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§17.4 泰勒公式与极值问题数学分析课件(华师大四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件

(,)(,),(,)x y z f x y f x y f x y =由于的偏导数一般仍

,,x y 然是的函数如果它们关于x 与y 的偏导数也导数有如下四种形式:

22(,),x x z z f x y x x x

?????== ??????2(,),x y z z f x y x y y x ?????== ???????存在, 高阶偏导数二元函数的二阶偏后退前进目录退出

f 具有二阶偏导数．说明2

(,),y x z z f x y y x x y ?????== ???????22(,).y y z z f x y y y y ?????== ??????

类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如(,)z f x y 的三阶偏导数共有八种情形: xy y x f f x y 其中，这两个既有，又有的高阶偏导数称为

.混合偏导数

2222(,),x y z z f x y y x x y ?????== ???????23(,),

(,),(,),x yx x y y f x y f x y f x y 22(,),(,),(,).

yx y y x yx f x y f x y f x y 33

23(,),x z z f x y x x x

?????== ??????

因此有2222(e )e ;x y x y z x x

++??==??222(e )2e ;x y x y z x y y

++??==???222(2e )2e ;x y x y z y x x ++??==???22e ,2e ,x y x y z z x y

++??==??解由于例1322e .x y

z z y x +?=??求函数的所有二阶偏导数和

解 2222

,,z y z x x y x y x y ?-?==??++因为所以二阶偏导数为22222222,()z y x y x x

x y x y ????-== ???++??例2 arctan .y z x =求函数的所有二阶偏导数22222222.()z x x y y y

x y x y ????-== ???++??22222222,()

z y x y x y y x y x y ????--==- ????++??22222222,()z x x y y x x x y x y ????-==- ????++??

注意在上面两个例子中都有

22,z z x y y x

??=????x y y x 即先对、后对与先对、后对的两个二阶偏导数相等.

但是这个结论并不对任何函数都成立，例如

22222222,0,(,)0,

0.x y xy x y x y f x y x y ?-+≠?+=??+=?

其一阶偏导数为42242222222(4),0,()(,)0,

0;x y x x y y x y x y f x y x y ?+-+≠?+=??+=?42242222222(4),0,()(,)0,

0.y x x x y y x y x y f x y x y ?--+≠?+=??+=?00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1,x x x y y y f y f y f y

y ?→?→?--?===-??00(,0)(0,0)(0,0)lim

lim 1.y y yx x x f x f x f x x ?→?→?-?===??

由此看到, 这两个混合偏导数与求导顺序有关. 在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢? 先按定义把0000(,)(,)x y y x f x y f x y 与表示成极限形式.

为此那么

因此有

0000000(,)(,)(,)lim x x x y y f x y y f x y f x y y

???→+-=00000(,)(,)lim x f x x y f x y x ?→?+?--???

000000(,)(,)1lim lim y x f x x y y f x y y y x ???????→→?++-+=??

0(,)(,)(,)lim ,x x f x x y f x y f x y x

?→+?-=?由于

类似地有

为使0000(,)(,)x y y x f x y f x y =成立，必须使 (1)、(2) 这两个累次极限相等.

下述定理给出了使(1)与(2)相等的一个充分条件．0000001(,)lim lim (,)y x x y f x y f x x y y x y

?→?→=+?+?????000000(,)(,)(,).(2)

f x x y f x y y f x y -+?-+?+??0000001(,)lim lim (,)x y y x f x y f x x y y x y

?→?→=+?+?????000000(,)(,)(,);(1)f x y y f x x y f x y -+?-+?+??

定理17.7

证令

0000(,)(,)(,)F x y f x x y y f x x y ??=+?+?-+?00()(,)(,).

x f x y y f x y ?=+?-于是有00(,)()().F x y x x x ????=+?-(4)

对?应用微分中值定理，1(0,1),θ使得?∈

0000(,)(,).x y y x f x y f x y =(3)若(,)(,)x y y x f x y f x y 与都在点00(,)x y 连续，则

0000(,)(,),f x y y f x y -+?+

01(,), x f x x y y θ?+又作为的可导函数再使用微分

中值定理，2(0,1),θ?∈使上式化为

000102()()(,).x y x x x f x x y y x y ??θθ+?-=+?+???由(4) 则有

0102(,)(,)x y F x y f x x y y x y

θθ??????=++(5)

0001()()()x x x x x x

???θ???'+-=+010010[(,)(,)].

x x f x x y y f x x y x θθ????=++-+yx f 为了得到,再令00()(,)(,),

x f x x y f x y ψ=+?-12(0,1).

θθ<<

则有

0000(,)(,)(,)

F x y f x x y y f x y ????=++-用前面相同的方法, 又可得到

0304(,)(,)yx F x y f x x y y x y

θθ??????=++当,x y ??不为零时，由 (5), (6) 两式又得

01020304(,)(,)

x y y x f x x y y f x x y y θθθθ+?+?=+?+?0000(,)(,)f x y y f x y ?-++00()().y y y ψψ?=+-34(0,1).

θθ<<1234(0,,,1).

(7)

θθθθ<<

在且相等，这就得到所要证明的(3) 式.

合偏导数都与求导顺序无关．

注2 这个定理对n 元函数的混合偏导数也成立. 例(,,),(,,),(,,),

x yz xz y yz x f x y z f x y z f x y z (,)(,)x y y x f x y f x y 与00(,)x y 由定理假设都在点连故当时, (7) 式的两边的极限存0,0x y ?→?→如三元函数(,,)f x y z 的如下六个三阶混合偏导数

(,,),(,,),(,,)

y xz z x y z y x f x y z f x y z f x y z 续,注1若二元函数(,)f x y 在某一点存在直到n 阶的连续混合偏导数，则在这一点的所有()m m n ≤阶混

若在某一点都连续，则它们在这一点都相等．

今后在牵涉求导顺序问题时, 除特别指出外, 一般都假设相应阶数的混合偏导数连续．

复合函数的高阶偏导数设

(,),(,),(,).

z f x y x s t y s t ?ψ===若函数,,f ?ψ都具有连续的二阶偏导数，则复合函数((,),(,)),z f s t s t s t ?ψ=对于同样存在二阶连续偏导数. ,z z x z y s x s y s ?????=+?????;z z x z y t x t y t

?????=+?????具体计算如下:

,,,z z z z s t s t x y

显然与仍是的复合函数其中是????????,,x y 的函数,s t 关于的二阶偏导数: 22z z x z x s x s x s s s

???????????=+? ? ????????????,,,,.x x y y s t z s t s t

是的函数继续求????????z y z y s y s y s s ??????????++? ? ???????????

222

22z x z y x z x s x y s s x x s

?????????=?+?+? ???????????22222z x z x y s x y s s x ???????=+?? ?????????同理可得

22222z x z y y z y y x s s s y y s ?????????+?+?+? ???????????2222

222.z y z x z y s x y y s

s ????????++?+? ?????????

2222

222z z x z x y t x y t t t x ????????=+?? ??????????

2222z z x x z x y x y s t s t x y s t t s x ???????????=??+?+? ??????????????

.z z t s s t

??=????2222222;z y z x z y t x y y t t ????????++?+? ?????????2222;z y y z x z y s t x s t y s t

y ???????+??+?+??????????

222(,),,.x z z z f x y x y x

??=???设求例3 解这里z 是以,x y 为自变量的复合函数, 它也可以

改写成如下形式: (,),,.x z f u v u x v y ===由复合函数求导公式，有

1.z f u f v f f y x u x v x u v

???????=?+?=+????????,,,,f f u v x y u v

????注意这里仍是以为中间变量,为自变量的复合函数．

泰勒公式的若干问题研究

毕业论文题目泰勒公式的若干问题研究学院数学科学学院专业信息与计算科学班级计算0901 学生吕晗学号20090921073 指导教师徐美荣

- 22 - 二〇一三年五月二十五日摘要本文探讨了泰勒公式的若干问题。首先给出了几种不同形式的泰勒公式并给出了相应的证明。其次我们讨论了泰勒公式的应用问题，主要分析了泰勒公式在计算行列式，判断级数敛散性，判断函数凹凸性等方面的应用，并辅以具体的例子进行说明，另外我们研究了泰勒公式中间点的渐近性问题，主要分区间长度趋于零和区间长度趋于无穷大两种情况进行了讨论，当区间长度趋于零与无穷时中间点ξ分别满足的条件0 1 lim m m ξ→-= 与1 (1)lim []!(1)x a n x a n β ξββ→+∞-Γ-+=-Γ-。最后讨论了泰勒公式与泰勒级数之间的关系以及泰勒公式与泰勒级数在计算方面的应用。关键词：泰勒公式；敛散性；行列式；渐近性

ABSTRACT In this paper，we discuss some problems of Taylor formula。Firstly, we discuss the Taylor formula of different types and the corresponding proof。Secondly, we discuss the application of Taylor formula。We mainly analysis of the Taylor formula in the calculation of determinant，judging the convergence of series，determining the application of convex function combined with concrete example to explain。In addition we study the asymptotic properties of intermediate point of Taylor formula and the main partition length tends to zero and the interval length tending to infinity are discussed in two situations when the length of interval tends to zero and infinity of intermediate point condition 0 1 lim m m ξ → - = and 1 (1) lim[] !(1) x a n x a n β ξβ β →+∞ -Γ-+ = -Γ-。 Finally, we discusses the relationship between the Taylor formula and Taylor series and the Taylor formula and Taylor Series in computational applications。 Key words：Taylor formula; convergence;determinant; asymptotic behavior - 22 -

同济大学高等数学教学大纲

《高等数学A》课程教学大纲 (216学时，12学分) 一、课程的性质、目的和任务高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学； 5、无穷级数(包括傅立叶级数)； 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。二、总学时与学分本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。三、课程教学基本要求及基本内容说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。

7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。 7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。三、一元函数积分学 1.理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2.理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。

Taylor公式和极值问题

§ 4 Taylor 公式和极值问题 (一) 教学目的：掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，掌握二元函数的极值的必要条件与充分条件． (二) 教学内容：二元函数的高阶偏导数；中值定理与泰勒公式；二元函数的极值的必要条件与充分条件．基本要求： (1)掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，能够根据二元函数的极值的必要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大(小)值． (2) 较高要求：掌握混合偏导数与求导次序无关的定理的证明以及二元函数的极值的必要条件充分条件定理的证明． (三) 教学建议： (1) 布置适量的求二元函数的高阶偏导数和求二元函数的极值与最值的习题． (2) 讨论混合偏导和与求导次序无关的多种定理证明的习题有一定的难度，只对较好学生布置有关习题． ———————————————————— 一．高阶偏导数: 1. 高阶偏导数的定义、记法：例9 ,2y x e z += 求二阶偏导数和2 3 x y z ???. 例10 x y arctg z =. 求二阶偏导数. 上面两个例子中，关于y x 和,的不同顺序的两个二阶偏导数都相等，，但是这个结论并不对任何函数都成立，例如

?? ???=≠+-=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2 22 2y x y x y x y x xy y x f ?? ???=≠+-+=)0,0(),(,0)0,0(),(,) (4(),(2 224 224y x y x y x y y x x y y x f x ?? ???=≠+--=) 0,0(),(,0)0,0(),(,) (4(),(2 224 224y x y x y x y y x x x y x f y 1lim ) 0,0(),0(lim )0,0(0 0-=??-=?-?=→?→?y y y f y f f y x x y xy 1lim ) 0,0()0,(lim )0,0(0 =??=?-?=→?→?x x x f x f f y y y x yx 由此可知，),(y x f 关于y x 和,的不同顺序的两个二阶混合偏导数与求次序有关。那么在什么条件下两个二阶混合偏导数与求次序无关呢？定理17。7 若),(),(y x f y x f yx xy 和都在),(00y x 连续，则 ),(),(0000y x f y x f yx xy = 约定：今后除特别指出外，都假定相应的混合偏导数连续。例11 ) , (y x x f z =. 求22 x z ??和y x z ???2 . 验证或化简偏微分方程: 例12 2 2 ln y x z +=. 证明 2 2 x z ?? + 2 2 y z ??0=. ( Laplace 方程 ) 例13 将方程0=??-??x u y y u x 变为极坐标形式. 解 x y arctg y x r r y r x =+=?==θθθ , .sin , cos 2 2.

同济高数上册公式大全

第一章函数与极限一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次

) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!211 2125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）) ()(lim x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则这个定理说明：当) ()(lim x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)() (lim 0x F x f x x ''→；当 ) ()(lim x F x f x x ''→为无穷大时，)() (lim 0x F x f x x →也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则. ∞ ∞ 型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0 x f x x ，∞=→)(lim 0 x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； )() (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→) ()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→

泰勒公式及其在解题中的应用

本科生毕业设计（论文）（ 2014届）设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用作者周立泉分院理工分院用数学1001班指导教师（职称）徐华（讲师）专业班级数学与应用数学）论文字数 8000 论文完成时间 2014年4月3日杭州师范大学钱江学院教学部制

泰勒公式及其在解题中应用数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用．关键词：泰勒公式;数学分析;导数 Taylor Formula and Its Application in Solving Problem Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHua Abstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications. Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative.

北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案习题

习题4.5 x (,3 2 )3 2 (3 2 ,0) 0(0, 3 2 ) 3 2 (3 2 ,+) f0+00+ f拐点拐点拐点x(,0) -∞0(0,1)1(1,2)2(2,) +∞y'0++0 y''++ y 极小值拐点极大值 ()() ()() 2 22222 22 222 32 1.() ()212,()12(2)4 3 642320,0,. 2 x x x x x x x x f x xe f x e x e e x f x e x x xe e x x xe x x - ------- = ''' -=-=--- =-+=-+==± 求函数的凸凹性区间及拐点. 解= 23 2 1 ,(,). 3 2(2)0,0,2. 220, 1. y x x x y x x x x x y x x =-∈-∞∞ '=-=-== ''=-== 作下列函数的图形： 2.

222223.,(,).2(2)(2)0,0,2;(2)(22)(42)0,2 2. x x x x x x x x y x e x y xe x e e x x e x x x y e x x e x e x x x --------'=∈-∞+∞=-=-=-==''=--+-=-+==± x (,0)-∞ (0,22)- 22- (22,2)- 2 (2,22)+ 22+ (22,)++∞ y ' - + + - - y '' + + - - 0 + y ? 极小值 ? 拐点 ? 极大值 ? 拐点 ? 22231 4.,0. 11 10, 2 1;. y x x x x y x x x y x =+≠-'=-==''=±=

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则

北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案习题4.1

习题 4.1 3 2 12121.()32[0,1][1,2]R o lle 0,(0)(1)(2)0,()[0,1][1,2]R o lle 620,6 3 (0,1),(1,2),()()0. 332.f x x x x f f f f f x x x x x x f x f x =-+==='-+== = ''====2 验证函数在区间及上满足定理的条件并分别求出导数为的点. 处处可导故在区间及上满足定理的条件.f (x )=3x 讨论下列解11 1 1 ()[1,1]R o lle ,,(1,1),()0. (1)()(1)(1),,;(2)()1(1)()(1)(1)(1)(1) (1)(1)()0,(1,1),()0. 1 (2)(m n m n m n m n f x c f c f x x x m n f x f x m x x n x x m n x x m m x n n x c f c m f x -----∈-'==+-=- '=+--+--'=+----== ∈-=+'函数在区间上是否满足定理的条件若满足求使为正整数解1/3 2),(0). 33.()ln [1,],?11(),()(1)ln ln 11(1), 1. 4.L ag ran g e (1)|sin sin |||; (2)|tan tan |||,,(/2,/2);(3) ln x f f x x e c f x f e f e e c e x c y x x y x y y x x y b a b b b a ππ-'=- =='= -=-== -=--≤--≥-∈--<<不存在写出函数在区间上的微分中值公式并求出其中的应用中值定理,证明下列不等式:解2 2 2 (0). (1)|sin sin ||(sin )|()||co s |||||.(2)|tan tan ||(tan )|()|sec ||||.(3) ln ln ln (ln )|()((,)). 5.()(1)(4)x c x c x c a a b a x y x x y c x y x y y x x y x c y x y x b a b b a b a b a x b a c a b a a c a P x x x ===-<<'-=-=-≤-'-=-=-≥----'<=-=-= ∈< =--证明多项式的导函数的证1,212,. ()1,2,R o lle ,,,()(2,1),(1,1),(1,2). 6.,,,:()co s co s 2co s (0,). n n P x P x c c c f x c x c x c n x π±±---=+++ 三个根都是实根并指出它们的范围有四个实根根根据定理它的导函数有三个实根又作为四次多项式的导函数是三次多项式,最多三个实根,故的导函数的三个根都是实根,分别在区间设为任意实数证明函数在内必有根证

证明泰勒公式

泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n) (x.)/n!?(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。）证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式： P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0,所以 A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n) (x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得： P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n. 接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有 Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n) (x.)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n- 0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。但 Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项 Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。麦克劳林展开式：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?x^(n+1),这里0<θ<1。证明：如果我们要用一个多项式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n来近似表示函数f(x)且要获得其误差的具体表达式，就可以把泰勒公式改写为比较简单的形式即当x.=0时的特殊形式： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+f(n+1)

(完整版)同济大学___高数上册知识点

高等数学上册复习要点一、函数与极限（一）函数 1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、反函数、复合函数、函数的运算； 3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论. （二）极限 1、定义 1）数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2）函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+=

)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2）单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、无穷小（大）量 1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则； 3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5）无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -

泰勒公式及其应用典型例题

泰勒公式及其应用常用近似公式，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当较大时），从下图可看出。上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进： 1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。 2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“心中不安”。将上述两个想法作进一步地数学化：对复杂函数，想找多项式来近似表示它。自然地，我们希望尽可能多地反映出函数所具有的性态——如：在某点处的值与导数值；我们还关心的形式如何确定；近似所产生的误差。【问题一】设在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于的次多项式

近似? 【问题二】若问题一的解存在，其误差的表达式是什么? 一、【求解问题一】问题一的求解就是确定多项式的系数。 …………… 上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：

于是，所求的多项式为： (2) 二、【解决问题二】泰勒(Tayler)中值定理若函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，可以表示成这里是与之间的某个值。先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：

这表明：只要对函数及在与之间反复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。【证明】以与为端点的区间或记为，。函数在上具有直至阶的导数，且函数在上有直至阶的非零导数，且于是，对函数及在上反复使用次柯西中值定理，有

三、几个概念 1、此式称为函数按的幂次展开到阶的泰勒公式；或者称之为函数在点处的阶泰勒展开式。当时，泰勒公式变为这正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我们也称泰勒公式中的余项。为拉格朗日余项。 2、对固定的，若有

大一同济上册高数(一些重要公式及知识点)

同济上册高数总结微分公式与积分公式三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

同济高等数学公式大全

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '

数学分析17.4多元函数微分学之泰勒公式与极值问题

第十七章多元函数微分学 4泰勒公式与极值问题一、高价偏导数概念1：二元函数z=f(x,y)的二阶偏导数有如下四种情形： (1)??? ??????x z x =22x z ??=f xx (x,y); (2)??? ??????x z y =y x z 2???=f xy (x,y); (3)???? ??????y z x =x y z 2???=f yx (x,y); (4)??? ? ??????y z y =22y z ??=f yy (x,y). 二元函数z=f(x,y)的三阶偏导数有共有八种情形，如： ???? ??????22x z x =33x z ??=3x f (x,y)；???? ??????22x z y =y x z 23???=y x 2f (x,y)；…… 例1：求函数z=e x+2y 的所有二阶偏导数和2 3x y z ???. 解：∵z x =e x+2y ; z y =2e x+2y ; ∴z xx =e x+2y ; z xy =2e x+2y ; z yx =2e x+2y ; z yy =4e x+2y ;23x y z ???=???? ???????x y z x 2=2e x+2y . 例2：求函数z=arctan x y 的所有二阶偏导数. 解：∵z x =22x y 1x y -?? ? ??+=-22y x y +; z y =2x y 1x 1? ?? ??+=22y x x +; ∴z xx =222)y (x 2x y +; z xy =-222222)y (x y 2y x +-+=2222 2)y (x x y +-; z yx =222222)y (x x 2y x +-+=2 222 2) y (x x y +-; z yy =-222)y (x 2x y +.

泰勒公式与极值问题

§4 泰勒公式与极值问题教学计划：６课时．教学目的：让学生掌握多元函数高阶偏导数的求法；二元函数的中值定理和泰勒公式；二元函数取极值的必要和充分条件．教学重点：高阶偏导数、泰勒公式和极值的判定条件．教学难点：复合函数高阶偏导数的求法；二元函数的泰勒公式．教学方法：讲授法．教学步骤：一高阶偏导数由于),(y x f z =的偏导函数),(),,(y x f y x f y x 仍然是自变量x 与y 的函数，如果它们关于x 与y 的偏导数也存在，则说函数f 具有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有如下四种情形： () ,2222 2222y x y x y x y y y x z +--=???? ??+-??=??? () ,22222222y x y x y x x x x y z +--=???? ??+??=??? () .22 2 22222y x xy y x x y y z +-=???? ??+??=?? □ 注意从上面两个例子看到，这些函数关于x 和y 的不同顺序的两个二阶偏导数都相等（这种既有关于x 又有关于y 的高阶偏导数称为混合偏导数），即 .22x y z y x z ???=??? 但这个结论并不对任何函数都成立，例如函数 ()?? ???=+≠++-=.0,0,0,,2222 2222y x y x y x y x y x y x f 它的一阶偏导数为 ()( )() ?? ???=+≠++-+=, 0,0, 0,4,2222 2 2 24 224y x y x y x y y x x y y x f x ()( )() ?? ???=+≠++--=, 0,0, 0,4,2222 2 2 24224y x y x y x y y x x x y x f y 进而求f 在（0，0）处关于x 和y 的两个不同顺序的混合偏导数，得 ()()(),1lim 0,0,0lim 0,000-=??-=?-?=→?→?y y y f y f f y x x y xy ()()()1lim 0,00,lim 0,000=??=?-?=→?→?x x x f x f f x y y x yx ．由此看到，这里的()y x f ,在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？为此，我们按定义先把()()0000,,y x f y x f yx xy 与表示成极限形式．由于

泰勒公式的理解及泰勒公式

对泰勒公式的理解及泰勒公式的应用 1 函数展开与向量空间泰勒公式是函数展开的一种工具,也就是说,利用泰勒公式将函数展成幂级数是函数展开的一种方法,当然,函数的展开方法有多种,例如：用泰勒公式展开、三角级数的展开等。为更好地理解函数展开的意义以及泰勒公式的应用，文章先对函数的展开进行论述,然后,用例题对其应用做进一步的说明。在高等数学中,函数展开有许多不同的形式,最常用的有如下两种类型的函数级数展开。 1.1 函数的泰勒展开（幂级数展开）若函数f(x)在区间｛x｜｜x-x 0｜＜R｝内无穷可微,且它的Lagrange余项r n(x)当n→∞ 时,收敛于零,则在这区间内有： 1 2 函数的三角级数展开若函数f(x)在区间［-π,π］上连续且逐段光滑,则在这区间内有：从函数展开式(1)和(2)两边的项来看,左边的函数f(x)作为一个整体,它只有有限的一项,而右边却包含着无限多项,说明在一定条件下,有限形式的函数可以用无限形式的级数来表示, 关于这一点,可以从另一个视角来看，若把展开式(1)和(2)中的函数系：｛1,(x-x0),(x-x 0)2,(x-x0)3,…,(x-x0)n,…｝ {1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…,cosnx,sinnx,…} 分别看成无限维函数空间的两个坐标系, 其中的函数就是相应的坐标向量,则f(x)就可以看作这个空间的一个点（或一个向量）,则两级数的系数组成的两个数列: ｛a0,a1,a2,…,a n｝与｛a0,a1,b1,a2,b2，…，n,b n,…｝就是f(x)分别在这两个坐标系中的坐标,于是从形式来看，f(x)作为这无限维空间中的一个点（一个向量）,但从数来看，f(x)在这个空间中却要用无限个坐标来决定.在高等数学中, 根据问题的需要,进行有限与无限形式的相互变换,在解决数学问题中是常有的。可见,换个角度看函数的展开,会给人加深印象,能在原有的基础上根深蒂固。谈到有限与无限,在高等数学中,根据问题的需要,进行有限与无限形式的相互变换,在解决数学问题中是常常会用到的,这就是泰勒公式的魅力所在.比如说：函数的分解与求和,函数关系的证明等,就要用这种有限与无限之间的变换方法。

§17.4 泰勒公式与极值问题 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件