等腰三角形的动点问题--经典习题

等腰三角形的动点问题 2017.7.21

【例1】如图，在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =8，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM =∠B ；

（1）求证：△ABP ∽△PCM ；

（2）设BP =x ，CM =y ．求 y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域．

（3）当△APM 为等腰三角形时， 求PB 的长．

25、已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，点D 是BC 边上的一个动点(不与B ，C 点重合)，∠ADE ＝45°． (1)求证：△ABD ∽△DCE ；

(2)设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式；

(3)当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．[来源:学*科*网Z*X*X*K][来源:学,科,网]

A B P C

M

考点：等腰三角形的动点、巧用三角比

1、如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，△PEF 的面积为y （1）写出图中的相似三角形不必证明；

（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；

（3）若△PEF 为等腰三角形，求PC 的长。

2、已知在等腰三角形ABC 中，4,6AB BC AC ===，D 是AC 的中点， E 是BC 上的动点（不与B 、C 重合），连结DE ，过点D 作射线DF ，使EDF A ∠=∠，射线DF 交

射线EB 于点F ，交射线AB 于点H .

（1）求证：CED ?∽ADH ?； （2）设,EC x BF y ==. ①用含x 的代数式表示BH ；

②求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的定义域.

H A

B

C

D

E

F

C P

E A

B

F G H

M

3、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．

（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．

①求证；△ABP∽△DPC

②求AP的长．

（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE 交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么

①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

②当CE＝1时，写出AP的长（不必写出解题过程）．

C D

A

B

P

4、如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD =BC =4，AD =2．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作∠EMF =∠B ，射线ME 交边AB 于点E ，射线MF 交边CD 于点F ，连结EF ． （1）指出图中所有与△BEM 相似的三角形，并加以证明；

（2）设BE =x ，CF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；

A B

C D

M

E

F