《第4章 图形的相似》
《第4章图形的相似》
一、选择题
1．已知xy=mn，则把它改写成比例式后，错误的是（）
A． =B． =C． =D． =
2．已知，那么的值是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．下列两个图形一定相似的是（）
A．两个矩形 B．两个等腰三角形
C．两个五边形D．两个正方形
4．如果两个相似多边形面积的比是4：9，那么这两个相似多边形对应边的比是（）
A．4：9 B．2：3 C．16：81 D．9：4
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的延长线上一点，AE与CD相交于F，与△CEF相似的三角形有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，D为△ABC边BC上一点，要使△ABD∽△CBA，应该具备下列条件中的（）
A． = B． = C． = D． =
7．如图，在△ABC中，若DE∥BC，，DE=3cm，则BC的长为（）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
8．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）
A．3 B．C． D．4
9．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD放大为原来的2倍后得到线段AB，则端点B的坐标为（）
A．（6，6） B．（6，8） C．（8，6） D．（8，2）
10．关于对位似图形的表述，下列命题正确的有（）
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP=k?OP′．
A．①②③④ B．②③④C．②③ D．②④
11．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、
AC于点E，F，则的值是（）
A．B．C．D．
12．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，反比例函数在第四象限经过点B，若OA2﹣AB2=8，则k的值为______．
二、填空题
13．已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，且AC＜CB，则AC的长度为______．
14．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S
△BDE ：S
△CDE
=1：4，则S
△BDE
：S
△ACD
=______．
15．一块矩形绸布的长AB=a m，宽AD=1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是______．
16．如图，小亮在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点C时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，当他向前再步行12m到达点D时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已
知小亮的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m．当小亮走到路灯B时，他在路灯A下的影长是
______m．
三、解答题
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．
（1）证明：△ACD∽△CBD；
（2）已知AD=2，BD=4，求CD的长．
18．如图，AD是△ABC的高，点E，F在边BC上，点H在边AB上，点G在边AC上，AD=80cm，BC=120cm．（1）若四边形EFGH是正方形，求正方形的面积．
（2）若四边形EFGH是长方形，长方形的面积为y，设EF=x，则y=______．（含x的代数式），当x=______时，y最大，最大面积是______．
19．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8，点P是AB上一个动点．（1）当AP=3时，△DAP与△CBP相似吗？请说明理由．
（2）求PD+PC的最小值．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．
（1）证明：BE2=AE?DE；
（2）若=1， =______；并说明理由．
《第4章图形的相似》
参考答案
一、选择题
1．已知xy=mn，则把它改写成比例式后，错误的是（）
A． =B． =C． =D． =
【解答】解：A、两边同时乘以最简公分母ny得xy=mn，与原式相等；
B、两边同时乘以最简公分母mx得xy=mn，与原式相等；
C、两边同时乘以最简公分母mn得xn=my，与原式不相等；
D、两边同时乘以最简公分母my得xy=mn，与原式相等；
故选C．
2．已知，那么的值是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：由=2，得==3．
故选：A．
3．下列两个图形一定相似的是（）
A．两个矩形 B．两个等腰三角形
C．两个五边形D．两个正方形
【解答】解：A、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
B、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意；
C、两个五边形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
D、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意．
故选D．
4．如果两个相似多边形面积的比是4：9，那么这两个相似多边形对应边的比是（）
A．4：9 B．2：3 C．16：81 D．9：4
【解答】解：∵两个相似多边形面积的比是4：9，
∴这两个相似多边形对应边的比是2：3．
故选B．
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的延长线上一点，AE与CD相交于F，与△CEF相似的三角形有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠FAE=∠ABE，∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，
∴△BEA∽△CEF，△DAF∽△CEF．
故选B．
6．如图，D为△ABC边BC上一点，要使△ABD∽△CBA，应该具备下列条件中的（）
A． = B． = C． = D． =
【解答】解：当=时，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA．
故选：C．
7．如图，在△ABC中，若DE∥BC，，DE=3cm，则BC的长为（）
A ．3cm
B ．6cm
C ．9cm
D ．12cm
【解答】解：∵DE ∥BC ，
∴△ADE ∽△ABC ，
∵，
∴，
∵DE=3cm ，
∴=，
解得：DE=9cm ．
故选C ．
8．如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是（1，3），则CE 的长是（
）
A ．3
B ．
C ．
D ．4
【解答】解：∵四边形COED 是矩形，
∴CE=OD ，
∵点D 的坐标是（1，3），
∴OD==，
∴CE=，
故选C ．
9．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD放大为原来的2倍后得到线段AB，则端点B的坐标为（）
A．（6，6） B．（6，8） C．（8，6） D．（8，2）
【解答】解：因为以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD放大为原来的2倍后得到线段AB，所以点B的坐标为（4×2，1×2），即（8，2）．
故选D．
10．关于对位似图形的表述，下列命题正确的有（）
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP=k?OP′．
A．①②③④ B．②③④C．②③ D．②④
【解答】解：①位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形；故错误；
②位似图形一定有位似中心；正确；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；正确；
④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP=k?OP′；正确．
故选B．
11．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、
AC于点E，F，则的值是（）
A．B．C．D．
【解答】解：作FG⊥AB于点G，
∵∠DAB=90°，
∴AE∥FG，
∴=，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
又∵BE是∠ABC的平分线，
∴FG=FC，
在Rt△BGF和Rt△BCF中，
∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），
∴CB=GB，
∵AC=BC，
∴∠CBA=45°，
∴AB=BC，
∴====+1．
故选：C．
12．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，反比例函数在第四象限经过点B，若OA2﹣AB2=8，则k的值为﹣4 ．
【解答】解：设B点坐标为（a，b），
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴OA=AC，AB=AD，OC=AC，AD=BD，
∵OA2﹣AB2=8，
∴2AC2﹣2AD2=8，即AC2﹣AD2=4，
∴（AC+AD）（AC﹣AD）=4，
∴（OC+BD）?CD=4，
∵点B在第四象限，
∴a?b=﹣4，
∴k=﹣4．
故答案为：﹣4．
二、填空题
13．已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，且AC＜CB，则AC的长度为．【解答】解：由于C为线段AB=1的黄金分割点，
且AC＜CB，
则AC=1﹣=．
故本题答案为：．
14．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S
△BDE ：S
△CDE
=1：4，则S
△BDE
：S
△ACD
= 1：20 ．
【解答】解；∵S △BDE ：S △DEC =1：4，
∴BE ：EC=1：4，
∴BE ：BC=1：5，
∵DE ∥AC ，
∴△BED ∽△BCA ，
∴==，
设S △BED =k ，则S △DEC =4k ，S △ABC =25k ，
∴S △ADC =20k ，
∴S △BDE ：S △DCA =1：20．
故答案为：1：20．
15．一块矩形绸布的长AB=a m ，宽AD=1m ，按照图中所示的方式将它裁成相同的n 面矩形彩旗，且
使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a 的值应当是 ．
【解答】解：∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
∴，
∴a 2=，
∴a=．
故答案为：
．
16．如图，小亮在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点C时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，当他向前再步行12m到达点D时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小亮的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m．当小亮走到路灯B时，他在路灯A下的影长是 3.6 m．
【解答】解：如图，当小亮走到路灯B时，他在路灯A下的影长为BH，
CE=DF=BG=1.5m，AM=BN=9m，CD=12m，
∵CE∥BN，
∴△ACE∽△ABN，
∴=，即=，
同理可得=，
∴AC=BD，
∴AC=BD=AB，
∵AC+CD+DB=AB，
∴AB+12+AB=AB，解得AB=18，
∵BG∥AM，
∴△HBG∽△HAM，
∴=，即=，解得BH=3.6．
即当小亮走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．
故答案为3.6．
三、解答题
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．
（1）证明：△ACD∽△CBD；
（2）已知AD=2，BD=4，求CD的长．
【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD；
（2）由（1）知△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2=AD?BD=2×4=8，
∴CD=2．
18．如图，AD是△ABC的高，点E，F在边BC上，点H在边AB上，点G在边AC上，AD=80cm，BC=120cm．（1）若四边形EFGH是正方形，求正方形的面积．
（2）若四边形EFGH是长方形，长方形的面积为y，设EF=x，则y= ﹣x2+80x ．（含x的代数式），当x= 60cm 时，y最大，最大面积是240cm2．
【解答】解：（1）∵四边形EFGH是正方形，
∴HG∥EF，GH=HE=ID，
∴△AHG∽△ABC，
∴AI：AD=HG：BC，
∵BC=120cm，AD=80cm，
∴，
解得：HG=48cm，
∴正方形EFGH的面积=HG2=482=2304（cm2）；
（2）∵四边形EFGH是长方形，
∴HG∥EF，
∴△AEF∽△ABC，
∴AI：AD=HG：BC，
即，
解得：HE=﹣x+80，
∴长方形EFGH的面积y=x（﹣x+80）=﹣x2+80x=﹣（x﹣60）2+240，
∵﹣＜0，
∴当x=60，即EF=60cm时，长方形EFGH有最大面积，最大面积是240cm2；
故答案为：﹣ x2+80x，60cm，240cm2．
19．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8，点P是AB上一个动点．（1）当AP=3时，△DAP与△CBP相似吗？请说明理由．
（2）求PD+PC的最小值．
【解答】解：（1）∵∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠BAD=90°．
∴∠A=∠B=90°．
∴PB=4．
∴，．
∴．
∴△DAP∽△CBP．
（2）如图所示：点D关于AB的对称点D′，连接D′C交BA于点P，过点D′作D′E⊥BC，垂足为E．
∵点D与点D′关于AB对称，
∴PD=D′P．
∴PD+PC=D′P+PC=D′C．
在Rt△D′EC中，由勾股定理得：D′C===7．
∴PD+PC的最小值为7．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长
BE交AC于点F．
（1）证明：BE2=AE?DE；
（2）若=1， = 2 ；并说明理由．
【解答】解：（1）∵BE⊥AD，
∴∠AEB=∠BED=90°．
∴∠BAE+ABE=90°．
∴∠DBE+∠ABE=90°．
∴∠BAE=∠DBE．
∴△ABE∽△BDE．
∴．
∴BE2=AE?DE．
（2）如图所示：过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G．
∵BE⊥AD，CG⊥AD，
∴BE∥CG．
∴△BDE∽△CDG．
∴．
∵BD=CD，
∴DE=DG．
设AB=2λ，则BD=λ；
∵∠ABD=90°，BE⊥AD，
∴AD==．
∵cos∠BAD==，
∴．
∴AE=．
∴DE=AD﹣AE==．
∴EG=．
∵EF∥CG，
故答案为：2．