数值分析习题

习题1

1. 填空题

(1) 为便于算法在计算机上实现,必须将一个数学问题分解为 的 运算; (2) 在数值计算中为避免损失有效数字,尽量避免两个 数作减法运算;为避免

误差的扩大,也尽量避免分母的绝对值 分子的绝对值; (3) 误差有四大来源,数值分析主要处理其中的 和 ; (4) 有效数字越多,相对误差越 ; 2. 用例1.4的算法计算10,迭代3次,计算结果保留4位有效数字.

3. 推导开平方运算的误差限公式,并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差.

4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数,指出它们的有效数位、误差限和相对误差限.

95123450304051104000003346087510., ., , ., .x x x x x -==?===?

5. 证明1.2.3之定理1.1.

6. 若钢珠的的直径d 的相对误差为1.0%,则它的体积V 的相对误差将为多少。(假定钢珠为标准的球形)

7. 若跑道长的测量有0.1%的误差,对400m 成绩为60s 的运动员的成绩将会带来多大的误差和相对误差.

8. 为使20的近似数相对误差小于0.05%,试问该保留几位有效数字.

9. 一个园柱体的工件,直径d 为10.25±0.25mm,高h 为40.00±1.00mm,则它的体积V 的近似值、误差和相对误差为多少. 10 证明对一元函数运算有

r r xf x f x k x k f x εε'≈=

()

(())(),()

其中 并求出157f x x x ==()tan ,.时的k 值,从而说明f x x =()tan 在2

x π

≈时是病态问题.

11. 定义多元函数运算

1

1

1,,(),n n

i i i i i i S c x c x εε====≤∑∑其中

求出S ε()的表达式,并说明i c 全为正数时,计算是稳定的,i c 有正有负时,误差难以控制. 12. 下列各式应如何改进,使计算更准确:

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