新课程高考高中数学基础知识归纳及常用公式和结论
2009年新课程高考高中数学基础知识归纳
第一部分 集合
1.理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…
2 .数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决 3.(1) 元素与集合的关系：U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. （2）德摩根公式： ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == .
（3）A B A A B B =?= U U A B C B C A ????U A C B ?=Φ U C A B R ?=
注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况.
（4）集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；
非空真子集有2n –2个.
4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
第二部分 函数与导数
1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.
2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ； ⑥利用均值不等式 2
2
2
2
b
a b a ab +≤
+≤
； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、
绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x
a 、x sin 、x cos 等）；⑨平方法；⑩ 导数法
3．复合函数的有关问题: （1）复合函数定义域求法：
① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域. （2）复合函数单调性的判定：
①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y = ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性
③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性:
?函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．
?)(x f 是奇函数)()(x f x f -=-?；)(x f 是偶函数)()(x f x f =-?. ?奇函数)(x f 在0处有定义，则0)0(=f
?在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性 ?若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性 6．函数的单调性: ?单调性的定义：
①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x <； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x >；
?单调性的判定：①定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性：
(1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函
数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
（2）三角函数的周期：①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ；
④|
|2:)cos(),sin(ωπ?ω?ω=+=+=T x A y x A y ；⑤|
|:tan ωπω=
=T x y
(3)与周期有关的结论：
)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ?)(x f 的周期为a 2
8．基本初等函数的图像与性质：
㈠.?指数函数：)1,0(≠>=a a a y x
；?对数函数:)1,0(log
≠>=a a x y a
；
?幂函数：α
x y = （)R ∈α ；?正弦函数:x y sin =；?余弦函数：x y cos = ； （6）正切函数：x y tan =；?一元二次函数：02
=++c bx ax （a ≠0）；?其它常用函数： ① 正比例函数：)0(≠=k kx y ；②反比例函数：)0(≠=
k x
k y ；③函数
)0(>+
=a x
a x y
㈡.
?分数指数幂：m
n
a
=
1
m n
m
n
a
a
-
=
（以上0,,a m n N *>∈，且1n >）.
?.①b N N a a
b =?=log
； ②()N M MN a
a
a
log
log
log
+=
；
③N M N
M
a
a
a
log
log
log
-=； ④log log m n
a a n
b b m
=
.
?.对数的换底公式:log log log m a m N N a
=.对数恒等式:log
a
N
a N =.
9．二次函数：
?解析式：①一般式：c bx ax x f ++=2)(；②顶点式：k h x a x f +-=2
)()(，),(k h 为顶点；
③零点式：))(()(21x x x x a x f --= （a ≠0）.
?二次函数问题解决需考虑的因素：
①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。 二次函数c bx ax
y ++=2
的图象的对称轴方程是a b
x 2-=，顶点坐标是???
?
?
?--a b ac a b 4422
，。 10．函数图象：
?图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ③导数法 ?图象变换：
① 平移变换：ⅰ))()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“－”；
ⅱ))0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“－”； ② 对称变换：ⅰ))(x f y =??→?)0,0()(x f y --=；ⅱ))(x f y =??→?=0
y )(x f y -=；
ⅲ) )(x f y =?→?=0
x )(x f y -=； ⅳ))(x f y =??→?=x
y ()x f y =；
③ 翻折变换：
ⅰ)|)(|)(x f y x f y =→=———（去左翻右）y 轴右不动，右向左翻（)(x f 在y 左侧图象去掉）； ⅱ)|)(|)(x f y x f y =→=———（留上翻下）x 轴上不动，下向上翻（|)(x f |在x 下面无图象）； 11．函数图象（曲线）对称性的证明：
(1)证明函数)(x f y =图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；
（2）证明函数)(x f y =与)(x g y =图象的对称性，即证明)(x f y =图象上任意点关于对称中心
（对称轴）的对称点在)(x g y =的图象上，反之亦然。
注：①曲线C 1:f(x,y)=0关于原点（0,0）的对称曲线C 2方程为：f(－x,－y)=0;
曲线C 1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C 2方程为：f(－x, y)=0; 曲线C 1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C 2方程为：f(x, －y)=0; 曲线C 1:f(x,y)=0关于直线y=x 的对称曲线C 2方程为：f(y, x)=0 ②f(a+x)=f(b －x) （x∈R）?y=f(x)图像关于直线x=
2
b a +对称；
特别地：f(a+x)=f(a －x) （x∈R）?y=f(x)图像关于直线x=a 对称. ③()y f x =的图象关于点(,)a b 对称?()()b x a f x a f 2=-++. 特别地：()y f x =的图象关于点(,0)a 对称?()()x a f x a f --=+. ④函数()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称; 函数)(x a f y +=与函数()y f a x =-的图象关于直线0=x 对称。
12．函数零点的求法：
?直接法（求0)(=x f 的根）；?图象法；?二分法.
(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)<0 , 则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。 13．导数：
?导数定义：f(x)在点x 0处的导数记作x
x f x x f x f y x x x ?-?+='='
→?=)
()(lim
)(000
00
?常见函数的导数公式: ①'
C 0=；②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；
⑤a a a x
x
ln )('
=；⑥x
x e e =')(；⑦a
x x a
ln 1)(log
'
=
；⑧x
x 1)(ln '
=
。
?导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2
v
v u v u v
u
v u v u uv v u v u '-'=
''+'=''±'='±
?（理科）复合函数的导数：;x
u x u y y '?'=' ?导数的应用：
①利用导数求切线：注意：ⅰ)所给点是切点吗？ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线？ ②利用导数判断函数单调性：i ）)(0)(x f x f ?>'是增函数；ii ）)(0)(x f x f ?<'为减函数；iii ）)(0)(x f x f ?≡'为常数； ③利用导数求极值：ⅰ）求导数)(x f '；ⅱ）求方程0)(='x f 的根；ⅲ）列表得极值。
④利用导数求最大值与最小值：ⅰ）求极值；ⅱ）求区间端点值（如果有）；ⅲ）比较得最值。
第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形 1．?角度制与弧度制的互化：π弧度 180=，180
1π
=
弧度，1弧度
)180
(
π
='
1857 ≈ ?弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：2
2
121R lR S θ=
=
。
2．三角函数定义:角α终边上任一点（非原点）P ),(y x ,设r OP =|| 则：,
cos ,si n r x r y ==ααx
y =
αtan
3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全s t c ”） 4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限” 5．?)sin(?ω+=x A y 对称轴：令2
x k π
ω?π+=+
，得; =x 对称中心：))(0,(
Z k k ∈-ω
?
π；
?)cos(?ω+=x A y 对称轴：令π?ωk x =+，得ω
?
π-=
k x ；对称中心：)
)(0,2(
Z k k ∈-+
ω
?
ππ；
?周期公式:①函数sin()y A x ω?=+及cos()y A x ω?=+的周期ω
π
2=
T (A 、ω、?为常数，
且A ≠0).②函数()φω+=x A y tan 的周期ω
π=T (A 、ω、?为常数，且A ≠0).
6．同角三角函数的基本关系：x x
x x x tan cos sin ;
1cos
sin
2
2
==+
7．三角函数的单调区间及对称性：
?sin y x =的单调递增区间为2,222k k k Z
ππππ?
?
-+
∈???
?
,单调递减区间为 32,222k k k Z ππππ?
?++∈????
，对称轴为()2x k k Z ππ=+∈,对称中心为(),0k π()k Z ∈. ?cos y x =的单调递增区间为[]2,2k k k Z πππ-∈,单调递减区间为[]2,2k k k Z πππ+∈， 对称轴为()x k k Z π=∈,对称中心为,02k π
π?
?
+
???
()k Z ∈. ?tan y x =的单调递增区间为,22k k k Z ππππ?
?-+∈ ???，对称中心为??? ??0,2πk ()Z k ∈.
8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ；
tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
±±=
.
②2
2
sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-；2
2
cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.
③sin cos a b αα+
)α?+(其中,辅助角?所在象限由点(,)a b 所在的象限 决定,tan b a
?=
).
9．二倍角公式：①αααcos sin 22sin =.2
(sin cos )12sin cos 1sin 2ααααα±=±=±
②2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（升幂公式）.
22
1cos 21cos 2cos ,sin 2
2
αααα+-==
（降幂公式）. 10．正、余弦定理： ?正弦定理：
R C
c B
b A
a 2sin sin sin ==
=
（R 2是ABC ?外接圆直径
） 注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；
③
C
B A c b a C
c B
b A
a
sin sin sin sin sin sin ++++=
=
=
。
?余弦定理：A bc c b a cos 22
2
2
-+=等三个； bc
a
c b A 2cos 2
2
2
-+=
等三个。
11.几个公式:?三角形面积公式：①111222
a b c S ah bh ch ===
（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边
上的高）；②111sin sin sin 2
2
2
S ab C bc A ca B =
=
=
.
③O A B S ?=
?内切圆半径r=
c
b a S ABC ++?2； 外接圆直径2R=
;sin sin sin C
c B
b A
a =
=
第四部分 立体几何
1．三视图与直观图：?画三视图要求：正视图与俯视图长对正；正视图与侧视图高平齐；侧视图与俯视图宽相等。 ?斜二测画法画水平放置几何体的直观图的要领。 2．表（侧）面积与体积公式：
?柱体：①表面积：S=S 侧+2S 底；②侧面积：S 侧=rh π2；③体积：V=S 底h ?锥体：①表面积：S=S 侧+S 底；②侧面积：S 侧=rl π；③体积：V=
3
1S 底h ：
?台体：①表面积：S=S 侧++上底S S 下底;②侧面积：S 侧=l r r )('
+π;③体积：V=
3
1（S+'
'S SS +）h ；
?球体：①表面积：S=2
4R π；②体积：V=3
3
4R π .
3．位置关系的证明（主要方法）：
?直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。 ?直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行?线面平行。
?平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。 ?直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。 ?平面与平面垂直：①定义----两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。 注：以上理科还可用向量法。 4.求角：（步骤-------Ⅰ.找或作角；Ⅱ.求角） ?异面直线所成角的求法：
①平移法：平移直线，构造三角形；②用向量法 ?直线与平面所成的角：
①直接法（利用线面角定义）；②用向量法
5.求距离：（步骤-------Ⅰ.找或作垂线段；Ⅱ.求距离）
点到平面的距离：①等体积法；②向量法 6．结论：
?棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． ?长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a ，b ，c ，则体对角线长为2
2
2
c b a ++，全面积为
2ab+2bc+2ca ，体积V=abc 。
?正方体的棱长为a ，则体对角线长为a 3，全面积为26a ，体积V=3a 。
?球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. ?正四面体的性质：设棱长为a ，则正四面体的： ① 高：a h 3
6=
；②对棱间距离：
a 2
2；③内切球半径：
a 12
6；④外接球半径：
a 46。
第五部分 直线与圆
1．斜率公式：2121
y y k x x -=
-，其中111(,)P x y 、222(,)P x y .
直线的方向向量()b a v ,=，则直线的斜率为k =(0)b a a
≠.
2.直线方程的五种形式：
(1)点斜式：11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． (2)斜截式：y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式：
1121
21
y y x x y y x x --=--(111(,)P x y 、222(,)P x y 12x x ≠，12y y ≠).
(4)截距式：
1=+
b
y
a x (其中a 、
b 分别为直线在x 轴、y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ). (5)一般式：0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).
3．两条直线的位置关系：
（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,则：
① 1l ∥2l 21k k =?,21b b ≠； ②12121l l k k ⊥?=-. （2）若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,则：
① 0//122121=-?B A B A l l 且01221≠-C A C A ；②1212120l l A A B B ⊥?+=. 4．求解线性规划问题的步骤是：
（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。 5．两个公式:
?点P （x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离：2
2
00B
A
C
By Ax d
+++=
；
?两条平行线Ax+By+C 1=0与 Ax+By+C 2=0的距离2
2
21B
A C C d +-=
6．圆的方程：
?标准方程：①222)()(r b y a x =-+- ；②222r y x =+ 。
?一般方程：022=++++F Ey Dx y x （)0422>-+F E D 注：Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆?A=C ≠0且B=0且D 2+E 2－4AF>0 7．圆的方程的求法：?待定系数法；?几何法。 8．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）
?点与圆的位置关系：（d 表示点到圆心的距离）
①?=R d 点在圆上；②?
?圆与圆的位置关系：（d 表示圆心距，r R ,表示两圆半径，且r R >） ①?+>r R d 相离；②?+=r R d 外切；③?+<<-r R d r R 相交； ④?-=r R d 内切；⑤?-< ．直线与圆相交所得弦长||AB = 第六部分 圆锥曲线 1．定义：?椭圆：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+； ?双曲线：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-； ?抛物线：|MF|=d 2．结论 ：?直线与圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为A ),(),,(2211y x B y x ,则 AB = 或2 2 11k x x AB +-=, 或2 2 111k y y AB + -=. 注：①抛物线：AB ＝x 1+x 2+p ；②通径（最短弦）：ⅰ）椭圆、双曲线：a b 2 2；ⅱ）抛物线：2p. ?过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：12 2 =+ny mx （n m ,同时大于0时表示椭圆； 0 ?双曲线中的结论： ①双曲线122 22 =-b y a x （a>0,b>0）的渐近线：02 2 22 =-b y a x ； ②共渐进线x a b y ± =的双曲线标准方程可设为 λ λ(2 22 2=- b y a x 为参数，λ≠ 0）； ③双曲线为等轴双曲线??=2e 渐近线互相垂直； ?焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。 3．直线与圆锥曲线问题解法： ?直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。 注意以下问题：①联立的关于“x ”还是关于“y ”的一元二次方程？②直线斜率不存在时 考虑了吗？③判别式验证了吗？ ?设而不求（点差法-----代点作差法）：--------处理弦中点问题 步骤如下：①设点A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)；②作差得 =--= 2 121x x y y k AB ；③解决问题。 4．求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（又称相关点法或坐标转移法）；?待定系数法；（5）消参法；（6）交轨法；（7）几何法。 第七部分 平面向量 1.平面上两点间的距离公式:,A B d = A 11(,)x y ， B 22(,)x y . 2.向量的平行与垂直： 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则： ①a ∥b ?b =λa 12210x y x y ?-=； ② a ⊥b (a ≠0)?a ·b =012120x x y y ?+=. 3.a·b =|a ||b |cos 注：①|a |cos ②a·b 的几何意义：a·b 等于|a |与|b |在a 方向上的投影|b |cos 5.三点共线的充要条件：P ，A ，B 三点共线?x y 1O P xO A yO B =++= 且。 第八部分 数列 1．定义： Bn An S b kn a N n n a a a n d a a N n d d a a a n n n n n n n n +=?+=?∈≥+=?≥=-?∈=-?-+-* +2 111n 1n *),2(2)2(,()1(）为常数｝等差数列｛ ?等比数列 )N n 2,(n )0(}1n 1-n 2 n 1n n * ++∈≥?=?≠=?a a a q q a a a n ｛ 2．等差、等比数列性质： 等差数列 等比数列 通项公式 d n a a n )1(1-+= 1 1- =n n q a a 前n 项和 d n n na a a n S n n 2 )1(2 ) (11-+ =+= q q a a q q a S q na S q n n n n --= --=≠==11)1(1.2; 1.1111时，时， 性质 ①a n =a m + (n －m)d, ①a n =a m q n-m ; ②m+n=p+q 时a m +a n =a p +a q ②m+n=p+q 时a m a n =a p a q ③ ,,,232k k k k k S S S S S --成AP ③ ,,,232k k k k k S S S S S --成GP ④ ,,,2m k m k k a a a ++成AP,md d =' ④ ,,,2m k m k k a a a ++成GP,m q q =' 3．常见数列通项的求法： ?定义法（利用AP,GP 的定义）；?累加法（n n n c a a =-+1型）?累乘法（ n n n c a a =+1型）；?待定系数法（b ka a n n +=+1型）转化为)(1x a k x a n n +=++ （6）间接法（例如：41141 11=- ? =----n n n n n n a a a a a a ） ；（7）（理科）数学归纳法。 4．前n 项和的求法：?分组求和法；?错位相减法；?裂项法。 5．等差数列前n 项和最值的求法： ?n S 最大值? ?? ? ?????≥≤?? ?≤≥++000011n n n n n a a S a a 最小值或 ；?利用二次函数的图象与性质。 第九部分 不等式 1．均值不等式：)0,(2 2 2 2 ≥+≤ +≤ b a b a b a ab 注意：①一正二定三相等；②变形：),(2 )2 (2 22 R b a b a b a ab ∈+≤ +≤。 2．极值定理：已知y x ,都是正数，则有： (1)如果积xy 是定值p ，那么当y x =时和y x +有最小值p 2； (2)如果和y x +是定值s ，那么当y x =时积xy 有最大值 2 4 1s . 3.解一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或:若0>a ,则对于解集不是全集或空集时,对应的 解集为“大两边，小中间”.如:当21x x <,()()21210x x x x x x x < ()()12210x x x x x x x x <>? >--或. 4.含有绝对值的不等式：当0>a 时，有：①a x a a x a x <<-? 2 ； ②2 2 x a x a x a >?>?>或x a <-. 5.分式不等式： （1） ()() ()()00>??>x g x f x g x f ； （2） () () ()()00 （3）() ()()()()???≠≥??≥000x g x g x f x g x f ； （4）()()()()()???≠≤??≤0 00x g x g x f x g x f . 6.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()() ()()f x g x a a f x g x >?>；()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >?? >?>??>? . (2)当01a <<时,()() ()()f x g x a a f x g x >?<；()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >?? >?>?? 3．不等式的性质： ?a b b a ；?c a c b b a >?>>,；?c b c a b a +>+?>；d c b a >>, d b c a +>+?；?bd ac c b a >?>>0,；bc ac c b a 0,；,0>>b a 0c d >> ac bd ?>;?)(00*∈>>?>>N n b a b a n n ;?? >>0b a ) (* ∈> N n b a n n 第十部分 复数 1．概念： ?z=a+bi∈R ?b=0 (a,b∈R)?z=z ? z 2 ≥ 0；?z=a+bi 是虚数?b≠ 0(a,b∈R)； ?z=a+bi 是纯虚数?a=0且b≠ 0(a,b∈R)?z ＋z ＝0（z≠ 0）?z 2<0； ?a+bi=c+di ?a=c 且c=d(a,b,c,d∈R)； 2．复数的代数形式及其运算：设z 1= a + bi , z 2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则： （1） z 1± z 2 = (a + b) ± (c + d)i；? z 1.z 2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd ）+ (ad+bc)i ；?2 1z z = =-+-+) )(())((di c di c di c bi a i d c a d bc d c b d ac 2 2 2 2 +-+ ++ (z 2≠ 0) ; 3．几个重要的结论： 2 2 22212 2 12 2 1)2();(2)1(z z z z z z z z z z ==?+=-++；?i i 2)1(2±=±；?;11;11i i i i i i -=+-=-+ ?i 性质：T=4；i i i i i i n n n n -=-===+++3424144,1,,1；;03424144=++++++n n n i i i i 4．模的性质：?||||||2121z z z z =；?| ||||| 212 1z z z z = ；?n n z z ||||=。 5.实系数一元二次方程2 0ax bx c ++=的解： ①若2 40b ac ?=->, 则1,22x a = ②若2 40b ac ?=-=,则122b x x a ==- ; ③若2 40b ac ?=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数 根2 40)2x b ac a = -<. 第十一部分 概率 1．事件的关系： ?事件B 包含事件A ：事件A 发生，事件B 一定发生，记作B A ?； ?事件A 与事件B 相等：若A B B A ??,，则事件A 与B 相等，记作A=B ； ?并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生或B 发生，记作B A ?（或B A +）； ?并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生且B 发生，记作B A ?（或AB ） ； ?事件A 与事件B 互斥：若B A ?为不可能事件（φ=?B A ），则事件A 与互斥； ?对立事件：B A ?为不可能事件，B A ?为必然事件，则A 与B 互为对立事件。 2．概率公式： ?互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)； ?古典概型：基本事件的总数 包含的基本事件的个数 A A P = )(； ?几何概型：等） 区域长度（面积或体积 试验的全部结果构成的 积等） 的区域长度（面积或体构成事件A A P = )( ； 第十二部分 统计与统计案例 1．抽样方法： ?简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N ，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量 为n 的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。 注：①每个个体被抽到的概率为 N n ； ②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数表法。 ?系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，从 每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。 注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号；④按预 先制定的规则抽取样本。 ?分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况， 将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。 注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数? N n 注:以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等 2．频率分布直方图与茎叶图：?用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。?当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。 3．总体特征数的估计： ?样本平均数∑== +???++= n i i n x n x x x n x 1 211 )(1； ?样本方差])()()[(12 2 22 12 x x x x x x n S n -+???+-+-= 2 1 ) (1 x x n n i i -= ∑= ； ?样本标准差])()()[(12 2 22 1x x x x x x n S n -+???+-+-= = 2 1 ) (1x x n n i i -∑= 3．相关系数（判定两个变量线性相关性）： ()( ) n i i x x y y r --= ∑ ()( ) n i i x x y y --= ∑ 注：?r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；?当||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；当||r 越接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 4． 回归直线方程 y a bx =+，其中()()()1122 2 1 1 n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y n x y b x x x nx a y bx ====? ---? ?== ? --?? =-?∑∑∑∑ 第十三部分 算法初步 1．程序框图： 终端框（起止框） 处理框（执行框）；④ 判断框；⑤ 流程线 ； ?程序框图分类: 注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while 型） ——先判断条件，再执行循环体； Ⅱ．直到型（until 型）——先执行一次循环体，再判断条件。 2．基本算法语句： ?输入语句 INPUT “提示内容”；变量 ；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式 赋值语句： 变量=表达式 ?条件语句：① ② IF 条件THEN IF 条件 THEN 语句体 语句体1 END IF ELSE 语句体2 END IF ?循环语句：①当型： ②直到型: WHILE 条件 DO 循环体 循环体 WEND LOOP UNTIL 条件 第十四部分 常用逻辑用语与推理证明 1．充要条件的判断： （1）定义法 ----正、反方向推理 注意区分：“甲是乙的充分条件（甲?乙）”与“甲的充分条件是乙（乙?甲）” （2）利用集合间的包含关系：例如：若B A ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件。 2．逻辑联结词： ?且(and) ：命题形式 p ∧q ； p q p ∧q p ∨q ?p ?或（or ）： 命题形式 p ∨q ； 真 真 真 真 假 ?非（not ）：命题形式?p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 3．四种命题的相互关系 4。四种命题： ?原命题：若p 则q ； ?逆命题：若q 则p ； ?否命题：若?p 则?q ； ?逆否命题：若?q 则?p 注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。 5.全称量词与存在量词 ?全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用?表示； 全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。 ?存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用?表示； 特称命题p ：)(,x p M x ∈?； 特称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?； 6.常见结论的否定形式 1．推理： ?合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。 ①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。 注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 ②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。 注：类比推理是特殊到特殊的推理。 ?演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。 注：演绎推理是由一般到特殊的推理。 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括：?大前提---------已知的一般结论；?小前提---------所研究的特殊情况； ?结论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。 2．证明： ?直接证明 ①综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。 ②分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。 （2）间接证明（反证法）：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。 （理科下转第14页） 2009 年高 考 数 学 常 用 公 式 及 结 论 1.容斥原理：()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 2.从集合{}n a a a a A ,,,,321???=到集合{}m b b b b B ,,,,321???=的映射有n m 个. 3.函数的的单调性： (1)设[]2121,,,x x b a x x ≠那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x -- []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ， 则)(x f 为减函数. 4.函数()y f x =的图象的对称性: ①()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-=； ②()y f x =的图象关于直线2 a b x += 对称()()f a x f b x ?+=-()()f a b x f x ?+-=； ③()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()()()()02=-++?--=?x a f x a f x a f x f ， ()y f x =的图象关于点(,)a b 对称?()()()()b x a f x a f x a f b x f 222=-++?--=. 5.两个函数的图象的对称性: ①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称； ②函数()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称； ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =-； ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =--； ⑤函数)(x f y =和函数)(1 x f y -=的图象关于直线x y =对称. 6．奇偶函数的图象特征： 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原 点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7．多项式函数1 10()n n n n P x a x a x a --=+++ 的奇偶性： 多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 8. 若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象； 若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 9. 几个常见的函数方程： (1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠. (3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==. (5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，f(0)=1. 10.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）)()(x f a x f -=+，或)0)(() (1)(≠= +x f x f a x f ，或1()() f x a f x +=- (()0)f x ≠, 则)(x f 的周期T=2a ； 11.①等差数列{}n a 的通项公式:()d n a a n 11-+=,或d m n a a m n )(-+=m n a a d m n --= ?. ②前n 项和公式: 1() 2 n n n a a s += 1(1)2 n n na d -=+ 2 11()2 2 d n a d n = +- . 12.设数列{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项的和，n S 是前n 项的和，则 ①前n 项的和偶奇S S S n +=； ②当n 为偶数时，d 2n S = -奇偶 S ，其中d 为公差； ③当n 为奇数时，则中偶奇a S =-S ，中 奇a 2 1n S +=，中 偶 a 2 1n S -= ， 1 1S S -+= n n 偶 奇， n =-+= -偶 奇偶奇偶 奇S S S S S S S n （其中中a 是等差数列的中间一项） 13.若等差数列{}n a 和{}n b 的前12-n 项的和分别为12-n S 和 12-n T ，则 1 212--=n n n n T S b a . 14.数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么（k k S S -2）2=k S ·k k S S 23-. 15.分期付款(按揭贷款)： 每次还款(1) (1)1n n ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 16.裂项法：① ()11111+- =+n n n n ； ②()() ?? ? ??+--?= +-1211212112121 n n n n ； ③ ( ) 11 b a b a b a - -=+ ；④ ()()! 11 ! 1! 1+- = +n n n n . 17．常见三角不等式: （1）若(0,)2x π ∈，则sin tan x x x <<. (2) 若(0,)2 x π ∈ ，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥. 18.正弦、余弦的诱导公式： 212(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n n co n απαα-?-?+=??-?为偶数为奇数；2 1 2 (1)s ,s()2(1)sin ,n n co n n co n απαα+?-?+=??-?为偶数为奇数 . 即:“奇变偶不变,符号看象限”.如απαsin 2cos -=?? ? ? ? + ,()ααπcos cos -=-. 19.万能公式:2 2tan sin 21tan ααα=+；22 1tan cos 21tan ααα -= +；2 2tan tan 21tan ααα = -（正切倍角公式）. 20.半角公式:sin 1cos tan 21cos sin α ααα α -= = +. 21.三角函数变换: ①相位变换:x y sin =的图象()()?????????→?<>个单位 平移或向右 向左φ φφ00()φ+=x y sin 的图象； ②周期变换:x y sin =的图象()()????????????→?><<倍 到原来的 或缩短横坐标伸长 ω ωω1 110x y ωsin =的图象； ③振幅变换:x y sin =的图象()()???????????→?<<>倍 到原来的 或缩短纵坐标伸长 A A A 101x A y sin =的图象. 22.在△ABC 中，有 ①()22 2 C A B A B C C A B π ππ+++=?=-+? = - 222()C A B π?=-+； ②B A b a sin sin >?>（注意是在ABC ?中）. 23.线段的定比分点公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数， 且12P P PP λ= ，则121 211x x x y y y λλ λλ+?=??+? +?=?+? ?121O P O P O P λλ+=+ ?12(1)OP tOP t OP =+- （其中1 1t λ = +）. 24.若O A xO B yO B =+ ，则A 、B 、C 共线的充要条件是1=+y x . 25.三角形的重心坐标公式: △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ), 则其重心的坐标是123 123 ( , )3 3 x x x y y y G ++++. 26.①点的平移公式 ' ' ''x x h x x h y y k y y k ??=+=-????? =+=-????'' O P O P P P ?=+ (图形F 上的任意一点 P(x ，y)在平移后的图形' F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k )； ②函数()x f y =按向量()k h a ,=平移后的解析式为()h x f k y -=-. 27.“按向量平移”的几个结论 （1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点' (,)P x h y k ++. (2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式 为()y f x h k =-+. (3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式 为()y f x h k =+-. (4) 曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 28. 三角形四“心”向量形式的充要条件： 设O 为A B C ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则： （1）O 为A B C ?的外心222 O A O B O C ?== . （2）O 为A B C ?的重心0OA OB OC ?++= . （3）O 为A B C ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=? . （4）O 为A B C ?的内心0aOA bOB cOC ?++= . 29.常用不等式： (1),a b R ∈?2 2 2a b ab +≥2 2 2b a ab +≤?(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． (2),a b R + ∈ ? 2 a b +≥ 2 2?? ? ??+≤?b a ab (当且仅当a ＝b 时取“=”号)． (3) abc c b a 3333≥++?33abc c b a ≥++(当且仅当c b a ==时取“=”号)． (4) 绝对值不等式：||||||||||||b a b a b a +≤±≤- (注意等号成立的条件). (5) 10,0)112 a b a b a b +≤≤ ≤ >>+. （6）柯西不等式：2 2 2 2 2 ()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ 30.最大值最小值定理:如果()x f 是闭区间[]b a ,上的连续函数,那么()x f 在闭区间[]b a ,上有最大值 和最小值. 31.)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）0 0000 ()() ()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. 32.瞬时速度0 ()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 33.瞬时加速度0 ()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. 34.)(x f 在),(b a 的导数()dy df f x y dx dx ''== =0 ()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 35.函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y = 在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=- 36.导数与函数的单调性的关系： （1）0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系：0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定.如函数 3 )(x x f =在),(+∞-∞单调递增，但0)(≥'x f ，故0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件. （2）0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系：)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f .当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性.∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件. 37.常见函数的导数:①0='C （C 为常数）；②()1-='n n nx x ()Q n ∈；③()x x cos sin ='； ④()x x sin cos -='；⑤()x x 1ln =' ，()e x x a a log 1log =' ；⑥()x x e e ='，()a a a x x ln =' . 38.可导函数四则运算的求导法则: ①()v u v u '±'='±；②()v u v u uv '+'=' ，() u C Cu '=' ；③()02 ≠'-'=' ?? ? ??v v v u v u v u . 39.复合函数的求导法则： 设函数()u x ?=在点x 处有导数'' ()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对 应点U 处有导数'' ()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =?，或写作 ' ' ' (())()()x f x f u x ??=. 40.复数的相等：,a bi c di a c b d +=+?==.（,,,a b c d R ∈） 41.复数z a bi =+的模（或绝对值）：||z =||a bi + . 42.复数的四则运算法则： (1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++;(2)()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-; (3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++; (4)2 2 2 2 ()()(0)ac bd bc ad a bi c di i c di c d c d +-+÷+= + +≠++. 43.复数的乘法的运算律：对于任何123,,z z z C ∈，有：交换律:1221z z z z ?=?. 结合律:123123()()z z z z z z ??=??. 分配律:1231213()z z z z z z z ?+=?+? . 44.复平面上的两点间的距离公式 ： 12||d z z =-= （111z x y i =+，222z x y i =+）. 45.向量的垂直： 非零复数1z a bi =+，2z c di =+对应的向量分别是1OZ ，2O Z ，则 12OZ OZ ⊥ ?12z z ?的实部为零?21 z z 为纯虚数?222 1212||||||z z z z +=+ ?222 1212||||||z z z z -=+?1212||||z z z z +=-?0ac bd +=?12z iz λ= (λ为非零实数). 46.对虚数单位i ,有1 , ,1,4342414=-=-==+++n n n n i i i i i i . 47.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.如bi a + 与bi a -()R b a ∈,互为共轭复数. 48.()()1011123=?=++-?=ωωωωω或i 2 32 1±- =ω. 49.0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域： 设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是： 若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时， 表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 50. 圆的方程的四种形式： （1）圆的标准方程:222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程:220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). （3）圆的参数方程:cos sin x a r y b r θθ =+?? =+?. （4）圆的直径式方程:1212()()()()0x x x x y y y y --+--= (圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 51.圆中有关重要结论: (1)若P(0x ,0y )是圆222 x y r +=上的点,则过点P(0x ,0y )的切线方程为200xx yy r +=. (2)若P(0x ,0y )是圆222 ()()x a y b r -+-=上的点,则过点P(0x ,0y )的切线方程为 2 00()()()()x a x a y b y b r --+--=. (3)若P(0x ,0y )是圆222 x y r +=外一点,由P(0x ,0y )向圆引两条切线, 切点分别为A 、B ，则直线 AB 的方程为2 00xx yy r +=. (4)若P(0x ,0y )是圆222 ()()x a y b r -+-=外一点, 由P(0x ,0y )向圆引两条切线, 切点分别为 A 、 B ，则直线AB 的方程为2 00()()()()x a x a y b y b r --+--=. 52.圆的切线方程： (1)已知圆2 2 0x y Dx Ey F ++++=． ①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是 0000() () 02 2 D x x E y y x x y y F ++++ + +=. 当00(,)x y 圆外时, 0000() () 02 2 D x x E y y x x y y F ++++ + +=表示过两个切点的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线． ③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222x y r +=，过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=. 53.椭圆 222 2 1(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θ θ=?? =? . 54.(1)椭圆 22221(0)x y a b a b +=>>的准线方程为2 a x c =±,焦半径公式p ex a PF ±=； (2)椭圆 222 2 1(0)x y a b b a + =>>的准线方程为2 a y c =± ,焦半径公式p ey a PF ±=. 55. 椭圆的切线方程 ： (1)椭圆 222 2 1(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是002 2 1x x y y a b + =. （2）过椭圆222 2 1(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是 002 2 1x x y y a b + =. （3）椭圆 222 2 1(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是2 2 2 22 A a B b c +=. 56.(1)双曲线 22221(0,0)x y a b a b -=>>的准线方程为2 a x c =±,焦半径公式p ex a PF -=； (2)双曲线22221(0,0)x y a b b a -=>>的准线方程为2 a y c =± ，焦半径公式p ey a PF -=. 57.(1)双曲线 22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±； (2)双曲线 222 2 1(0,0)x y a b b a - =>>的渐近线方程为a y x b =± . 58. 双曲线的切线方程： (1)双曲线 222 2 1(0,0)x y a b a b - =>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是002 2 1x x y y a b - =. （2过双曲线 222 2 1(0,0)x y a b a b - =>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是 002 2 1x x y y a b - =. （3）双曲线 2222 1(0,0)x y a b a b - =>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222 A a B b c -=. 59.(1)P 是椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>上一点,F 1、F 2是它的两个焦点,∠F 1P F 2=θ，则 △P F 1 F 2的面积=2tan 2 b θ . (2)P 是双曲线 222 2 1(0,0)x y a b a b - =>>上一点,F 1、F 2是它的两个焦点,∠F 1P F 2=θ，则 △P F 1 F 2的面积=2cot 2 b θ . 60.抛物线px y 22 =上的动点()00,y x P 可设为P ),2( 02 y p y 或)2,2(2 pt pt P . 61.(1)P(0x ,0y )是抛物线px y 22=上的一点,F 是它的焦点,则2 0p x PF + =； (2)抛物线px y 22=的焦点弦长2 2sin p l θ = ,其中θ是焦点弦与x 轴的夹角； (3) 抛物线px y 22=的通径长为p 2. 62. 抛物线的切线方程： (1) 抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+. （2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+. （3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =. 63.圆锥曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. 64.圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是： 2 2 2 2 2() 2() (,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++-- =++. 65.“四线”一方程： 对于一般的二次曲线220Ax Bxy C y D x Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2 y ， 用 00 2 x y xy +代xy ，用 02 x x +代x ，用 02y y +代y 即得方程 00 000002 2 2 x y xy x x y y A x x B C y y D E F ++++? ++? +? +=，曲线的切线，切点弦，中点弦， 弦中点方程均是此方程得到. 66.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足O P xO A yO B zO C =++ ， 则四点P 、A 、B 、C 共面?1x y z ++=． 67.空间两个向量的夹角公式 :2 3 2 22 12 32 22 13 32211cos b b b a a a b a b a b a ++? ++++= ，其中 ()321,,a a a a =，()321,,b b b b =. 异面直线所成角θ的求法：? ?=b a ,cos cos θ 68.直线AB 与平面α所成角θ满足 := =cos sin ?,其中m 为面α的法向量. 69.二面角βα--l 的平面角θ满足: θ cos cos =,其中m 、n 为平面α、β的法向量. 70.空间两点间的距离公式:若()()222111,,x B ,,z y z y x A ,则 ()()()2 122 122 12,z z y y x x d B A -+-+-= . 71.点Q 到直线l 的距离: h = 点P 在直线l 上,直线l 的方向向量PA a =,向量 PQ b =. 72.点B 到平面 α的距离:d = n 为平面α的法向量,AB 是面α的一条斜线,α∈A . 73.(1)设直线OA 为平面α的斜线,其在平面内的射影为OB ,OA 与OB 所成的角为1θ,OC 在平面α 内,且与OB 所成的角为2θ,与OA 所成的角为θ,则12cos cos cos θθθ=. (2)若经过BOC ∠的顶点的直线OA 与BOC ∠的两边OB 、OC 所在的角相等，则OA 在BOC ∠所 在平面上的射影为BOC ∠的角平分线；反之也成立. 74. 面积射影定理:' cos S S θ = (平面多边形及其射影的面积分别是S 、' S ，所在平面成锐二面角θ). 75.分类计数原理:12n N m m m =+++ .分步计数原理:12n N m m m =??? . 76.排列恒等式:①1(1)m m n n A n m A -=-+； ②1 m m n n n A A n m -= -； ③11 m m n n A nA --=； ④11n n n n n n nA A A ++=-； ⑤1 1m m m n n n A A m A -+=+. 77.常见组合恒等式: ?1 1 m m n n n m C C m --+= ;?1m m n n n C C n m -= -; ?11m m n n n C C m --= ; ?1 1k k n n kC nC --= ?11 2 1 ++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C . (6)n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1 321232-?=++++n n n n n n n nC C C C 78．排列数与组合数的关系是：m m n n A m C =?！ 79．单条件排列：以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”：①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11 111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种. （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）：①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m k n k k A A --种. ②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 11 +-+-种.此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有k h h h A A 1+种. （3）两组元素各相同的插空 ：m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有 n m n n n m C A A 11++=种排法. （4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为n n m C +. 80．分配问题： （1）(平均分组有归属问题)将相异的m n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有 m n n n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N ) !()!(22= ?????=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有 m n n n n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N ) !(!)!(! ...22= ????= --. ?(非平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别 得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有 ! !...!!!!...21211m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m = ??=-. （4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完， 分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!... !!! ...211c b a m C C C N m m n n n n p n p ??= - 12!! !!...!(!!!...) m p m n n n a b c = . （5）(非平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无 记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有! !...!!21m n n n p N = . （6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件 无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有 !...) !!(!!...!! 21c b a n n n p N m = . （7）(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n = 1+++）个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人， 81．二项式定理:n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ； 二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =. 82．等可能性事件的概率：()m P A n = .（一次试验共有n 个结果等可能的出现，事件A 包含其中m 个 结果） 83．①互斥事件A 、B 有一个发生的概率：()()()B P A P B A P +=+；n 个互斥事件中有一个发生的 概率：()()()()n n A P A P A P A A A P +???++=+???++2121； ②A 、B 是两个任意事件，则()()() B A P B A P B A P ?-=+-=+11. 84．相互独立事件A 、B 同时发生的概率：()()()B P A P B A P ?=?；n 个相互独立事件同时发生的概 率：()()()()n n A P A P A P A A A P ??????=??????2121． （上接第8页） 第十六部分 理科选修部分 1． 排列、组合和二项式定理： ?排列数公式:m n A =n(n-1)(n-2)…(n -m ＋1)= )! (! m n n -(m≤ n, m 、n∈N*), 当m=n 时为全排列n n A =n ·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1= n! ?组合数公式：m n C = m n m m A A = m m n n n ???+-- 21) 1()1(= ！ ！！ )(m n m n -?(n ，m ∈N *，且m n ≤) ?组合数性质：m n m n m n m n n m n C C C C C 11 ;+--=+= ?二项式定理：)()(1110* --∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ①通项：);,...,2,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+②注意二项式系数与系数的区别 ?二项式系数的性质：（展开时有1+n 项） ①与首末两端等距离的二项式系数相等；②若n 为偶数，中间一项（第2 n ＋1项）二项式系数最大； 若n 为奇数，中间两项（第 2 1+n 和 2 1+n ＋1项）二项式系数最大； (6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。 2. 概率与统计： ?随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：p i ≥ 0, i=1,2,3，…； p 1+p 2+…=1; ②离散型随机变量： 1 1 2 2 n n 方差：DX ＝???+-+???+-+-n n p EX x p EX x p EX x 2222121)()()( ; 注：DX a b aX D b aEX b aX E 2)(;)(=++=+； ③二项分布（独立重复试验）：若X ～B （n , p ）,则EX ＝n p, DX ＝n p （1- p ） 注： k n k k n p p C k X P --==) 1()( 。 ?条件概率：称) ()()|(A P AB P A B P = 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。注：0≤P （B|A ）≤1 ?独立事件同时发生的概率：P （AB ）=P （A ）P （B ）。 ?正态总体的概率密度函数：,,21)(22 2)(R x e x f x ∈= --σ μσ π式中σμ,是参数，分别表示总体的平均 数（期望值）EX 与标准差DX ； ?正态曲线的性质：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x ＝μ 对称；③曲线在x ＝μ处达到峰值 π σ21 ；④曲线与x 轴之间的面积为1； ① 当σ一定时，曲线随μ值的变化沿x 轴平移； ② 当μ一定时，曲线形状由σ确定：σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散； σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越集中。 注：P )(σμσμ+≤<-x =0.6826；P )22(σμσμ+≤<-x =0.9544 P )33(σμσμ+≤<-x =0.9974 附：数学归纳法：一般的证明一个与正整数n 有关的一个命题，可按以下步骤进行： ?证明当n 取第一个值0n 时命题成立；?假设当),(0* ∈≥=N k n k k n 命题成立，证明当1+=k n 时 命题也成立。那么由??就可以判定命题对从0n 开始所有的正整数都成立。此证明方法叫数学归纳法。 注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行； ② 0n 的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。 高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高考数学常用公式及结论200条 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高中数学公式大全（必备版） 高中数学公式大全（必备版） 篇一 篇二 篇三 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变; ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot;cot→tan(奇变偶不变)，然后在前面加上把α看成锐 高考数学常用公式及结论200条（一） 湖北省黄石二中 杨志明 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11()f x N M N > --. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 数学必修一基础要点归纳 第一章 集合与函数的概念 一、集合的概念与运算： 1、集合的特性与表示法：集合中的元素应具有：确定性、互异性、无序性；集合的表示法 有：列举法、描述法、文氏图等。 2、集合的分类：①有限集、无限集、空集。 ②数集：{ } 2 2y y x =- 点集： (){},1x y x y += 3、子集与真子集：若x A ∈则x B ∈?A B ? 若A B ?但A ≠B ?A B 若{}123,n A a a a a =，，，则它的子集个数为2n 个 4、集合的运算：①{}A B x x A x B =∈∈且，若A B A =则A B ? ②{}A B x x A x B =∈∈或，若A B A =则B A ? ③ {} U C A x x U x A =∈?但 5、映射：对于集合A 中的任一元素a,按照某个对应法则f ,集合B 中都有唯一的元素b 与 之对应，则称:f A B →为A 到的映射，其中a 叫做b 的原象，b 叫a 的象。 二、函数的概念及函数的性质： 1、函数的概念：对于非空的数集A 与B ，我们称映射:f A B →为函数，记作()y f x =， 其中,x A y B ∈∈,集合A 即是函数的定义域，值域是B 的子集。定义域、值域、对应法则称为函数的三要素。 2、 函数的性质： ⑴ 定义域：0 1 简单函数的定义域：使函数有意义的x 的取值范围，例： 25y x =- 的定义域为：25053302x x x ->??<? 2 复合函数的定义域：若()y f x =的定义域为[),x a b ∈，则复合函数 ()y f g x =????的定义域为不等式()a g x b ≤<的解集。 0 3 实际问题的定义域要根据实际问题的实际意义来确定定义域。 高中数学公式结论大全 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式 (3)零点式；当已知抛物线与轴的交点坐标为 时，设为此式 4切线式：。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时，设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 . 7.方程在内有且只有一个实根,等价于或 。 8.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若，则； ，，. (2)当a<0时，若，则， 若，则，. 9.一元二次方程＝0的实根分布 1方程在区间内有根的充要条件为或； 2方程在区间内有根的充要条件为 或或； 3方程在区间内有根的充要条件为或. 10.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间的子区间形如，，不同上含参数的不等式 (为参数)恒成立的充要条件是。 (2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (3) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)的有解充要条件是。 (4) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是。 对于参数及函数.若恒成立，则；若 恒成立，则 ；若有 解，则 ；若 有解，则 ；若 有解，则 .若函数 无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论 12.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 至多有个 小于 不小于 至多有个 至少有 个 对所有，成立 存在某，不成立 或 且 对任何，不成立 存在某，成立 且 或 13.四种命题的相互关系(上图): 14.充要条件记 表示条件，表示结论 1充分条件：若，则是充分条件. 2必要条件：若，则是必要条件. 3充要条件：若 ，且 ，则 是充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 15.函数的单调性的等价关系 (1)设 那么 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 高中数学二级结论 1.任意的简单n 面体内切球半径为 表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<- x x x x x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导 推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为2 00))(())((r b y b y a x a x =--+-- ①过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ①过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆02 2 =++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ①抛物线)0(22 >=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ①二次曲线的切点弦方程为02 22000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 9.①椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 第一部分 集合 1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2； （2）;B B A A B A B A =?=??Y I 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 第二部分 函数与导数 1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2 2 2 2b a b a ab +≤ +≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数?f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数?f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ； ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x <； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x >； ⑵单调性的判定 ① 定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性 (1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 （2）三角函数的周期 ①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ； ④| |2:)cos(),sin(ωπ ?ω?ω=+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ； (3)与周期有关的结论 )()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ?)(x f 的周期为a 2； 8．基本初等函数的图像与性质 ⑴幂函数：α x y = （)R ∈α ；⑵指数函数：)1,0(≠>=a a a y x ； ⑶对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ；⑷正弦函数:x y sin =； ⑸余弦函数：x y cos = ；（6）正切函数：x y tan =；⑺一元二次函数：02 =++c bx ax ； ⑻其它常用函数： ① 正比例函数：)0(≠=k kx y ；②反比例函数：)0(≠=k x k y ；③函数)0(>+=a x a x y ； 9．二次函数： ⑴解析式： ①一般式：c bx ax x f ++=2 )(；②顶点式：k h x a x f +-=2 )()(，),(k h 为顶点； 高中数学常用公式汇总及结论 1 、元素与集合的关 系： 2 、集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有个. 3 、二次函数的解析式的三种形式： (1) 一般式： (2) 顶点式：（当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式） (3)零点式：（当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式） （4）切线式：。（当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时， 设为此式） 4、真值表：同真且真，同假或假 5 、常见结论的否定形式; 6 、四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.） 充要条件： (1) 则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件； （2）且q ≠> p，则P是q的充分不必要条件； (3) p ≠> p ，且，则P是q的必要不充分条件；（4）p ≠> p ，且则P是q的既不充分又不必要条件。 7、函数单调性: 增函数：(1）文字描述是：y随x的增大而增大。 （2）数学符号表述是：设f（x）在上有定义，若对任意的，都有成立， 则就叫在上是增函数。D则就是f（x）的递增区间。 减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。 （2）、数学符号表述是：设f（x）在xD上有定义，若对任意的，都有 成立，则就叫f（x）在上是减函数。D则就是f（x）的递减区间。 单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数； (3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数； 注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。 复合函数的单调性： 等价关系： (1)设，那么 上是增函数； 上是减函数. (2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数. 8、函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数定义：在前提条件下，若有，则f（x）就是奇函数。 高中数学公式及常见结论 1、有n 个元素的集合有2n 个子集，有（2n －1）个真子集 2、 常见的奇函数：f(x)=kx f(x)=ax 3 ＋bx f(x)= x k f(x)=ax ＋x b f(x)=1 1 +-x x a a f(x)=21121+-x f(x)=21121-+x f(x)=lg(12+x +x) f(x)=lg x x -+11 f(x)=|x+1|－|x-1| 3、 常见的偶函数：f(x)=c (c 为常数) f(x)=ax 2 ＋c f(x)= ax 4 ＋bx 2 ＋c f(x)=（ 21121+-x ）x f(x)=(2 1 121-+x )x f(x)=12+x 4、指数式与对数式： m n a = 1m n m n a a -=， 01a =， log 10a =， log 1 a a =， lg 2lg51 +=， log ln e x x =， log (0,1,0)b a a N N b a a N =?=>≠>， log a N a N =， log log log c a c b b a = ， log log m n a a n b b m = log ()log log a a a MN M N =+;log log log a a a M M N N =-;log log ()n a a M n M n R =∈ 5、若函数f(x)=kx ＋b 是奇函数，则b ＝０ 6、若f(x)= ax 2 ＋bx ＋c 是偶函数，则b ＝０； 若f(x)= ax 2＋bx ＋c 是奇函数，则a ＝c ＝０ 7、若一个函数是奇函数，且在x=０处有定义，则一定有f(０)=０ 8、 若一个函数是偶函数，则f(－x)＝ f(x)＝ f(｜x ｜) 9、 证明一个函数是奇函数的常用方法：①定义法：只要证明f(－x)＝－ f(x) ②求和法：只要证明f(－x)＋ f(x)＝０ 10、证明一个函数是偶函数的常用方法：①定义法：只要证明f(－x)＝ f(x) ②求差法：只要证明f(－x)－ f(x)＝０ 11、函数y= f(x)与函数y= f(－x)的图象关于y 轴对称 如y ＝log 2x 与y ＝log 2（－x ） y ＝２x 与y ＝２ x -＝（ 2 1）x １2、函数y= f(x)与函数y= －f(x)的图象关于x 轴对称 高中数学 必修1知识点 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈????????∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????=??????? 1 高中数学常用公式及常用结论-掌门1对1 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a b x 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下： 12.ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n 个 至多有（1n -）个 小于 不小于 至多有n 个 至少有（1n +）个 对所有x ， 成立 存在某x ， 不成立 p 或q p ?且q ? 对任何x ， 不成立 存在某x ， 成立 p 且q p ?或q ? 14.四种命题的相互关系 原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 15.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 18．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x += ; 21. 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++ 的奇偶性 多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性 (1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=- (2)()f a x f x ?-=. (2)函数()y f x =的图象关于直线2 a b x += 对称()()f a mx f b mx ?+=- ()()f a b mx f mx ?+-=. 24.两个函数图象的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m +=对称. (3)函数)(x f y =和)(1 x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图 象. 26．互为反函数的两个函数的关系 a b f b a f =?=-)()(1. 30.分数指数幂 (1)m n a = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 2．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2 个. 3.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函 数. 5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数 )(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 6．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x += 对称. 8.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2），)0)(()(1 )(≠=+x f x f a x f ，或1()() f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； 9.分数指数幂 (1)m n a = （0,,a m n N * >∈，且1n >）.(2)1m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 10．根式的性质 （1 ）n a =.（2）当n a =；当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==? -∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r a b a b a b r Q =>>∈. 12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. ①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：01log =a ，③.底的对数等于1：1log =a a ， ④.积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，商的对数：N M N M a a a log log log -=， 高考数学常用结论集锦 一. 函数 1.函数 ()y f x =的图象的对称性: ①. 函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-= ②. 函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ?=-- 2.两个函数图象的对称性: ①. 函数 ()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②. 函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m +=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③. 函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④. 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- 3. 对数的换底公式 log log log m a m N N a =. 推论 log log m n a a n b b m =. 对数恒等式log a N a N =（0,1a a >≠） 4. 导数： ⑴导数定义：f(x)在点x 0处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(000 00 ； ⑵常见函数的导数公式: ①' C 0=；②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=；④. x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )(' =；⑥x x e e =')(；⑦'1(log )log a a x e x =；⑧. x x 1)(ln '= ； ⑶导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2 v v u v u v u v u v u uv v u v u '-'=''+'=''±'='± 二.数列 1. 若数列 {}n a 是等差数列，n S 是其前 n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。如图所示： k k k k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ 其前n 项和公式 1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+21 1()22d n a d n =+- 5. 若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ，则'1 212--=n n n n S S b a 。 等比数列 {}n a 的通项公式1*11()n n n a a a q q n N q -== ?∈；等比数列{}n a 的变通项公式m n m n q a a -= 其前n 项的和公式 11 (1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=?或11,11,1n n a a q q q s na q -?≠? -=??=? 三.三角函数 1． 同角三角函数的基本关系式 2 2sin cos 1θθ+=，tan θ=θ θ cos sin ，tan 1cot θθ ?=2 211tan cos αα += 2. 正弦、余弦的诱导公式： 2 12(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n n co n απαα-?-?+=??-?为偶数为奇数 212(1)s ,s()2(1)sin ,n n co n n co n απαα+?-?+=??-? 为偶数为奇数 即:奇变偶不变,符号看象限,如cos()sin ,sin()cos 22 sin()sin ,cos()cos π π ααααπααπαα +=-+ =-=-=- 3. 和角与差角公式：sin()sin cos cos sin α βαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±= . 22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 高中数学各章节知识点汇总 目录 第一章集合与命题 (1) 一、集合 (1) 二、四种命题的形式 (2) 三、充分条件与必要条件 (2) 第二章不等式 (1) 第三章函数的基本性质 (2) 第四章幂函数、指数函数和对数函数（上） (3) 一、幂函数 (3) 二、指数函数 (3) 三、对数 (3) 四、反函数 (4) 五、对数函数 (4) 六、指数方程和对数方程 (4) 第五章三角比 (5) 一、任意角的三角比 (5) 二、三角恒等式 (5) 三、解斜三角形 (7) 第六章三角函数的图像与性质 (8) 一、周期性 (8) 第七章数列与数学归纳法 (9) 一、数列 (9) 二、数学归纳法 (10) 第八章平面向量的坐标表示 (12) 第九章矩阵和行列式初步 (14) 一、矩阵 (14) 二、行列式 (14) 第十章算法初步 (16) 第十一章坐标平面上的直线 (17) 第十二章圆锥曲线 (19) 第十三章复数 (21) 第一章集合与命题 一、集合 1.1 集合及其表示方法 集合的概念 1、把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合简称集 2、集合中的各个对象叫做这个集合的元素 3、如果a是集合A的元素，就记做a∈A，读作“a属于A” 4、如果a不是集合A的元素，就记做a ? A，读作“a不属于A” 5、数的集合简称数集： 全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N 不包括零的自然数组成的集合，记作N* 全体整数组成的集合，即整数集，记作Z 全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q 全体实数组成的集合，即实数集，记作R 我们把正整数集、负整数集、正有理数、负有理数、正实数集、负实数集表示为Z+、Z-、Q+、Q-、R+、R- 6、把含有有限个数的集合叫做有限集、含有无限个数的集合叫做无限极 7、空集是指不用含有任何元素的集合，记作? 集合的表示方法 1、在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再画一条竖线，在竖线之后写上集合中元素所共同具有的特性，这种集合的表示方法叫做描述法 1.2 集合之间的关系 子集 1、对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B 的子集，记做A?B或B?A，读作“A包含于B”或“B包含A” 2、空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集 3、用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图 相等的集合 1、对于两个集合A和B，如果A?B，且B?A，那么叫做集合A与集合B相等，记作“A=B”，读作“集合A等于集合B”，如果两个集合所含元素完全相同，那么这两个集合相等高中数学知识点总结(精华版)
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