数值分析习题
习题1
1． 填空题
(1) 为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为 的 运算； (2) 在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个 数作减法运算；为避免
误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值 分子的绝对值； (3) 误差有四大来源,数值分析主要处理其中的 和 ； (4) 有效数字越多,相对误差越 ； 2. 用例1.4的算法计算10,迭代3次,计算结果保留4位有效数字.
3. 推导开平方运算的误差限公式,并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差.
4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数,指出它们的有效数位、误差限和相对误差限.
95123450304051104000003346087510., ., , ., .x x x x x -==?===?
5. 证明1.2.3之定理1.1.
6. 若钢珠的的直径d 的相对误差为1.0%,则它的体积V 的相对误差将为多少。（假定钢珠为标准的球形）
7. 若跑道长的测量有0.1%的误差,对400m 成绩为60s 的运动员的成绩将会带来多大的误差和相对误差.
8. 为使20的近似数相对误差小于0.05%,试问该保留几位有效数字.
9. 一个园柱体的工件,直径d 为10.25±0.25mm,高h 为40.00±1.00mm,则它的体积V 的近似值、误差和相对误差为多少． 10 证明对一元函数运算有
r r xf x f x k x k f x εε'≈=
()
(())(),()
其中 并求出157f x x x ==()tan ,.时的k 值，从而说明f x x =()tan 在2
x π
≈时是病态问题．
11. 定义多元函数运算
1
1
1,,(),n n
i i i i i i S c x c x εε====≤∑∑其中
求出S ε()的表达式，并说明i c 全为正数时，计算是稳定的，i c 有正有负时，误差难以控制． 12. 下列各式应如何改进,使计算更准确：
111 11212 11-cos23 14 00x
y x x x
y x x
y x x y p p q p q -=
-++===
>>(),()
()()(),()
(),
(,,)
习题2
1. 填空题
(1) Gauss 消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生 ;. 主元素
的绝对值太小会发生 ;
(2) Gauss 消元法求解线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 . 平方
根法求解对称正定线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 ;
(3) 直接LU 分解法解线性方程组时的计算量以乘除法计为 , 追赶法解对角占优
的三对角方程组时的计算量以乘除法计为 ; (4) ,???
?
??=2011A =1A , =2A , =)(A ρ ; (5) 1100>???
?
??=t t t A , )(A ρ , 2cond ()A = ; (6) 0>>>???
?
?
??=a b c c b a A , )(A ρ , 2cond ()A = ; 2．用Gauss 消元法求解下列方程组b Ax =
?????
??=???
?
? ??---=101,
112221111)1(b A , ??
??
?
?
?
??--=???????
??=1111,4321343223431234
)2(b A 3．用列主元消元法解下列方程组b Ax =．
?????
??=???
?
?
??---=674,
5150710623)1(b A ?
?????
?
??--=??????? ??---=6720,5616103423221020)2(b A 4. 用Gauss －Jordan 消元法求：
1
011012111-????
? ??-- 5．用直接LU 分解方法求1题中两个矩阵的LU 分解，并求解此二方程组． 6．用平方根法解方程组b Ax =
321422131116,A b ???? ? ?== ? ? ? ?????
7． 用追赶法解三对角方程组b Ax =
???????
? ??=???????? ??--------=00001,2100012100012100012100012b A
8．证明：
(1)单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵．
(2)两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵． 9．由1
11
211----=n L L L L ，(见(2.18)式)，证明:
?????????
?
??=
-11
1111
,32
1323121n n n n n l l l l
l l l L
10．证明向量范数有下列等价性质：
∞
∞
∞∞≤≤≤≤≤≤x
n x x
x
n x x x n x x 212
12)
3()2()1(
11．求下列矩阵的()12,,,A A A
A ρ∞
．
()
()
5131312110212326;
.A A ??
??
?
== ? ?-??
???
12．求()2cond A
()()10099129998cos sin ;
.sin cos A A θ
θθθ-??
??
== ?
???
??
13．证明：
(1)若A 是正交矩阵，即T A A I =, 则()2cond 1A =;
(2)若A 是对称正定阵， 1λ是A 的最大特征值， n λ是最小特征值，则
()1
2cond n
A λλ=
. 习题3
1. 填空题:
(1) 当A 具有严格对角线优势或具有对角优势且 时，线性方程组Ax =b 用
Jacobi 迭代法和Gauss －Seidel 迭代法均收敛;
(2) 当线性方程组的系数矩阵A 对称正定时, 迭代法收敛.
(3) 线性方程组迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的 小于1; SOR 法收敛
的必要条件是 ;
(4) 用迭代法求解线性方程组,若q = ρ (B ), q 时不收敛, q 接近 时收敛较
快, q 接近 时收敛较慢; (5)
1112,A ??= ???
J B = ;S B = ; ()J B ρ= ; ()S B ρ= ．
2．用Jacobi 迭代法和Gauss －Seidel 迭代法求解方程组
(1) ???
?? ??-=????? ??????? ??453210*********x x x ； (2)
????
? ??=????? ??????? ??---716141115111
8321x x x 各分量第三位稳定即可停止．
3．用SOR 法解方程组，取0.9ω=，与取1ω= (即Gauss-Seidel 法)作比较．
1233215573132573x x x -?????? ??? ?-= ??? ? ??? ?-??????
． 4．下面是一些方程组的系数阵，试判断它们对Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法的收敛
性
(1)?
???
? ??211231125； (2)???? ??2321；
(3)212121212??
?
? ?-??； (4)??????? ??----210012*********
2； (5)??????
?
?
?------------101111511111011115 ； (6)11
22112
21122111?? ? ? ???． 5．方程组
0,0,2211212122211211≠≠???
?
??=???? ?????? ??a a b b x x a a a a
证明用Jacobi 迭代法收敛的充要条件是：
122
1121
12<=
a a a a r ． 6．设
为实数；a a a a a a a A ,111???
?
? ??=
(1)若A 正定，a 的取值范围；
(2)若Jacobi 迭代法收敛，a 的取值范围．
习题4
1. 填空题：
(1) 幂法主要用于求一般矩阵的 特征值，Jacobi 旋转法用于求对称矩阵
的 特征值；
(2) 古典的Jacobi 法是选择 的一对 元素将其消为零;
(3) QR 方法用于求 矩阵的全部特征值，反幂法加上原点平移用于一个近似
特征值的 和求出对应的 ． 2．用幂法求矩阵．
⑴?
???
? ??111132126， ⑵????? ??---20101350144
按模最大的特征值和对应的特征向量，精确到小数三位．
3．已知： ???
?
?
??---=13212911
11111A
取t =15，作原点平移的幂法，求按模最大特征值．
4． ???
?
? ??=10141101414A
用反幂法加原点平移求最接近12的特征值与相应的特征向量，迭代三次．
5．若A 的特征值为t n ,,,,21λλλ 是一实数，证明：t i -λ是tI A -的特征值，且特征向量不变．
6．已知()321,,T
x =求平面反射阵H 使()00,*,T
y Hx ==，即使x 的1，3两个分量化零．
7． ???
?
? ??=612133231A
试用Jacobi 旋转法求作一次旋转，消去最大的非对角元，写出旋转矩阵，求出θ角和结果．
8．设 ()()()()???
?
??=????222322333100T T T 已知λ是1T 的特征值，相应的特征向量为()T
a a a 321,,，证明λ也是T 的特征值，相应的特
征向量为()T
a a a 0,0,,,321．
9． 证明定理4.5．
10． 证明(4．21)中的s A 和1+s A 相似．
习题5
1．填空题
(1) 用二分法求方程3
10x x +-=在[0,1]内的根，迭代一次后,根的存在区间
为 ，迭代两次后根的存在区间为 ；
(2) 设()f x 可微，则求方程()x f x =根的Newton 迭代格式为 ；
(3) 2
()(5)x x C x ?=+-，若要使迭代格式1()k k x x ?+=
局部收敛到α=
C 取
值范围为 ；
(4) 用迭代格式1()k k k k x x f x λ+=-求解方程3
2
()10f x x x x =---=的根，要使迭
代序列{}k x 是二阶收敛，则k λ= ；
(5) 迭代格式1221
3k k k
x x x +=
+收敛于根α= ，
此迭代格式是 阶收敛的．
2．证明Newton 迭代格式(5.10)满足
12()
lim
2()k k k
f f εαεα+→∞''=-
' 3. 方程3
2
91860, [0,)x x x x -+-=∈+∞的根全正实根，试用逐次扫描法(h =1)，找出它的全部实根的存在区间，并用二分法求出最大实根，精确到0.01．
4．用二分法求下列方程的根，精度0.001ε=．
(1) 3
40 [2,1]x x x -+=∈-- (2) 1020 [0,1]x e x x +-=∈
5．用迭代法求3
250x x --=的正根，简略判断以下三种迭代格式：
(1) 3152
k k x x +-=； (2) 125
2k k x x +=- ； (3)
1k x +=
在02x =附近的收敛情况，并选择收敛的方法求此根．精度4
10ε-=． 6. 方程x e x
-=
(1) 证明它在(0,1)区间有且只有一个实根； (2) 证明 ,,,101==-+k e
x k
x k ，在(0,1)区间内收敛；
(3) 用Newton 迭代法求出此根,精确到5位有效数字． 7．对方程3
310x x --=，分别用
(1) Newton 法0(2)x =；(2) 割线法01(2, 1.9)x x ==求其根．精度4
10ε-=． 8．用迭代法求下列方程的最小正根
(1) 5
420x x --=； (2) 2tan 0x x -=； (3) 2sin x x = 9．设有方程 2
30x
x e -=
(1) 以1h =，找出根的全部存在区间；
(2) 验证在区间[0,1]上Newton 法的区间收敛定理条件不成立； (3) 验证取00.21x =, 用Newton 法不收敛；
(4) 用Newton 下山法，取00.21x =求出根的近似值，精度4
10ε-=．
10．分别用Jacobi 法，Gauss —Seidel 法求解非线性方程组
2
2
230250
x y x y +-=??
+-=?
在(1.5,0.7)附近的根,精确到4
10-．
11．分别用Newton 法，简化Newton 法求解非线性方程组
s i n
c o s 01
x y x y +=??
+=?
在(0,1)附近的根,精确到4
10-．
习题6
1．填空题
(1) 设5
3
()1f x x x x =+++，则[0,1]f ，[0,1,2]f = ，
[0,1,2,3,4,5]f = ；[0,1,2,3,4,5,6]f = ．
(2) 设01(),(),,()n l x l x l x 是以节点0,1,2,…,n 的Lagrange 插值基函数，则
()n j
j jl x ==∑ ；0
()n
j
j jl k ==∑ ．
(3) 设(0)0,(1)16,(2)46,[0,1]f f f f ====则 ，[0,1,2]f = ，
()f x 的二次Newton 插值多项式为 ．
2．已知函数2
)(x e
x f -=的数据如下
试用二次，三次插值计算=0.35，=0.55的近似函数值，使其精度尽量地高． 3．利用x sin 在3
,4,6,0π
ππ=x 及
2
π
处的值，求5sin π的近似值，并估计误差．
4
计算积分?
=
x
dt t
t
x f 0
sin )(, 当)(x f =0.45时的x 的取值． 5．试用Newton 插值求经过点(-3,-1),(0,2),(3,-2),(6,10)的三次插值多项式．
6．求满足)()(),()(1100x f x P x f x P ==及)()(00x f x P '='的次数不超过2次的插值多项式)(x P ，并给出其误差表达式．
7．设i x 是互异节点，)(x l j 是Lagrange 插值基函数(n j ,,2,1,0 =)，证明
(1)
1)(0≡∑=n
j j
x l
；
(2)
k n
j j
k j x x l x
≡∑=0)( (n k ,,2,1,0 =)；
(3)
0)()(0
≡-∑=n
j j k j
x l x x
(n k ,,2,1,0 =)．
8．设有如下数据
试计算此表中函数的差分表，并分别利用Newton 向前，向后插值公式求出它的插值多项式． 9．试构造一个三次Hermite 插值多项式使其满足
5.0)1( ,2)1( ,5.0)0( ,1)0(='=='=f f f f
10．已知函数)(x f 的数据表
分别用x =0.75的近似值． 11．对函数()sin f x x =进行分段线性插值，要求误差不超过5105.0-?，问步长h 应如何选取．
12
用三转角插值法求满足下述条件的三次样条插值函数
(1) 0000.1)25.0(='S ，6868.0)53.0(='S (2) 2)25.0(-=''S ， 6479.0)53.0(=''S 13. 证明定理6.6.
习题8
1．填空题
(1) 1n +个点的插值型数值积分公式
()()n
b
j j a
j f x dx A f x =≈∑?
的代数精度至少
是 ，最高不超过 ．
(2) 梯形公式有 次代数精度，Simpson 公式有 次代数精度． (3) 求积公式
20
()[(0)()][(0)()]2
h
h
f x d x
f f h h f f h α''≈++-?
中的参数α＝
时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为 ．
2．确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度． (1) )2()()0()(21020h f A h f A f A dx x f h
++≈? (2)
)](3)(2)1([)(211
1
x f x f f A dx x f ++-≈?
-
(3)
1
1231
11()(1)33f x dx A f A f A f -??
??=-+-+ ? ???
??
? (4) )1()0()()(32111
1f A f A x f A dx x f ++≈?- (5)
)()()(212
x f x f dx x f +≈?
3．分别利用复化梯形公式，复化Simpson 公式，复化Cotes 公式计算下列积分 (1) ?+1
024dx x x
(n =8)
(2) ?
1
0dx x (n =10)
(3) ?-1
2
dx e
x (n =10)
(4) (n =6) (5)
?
20
sin π
dx x
x
(n =8) 4．用Romberg 公式计算积分
(1)
?
-1
2
2
dx e x π
(精度要求510-=ε)
(2)
?
+4
4cos 1dx x (精度要求510ε-=)
5．分别取节点数为2，3，4利用Gauss －Legendre 求积公式计算积分
(1) ?-+4
42
11
dx x ， (2)
?
-1
dx e x
， (3)
3
1
1dx x
?
6．利用Gauss 型求积公式，分别取节点数2，3，4计算积分
(1)
?
+∞
-0
dx x e
x
， (2)
?
+∞
∞
--+dx x e
x 212
7．用节点数为4的Gauss －Laguerre 求积公式和Gauss －Hermite 求积公式计算积分
?+∞
-=0
2
dx e I x
的近似值，并与准确值2
π
=
I 作比较．
8．分别用两点公式与三点公式求2
)
1(1
)(x x f +=
在x =1.0，x =1.2的导数值，并估计误差，其中)(x f 的数据由下表给出
9．已知)(x f x
e
-=的数据如下
取=0.1，=0.2，分别用二点、三点公式计算=2.7处的一阶和二阶导数值．
习题9
1．填空题
(1) 解初值问题的Euler 法是 阶方法，梯形方法是 阶方法，标准R －K 方法是 阶方法．
(2) 解初值问题()20(),(0)1y x x y y '=-=时，为保证计算的稳定性，若用经典的四阶R －K 方法，步长0h << ．采用Euler 方法，步长h 的取值范围为 ，若采用Euler 梯形方法，步长h 的取值范围为 若采用Adams 外推法，步长h 的范围为 ，若采用Adams 内插法，步长h 的取值范围为 ．
(3) 求解初值问题Euler 方法的局部截断误差为 Euler 梯形方法的局部截断误差为 ， Adams 外推法的局部截断误差为 Adams 内插法的局部截断误差为 . 2．对初值问题
??
???=≤≤-+='0)0(1
0211
22
y x y x
y
试用Euler 法取步长h =0.1和h =0.2计算其近似解，并与准确解2
1x
y x
=
+进行比较． 3．利用Euler 预测－校正法和四阶经典R －K 方法，取步长h =0.1，求解方程
?????=≤≤+='1
)0(1
0y x y x y
并与准确解x
e x x y 21)(+--=进行比较． 4．用待定系数法推导二步法公式 )85(12
111-++-++
=i i i i i f f f h
y y 并证明它是三阶公式，求出它的局部截断误差． 5．用Adams 预测－校正法求解
??
??
?=≤≤-='1)0(1
02y x y y
并与准确解1
()1y x x =
+进行比较． 6．用Euler 中点公式计算 0 2.5
(0)1
y y x y '?=-≤≤?
=?
取步长h =0.25，与准确解x
e
y -=比较，并说明中点公式是不稳定的．
7．写出用经典的R －K 方法及Adams 预测－校正法解初值问题
??
?
??==+='+-='0)0(,1)0(782z y yz x z z y y
的计算公式．
8．写出用Euler 方法及Euler 预测－校正法解二阶常微分方程初值问题 ??
?='==+''0
)0(,1)0(0
sin y y y y
的计算公式． 9．证明用单步法
1,(,)22i i i i i i h h y y hf x y f x y +??=++
+ ???
解方程ax y 2-='的初值问题，可以给出准确解．
数值分析课后题答案
数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q
(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --
数值分析试题及答案汇总
数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )
数值分析最佳习题(含答案)
第一章 绪论 姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5 105.0-?,那么近似数有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-?=x ，325* 102 1 1021---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0?= π，欲使其近似值* π具有4位有效数字，必需 41*1021 -?≤-ππ，3*3102 11021--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：3* 1021-?≤ -a a ，2*102 1 -?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102 1 10211021)()(---?≤?+?≤-+-≤+-+b b a a b a b a 故b a +至少具有2位有效数字。 2 123*****102 1 0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ?至少具有2位有效数字。 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知 δ=-* *x x x ，则误差为 δ=-= -* **ln ln x x x x x 则相对误差为 * * ** * * ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x δ = -= - 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5* =，已知 cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差限与相对误差 限。（误差限的计算） 解： * 2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ 绝对误差限为 π ππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v
数值分析习题集及答案
（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令
【重磅】数值分析习题与答案
第一章绪论 习题一 1.设R>0,RR的相对误差为δ，求f(R)=lnR的误差限。解：求lnR的误差极限就是求f(R)=lnR的误差限，由公式(1. 2.4)有 已知RR的相对误差满足，而 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差限，相对误差限 有2位有效数字， 有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2） 解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2） 4.近似数RR=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1.给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误差限，因 ，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值 误差限 ，故 2.在-4≤R≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?
解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得 3.若，求和. 解：由均差与导数关系 于是 4.若互异，求 的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性 可知当有 而当P＝n＋1时 于是得 5.求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得
6.已知的函数表 求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差. 解：根据给定函数表构造均差表 由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式 N3(R)=1.0067R+0.08367R(R-0.2)+0.17400R(R-0.2)(R-0.3 ) 由此可得 f(0.23)N3(0.23)=0.23203 由余项表达式(5.15)可得 由于 7.给定f(R)=cosR的函数表 用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差 解：先构造差分表
数值计算课后答案2
习 题 二 解 答 1．用二分法求方程x 3-2x 2-4x-7=0在区间[3，4]内的根，精确到10-3，即误差不超过31 102-?。 分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。 解：因为f(3)＝-10＜0，f(4)=9＞0，所以，方程在区间［3，4］上有根。 由 3 4311*10 2 2 2 2 2 n n n n n n b a b a x x -----≤ == = < ? 有2n-1＞1000，又为210＝1024＞1000， 所以n ＝11，即只需要二分11次即可。 x *≈x 11=3.632。 指出： （1）注意精确度的不同表述。精确到10-3和误差不超过10-3 是不同的。 （2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。
（3）用秦九韶算法计算f(x n )比较简单。 1*．求方程x 3-2x 2-4x-7=0的隔根区间。 解：令32247y x x x =---， 则2344322()()y x x x x '=--=+- 当23443220()()y x x x x '=--=+-=时，有122 23,x x =-=。 因为2 14902150327(),()y y -=- <=-<，所以方程在区间223 (,)-上无根； 因为214903 27 ()y - =-<，而函数在23 (,)-∞- 上单调增，函数值不可能变号，所以 方程在该区间上无根； 因为2150()y =-<，函数在(2,+∞)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根， 而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。 所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。 2．证明1sin 0x x --=在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于4 1 102-?的根，需要迭代多少次？ 分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。 解：令()1sin f x x x =--， 因为(0)10sin 010,(1)11sin 1sin 10f f =--=>=--=-<，
数值分析复习题及答案65177
数值分析复习题 一、选择题 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式()()2 11211()(2)636f x dx f Af f ≈++?，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ．() 00l x ＝0，()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x = 4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=??++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+= C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=- 二、填空 1. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= . 2.设一阶差商 ()()()21122114,321f x f x f x x x x --= ==---， ()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--
则二阶差商 ()123,,______f x x x = 3. 设(2,3,1)T X =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。 4．求方程 2 1.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01x =， 那么 1______x =。 5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =??=?近似解的梯形公式是 1______k y +≈。 6、 1151A ??= ?-??，则A 的谱半径 ＝ 。 7、设 2()35, , 0,1,2,... , k f x x x kh k =+== ，则[]12,,n n n f x x x ++= 和[]123,,,n n n n f x x x x +++= 。 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为 。 10、为了使计算 23123101(1)(1)y x x x =+ +----的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写 成 。 11. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 12. 一阶均差()01,f x x = 13. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么 ()33C = 14. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。 15. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211y y y x y ?'=+???=?的计算公式 . 16.设 * 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则*x 有 位有效数字。
数值分析习题与答案
第一章绪论 习题一?1．设x＞0，x＊的相对误差为δ,求f(ｘ)=ln x的误差限。 解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(１.2.４）有 已知x*的相对误差满足，而 ,故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解:直接根据定义和式（１.2.２)(1.２.3）则得?有５位有效数字，其误差限,相对误差限 有２位有效数字， 有5位有效数字， 3．下列公式如何才比较准确？ (１)?(2） 解:要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1)?(2） 4.近似数x*=０.０３１0,是 3 位有数数字。 5.计算取,利用 :式计算误差最小。 四个选项: 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln０．5４的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n＝1及n＝２的Laｇrange插值或Neｗｔo ｎ插值，并应用误差估计（5.8)。线性插值时,用0．５及0．6两点，用Newton插值??误差限 ，因,
故? 二次插值时，用0.5，0．6,０.7三点,作二次Ｎewton插值 ?误差限，故? 2. 在－4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过,函数表的步长ｈ应取多少? 解：用误差估计式（５．8), ?令 因?得 3. 若,求和.
解：由均差与导数关系 ?于是 4. 若互异,求 的值,这里p≤n+1. 解:,由均差对称性 可知当有?而当P＝n ＋1时 ?于是得 5. 求证. 解:解:只要按差分定义直接展开得 ? 6. 已知的函数表
数值分析课后题答案
数值分析 2?当x=1,—1,2时，f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解： X 0 =1,x j = — 1,x 2 = 2, f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4; l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2) (x o -X/X o _x2) 2 (x -x0)(x -x2) 1 l i(x) 0 2(x-1)(x-2) (x i ~x0)(x i ~x2) 6 (x—x0)(x—x,) 1 l2(x) 0 1(x-1)(x 1) (X2 -X°)(X2 - X i) 3 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X)= ' y k 1 k ( x) kz0 = -3l°(x) 4l2(x) 1 4 =(x_1)(x—2) 4 (x-1)(x 1) 2 3 5 2 3 7 x x - 6 2 3 6?设Xj, j =0,1,||(,n 为互异节点，求证： n (1 )7 x：l j(x) =x k(k =0,1川,n); j=0 n (2 )7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n); j ￡ 证明 (1)令f(x)=x k
n 若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n，则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。 j=0 f (n 十)(?) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X) n1(X) (n +1)!
.f(n1)( ^0 R n(X)=O n 二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n); j ：o n ⑵、(X j -x)k l j(x) j卫 n n =為(' C?x j(—x)k_L)l j(x) j =0 i =0 n n i k i i =為C k( -x) (、X j l j(x)) i =0 j=0 又70 _i _n 由上题结论可知 n .原式二''C k(-x)k_L x' i=0 =(X -X)k =0 -得证。 7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证: max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x). 解：令x^a,x^b，以此为插值节点，则线性插值多项式为 L i(x^ f(x o) x x f (xj X o —人x -X o X —X o x-b x-a ==f(a) f(b)- a - b x -a 又T f (a) = f (b)二0 L i(x) = 0 1 插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1 f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj
数值分析复习题要答案
第一章 1、ln2＝0.69314718…，精确到 10－3 的近似值是多少？ 解 精确到 10－3＝0.001，即绝对误差限是 e ＝0.05％，故至少要保留小数点后三位才可以。 ln2≈0.693。 2、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x ， 21x x +的绝对误差限 解：记126.1025, 80.115x x == 则有11232411 10, | 102|||2 x x x x --≤?-≤?- 所以 121212121212211122||||||||||||x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+-+≤-- 3411 80.11610 6.10102522 0.007057-==??+≤?? 1212112243|()|||11 |10100.0005522 |x x x x x x x x --≤≤?+?=+-+-+- 3、一个园柱体的工件,直径d 为10.250.25mm,高h 为40.00 1.00mm,则它的体 积V 的近似值、误差和相对误差为多少。 解： ()() 22222222 4 314210254000000330064 221025400002510251002436444 3300624362436 0073873833006 , .....; ()()()......, ..().()..% .r d h V d h V mm d h V dh d d h V mm V V V πππππεεεεε= ≈=??===+=???+?==±====第二章： 1、分别利用下面四个点的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式N 3(x )， 计算L 3(0.5)及N 3(-0.5) x －2 －1 0 1 f (x ) －1 1 2
数值分析第四版习题及答案
第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、
数值分析习题集及答案[1].(优选)
数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若
数值分析简明教程第二版课后习题答案(供参考)
0.1算法 1、 （p.11，题1）用二分法求方程013 =--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不 超过10-3. 【解】 由二分法的误差估计式31 1*102 1 2||-++=≤=-≤ -εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812 ln 10 ln 3≈-≥ k ，因此取9=k ，即至少需 2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x 在区间[0,1]内有唯一个实根；使用 二分法求这一实根，要求误差不超过2102 1 -?。 【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且 012010)0(0<-=-?+=e f ，082110)1(1>+=-?+=e e f ，即0)1()0(+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根. 由二分法的误差估计式211*1021 2 12||-++?=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k . 两端取自然对数得6438.63219.322 ln 10 ln 2=?≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分
0.2误差 1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。 【解】有效数字： 因为111021 05.001828.0||-?= <=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为1 2102105.000828.0||-?=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字； 因为3 3102 10005.000028.0||-?=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字； %85.17.205 .0||111=<-= x x e r ε； %85.171.205 .0||222=<-= x x e r ε； %0184.0718 .20005 .0||333=<-= x x e r ε。 评 （1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字； （2）近似数的所有数字并非都是有效数字.2．（p.12，题9）设72.21=x ， 71828.22=x ，0718.03=x 均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限) 与相对误差(限)。 【解】 005.01=ε，31 1 11084.172.2005 .0-?≈< = x r εε； 000005.02=ε，622 21084.171828 .2000005 .0-?≈< =x r εε； 00005.03=ε，43 3 31096.60718 .000005 .0-?≈< = x r εε； 评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位. 3．（p.12，题10）已知42.11=x ，0184.02-=x ，4 310184-?=x 的绝对误差限均为 2105.0-?，问它们各有几位有效数字？
数值分析课后习题答案
习 题 一 解 答 1．取3.14，3.15， 227，355113 作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。 分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。 解：（1）绝对误差: e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。 相对误差： 3()0.0016 ()0.51103.14r e x e x x -==≈? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。 而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159… 所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311 101022 --?=? 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。 （2）绝对误差: e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。 相对误差： 2()0.0085 ()0.27103.15r e x e x x --==≈-? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。 而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407… 所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1 ＝11211101022 --?=? 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。 （3）绝对误差: 22 () 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈- 相对误差：
数值分析1-4习题及答案
1、 0.1％,要取几位有效数字？ （ c ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 2、若* 12.30x =是经过四舍五入得到的近似数，则它有几位有效数字？ （ c ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 3、已知n ＋1个互异节点(x 0,y 0), (x 1,y 1),…, (x n ,y n )和过这些点的拉格朗日插值基函数l k (x )(k =0,1,2,…,n )，且ω(x )=(x －x 0) (x －x 1)… (x －x n )．则n 阶差商f (x 0,x 1,…, x n )= ( ) (a) ∑=n k k k y x l 0 )( (b) ∑='n k k k k x l y 0)( (c) ∑=n k k k x y 0)(ω (d) ∑='n k k k x y 0)(ω 4、已知由数据（0，0），（0.5，y ），（1，3），（2，2）构造出的三次插值多项式 33()6 P x x y 的 的系数是，则 等于 （ ） (a) -1.5 (b) 1 (c) 5.5 (d) 4.25 5、设(0,1,2,3,4)i x i =为互异结点，()i l x 为拉格朗日插值基函数,则 4 2 () ()i i i x x l x =-∑等于 （ a ） (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 4 4()[,],()()(),()(),( )(), ' () ' (),22 ()()_________________________f x C a b H x a b a b H a f a H b f b H f H a f a f x H x ∈++====-=设是满足下列插值条件的三次多项式：则插值余项 1、 是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=-2,c=3 2、 已知(1)0,(1)3,(2)4,f f f =-=-=写出()f x 的牛顿插值多项式 2()P x =___2537 623x x +-__,其余项表达式 R(x)=__() (1)(1)(4) [1,4]6 f x x x ξξ'''-+-∈-_______________________ 3、 确定求积公式1 0121 ()(1)(0)'(1)f x dx A f A f A f -≈-++? 中的待定参数，使其代数精度 尽量高,则A 0=_ 29__________, A 1=__169________, A 2=_29 _______,代数精度=__2_________。
数值分析第四版习题及答案
数值分析第四版习题及答案
第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****1 2 3 4 5 1.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给 的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设0 28,Y =按递推公式 11 783100 n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .若取78327.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字78327.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 11N dx x +∞ +?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能
使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设212 S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1 101n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 21)f =,取2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 63 22)70 2. (21)(322)--++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =-,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x -=-+ 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 {101012121010;2. x x x x +=+=假定只用 三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1 sin ,2 s ab c = 其中c 为弧 度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令
数值分析整理版试题及答案
数值分析整理版试题及答案
例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为
[]()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有
数值分析课后题答案
数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4; ()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--= =-+-----= =------==-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 1 4(1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1）0 ()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2） 0()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0()()n k n j j j L x x l x ==∑。 插值余项为(1)1()()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+ 又,k n ≤Q
(1)()0()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0 ()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 000(2)()() (())()()(())n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 0()n k i j j j x l x x ==∑ 0()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10101010()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =()()x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0 ()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-=-- 011()()()()2 f x f x x x x x ''∴=--