3平面向量的坐标表示及线段的定比分点公式
5. 3平面向量的坐标表示及线段的定比分点公式要点透视： 1?要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关. 2?遇到共线向量与平行有关问题，一般应考虑运用向量平行的充要条件. 3?线段的定比分点公式，要注意求定比分点A的值，以便顺利求出分点坐 标. 活题解析： 例1. (2002年天津卷)平面直角坐标系中, O是坐标原点，已知两点A(3， 1)，B( — 1, 3)，若点 C 满足 OC =aOA+POB，其中 a 氏 R 且 a+3=1，则点 C的 轨迹方程是() 2 2 A. 3x+ 2y— 11 = 0 B. (x— 1) + (y—2)=25 C. 2x— y= 0 T D士+ 2 y— 5=0^ 要点精析：I 设OC =(x, y)，OA = (3, 1)，OB =(— 1,3)， T T T T a OA=(3 a a， 3OB =( — 3, 3 3，又 aOA+ 3OB =(3 a— 3, a+3 3， I X =3*^ — P 二(x, y)= (3a— 3 a+ 33，；$ n , [y =a +3卩 又a+ 3= 1,因此得x+ 2y= 5,所以选D . 思维延伸：本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法. I I 例2. (2003年江苏卷)已知常数a>0,向量c=(0, a),i = (1, 0),经过原点 O以 c+Xi为方向向量的直线与经过定点 A(0, a)以i — 2Xc为方向向量的直线相交于 点P,其中疋R,试问是否存在两个定点E, F，使得|PE| + |PF|为定值？若存在， 求出E, F的坐标；若不存在，说明理由. 要点精析：本题考查平面向量的概念和计算、求轨迹的方法、椭圆的方程和性质、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 解：根据题没条件，首先求出点P满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得P到两定点的距离之和为定值. 因为1=(° 0), c = (0, a), 所以 c + xi =( X, a), i — 2 入c = (1, — 2 Xa). 因此直线OP和AP的方程分别为?y=ax和y— a= — 2 Xx,
定比、定比分点公式
8.1（3）定比、定比分点公式 一、教学内容分析 本节是8.1的第三节课，是学习向量坐标表示及运算、向量的模与平行之后的又一个新的知识点.它既是对前两节内容复习与巩固，又是对向量知识的进一步深化与拓展，如式子 12PP PP λ=u u u r u u u r 中的λ由实 数推广到定比.同时，经历定比分点公式的推导过程，让学生领悟定比分点的多元化表示方法. 本节的教学重点是定比分点公式的形成、深化、拓展与应用.难点是定比λ的理解、确定及定比分点公式中分点、始点、终点坐标位置的识别. 根据本节特点，教师采取启发、提问为主的教学方法；学生则进行自主学习.即课前进行主动预习，课中进行讨论与交流，课后进行探索研究. 二、教学目标设计 1理解定比的概念，掌握定比分点公式； 2通过定比分点公式的推导过程，巩固向量的运算方法； 感悟定比分点的几种表达方式； 3通过本节的学习，提升发现能力、推理能力，渗透数形结合 思想. 三、教学重点及难点 定比的概念，定比分点公式的推导和应用. 四、教学流程设计
五、教学过程设计 一、 情景引入 观察思考，引入新课 问题1：设)1,2(A ，)1,2(--B ，)2,4(C 三点共线，可知BA u u u r ∥AC u u u r ，即存 在实数λ，使BA u u u r = λAC u u u r ，那么实数λ= . 而若 BC CA λ=u u u r u u u r ，则λ= . [说明]（1）本问题由共线三点坐标求实数λ，它既是对前一节向量平行的复习与巩固，同时又为定比λ的产生作好铺垫（2）通过本题可以看出使两向量平行的实数λ的取值可正可负. 问题2：设1P （1，1），2P (4,4), λ=1.当12PP PP λ=u u u r u u u r 时， 你能求出点P 的坐标吗？（引出课题） [说明]问题2是由共线三点中的两点坐标和定比λ的值求第三点坐
考点12 平面向量的数量积、线段的定比分点与平移
温馨提示： 此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观 看比例，关闭Word 文档返回原板块。 考点12 平面向量的数量积、线段的定比分点与平移 1.（2010·重庆高考理科·Ｔ2）已知向量a ，b 满足0,1,2a b a b ?===，则2a b -=（ ） （A ）0 （B ） （C ）4 （D ）8 【命题立意】本小题考查向量的基础知识、数量积的运算及性质，考查向量运算的几何意义，考查数形结合的思想方法. 【思路点拨】根据公式2 a a = 进行计算，或数形结合法，根据向量的三角形法则、平行四边形法则求解. 【规范解答】选B （方法一） 222242a b a b a a b b -=-=-?+2() ==（方法二）数形结合法：由条件0a b ?=a ，b 所在线段为邻边的平行四边形为矩形，又因为1,2a b ==，所以 2=2a ，则2a b -是边长为2【方法技巧】方法一：灵活应用公式2 a a =， 方法二：熟记向量0a b a b ⊥??=（a ，b 为非零向量）及向量和的三角形法则 2.（2010·重庆高考文科·Ｔ3）若向量(3,)a m =，(2,1)b =-， 0a b ?=，则实数m 的值为（ ） （A ）32- （B ）32 （C ）2 （D ）6 【命题立意】本小题考查平面向量的基础知识及其应用，考查数量积的运算，考查方程思想. 【思路点拨】将坐标代入数量积的坐标公式计算即可. 【规范解答】选D. 因为0a b ?=，向量(3,)a m =，(2,1)b =-，所以32(1)0m ?+-=，所以6m =. 【方法技巧】熟记向量数量积的坐标运算公式. 3.（2010·四川高考理科·Ｔ5）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外， 2 16,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=（ ）. （A ）8 （B ）4 （C ） 2 （D ）1 4
线段的定比分点公式的应用(精品绝对好)
线段的定比分点公式的应用 一、难点知识剖析 （一）、在运用线段的定比分点坐标公式时，要注意(x 1，y 1)是起点的坐标，(x 2，y 2)是终点的坐标，(x ，y)表示分点的坐标，在每个等式中涉及到四个不同的量，它们分别表示三个坐标和定比λ，只要知道其中任意三个量，便可求第四个量． （二）、如何确定定比分点坐标公式中的λ 1、由坐标确定：分点坐标 终点坐标起点坐标 分点坐标--=--=--= y y y y x x x x 2121λ 2、由12 PP PP λ= 确定：先求||||21PP =λ2 1PP =λP 1与2PP 的方向决定λ的符号． 例：设点P 1（),11y x ，),(222y x P ，点P 是直线 21P P 上任意一点，且满足 1 2PP PP λ= ，求点P 的坐标. （三）、特殊情况的分析 1、λ＝0时，分点P 与起点P 1重合 2、λ＝1时，分点P 为线段P 1P 2的中点 3、λ不可能等于－1（若λ＝－1，则P 1、P 2重合，与P 1P 2为线段矛盾） ∴λ∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞) 4、无论λ取何实数（当然λ≠－1）分点P 不可能与终点P 2重合 二、例题讲解 例1、已知点A 分有向线段的比为2，求下列定比λ：（1）A 分的比；（2）B 分的比；（3）C 分的比．
分析：本题直接用公式计算不太方便，若画出图表就一目了然． 解答：因为A分的比为2，所以A在BC之间，且|BA|＝2|AC|（如图所示） 例2、已知P分所成的比为λ，O为平面上任意一点，． 求证：线段定比分点向量公式 证明：∵P分所成比为λ， 例3、已知三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D点内分的比为，E在BC上，且使△BDE的面积是△ABC面积的一半，求向量的坐标．（提示：三角形面积等于两边与其夹角正弦乘积的一半） 分析：要求的坐标，就要求D点的坐标，也要求E点的坐标．由于E点在线段BC上，且已知B、C两点的坐标，因此我们只要能确定E分有向线段的比，应用定比分点公式就能求出E点的坐标，将E点坐标减去D点的坐标就可得到向量． 解答：如图所示，
2019-2020年高考数学复习第42课时第五章平面向量-线段的定比分点及平移名师精品教案新人教A版
2019-2020年高考数学复习第42课时第五章平面向量-线段的定比分点及 平移名师精品教案新人教A版 课题：线段的定比分点及平移 一．复习目标： 1．掌握线段的定比分点坐标公式和中点坐标公式，会用定比分点坐标公式求分点坐标和，会用中点坐标公式解决对称问题； 2．掌握平移公式，会用平移公式化简函数式或求平移后的函数解析式． 二．知识要点： 1．线段的定比分点：内分点、外分点、的确定； 2．定比分点坐标公式是；线段的中点坐标公式是； 3．平移公式是． 三．课前预习： 1．若点分的比为，则点分的比是． 2．把函数的图象，按向量平移后，图象的解析式是（） 3．将函数顶点按向量平移后得到点，则． 4．中三边中点分别是，则的重心是． 四．例题分析： 例1．已知两点，，点在直线上，且， 求点和点的坐标． 例2．已知，点分的比为，点在线段上，且，求点的坐标． 例3．已知函数的图象经过按平移后使得抛物线顶点在轴上，且在轴上截得的弦长为，求平移后函数解析式和． 例4．已知分比是的三边上的点，且使，证明：与的重心相同．
五．课后作业： 1．已知点按向量平移后得到点，则点按向量平移后的坐标是（） 2．平面上有，，三点，点在直线上，且，连并延长到，使，则点的坐标为（）或 3．平移曲线使曲线上的点变为，这时曲线方程为（） 4．把一个函数的图象向量平移后图象的解析式为，则原来函数图象的解析式为． 5．已知函数，按向量平移该函数图形，使其化简为反比例函数的解析式，则向量= ，化简后的函数式为． 6．已知，，，为坐标原点，若，则点的轨迹方程为． 7．已知三角形的三个顶点为， （1）求三边的长； （2）求边上的中线的长； （3）求重心的坐标； （4）求的平分线的长； （5）在上取一点，使过且平行于的直线把的面积分成的两部分，求点的坐标． 8．如图已知三点，点内分的比是，在上，且的面积是面积的一半，求点的坐标．
第五章 第四节 线段的定比分点与平移
第五章 第四节 线段的定比分点与平移 题组一 线段的定分比问题 1.(2010·黄冈模拟)已知两点P (4，－9)，Q (－2,3)，则直线PQ 与y 轴的交点分有向线段 PQ 的比为 ( ) A.13 B.12 C ．2 D ．3 解析：设所求的分比为λ，则由0＝4＋(－2)λ1＋λ?λ＝2. 答案：C 2．如图所示，已知两点A (2,0)，B (3,4)，直线ax －2y ＝0与线段AB 交于点C ，且C 分 AB 所成的比λ＝2，则实数a 的值为 ( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 解析：∵A (2,0)，B (3,4)， ∴直线AB 的方程为y ＝4x －8， 设C 点横坐标为x ， ∴由????? y ＝4x －8ax －2y ＝0 ?x ＝84－1 2 a . 又∵λ＝ AC CB ， ∴x ＝83，∴84－12a ＝8 3 ， 解得a ＝2. 答案：D 3．已知A 、B 、C 三点共线，且A 、B 、C 三点的纵坐标分别为2,5,10，则点A 分BC 所 得的比为 ( )
A.38 B ．－3 8 C.83 D ．－83 解析：设点A 分BC 所得的比为λ，则2＝5＋10λ 1＋λ ∴λ＝－3 8. 答案：B 题组二 平移公式的应用 4.将函数y ＝2x ＋1＋ ( ) A ．a ＝(－1，－1) B ．a ＝(1，－1) C ．a ＝(1,1) D ．a ＝(－1,1) 解析：设向量a ＝(m ，n )，y ＝2x ＋1，沿a 平移得到y －n ＝2x －m ＋1，即y ＝2x －m ＋1 ＋n 与y ＝2x ＋1重合， ∴? ???? m ＝－1n ＝－1. 答案：A 5．将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象按向量a ＝(－π 6，0)平移，平移后的图象如图所示，则 平移后的图象所对应函数的解析式是 ( ) A ．y ＝sin(x ＋π 6) B ．y ＝sin(x －π 6) C ．y ＝sin(2x ＋π 3) D ．y ＝sin(2x －π 3 ) 解析：函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象按向量a ＝(－π 6，0)平移后的解析式为y ＝sin ω(x ＋ π6)＝sin(ωx ＋ωπ6 )， 当x ＝7 12 π时，函数取最小值－1，
定比、定比分点公式
（3）定比、定比分点公式 一、教学内容分析 本节是的第三节课，是学习向量坐标表示及运算、向量的模与平行之后的又一个新的知识点.它既是对前两节内容复习与巩固，又是对向量知识的进一步深化与拓展，如式子 12PP PP λ=中的λ由实数推广到定比.同时，经历定比分点公式的推导过程，让学生领悟定比分点的多元化表示方法. 本节的教学重点是定比分点公式的形成、深化、拓展与应用.难点是定比λ的理解、确定及定比分点公式中分点、始点、终点坐标位置的识别. 根据本节特点，教师采取启发、提问为主的教学方法；学生则进行自主学习.即课前进行主动预习，课中进行讨论与交流，课后进行探索研究. 二、教学目标设计 1理解定比的概念，掌握定比分点公式； 2通过定比分点公式的推导过程，巩固向量的运算方法； 感悟定比分点的几种表达方式； 3通过本节的学习，提升发现能力、推理能力，渗透数形结合 思想. 三、教学重点及难点 定比的概念，定比分点公式的推导和应用. 四、教学流程设计
五、教学过程设计 一、 情景引入 观察思考，引入新课 问题1：设)1,2(A ，)1,2(--B ，)2,4(C 三点共线，可知BA ∥AC ，即存在实数λ，使BA = λAC ??，那么实数λ= . 而若?BC CA λ=，则λ= . [说明]（1）本问题由共线三点坐标求实数λ，它既是对前一节向量平行的复习与巩固，同时又为定比λ的产生作好铺垫（2）通过本题可以看出使两向量平行的实数λ的取值可正可负. 问题2：设1P （1，1），2P (4,4), λ=1.当12PP PP λ=时，你能求出点P 的坐标吗（引出课题） [说明]问题2是由共线三点中的两点坐标和定比λ的值求第三点坐标，本题给出的点具有一定的特殊性，这样便于学生利用数形结合思想猜出结果，尝试成功的快乐. 二、学习新课 1．定比分点公式
定比分点的向量公式及应用
定比分点的向量公式及应用 浙江省永康市古山中学（321307） 吴汝龙 定比分点的向量公式：在平面上任取一点O ，设OP =1，OP =2，若21PP P λ=，则b a OP λ λ λ+++= 111。 特别地，当1=λ时，即P 为线段21P P 的中点，则有b a OP 2 1 21+= 。 用定比分点的向量公式，可使有些问题的解决更简洁。下面举几例说明。 一、求定比λ的值： 例1：已知A （1,2），B （1,3-）及直线l ：54-=x y ，直线AB 与l 相交于P 点，求P 点分AB 的比λ。 解：设),(y x P ，则由λ=，得 )11,131()1,3(1)1,2(11),(λ λ λλλλλ+-++=-+++= y x ， 又∵P 点在直线l 上， ∴51)31(411-++=+-λ λλλ， ∴31=λ。 例2：如图所示，在ABC ?中，D 为边BC 上的点，且k =，E 为AD 上的一点，且l =，延长BE 交AC 于F ，求F 分有向线段所成的比λ。 解：∵λ=，∴λλλ+++= 111， 又EA l DE =，∴BA l l BD l BE +++=111， 而BC k k DC k BD +==1， ∴BA l l BC k l k BE ++++= 1)1)(1(， ∵B 、E 、F 共线，∴设BF t BE =，而BA t BC t BF t λ λλ+++=11 ∴ BA t BC t BA l l BC k l k λ λλ+++=++++111)1)(1( F E D C B A
∴???????+=+++=+l l t k l k t 11) 1)(1(1λλλ，解得k k l )1(+=λ。 二、求直线上点的坐标 例3：已知点)1,1(--A ，)5,2(B ，点C 为直线AB 上一点，且5-=，求C 点的坐标。 分析：先求出C 点分的λ的值，再利用定比分点的向量公式求出点C 的坐标。 解：∵5-=，∴5==CB λ， 利用定比分点的坐标公式有 )4,2 3 ()5,2(65)1,1(616561=+--=+=OB OA OC 。 ∴C 点的坐标为)4,2 3 (。 例4：已知)3,2(A ，)5,1(-B ，且AB AC 3 1 =，3=，求点C ，D 的坐标。 分析：由题设，运用定比分点的向量公式，可以求得点C ，D 的坐标。 解：设),(11y x C ，),(22y x D ， ∵AB AC 31 = ，∴2 11== λ， ∴根据定比分点的向量公式有OB OA OC 2 11111 λλλ+++= ， ∴)311 ,1()5,1(31)3,2(32)5,1(2 1121 )3,2(2111),(11=-?+?=-?++?+=y x 同理由AB AD 3=得2 3 2- == λ， ∴根据定比分点的向量公式有OB OA OC 2 11111 λλλ+++= ， ∴)9,7()5,1(3)3,2(2)5,1(2 3123 )3,2(2311 ),(22-=-?+?-=-?+- +?-=y x
立体几何(向量法)—找点难(定比分点公式)
立体几何（向量法）—找点难（定比分点公式） 例1（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB (Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ; (Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值. (Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为6 , 求线段AM 的长. 【答案】解：方法一：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0，0，0)，B (0，0，2)，C (1，0，1)，B 1(0，2，2)，C 1(1，2，1)，E (0，1，0)． (1)证明：易得B 1C 1→＝(1，0，－1)，CE →＝(－1，1，－1)，于是B 1C 1→·CE → ＝0，所以B 1C 1⊥CE . (2)B 1C → ＝(1，－2，－1)， 设平面B 1CE 的法向量＝(x ，y ，z )，
则?????·B 1C →＝0，m · CE →＝0，即?????x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0，消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量 为＝(－3，－2，1)． 由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→ ＝(1，0，－1)为平面CEC 1 的一个法向量． 于是cos 〈，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1→ |m |·|B 1C 1→|＝－414×2＝－2 77，从而sin 〈，B 1C 1→ 〉＝217. 所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217. (3)AE →＝(0，1，0)，EC 1→＝(1，1，1)．设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB → ＝(0，0，2)为平面ADD 1A 1的一个法向量． 设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则 sin θ＝|cos 〈AM →，AB → 〉|＝|AM →·AB →||AM →|·|AB →|＝ 2λ λ2＋（λ＋1）2＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1. 于是 λ3λ2＋2λ＋1＝26 ，解得λ＝1 3(负值舍去)，所以AM ＝ 2. 方法二：(1)证明：因为侧棱CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1， B 1 C 1?平面A 1B 1C 1 D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1 E ＝5，B 1C 1＝2，EC 1＝3，从而 B 1E 2＝B 1 C 21＋EC 21，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E .又CC 1，C 1E ? 平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1，所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，又CE ?平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE . (2)过B 1 作B 1G ⊥CE 于点G ，联结C 1G .由(1)，B 1C 1⊥CE .故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ，
(广西专用)版高中数学 5.3线段的定比分点与平移课时提能训练 理 新人教A版
- 1 - 【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 5.3线段的定比分点与平移课时提能训练 理 新人教A 版 (45分钟 100分) 一、选择题(每小题6分，共36分) 1.已知直线l 经过点M(－1,0)，N(2,3)，则直线l 与y 轴的交点P 分有向线段MN 所成的比为( ) (A)12 (B)－12 (C)2 (D)－2 2.若A 、B 、C 三点共线，点C 分有向线段AB 所成的比是－3，则点B 分有向线段AC 所成的比λ是( ) (A)－2 (B)2 (C)－3 (D)－13 3.将函数y ＝sinx 的图象按向量a ＝(－π2 ，3)平移后的图象对应的函数解析式为 ( ) (A)y ＝sin(x －π2)＋3 (B)y ＝sin(x －π2 )－3 (C)y ＝cosx ＋3 (D)y ＝cosx －3 4.函数y ＝cos(2x ＋π6 )－2的图象F 按向量a 平移到F′，F′的函数解析式为y ＝f(x)，当y ＝f(x)为奇函数时，向量a 可以等于( ) (A)(－π6，－2) (B)(－π6，2) (C)(π6，－2) (D)(π6 ，2) 5.将抛物线y 2＝4x 按向量a 平移后得到抛物线y 2－4y ＝4x ，则向量a 为( ) (A)(－1,2) (B)(1，－2) (C)(2，－4) (D)(－2,4) 6.(易错题)已知A(3,0)，B(0,4)，O 为坐标原点，则点O 在直线AB 上的射影点C 的坐标是( ) (A)(85，65) (B)(435，65 ) (C)(3625，4825) (D)(4825，3625 ) 二、填空题(每小题6分，共18分) 7.(2012·玉林模拟)把函数y ＝2x 2－4x ＋5的图象按向量a 平移得到y ＝2x 2的图象，又a ⊥b ，c ＝(1，－ 1)，b·c ＝4，则b ＝ . 8.(2012·南宁模拟)已知点P 分12P P 的比为－3，则P 1分2P P 所成的比是 .
人教版初一数学下册5.4 平移(第一课时)
5.4 平移（第1课时） 一、内容和内容解析 1.内容 平移及其基本性质。 2.内容解析 “图形与几何”领域中的一块重要内容是图形的平移、轴对称、旋转和图形的相似等，它们是研究几何问题、发现几何结论的有效工具。平移、轴对称和旋转研究的都是一个图形经过某种运动与另一个图形重合时，图形所具有的性质。这部分内容的学习使学生对图形之间的关系的认识从静态上升到动态，从而开辟了一个研究图形问题的新角度。 在本章，平移是作为平行线的一个应用引入的，平移是图形整体沿某一直线方向移动一定的距离。本节课主要是针对水平方向的平移展开讨论。在观察、动手操作等活动的基础上，从数量和位置两个角度研究平移前后图形的变化，从而归纳得出平移的基本性质和基本概念，并说明平移的基本性质对于其他方向的平移也是适用的。平移是初中阶段学习的第一个图形运动变化的内容。对于平移的学习，在研究方法上，也为今后研究轴对称、旋转等提供了参照。 因此，可以确定本节课的教学重点：平移的基本性质及其归纳过程。 二、目标和目标解析
1.目标 （1）经历画图、观察、测量的探究过程，归纳平移的基本性质。（2）认识平移，理解平移的基本性质。 2.目标解析 达成目标（1）的标志是：学生在平移前后的两个图形中，能够选择对应点，连接线段，通过观察、测量发现结论，从而归纳出平移的基本性质。 达成目标（2）的标志是：学生知道平移后图形的形状和大小都不变，能找到图形平移前后的对应点、对应线段，知道连接各组对应点所得线段平行（或在同一条直线上）且相等；能够运用性质作出简单平面图形平移后的图形。 三、教学问题诊断分析 虽然通过在小学的学习，学生对平移已有一定的认识，能够在方格纸上认识图形的平移，能在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移，并能从平移的角度欣赏生活中的图案。但是，对于平移的基本性质的探讨，需要在具体图形中，通过研究对应点的关系进行归纳。对于这一点，学生没有可借鉴的相关的学习经验。所以，需要在教师引导下找到归纳性质的线索，并逐步构建起探究的思路。这需要较强的思维能力，需要教师在长期的教学过程中不断地进行引导和渗透，学生不断感悟、领会，才能逐步养成。 所以，本节课的教学难点是：构建探究平移基本性质的思路。 四、教学过程设计
定比、定比分点公式讲解学习
定比、定比分点公式
8.1（3）定比、定比分点公式 一、教学内容分析 本节是8.1的第三节课，是学习向量坐标表示及运算、向量的模与平行之后的又一个新的知识点.它既是对前两节内容复习与巩固，又是对向量知识的进一步深化与拓展，如式子 12PP PP λ=u u u r u u u r 中的λ由实数推广到定比.同时，经历定比分点公式的推导过程，让学生领悟定比分点的多元化表示方法. 本节的教学重点是定比分点公式的形成、深化、拓展与应用.难点是定比λ的理解、确定及定比分点公式中分点、始点、终点坐标位置的识别. 根据本节特点，教师采取启发、提问为主的教学方法；学生则进行自主学习.即课前进行主动预习，课中进行讨论与交流，课后进行探索研究. 二、教学目标设计 1理解定比的概念，掌握定比分点公式； 2通过定比分点公式的推导过程，巩固向量的运算方法； 感悟定比分点的几种表达方式； 3通过本节的学习，提升发现能力、推理能力，渗透数形结 合思想. 三、教学重点及难点 定比的概念，定比分点公式的推导和应用. 四、教学流程设计
五、教学过程设计 一、 情景引入 观察思考，引入新课 问题1：设)1,2(A ，)1,2(--B ，)2,4(C 三点共线，可知BA u u u r ∥AC u u u r ，即存在实数λ，使BA u u u r = λAC u u u r ，那么实数λ= . 而若 BC CA λ=u u u r u u u r ，则λ= . [说明]（1）本问题由共线三点坐标求实数λ，它既是对前一节向量平行的复习与巩固，同时又为定比λ的产生作好铺垫（2）通过本题可以看出使两向量平行的实数λ的取值可正可负. 问题2：设1P （1，1），2P (4,4), λ=1.当12PP PP λ=u u u r u u u r 时，你能求出点 P 的坐标吗？（引出课题） [说明]问题2是由共线三点中的两点坐标和定比λ的值求第三点坐标，本题给出的点具有一定的特殊性，这样便于学生利用数形结合思想猜出结果，尝试成功的快乐. 二、学习新课
线段的定比分点与平移
线段的定比分点与平移 RUSER redacted on the night of December 17,2020
线段的定比分点与平移 高三备课组 一、基础知识 1、线段的定比分点 （1）定义 设P 1,P 2是直线L 上的两点，点P 是L 上不同于P 1,P 2的任意一点，则存在一个实数λ，使21pp p λ=，λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比。 当点P 在线段21P P 上时，0>λ；当点P 在线段21P P 或21P P 的延长线上时， λ<0 （2）定比分点的向量表达式： 点P 分有向线段21P P 所成的比是λ，则 21 111OP OP OP λ λ λ+++=（O 为平面内任意点） （3）定比分点的坐标形式 ?? ???++=++=λλλλ1121 21y y y x x x ,其中P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2), P (x,y) （4）中点坐标公式 当λ=1时，分点P 为线段21P P 的中点，即有?? ???+=+=2221 21y y y x x x （5）ABC ?的重心坐标公式：?? ???++= ++=33C B A C B A y y y y x x x x 2、平移 （1）图形平移的定义 设F 是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同一方向移动同样长度，得到图形F ’，我们把这一过程叫做图形的平移。 （2）平移公式 设P(x,y)是图形F 上任意一点，它在平移后图形上的对应点P ’(x ’,y ’’)， 且' PP 的坐标为(h,k)，则有? ??+=+=k y y h x x ''，这个公式叫做点的平移公式，它 反映了图形中的每一点在平移后的新坐标与原坐标间的关系。 二、题型剖析 [定比分点坐标公式]
第二十五讲线段的定比分点及平移
名师作业?练全能 第二十五讲线段的定比分点及平移 班级_______ 姓名__________ 考号 _________ 日期_________ 得分__________ 括号内?) 1.将直线/：2r+3)，—1=0,沿向呈：d=( — 1, 一2)平移后得到直线厂,则直线/'的方程是() A. 2x+3y—7=0 B.2x+3y—5=0 C. 2r+3y-3=0 D.2r+3y+7=0 答案:D 2.(2019?福建四地六校联考)将函数y=sin(x-6)的图象F向右平移扌个单位长度得到图象F f ,若尸的一条对称轴是直线则&的一个可能取值是() 5 A."p7T 解析：由y=sin(x-&)向右平移扌得到y=sin(x—号一町，且关于对称，.?.sin(￥_￡_0)= ±l, 即扌一扌一&=*兀+号伙WZ), 0=—力兀一寻(kWZ), 当k=T时，即&=爷. 答案:A 3 ?已知点P(4,-9)与0(-23)，则直线PQ与y轴的交点分有向线段PQ所成的比为() 解析：直线P0与y轴交点的横坐标为0,设分有向线段PQ的比为几 答案:C C. 11 ° _4+(— 2)2 °= 1+/. ,解得 2=2. D. C. 2 D.3
解析:VF(-X )=A-X )+A V ) = F(X ), A ^R, :.F(x)是偶函数. 0)平移，即向右平移兀个单位长度得新函数G(.v),得G(x)的单调递减区间为 答案：D 将y=2cos(f+^)的图象按向量心(一* 一2)平移，则平移后所得图象的解析式为 y=2cos(^+g+令)-2=2cosg+￥)-2,选 A. 答案：A 6. 把函数y=cos x —y/3sin x 的图象沿向量”=(一 加, 图象关于y 轴对称，则加的最小值是() A 兀 A ?6 c 2n _ 5兀 C T D 石 解析：设由平移公式L y=cos x -羽 sin x=2cos(x+另得 y f —加= 2cos(f +〃？+彳), 即 =2cos(x' +/”+￡)+“?， 一兀，一刽是函数弘)的单调递 增区间，将F(x)的图象按向量0=5, 0)平移得到一个新的函数G(x)的图象，则G(x)的单调 递减区间必泄是() A.[-》°] 「 3TT 1 C￡TT , v 4. (2019-黄冈髙三调研)设 xGR. B [歩兀 D.[￥，2TT ] F(x)在一兀，一号上单调递增,AF(x)在号 71 ? 71 上是城函数，F(x)的图象按向量a=(7t, C. B ?y=2cos (专—鋪+2 y=2cos￡ ￡)_2 D.y=2cos^+yyj+2 解析:V<7 = (——2), ???平移后的解析式为 5. M )(/n>0)的方向平移后，所得的 =x f +m t , 代入 =y ~m. A.
线段的定比分点
线段的定比分点 年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____ 一、选择题(共12题，题分合计60分) 1.已知点A分有向线段的比为2，则在下列结论中错误的是 A.点C分的比是-3 1 B.点C分的比是-3 C.点C分的比是- 3 2 D.点 A分的比是2 2.已知两点P １（－１，－６）、P２（３，０），点P（－ 3 7 ，ｙ）分有向线段2 1 P P所成的比为λ，则λ、y的值为A.－4 1 B.4 1 C.－4 1 D.４，8 1 3.点A(m,n)关于点B(a,b)对称点的坐标 A.(-m,-n) B.(a-m,b-n) C.(a-2m ,b-2n) D.(2a-m,2b-m)
4.已知P １（４，-３），P ２（－２，６）且｜P 1｜＝２｜2PP ｜，点P 在线段P １P ２上，则P 点坐标为 A.(0，3) B .(3，0) C.(3，3) D.(1，3) 5.若点P 分所成的比为43 ,则A 分所成的比是 A.73 B.37 C.-37 D.-73 6.向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是 A.a =b B .a -b =0 C.a 2-ｂ２ ＝０ D.a +λb =0(λ∈Ｒ) 7.已知||=10,|AC |=7，则|BC | A.(３，１７) B.（３，１７） C.(３，１０) D.（３，１０） 8.已知=(2,8),=(-7,2),则31 等于 A.(3，2) B .(310 ,35- -) C.(-3,-2) D.(35-,4) 9.已知点A (x ,5)关于点C (1，y )的对称点是B (-2,-3)，则点P (x ,y )到原点的距离为 A.4 B.13 C.15 D.17 10.△ABC 的两个顶点A (3，7)和B (-2，5)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则顶点C 的坐标是 A.(2，-7) B .(-7，2) C.(-3，-5) D.(-5，-3) 11.已知P 点分有向线段所成的比为31 ，则点B 分有向线段所成的比为 A.4 3 B .3 4 C.-3 4 D.-43 12.点P 在线段 21P P 1=2=，则点P 分21P P 所成的比为 A.2 B.31 C.32- D.23 - 二、填空题(共11题，题分合计44分)
最新高考第一轮复习数学53两点间距离公式线段的定比分点与图形的平移汇总
2006年高考第一轮复习数学53两点间距离公式线段的定比分点与图形的平移
5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移 ●知识梳理 1.设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则?Skip Record If...?=（x2－x1，y2－y1）. ∴|?Skip Record If...?|=?Skip Record If...?. 2.线段的定比分点是研究共线的三点P1，P，P2坐标间的关系.应注意：（1）点P是不同于P1，P2的直线P1P2上的点；（2）实数λ是P分有向线段?Skip Record If...?所成的比，即P1→P，P→P2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式?Skip Record If...?（λ≠－1）. 3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，?Skip Record If...? 特别提示 1.定比分点的定义：点P为?Skip Record If...?所成的比为λ，用数学符号表达即为?Skip Record If...?=λ?Skip Record If...?.当λ＞0时，P为内分点；λ＜0时，P为外分点. 2.定比分点的向量表达式： P点分?Skip Record If...?成的比为λ，则?Skip Record If...?=?Skip Record If...??Skip Record If...?+?Skip Record If...??Skip Record If...?（O为平面内任一点）. 3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题. ●点击双基 1.（2004年东北三校联考题）若将函数y=f（x）的图象按向量a平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为 A.y=f（x+1）－2 B.y=f（x－1）－2 C.y=f（x－1）+2 D.y=f（x+1）+2 解析：由平移公式得a=（1，2），则平移后的图象的解析式为y=f（x－1）+2. 答案：C 2.（2004年湖北八校第二次联考）将抛物线y2=4x沿向量a平移得到抛物线y2－4y=4x，则向量a为 A.（－1，2） B.（1，－2） C.（－4，2） D.（4，－2） 解析：设a=（h，k），由平移公式得 ?Skip Record If...? 代入y2=4x得 （?Skip Record If...?－k）2=4（?Skip Record If...?－h），?Skip Record If...?2－2k?Skip Record If...?=4?Skip Record If...?－4h－k2， 即y2－2ky=4x－4h－k2， ∴k=2，h=－1. ∴a=（－1，2）. 答案：A 思考讨论
线段的定比分点
课题：线段的定比分点． 目的：掌握有向线段的定比分点和线段的中点公式，并能简单应用． 重点、难点：线段的定比分点． 过程： 一、复习引入 前面我们学习了有向直线，有向线段，有向线段的长度，有向线段的数量等许多概念和符号．今天我们想在此基础上跟大家讨论线段的定比分点． 二、新授 1．定义：有向直线l 上的一点P ，把l 上的有向线段21P P 分成两条有向线段P P 1和2PP ．P P 1和2PP 数量的比叫做点P 分21P P 所成的比，通常用字母λ来表示这个比值，2 1PP P P = λ，点P 叫做21P P 的定比分点． 2．说明： （1）21P P 是在过两点1P 、2P 的一条有向直线上的有向线段，1P 是起点，2P 是终点； （2）P P 1是以1P 为起点，P 为终点；2PP 是以P 为起点，2P 为终点．顺序不能颠倒，否则λ的值就会随之改变；（为了联系紧密，P 为分点，∴2 1PP P P =λ中，P P →1，2P P →，就是起点→分点，分点→终点．） （3）21PP P P 不是线段的长度之比，而是有向线段的数量之比，这个比与过21P P 的有向直线无关； （4）在2 1PP P P 中，分子是由线段的起点1P 到分点P 的有向线段P P 1的数量，分母是由分点P 到终点2P 的有向线段2PP 的数量． 请思考，点P 分21P P 所成的比和点P 分12P P 所成的比有何关系． 3．练习：如图，求点B 分AC ，点B 分CA ，点C 分AB ，点C 分BA ，点A
分BC ，点A 分CB 所成的比．（23，32，25-，52-，53-，3 5-） 由此回答：（1）P 分21P P 的比与P 分12P P 的比互为倒数；（2）λ的符号与点P 的位置有关． 4．小结：若点P 在线段21P P 上，点P 叫做21P P 的内分点，此时0>λ；若点P 在线段12P P 或21P P 的延长线上，点P 叫做21P P 的外分点，此时0<λ． 三、解几的基础是坐标系、点的坐标，那么我们怎样求定比分点的坐标呢？ 问题：设21P P 的两个端点分别为),(111y x P 和),(222y x P ，点P 分21P P 所成的比为λ（1-≠λ），求分点P 的坐标),(y x ． 分析：过点1P 、2P 、P 分别作x 轴的垂线11M P 、22M P 、PM ，则垂足分别是)0,(11x M 、)0,(22x M 、)0,(x M ．根据平行线分线段成比例定理，得 2121MM M M PP P P =． 如果点P 在线段21P P 上，那么点M 也在线段21M M 上；如果点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上，那么点M 也在线段21M M 或12M M 的延长线上．因此2 1PP P P 与21MM M M 的符号相同，所以21PP P P =21MM M M ． ∵11x x M M -=，x x MM -=22，∴x x x x --=21λ， 即21)1(x x x λλ+=+，当1-≠λ时，得λ λ++= 121x x x ． 同理可以求得y y y y --=21λ，λλ++=121y y y ． 因此，当已知两个端点为),(111y x P 、),(222y x P ，点),(y x P 分21P P 所成的比为λ时，点P 的坐标是
