MBC ?面积S 的最大值.
30、已知抛物线2
:ax y C =，点P （1，－1）在抛物线C 上，过点P 作斜率为k 1、k 2的两条直线，分别交抛物线C 于异于点P 的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且满足k 1+k 2=0. （I ）求抛物线C 的焦点坐标；
（II ）若点M 满足MA BM =，求点M 的轨迹方程.
31．设函数321()()3
f x ax bx cx a b c =++<<，其图象在点(1,(1)),(,())A f B m f m 处的切线
的斜率分别为0,a -． （Ⅰ）求证：01b
a
<≤
； （Ⅱ）若函数()f x 的递增区间为[,]s t ，求||s t -的取值范围；
（Ⅲ）若当x k ≥时（k 是与,,a b c 无关的常数），恒有1()0f x a -+<，试求k 的最小值．
32．如图，转盘游戏．转盘被分成8个均匀的扇形区域．游戏规则：用力旋转转盘，转盘停止时箭头A 所指区域的数字就是游戏所得的点数（转盘停留的位置是随机的）．假设箭头指到区域分界线的概率为01.，同时规定所得点数为0．某同学进行了一次游戏，记所得点数为ξ．求ξ的分布列及数学期望．（数学期望结果保留两位有效数字）
33．设1F ，2F 分别是椭圆C ：22
22
162x y m m
+=(0)m >的左，右焦点． （1）当P C ∈，且210PF PF =
，12||||8PF PF ?=时， 求椭圆C 的左，右焦点1F 、2F ．
（2）1F 、2F 是（1）中的椭圆的左，右焦点，已知2F 的半径是1，过动点Q 的作2F 切线QM
，使得1QF =（M 是切点），如下图．求动点Q 的轨迹方程．
34．已知数列{}n a 满足
15a =, 25a =，116(2)n n n a a a n +-=+≥．
（1）求证：{}12n n a a ++是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）设3(3)n n n n b n a =-，且12n b b b m +++<对于n N *
∈恒成立，求m 的取值范
35．已知集合{}121212()00D x x x x x x k =>>+=，
，，（其中k 为正常数）
． （1）设12u x x =，求u 的取值范围；
（2）求证：当1k ≥时不等式21212112
(
)()()2k x x x x k
--≤-对任意12(,)x x D ∈恒成立； （3）求使不等式21212112
(
)()()2k x x x x k
--≥-对任意12(,)x x D ∈恒成立的2k 的范围． 36、已知椭圆C ：22a
x ＋22b y ＝1（a ＞b ＞0）的离心率为36
，过右焦点F 且斜率为1的直
线交椭圆C 于A ，B 两点，N 为弦AB 的中点。
（1）求直线ON （O 为坐标原点）的斜率K ON ；
（2）对于椭圆C 上任意一点M ，试证：总存在角θ（θ∈R ）使等式：＝cos θ＋sin θOB 成立。
37、已知曲线C 上任意一点M 到点F （0，1）的距离比它到直线2:-=y l 的距离小1。 （1）求曲线C 的方程；
（2）过点.,,)2,2(B A C m P λ=设两点交于与曲线的直线 ①当m 求直线时,1=λ的方程；
②当△AOB 的面积为24时（O 为坐标原点），求λ的值。
38、已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点),(n n S n P 都在函数
x x x f 2)(2+=的图像上，且过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k ．
（1）求数列}{n a 的通项公式． （2）若n k n
a b n 2=，求数列}{n b 的前n 项和n T ．
（3）设},2{},,{*
*∈==∈==N n a x x R N n k x x Q n n ，等差数列}{n c 的任一项
R Q c n ?∈，其中1c 是R Q ?中的最小数，11511010< 式. 39、已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，1 23 ,22 a a ==，且113210n n n S S S +--++=，其中* 2,n n N ≥∈. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)(理科)计算lim n n n S n a →∞-的值. ( 文科) 求 n S . 40、)函数)(x f 对任意x ∈R 都有f(x)＋f(1－x)＝1 2 . （1）求))(1 ( )1()21 (N n n n f n f f ∈-+和的值； （2）数列}{),1()1 ( )2()1()0(}{n n n a f n n f n f n f f a a 求数列满足+-++++= 的通项公式。 （3）令n S b b b b T a b n n n n n 16 32,,1 442 232221- =++++=-= 试比较T n 与S n 的大小。 41．已知数列{}n a 的首项121a a =+（a 是常数，且1a ≠-），24221+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 的首项1b a =，2n a b n n +=（2n ≥）。 （1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列； （2）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 的值； （3）当a>0时，求数列{}n a 的最小项。 42．已知抛物线C ：22(0)y px p =>上任意一点到焦点F 的距离比到y 轴的距离大1。 （1）求抛物线C 的方程； （2）若过焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，M 在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直线 MN 的方程； （3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新 问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题． 例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥 的体积”．求出体积163 后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积 为163 ，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为163 ，求所有侧面面积之和的最小值”． 现有正确命题：过点(,0)2 p A - 的直线交抛物线C ：22(0)y px p =>于P 、Q 两点，设点P 关于x 轴的对称点为R ，则直线RQ 必过焦点F 。 试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。 43．已知函数f(x)= 52168x x +-，设正项数列{}n a 满足1a =l ，()1n n a f a +=． (I)写出2a ，3a 的值; (Ⅱ)试比较n a 与 5 4 的大小，并说明理由； (Ⅲ)设数列{}n b 满足n b =54－n a ，记S n =1 n i i b =∑．证明：当n ≥2时,S n ＜14(2n －1)． 44．已知函数f(x)=x 3 －3ax(a ∈R)． (I)当a=l 时，求f(x)的极小值； (Ⅱ)若直线菇x+y+m=0对任意的m ∈R 都不是曲线y=f(x)的切线，求a 的取值 范围； (Ⅲ)设g(x)=|f(x)|，x ∈[－l ，1]，求g(x)的最大值F(a)的解析式． 45．在平面直角坐标系中，已知三个点列{A n }，{B n }，{C n }，其中),(),,(n n n n b n B a n A )0,1(-n C n ，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点（B ，n ）在方向向量为（1，6） 的 线上.,11a b a a -== （1）试用a 与n 表示)2(≥n a n ； （2）若a 6与a 7两项中至少有一项是a n 的最小值，试求a 的取值范围。 46．已知2||||),0,2(),0,2(2121=--PF PF P F F 满足点，记点P 的轨迹为E . （1）求轨迹E 的方程； （2）若直线l 过点F 2且与轨迹E 交于P 、Q 两点. （i ）无论直线l 绕点F 2怎样转动，在x 轴上总存在定点)0,(m M ，使MQ MP ⊥恒 成立，求实数m 的值. （ii ）过P 、Q 作直线21 = x 的垂线PA 、OB ，垂足分别为A 、B ，记| |||||AB QB PA +=λ，求λ的取值范围. 47．设x 1、)0()()(223212>-+=≠a x a bx ax x f x x x 是函数 的两个极值点. （1）若2,121=-=x x ，求函数f (x )的解析式； （2）若b x x 求,22||||21=+的最大值； （3）若)()()(,,1221x x a x f x g a x x x x --'==<<函数且，求证：.)23(12 1 |)(|2+≤a a x g 48．已知}{),10(log )(n a a a x x f <<=，若数列{a n } *)(42),(,),(),(),(,2321N n n a f a f a f a f n ∈+ 使得成等差数列. （1）求{a n }的通项a n ; （2）设),(n n n a f a b ?= 若{b n }的前n 项和是S n ，且.312:,1122 4 224<-+<-+a na S a a n n 求证 49．点P 在以21,F F 为焦点的双曲线1:22 22=-b y a x E )0,0(>>b a 上，已知21PF PF ⊥， ||2||21PF PF =，O 为坐标原点． （Ⅰ）求双曲线的离心率e ； （Ⅱ）过点P 作直线分别与双曲线渐近线相交于21,P P 两点，且4 27 21-=?OP OP ，221=+PP ，求双曲线E 的方程； （Ⅲ）若过点)0,(m Q （m 为非零常数）的直线l 与（2）中双曲线E 相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且QN MQ λ=（λ为非零常数），问在x 轴上是否存在定点G ，使 )(21F F λ-⊥？若存在，求出所有这种定点G 的坐标；若不存在，请说明理由． 50.已知函数1163)(23--+=ax x ax x f ，1263)(2++=x x x g ，和直线9:+=kx y m ，又0)1(=-'f ． （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）是否存在k 的值，使直线m 既是曲线)(x f y =的切线，又是)(x g y =的切线；如果 存在，求出k 的值；如果不存在,说明理由． （Ⅲ）如果对于所有2-≥x 的x ,都有)(9)(x g kx x f ≤+≤成立，求k 的取值范围． 51．已知二次函数),,(,)(2 R c b a c bx ax x f ∈++=满足：对任意实数x ，都有x x f ≥)(， 且当∈x （1，3）时，有2)2(8 1 )(+≤x x f 成立。 （1）证明：2)2(=f 。 （2）若)(,0)2(x f f =-的表达式。 （3）设x m x f x g 2 )()(- = ),0[+∞∈x ，若)(x g 图上的点都位于直线41=y 的上方， 求实数m 的取值范围。 52．（1）数列{a n }和{b n }满足)(1 21n n b b b n a +++= （n=1，2，3…），求证{b n }为等差数列的充要条件是{a n }为等差数列。（8分） （2）数列{a n }和{c n }满足*)(21N n a a c n n n ∈+=+，探究}{n a 为等差数列的充分必要条 件，需说明理由。[提示：设数列{b n }为)3,2,1(2 =-=+n a a b n n n 53．某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分；比赛共进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否 则继续进行. 根据以往经验，每局甲赢的概率为 21，乙赢的概率为3 1 ，且每局比赛输赢互不受影响. 若甲第n 局赢、平、输的得分分别记为2=n a 、1=n a 、 0=n a ,51,*≤≤∈n N n 令n n a a a S +++= 21 . (Ⅰ)求53=S 的概率； （Ⅱ）若随机变量ξ满足7=ξS （ξ表示局数），求ξ的分布列和数学期望. 54．如图，已知直线l 与抛物线y x 42=相切于点P(2, 1)，且与x 轴交于点A ，定点B 的坐标为(2, 0) . （I ）若动点M 满足0=+?，求点M 的轨迹C ； （II ）若过点B 的直线l '（斜率不等于零）与（I ）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在 B 、F 之间），试求?OBE 与?OBF 面积之比的取值范围. 55,,,已知A 、B 是椭圆 )0(12 22 2>>=+ b a b y a x 的一条弦，M (2，1)是 AB 中点，以M 为焦点，以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB 交于N (4，—1). (1)设双曲线的离心率e ，试将e 表示为椭圆的半长轴长的函数. (2)当椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数时，求椭圆的方程. (3)求出椭圆长轴长的取值范围. A B C A 1 B 1 C 1 O 56已知：)1,(,}{,14)(12 +-+ -=n n n n n a a P S n a x x f 点项和为的前数列在曲线 .0,1),()(1*>=∈=n a a N n x f y 且上 （1）求数列{a n }的通项公式； （2）数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足 38162 21 21--+=++n n a T a T n n n n ，设定b 1的值，使得数列{b n }是等差数列； （3）求证：*,1142 1 N n n S n ∈-+> 57、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足a 1＝2,na n ＋1＝S n ＋n(n ＋1). （1）求数列n n a a 的通项公式}{； （2）设.,}2 {n n n n T n a T 求项和的前为数列 58、已知向量a ax x f a a a m -=>=22 1 )()0( 21, 1(，将函数的图象按向量m 平移后得到函数)(x g 的图象。 （Ⅰ）求函数)(x g 的表达式； （Ⅱ）若函数]2,2[)(在x g 上的最小值为)()(a h a h ，求的最大值。 59、 已知斜三棱柱111C B A ABC -的各棱长均为2， 侧棱1BB 与底面ABC 所成角为 3 π ， 且侧面⊥11A ABB 底面ABC . （1）证明：点1B 在平面ABC 上的射影O 为AB 的中点； （2）求二面角B AB C --1的大小 ； （3）求点1C 到平面A CB 1的距离. 60、如图，已知四棱锥S ABCD -中，SAD ?是边长为a 的正三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠= ，P 为AD 的中点，Q 为SB 的中点. （Ⅰ）求证：//PQ 平面SCD ； （Ⅱ）求二面角B PC Q --的大小． S Q D A B P C 61．设集合W 是满足下列两个条件的无穷数列{a n }的集合： ① ;2 12 ++≤+n n n a a a ②,.*N n M a n ∈≤其中M 是与n 无关的常数. （1）若{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，a 3=4，S 3=18，证明：{S n }∈W （2）设数列{b n }的通项为W b n b n n n ∈-=}{,25且，求M 的取值范围； （3）设数列{c n }的各项均为正整数，且1.}{+≤∈n n n c c W c 证明： 62．数列{}n a 和数列{}n b （n ∈+N ）由下列条件确定： （1）10a <，10b >； （2）当2k ≥时，k a 与k b 满足如下条件：当1102k k a b --+≥时，1k k a a -=，112 k k k a b b --+=；当 1102k k a b --+<时，112 k k k a b a --+=，1k k b b -=. 解答下列问题： （Ⅰ）证明数列{}k k a b -是等比数列； （Ⅱ）记数列{}()k n n b a -的前n 项和为n S ，若已知当1a >时，lim 0n n n a →∞=，求lim n n S →∞. （Ⅲ）(2)n n ≥是满足12n b b b >>> 的最大整数时，用1a ，1b 表示n 满足的条件. 63. 已知函数()()1 ln ,0,f x x ax x x =+ +∈+∞ (a 为实常数)． (1) 当a = 0时，求()f x 的最小值； (2)若()f x 在[2,)+∞上是单调函数，求a 的取值范围； (3)设各项为正的无穷数列}{n x 满足()*1 1 ln 1,n n x n N x ++ <∈ 证明：n x ≤1(n ∈N *)． 64.设函数32 ()f x x ax bx =++(0)x >的图象与直线4y =相切于(1,4)M ． （Ⅰ）求3 2 ()f x x ax bx =++在区间(0,4]上的最大值与最小值； （Ⅱ）是否存在两个不等正数,s t ()s t <，当[,]x s t ∈时，函数32()f x x ax bx =++的 值域也是[,]s t ，若存在，求出所有这样的正数,s t ；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）设存在两个不等正数,s t ()s t <，当[,]x s t ∈时，函数32()f x x ax bx =++的值 域是[,]ks kt ，求正数k 的取值范围． 65. 已知数列{}n a 中，11a =，() * 1122(...)n n na a a a n N +=+++∈． （1）求234,,a a a ； （2）求数列{}n a 的通项n a ； （3）设数列{}n b 满足21111,2n n n k b b b b a += =+，求证：1()n b n k <≤ 66、设函数()()()x x x f +-+=1ln 212 . (1)求()x f 的单调区间; (2)若当?? ????--∈1,11e e x 时,(其中 718.2=e )不等式()m x f <恒成立,求实数m 的取值范围; (3)试讨论关于x 的方程:()a x x x f ++=2在区间[]2,0上的根的个数. 67、已知2()(2,)f x x ax a a x R =++≤∈，()x g x e -=，()()()x f x g x Φ=?. （1）当1a =时，求()x Φ的单调区间； （2）求()g x 在点(0,1)处的切线与直线1x =及曲线()g x 所围成的封闭图形的面积； （3）是否存在实数a ，使()x Φ的极大值为3？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理 由. 68、已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的离心率为33 ，直线l ：y=x+2与以原点为圆 心、椭圆C 1的短半轴长为半径的圆O 相切。 （1）求椭圆C 1的方程； （2）设椭圆C 1的左焦点为F 1，右焦点为F 2，直线l 1过点F 1，且垂直于椭圆的长轴，动 直线l 2垂直于l 1，垂足为点P ，线段PF 2的垂直平分线交l 2于点M ，求点M 的轨迹C 2的方程； （3）设C 2与x 轴交于点Q ，不同的两点R 、S 在C 2上，且 满足0=?， 求||的取值范围。 69、已知F 1,F 2是椭圆C: 22 221x y a b +=（a>b>0）的左、右焦点，点P (在椭圆上， 线段PF 2与y 轴的交点M 满足20PM F M += 。 （1）求椭圆C 的方程。 （2）椭圆C 上任一动点M 00(,)x y 关于直线y=2x 的对称点为M 1（x 1,y 1）,求3x 1-4y 1的取值范围。 70、已知C B A ,,均在椭圆)1(1:2 22>=+a y a x M 上，直线AB 、AC 分别过椭圆的左右焦 点1F 、2F ，当120 AC F F ?= 时，有2 1219AF AF AF =?. (Ⅰ)求椭圆M 的方程; (Ⅱ)设P 是椭圆M 上的任一点，EF 为圆()12:2 2=-+y x N 的任一条直径，求PF PE ?的最大值. 71.如图， ()A m 和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动， 且12 OA OB ?=- ，O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+ . （Ⅰ）求m n ?的值； （Ⅱ）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样 的曲线？ （Ⅲ）若直线l 过点E （2，0）交（Ⅱ）中曲线C 于M 、N 两 点，且3ME EN = ，求l 的方程. 72. 已 知 函 数 2 1()ln ,()(1)(1),()()()2 f x x a x g x a x a H x f x g x = +=+≠-=-。 (1)若函数f （x ）、g （x ）在区间[1，2]上都为单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围； (2)α、β是函数H （x ）的两个极值点，α<β，(1,]( 2.71828)e e β∈= 。求证：对 任意的x 1、x 2[,]αβ∈，不等式12|()()|1H x H x -<成立 73. 设 )(x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，且当01<≤-x 时， 2352)(ax x x f +=b x a ++24． (Ⅰ)求函数)(x f 的解析式；
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