步步高第二章第3课时
第3课时力的合成与分解
考纲解读 1.会用平行四边形定则、三角形定则进行力的合成与分解.2.会用正交分解法进行力的合成与分解．
1．[对合力与分力概念的理解]关于几个力及其合力，下列说法错误的是() A．合力的作用效果跟原来那几个力共同作用产生的效果相同
B．合力与原来那几个力同时作用在物体上
C．合力的作用可以替代原来那几个力的作用
D．求几个力的合力遵守平行四边形定则
答案 B
解析合力与分力是等效替代的关系，即合力的作用效果与几个分力的共同作用效果相同，合力的作用效果可以替代这几个分力的作用效果，但不能认为合力与分力同时作用在物体上，A、C正确，B错误；力是矢量，所以求合力时遵守平行四边形定则，D正确．
2．[对力的合成的理解]两个力F1和F2间的夹角为θ，两个力的合力为F.以下说法正确的是
() A．若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F就越小
B．合力F总比分力中的任何一个力都大
C．如果夹角θ不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大
D．合力F可能比分力中的任何一个力都小
答案 D
解析F
、F2大小不变，合力随它们夹角的增大而减小，随夹角
的减小而增大，A错；合力F可能比F1、F2都大，也可能比F1、
F2都小，还可能等于其中的一个力的大小，B错，D对；如图所
示，F1大小不变，F1与F2的夹角不变，F2增大时，合力F先减小后增大，C错．
3．[对合力与分力等效性的理解]如图1所示，体操吊环运动有一个高难度的动作就是先双手撑住吊环(图甲)，然后身体下移，双臂缓慢张开到图乙位置，则在此过程中，吊环的两根绳的拉力F T (两个拉力大小相等)及它们的合力F 的大小变化情况为 ( )
图1
A ．F T 减小，F 不变
B ．F T 增大，F 不变
C ．F T 增大，F 减小
D ．F T 增大，F 增大
答案 B
解析 在甲中2F T ＝mg ，在乙中，2F T cos α＝mg (α为绳与竖直方向的夹角)，所以F T 变大，但二个F T 的合力为mg 不变，选项B 正确．
4．[力的合成与分解]帆船航行时，遇到侧风需要调整帆面至合适的位置，保证船能有足够的动力前进．如图2是帆船航行时的俯视图，风向与船航行方向垂直，关于帆面的a 、b 、c 、d 四个位置，可能正确的是 ( )
图2
A ．a
B ．b
C ．c
D ．d
答案 B
解析 对c 而言，帆面与风向平行，风力不起作用；对a 而言，风力垂直于帆面，无法分解出沿航行方向的力；对d 而言，风力沿航行方向的分力对船来说是阻力；只有b 情况下，风力沿航行方向的分力提供船航行的动力．B 正确．
5．[用三角形法求力的最小值]如图3所示，用一根长为l 的细绳一端固定在O 点，另一端悬挂质量为m 的小球A ，为使细绳与竖直方向成30°角且绷紧，小球A 处于静止状态，对小球A 施加的最小的力是 ( )
图3 A.3mg B.32mg C.12mg D.33
mg
答案 C
解析 球受重力mg 、绳的拉力F T 、外力F 三个力作用，合力为零．则
mg 与F 的合力一定与F T 等大反向，画出力的三角形可知，当F 与F T 垂直时F 最小，F min ＝mg sin 30°＝12
mg ，选项C 正确．
1．合力与分力
(1)定义：如果一个力的作用效果跟几个力共同作用的效果相同，这一个力就叫那几个力的合力，那几个力就叫这个力的分力．
(2)逻辑关系：合力和分力是一种等效替代关系．
2．共点力：作用在物体上的力的作用线或作用线的反向延长线交于一点的力．
3．力的合成的运算法则
(1)平行四边形定则：求两个互成角度的共点力F 1、F 2的合力，可以用表示F 1、F 2的有向线段为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线就表示合力的大小和方向，如图4甲所示．
(2)三角形定则：求两个互成角度的共点力F 1、F 2的合力，可以把表示F 1、F 2的线段首尾顺次相接地画出，把F 1、F 2的另外两端连接起来，则此连线就表示合力的大小和方向，如图乙所示．
图4
4．矢量和标量
(1)矢量：既有大小又有方向的量．相加时遵循平行四边形定则．
(2)标量：只有大小没有方向的量．求和时按算术法则相加．
5．力的分解
(1)概念：求一个力的分力的过程．
(2)遵循的原则：平行四边形定则或三角形定则．
(3)分解的方法 ①按力产生的实际效果进行分解．
②正交分解法．
考点一共点力的合成
1．共点力合成的方法
(1)作图法
(2)计算法：根据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力，是
解题的常用方法．
2．重要结论
(1)二个分力一定时，夹角θ越大，合力越小．
(2)合力一定，二等大分力的夹角越大，二分力越大．
(3)合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力．
例1一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图5所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是()
图5
A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定
B．三力的合力有惟一值3F3，方向与F3同向
C．三力的合力有惟一值2F3，方向与F3同向
D．由题给条件无法求出合力大小
解析根据三力的图示，知F1、F2在竖直方向分力的大小均为3个单位，方向相反，在水平方向的分力分别为6个单位和2个单位，方向与F3方向相同．根据正交分解法求合力的思想知，3个力的合力为12个单位，与F3的方向相同，大小是F3的3倍，即F合＝3F3.选项B正确．
答案 B
突破训练1如图6所示，一根不可伸长的轻绳穿过轻滑轮，两端系在高度相等的A、B两点，滑轮下挂一物体，不计轻绳和轻滑轮之间的摩擦．保持A固定不动，让B缓慢向右移动，则下列说法正确的是()
图6
A ．随着
B 向右缓慢移动，绳子的张力减小
B ．随着B 向右缓慢移动，绳子的张力不变
C ．随着B 向右缓慢移动，滑轮受绳AB 的合力变大
D ．随着B 向右缓慢移动，滑轮受绳AB 的合力不变
答案 D
解析 动滑轮在不计摩擦的情况下，两侧绳子拉力大小相等，平衡后，两侧绳子的拉力关于竖直方向对称．保持A 固定不动，让B 缓慢向右移动，则两侧绳子的夹角增大，绳上的张力增大，由于物体的重力不变，故绳AB 的合力不变．本题应选D.
考点二 几种特殊情况下的力的合成问题
1．两分力F 1、F 2互相垂直时(如图7所示)：
F 合＝F 21＋F 22，tan θ＝F 2F 1.
图7 图8
2．两分力大小相等，即F 1＝F 2＝F 时(如图8所示)：
F 合＝2F cos θ2
. 3．两分力大小相等，夹角为120°时，可得F 合＝F . 例2 如图9所示是剪式千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起．当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N ，此时千斤顶两臂间的夹角为120°，则下列判断正确的是 ( )
图9
A ．此时两臂受到的压力大小均为5.0×104 N
B ．此时千斤顶对汽车的支持力为2.0×105 N
C ．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将增大
D ．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将减小
解析 把压力分解，得到此时两臂受到的压力大小均为1.0×105 N ，由牛顿第三定律，千斤顶对汽车的支持力为1.0×105 N ，若继续摇动把手，两臂间的夹角减小，而合力不变，故两分力减小，即两臂受到的压力减小．
答案 D
突破训练2 小娟、小明两人共提一桶水匀速前行，如图10所示，已知两人手臂上的拉力大小相等且为F ，两人手臂间的夹角为θ，水和水桶的总重力为G ，则下列说法中正确的是 ( )
图10
A ．当θ为120°时，F ＝G 2
B ．不管θ为何值，F ＝G 2
C ．当θ＝0°时，F ＝G 2
D ．θ越大，F 越小
答案 C
解析 由力的合成可知，两分力与合力大小相等时，θ＝120°，F 合＝F 分＝G ；θ＝0°，
F 分＝12F 合＝
G 2
，故C 对，A 、B 错．θ越大，在合力一定时，分力越大，故D 错． 考点三 力分解的两种常用方法
1．按力的效果进行分解：
(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向；
(2)再根据两个实际分力的方向画出平行四边形；
(3)最后由平行四边形和数学知识求出两分力的大小．
2．正交分解法
(1)定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法．
(2)建立坐标轴的原则：以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)．
例3重为G1＝8 N的砝码悬挂在轻绳P A和PB的结点上．P A偏离竖直方向37°角，PB 在水平方向，且连在重力为G2＝100 N的木块上，木块静止于倾角为θ＝37°的斜面上，如图11所示．试求：木块与斜面间的摩擦力大小和木块所受斜面的弹力大小．
图11
解析对P点进行受力分析，建立如图甲所示的坐标系．
由水平方向和竖直方向列方程得：
F＝F1sin 37°，G1＝F1cos 37°
联立解得F＝G1tan 37°＝8×3
4N＝6 N
对G2进行受力分析建立如图乙所示的坐标系．
平行斜面方向上，F cos θ＋G2sin θ＝F f
解得摩擦力F f＝6×0.8 N＋100×0.6 N＝64.8 N
垂直斜面方向上，F sin θ＋F N＝G2cos θ
解得弹力F N＝100×0.8 N－6×0.6 N＝76.4 N
答案64.8 N76.4 N
力的合成法与分解方法的选择
力的效果分解法、正交分解法、合成法都是常见的解题方法，一般情况下，物体只受三个力的情形下，力的效果分解法、合成法解题较为简单，在三角形中找几何关系，利用几何关系或三角形相似求解；而物体受三个以上力的情况多用正交分解法，但也要视题目具体情况而定．
突破训练3(2014·江淮十校协作体上学期第一次联考)图12为内燃机中的连杆传动装置部分示意图．当汽缸中高压气体以力F推活塞时，某时刻连杆BA与BO的夹角为θ，不计活塞重力和一切摩擦的作用，则此汽缸壁对活塞的作用力为()
图12
A ．F sin θ
B ．F cos θ
C ．F tan θ
D ．F cot θ
答案 C
6．实际问题模型化后的合成与分解
把力按实际效果分解的一般思路：
例4 如图13所示，两滑块放在光滑的水平面上，中间用一细线相连，轻杆OA 、OB 搁在滑块上，且可绕铰链O 自由转动，两杆长度相等，夹角为θ，当竖直向下的力F 作用在铰链上时，滑块间细线的张力为多大？
图13
解析 把竖直向下的力F 沿两杆OA 、OB 方向分解，如图甲所示，可求出作用于滑块
上斜向下的力为：F 1＝F 2＝F 2cos θ2
斜向下的压力F 1产生两个效果：竖直向下压滑块的力F 1″和沿水平方向推滑块的力F 1′，因此，将F 1沿竖直方向和水平方向分解，如图乙所示，考虑到滑块不受摩擦力，细线上的张力等于F 1在水平方向上的分力F 1′，即：
F 1′＝F 1cos π－θ2＝F 1sin θ2
解得：F 1′＝F 2tan θ2
答案F
2tan
θ
2
高考题组
1．(2013·重庆理综·1)如图14所示，某人静躺在椅子上，椅子的靠背与水平面之间有固定倾斜角θ.若此人所受重力为G，则椅子各部分对他的作用力的合力大小为()
图14
A．G B．G sin θC．G cos θD．G tan θ
答案 A
解析椅子各部分对人的作用力的合力与重力G是平衡力．因此选项A正确．2．(2012·山东理综·17改编)如图15所示，两相同轻质硬杆OO1、OO2可绕其两端垂直纸面的水平轴O、O1、O2转动，在O点悬挂一重物M，将两相同木块m紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止．F f表示木块与挡板间摩擦力的大小，F N表示木块与挡板间正压力的大小．若挡板间的距离稍许增大后，系统仍静止且O1、O2始终等高，则()
图15
A．F f变小B．F f变大
C．F N变小D．F N变大
答案 D
解析选重物M及两个木块m组成的系统为研究对象，系统受力情况如图甲所示，根
据平衡条件有2F f＝(M＋2m)g，即F f＝(M＋2m)g
2，与两挡板间距离无关，故挡板间距
离稍许增大后，F f不变，所以选项A、B错误；如图乙所示，将绳的张力F T沿OO1、
OO2两个方向分解为F1、F2，则F1＝F2＝F T
2cos θ，当挡板间距离稍许增大后，F T不变，θ变大，cos θ变小，故F1变大；选左边木块m为研究对象，其受力情况如图丙所示，根据平衡条件得F N＝F1sin θ，当两挡板间距离稍许增大后，F1变大，θ变大，sin θ变大，因此F N变大，故选项C错误，选项D正确．
甲 乙 丙 模拟题组 3．如图16所示，用一轻绳将光滑小球P 系于竖直墙壁上的O 点，在墙壁和球P 之间夹有一矩形物块Q ，P 、Q 均处于静止状态，现有一铅笔紧贴墙壁压着轻绳从O 点开始缓慢下移，则在铅笔缓慢下移的过程中 ( )
图16
A ．细绳的拉力逐渐变大
B ．Q 受到墙壁的弹力不变
C ．Q 受到墙壁的摩擦力逐渐变大
D ．Q 将从墙壁和小球之间滑落
答案 A
4．如图17所示，重力为G 的小球用轻绳悬于O 点，用力F 拉住小球，使轻绳保持偏离竖直方向60°角且不变，当F 与竖直方向的夹角为θ时F 最小，则θ、F 的值分别为
( )
图17
A ．0°，G
B ．30°，
32G C ．60°，G
D ．90°，12
G 答案 B
解析 分解小球重力．沿绳OA 的分力方向确定，另一方向不确
定，但由三角形定则可看出，另一分力F ′的大小与θ角的大小
有关．由数学知识可知，当F ′的方向与绳OA 垂直时F ′最小， 力F 最小．所以θ＝30°，F min ＝G cos 30°＝32
G ，故B 正确．
5．如图18所示，为使一个重为G 的物体静止在倾角为θ的光滑斜面上，需给物体施加一个外力，大小也是G .
图18
(1)试说明凡符合条件的外力方向，并在图上标出(不要求说明理由)．
(2)求出各情况下物体对斜面压力大小．
答案 (1)共有两种情况：竖直向上或与竖直方向成2θ角斜向右下方，如图所示．
(2)当F 1＝G 竖直向上时，F N1＝0
当F 2＝G 斜向右下方时，F N2＝2G cos θ
(限时：30分钟)
?题组1 对合力与分力的关系的理解
1．三个共点力大小分别是F 1、F 2、F 3，关于它们合力F 的大小，下列说法中正确的是
( )
A ．F 大小的取值范围一定是0≤F ≤F 1＋F 2＋F 3
B ．F 至少比F 1、F 2、F 3中的某一个大
C ．若F 1∶F 2∶F 3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D ．若F 1∶F 2∶F 3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零 答案 C
解析 三个大小分别是F 1、F 2、F 3的共点力合成后的最大值一定等于F 1＋F 2＋F 3，但
最小值不一定等于零，只有当某一个力的大小在另外两个力的大小的和与差之间时，这三个力的合力才可能为零，A、B、D错误，C正确．
2．下列关于合力的叙述中正确的是() A．合力是原来几个力的等效替代，合力的作用效果与分力的共同作用效果相同
B．两个力夹角为θ(0≤θ≤π)，它们的合力随θ增大而增大
C．合力的大小有可能比分力的代数和大
D．不是同时作用在同一物体上的力也能进行力的合成的运算
答案 A
解析力的合成的基本出发点是力的等效替代．合力是所有分力的一种等效力，它们之间是等效替代关系．合力和作用在物体上各分力间的关系，在效果上是和各分力的共同作用等效，而不是与一个分力等效．只有同时作用在同一物体上的力才能进行力的合成的运算．就合力与诸分力中的一个分力的大小相比较，则合力的大小可以大于、等于或小于该分力的大小，这是因为力是矢量．力的合成遵循平行四边形定则，合力的大小不仅跟分力的大小有关，而且跟分力的方向有关．根据力的平行四边形定则和数学知识可知，两个分力间夹角为θ(0≤θ≤π)，它们的合力随θ增大而减小．当θ＝0°时，合力最大，为两分力的代数和；当θ＝180°时，合力最小，等于两分力的代数差．所以合力的大小总不会比分力的代数和大．
3.一件行李重为G，被绳OA和OB吊在空中，OA绳和OB绳的拉力分别为F1、F2，如图1
所示，则()
图1
A．F1、F2的合力是G
B．F1、F2的合力是F
C．行李对绳OA的拉力方向与F1方向相同，大小相等
D．行李受到重力G、OA绳拉力F1、OB绳拉力F2，还有F共四个力
答案 B
解析合力与分力具有等效替代的关系．所谓等效是指力F的作用效果与其分力F1、F2共同作用产生的效果相同．F1和F2的合力的作用效果是把行李提起来，而G的作用效果是使行李下落，另外产生的原因(即性质)也不相同，故A错误；F1和F2的作用效果和F的作用效果相同，故B正确；行李对绳OA的拉力与拉行李的力F1是相互作用力，等大反向，不是一个力，故C错误；合力F是为研究问题方便而假想出来的力，
实际上不存在，应与实际受力区别开来，故D 错误．
4．有两个大小相等的共点力F 1和F 2，当它们的夹角为90°时，合力为F ，它们的夹角变为
120°时，合力的大小为 ( )
图1
A ．2F B.
22F C.2F D.32
F 答案 B
解析 根据题意可得，F ＝2F 1.当两个力的夹角为120°时，合力F 合＝F 1＝
22F . ?题组2 力的合成法的应用
5．如图所示，F 1、F 2、F 3恰好构成封闭的直角三角形，这三个力的合力最大的是( )
答案 C
解析 由矢量合成法则可知A 图的合力为2F 3，B 图的合力为0，C 图的合力为2F 2，D 图的合力为2F 3，因F 2为直角三角形的斜边，故这三个力的合力最大的为C 图．
6．水平横梁一端A 插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B ，一轻绳的一端C 固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m ＝10 kg 的重物，∠CBA ＝30°，如图2所示，则滑轮受到绳子的作用力的大小为(g 取10 N/kg) ( )
图2
A ．50 N
B ．20 N
C ．100 N
D ．100 3 N
答案 C
解析 滑轮受到绳子的作用力应等效为两段绳中拉力F 1和F 2的合力，因同一根绳张力处处相等，都等于物体的重力，即F 1＝F 2＝G ＝mg ＝100 N ．可考虑应用平行四边形定则或三角形定则合成．
方法一：用平行四边形定则作图，如图甲所示，可知合力F ＝100 N ，所以滑轮受绳的
作用力为100 N ，方向与水平方向成30°角斜向下，正确选项为C.
方法二：用三角形定则作图，如图乙所示．由几何关系解出F ＝F 1＝F 2＝100 N.
甲 乙 7.如图3所示，光滑斜面倾角为30°，轻绳一端通过两个滑轮与A 相连，另一端固定于天花板上，不计绳与滑轮的摩擦及滑轮的质量．已知物块A 的质量为m ，连接A 的轻绳与斜面平行，挂上物块B 后，滑轮两边轻绳的夹角为90°，A 、B 恰保持静止，则物块B 的质量为 ( )
图3 A.22m B.2m C ．m D ．2m
答案 A
解析 设绳上的张力为F ，对斜面上的物体A 受力分析可知
F ＝mg sin 30°＝12
mg 对B 上面的滑轮受力分析如图
m B g ＝F 合＝2F ＝
22mg 所以m B ＝22
m ，选项A 正确． 8．某物体同时受到同一平面内的三个共点力作用，在如图4所示的四种情况中(坐标纸中每格边长表示1 N 大小的力)，该物体所受的合外力大小正确的是 ( )
图4
A ．甲图中物体所受的合外力大小等于4 N
B ．乙图中物体所受的合外力大小等于2 N
C ．丙图中物体所受的合外力大小等于0
D ．丁图中物体所受的合外力大小等于0
答案 D
解析 对甲，先将F 1与F 3直接合成，再以3 N 和4 N 为边画平行四边形，并结合勾股定理易知合力为5 N ，A 项错误；对乙，先将F 1与F 3正交分解，再合成，求得合力等于5 N ，B 项错误；对丙，可将F 3正交分解，求得合力等于6 N ，C 项错误；根据三角形法则，丁图中合力等于0，D 项正确．
9．如图5所示，A 、B 为竖直墙面上等高的两点，AO 、BO 为长度相等的两根轻绳，CO 为轻杆．光滑转轴C 在AB 中点D 的正下方，A 、O 、B 在同一水平面内．∠AOB ＝120°，∠COD ＝60°.若在O 点处悬挂一个质量为m 的物体，则平衡后绳AO 所受的拉力和杆CO 所受的压力分别为 ( )
图5 A.33mg 233
mg B ．mg 12
mg C.233mg 33
mg D.12
mg mg 答案 A
解析 由题图可知杆CO 的弹力沿杆斜向上，两个分力分别与竖直绳的拉力mg 和AO 、BO 两绳合力F DO 平衡，将竖直绳中的拉力分解为对杆CO 的压力及对AO 、BO 两绳沿
DO 方向的拉力，如图甲所示．则F CO sin 60°＝mg ，F DO ＝F CO cos 60°，解得F CO ＝233
mg ，F DO ＝33
mg .又由于OA 、OB 夹角为120°，且两绳拉力相等，所以两绳拉力应与合力F DO
相等，如图乙所示，所以F AO＝
3
3mg.
?题组3力的分解的应用
10．如图6所示，A、B都是重物，A被绕过小滑轮P的细线悬挂着，B放在粗糙的水平桌面上；小滑轮P被一根斜短线系于天花板上的O点；O′是三根线的结点，bO′水平拉着B物体，cO′沿竖直方向拉着弹簧；弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略，整个装置处于静止状态．若悬挂小滑轮的斜线OP的张力是20 3 N，g取10 m/s2，则下列说法中错误的是()
图6
A．弹簧的弹力为10 N
B．重物A的质量为2 kg
C．桌面对B物体的摩擦力为10 3 N
D．OP与竖直方向的夹角为60°
答案 D
解析O′a与aA两线拉力的合力与OP线的张力大小相等．由几何知识可知F O′a＝
F aA＝20 N，且OP与竖直方向夹角为30°，D不正确；重物A的重力
G A＝F aA，所以
m A＝
2 kg，B正确；桌面对B的摩擦力F f＝F O′b＝F O′a cos 30°＝10
3 N，C正确；弹簧的
弹力F弹＝F O′a sin 30°＝10 N，故A正确．
11.据《城市快报》报道，北宁动物园门前，李师傅用牙齿死死咬住长绳的一端，将停放着
的一辆小卡车缓慢拉动，如图7所示．小华同学看完表演后做了如下思考，其中正确的是
()
图7
A．李师傅选择斜向上拉可以减少车对地面的正压力，从而减少车与地面间的摩擦力B．李师傅选择斜向上拉可以减少人对地面的正压力，从而减少人与地面间的摩擦力C．车被拉动的过程中，绳对车的拉力大于车对绳的拉力
D．若将绳系在车顶斜向下拉，拉动汽车将更容易
答案 A
解析小卡车缓慢移动可认为F合＝0.
(1)若斜向上拉如图甲所示F cos θ－F f＝0；F N＋F sin θ－mg＝0，F f＝μF N，解得
F＝μmg
cos θ＋μsin θ
；(2)若斜向下拉，如图乙所示F′cos θ－F f＝0；F N－F′sin θ－mg＝0，
F f＝μF N，解得F′＝μmg
cos θ－μsin θ
.经比较可知F