圆锥曲线03圆锥曲线综合1(B级)文科.学生版
中点弦问题
1．1 点差法
对于椭圆22
221x y a b +=，设弦的两端点以及中点的坐标分别为
()11,A x y 、()22,B x y 、()00,M x y ，那么
22
1122
22
222
211x y a b x y a b ?+=????+=?? 两式相减，得
2222
121222
0x x y y a b --+= ()()()()
121212122
2
0x x x x y y y y a
b
+-+-+
=
（注意，这里连结221
22x x a -与22
122
y y b -是减号）
当12x x ≠时，两边同除12x
x -，得
0012
2212
220x
y y y a b x x -+?=- 于是我们得到弦的中点坐标与弦所在直线的斜率AB k 的关系式：
知识内容
高考要求
圆锥曲线综合1
00
22220AB x y k a b
+?= 特别的，当00x ≠时，我们经常使用以下结论：
2
020AB y b k x a
?=- 在这里00OM
y k x =，于是上式也即2
2OM AB b k k a
?=-． 需要注意的是：
当AB 与y 轴平行（没有斜率）时，120x x -=，此时012x x x ==，00y =； 当AB 与x 轴平行（斜率为0）时，120x x +=，此时00x =，012y y y ==． 类似的，对于双曲线22
221x y a b
-=，有
2
020AB y b k x a
?=； 对于抛物线22y px =，有
0AB y k p =；
对于抛物线22x py =，有
0AB x pk =．
1．2 中点弦问题中的直线与圆锥曲线的位置关系
在实际应用中，由于关系式2
020AB y b k x a
?=-不依赖于弦AB 端点的具体坐标，所以需要事先确定直线与
圆锥曲线有两个不同的交点（这与利用弦心距和半径求圆的弦长时，需要首先保证弦的存在性类似）．下面我们来研究如何利用中点弦问题得到直线与圆锥曲线有两个不同交点的充要条件．
设直线:l 0Ax By C ++=，将其与椭圆方程22
221x y a b
+=联立得，
()()2
22222222220a
A b
B x a ACx a
C b B +++-=
其判别式()222222224a b B a A b B C =+-△
于是直线与圆锥曲线有两个不同交点等价于22222a A b B C +-0>．
另一方面，若此时我们将l 与椭圆联立，可以得到“中点”()00,M x y 满足的式子：
2
02
00
00
y A b x B a Ax By C ????-=-? ???
??++=? 解得202222a A x C a A b B =-?+，202222
b B
y C a A b B =-?+
于是
22002
2x y a b +()()
22222
22222222222a A b B C C a A b B a A b B =+++ 2
22
22
C a A b B =+ 因此利用中点弦问题的解法求出的点()00,M x y 在椭圆内部是该直线与与圆锥曲线有两个不同交点的充要条件．
类似的，我们可以得到，M 在椭圆上与直线与圆锥曲线相切等价；M 在椭圆外与直线与圆锥曲线相离等价．
定点弦问题
2．1 直线参数方程的引入与推广 2．1．1 直线参数方程的引入
在这一小节，我们将暂时抛弃斜率、倾斜角、截距等概念，利用纯粹的向量引入平面直角坐标系下的直线，并将这一做法推广至空间．
平面上的直线l 可以由直线l 上的一点()00,P x y 与表征该直线l 方向的方向向量(),p q =n （其中0≠n ）确定．容易知道，平面上一点(),M x y 在直线l 上的充分必要条件就是向量PM
与n 平行（共线）
，也即
PM t =?n
（其中t 为实数）
根据平面向量的坐标运算法则，我们有
()()0
0,,x x y y tp tq --=
整理有
00x x t p
y y t q =+???
=+?? 这就是平面上直线的参数方程，其中参数PA
t =n
．
为了方便应用，我们经常取单位方向向量()cos ,sin αα=n ，其中α为直线的倾斜角．这样做的好处在于此时PA t =
，也就是说参数t 有鲜明的几何意义（参数t 所对应的点M 到定点()00,x y 的距离为t ），
缺点在于不方便使用和运算．
在实际解题中，我们对直线方向的信息往往来自于直线的斜率k ，于是我们也经常取直线的方向向量为()1,k =n ，此时参数t 所对应的点T 到定点()00,x y
的距离为t t ?n ，并且可以很方便的进行与圆锥曲线的联立．
2．1．2 直线参数方程的推广
平面上的直线方程还可以通过直线l 上的一点()00,P x y 和直线的法向量(),A B =n 引入．容易知道，平面上一点(),M x y 在直线l 上的充分必要条件就是向量PM
与n 垂直，也即
0PM ?=n
根据平面向量的坐标运算法则，我们有
()()000A x x B y y -+-=
整理有
()000Ax By Ax By ++--=
记00Ax By C --=，那么就得到直线的一般形式0Ax By C ++=．利用这一引入过程，我们可以很方便
的推导出平面上点(),K s t 到直线:l 0Ax By C ++=的距离公式．事实上，(),d K l KP ?=n n （向量KP
在
向量n 方向上的投影长度）
而(),A B =n ，
()00,KP x s y t =-- ，代入得 ()
,d K l =
=
与利用方向向量推导平面上的直线方程类似，我们可以方便的推出空间直线的方程
000
x x y y z z a b c
---==
其中(),,a b c 为空间直线的方向向量，()000,,x y z 为该直线上的一点． 与利用法向量推导平面上的直线方程类似，我们可以方便的推出空间平面的方程
0Ax By Cz D +++=
其中(),,A B C 为空间平面的法向量，()000D Ax By Cz =-++，()000,,x y z 为该空间平面上的一点．
而平面上点到直线的距离公式也可以类似的推广到空间上点到平面的距离公式
(),d K α=
其中点K 坐标为(),,K u v w ，平面方程为:α0Ax By Cz D +++=．
2．2 利用直线参数方程解定点弦问题
直线的参数方程为我们解决通过某定点的直线与圆锥曲线相交时出现的弦长或定比问题提供了解题途径．尤其是当这类问题不方便转化为x 、y 中的任何一个方向上研究时（当定点的横纵坐标均不为0时），利用直线的参数方程与圆锥曲线方程联立往往可以起到大大简化运算的效果．
下面我们通过对第二节中的焦点弦长公式的推导展示这种联立过程．
对于通过定点（椭圆22
22:1x y E a b
+=的左焦点）()1,0F c -、倾斜角为α的直线，我们写出直线的参数
方程
将该方程代入椭圆方程可得
()()2
2
2222cos sin 0b t c a t a b αα-+-=
整理得
()2
22224sin 2cos 0b
c t b c t b αα+-?-=
于是焦点弦长
A B AB t t =-
=
2
2
22
2sin ab b c α
=+ 在实际应用中，一定要特别注意参数的正负（这取决于参数对应的点与定点的位置关系）．另外，应该在重视熟练应用韦达定理化简问题的同时，掌握应用求根公式对问题进行化简的方法．
顶点弦问题
顶点弦问题的提出来源于圆锥曲线（除抛物线外）的一个重要性质：
圆锥曲线E 上的点P 与圆锥曲线的一对顶点A 、B （对于圆，取直径的两端点）的连线斜率的乘积PA PB k k ?为定值．
对于椭圆22
22:1x y E a b
+=，取其左右顶点(),0A a -，(),0B a ，那么对于(),P x y
2
2
2
PA PB
y y y k k x a x a x a
?=?=+-- 将椭圆方程变形，有
()222
2
2
2221x b y b a x a a
??=-=- ???
代入上式，有
2
2PA PB
b k k a
?=-．
类似的，我们可以得到对于双曲线2222:1x y E a b -=，有2
2PA PB b k k a
?=；
对于圆222:E x y r +=，有1PA PB k k ?=-．
()()22122112
22122122m m m m m m +-+=
-
题型一：中点弦问题
【例1】 （2010课标全国卷高考）已知双曲线E 的中心为原点，(30)F ，是E 的焦点，过F 的直线l 与E
相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(1215)N --，，则E 的方程为（ ） A ．22
136
x y -=
B ．22
145
x y -=
C ．22
163
x y -=
D ．22
154
x y -=
【例2】 （西城·文·题18）已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>
椭圆C 上任意一点到椭圆两
个焦点的距离之和为6． ⑴ 求椭圆C 的方程；
⑵ 设直线:2l y kx =-与椭圆C 交与,A B 两点，点()0,1P ，且||||PA PB =，求直线l 的方程．
【例3】 （2010天津高考）已知椭圆22221(0x y a b a b
+=>>）
的离心率e =，连接椭圆的四个顶点得到的
菱形的面积为4． ⑴ 求椭圆的方程；
⑵ 设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为(0)a -，，
点0(0)Q y ，在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB ?=
，求0y 的值．
例题精讲
【例4】 （2010安徽）已知椭圆E 经过点()23A ，，对称轴为坐标轴，焦点1F ，2F 在x 轴上，离心率1
e 2
=
． ⑴求椭圆E 的方程；
⑵求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；
⑶在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在．请找出；若不存在，说明理由．
题型二：定点弦问题
【例5】 已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点(1,0)F ，1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，过点(4,0)
M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于A ，B 两点． ⑴写出抛物线2C 的标准方程； ⑵若12
AM MB =
，求直线l 的方程；
⑶若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公共点，求椭圆1C 的长轴长的最小值．
【例6】 如图，P 是抛物线C ：2
12
y x =
上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q ． ⑴若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； ⑵若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求
ST ST SP
SQ
+
的取值范围．
题型三：顶点弦问题
【例7】 已知点P 在双曲线222x y a -=（0a >）的右支上（P 与2A 不重合），12A A ，分别为双曲线的左、
右顶点，且21122A PA PA A ∠=∠，则12PA A ∠=（ ） A ．30? B ．27.5? C ．25? D ．22.5?
【例8】 （东城·文·题19）已知椭圆22
22:
1(0)x y
C a b a b
+=>>的短轴长为2，且与抛物线2y =有共同的焦点，椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点P 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AP ，BP 与直线3y =分别交于,G H 两点． ⑴ 求椭圆C 的方程；
⑵ 求线段GH 的长度的最小值；
⑶ 在线段GH 的长度取得最小值时，椭圆C 上是否存在一点T ，使得TPA △的面积为1，若存在求出点T 的坐标，若不存在，说明理由．
【例9】 （西城·题19）如图，椭圆2
2
:14
y C x +=短轴的左右两个端点分别为,A B ，直线:1l y kx =+与x
轴、y 轴分别交于两点,E F ，与椭圆交于两点,C D ．
⑴ 若CE FD =
，求直线l 的方程；
⑵ 设直线,AD CB 的斜率分别为12,k k ，若12:2:1k k =，求k 的值．
【例10】 （2010年江苏理科18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
195
x y +=的左、
右顶点为A 、B ，右焦点为F ．设过点(),T t m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点()11,M x y 、()22,N x y ，其中0m >，10y >，20y <．
⑴ 设动点P 满足224PF PB -=，求点P 的轨迹； ⑵ 设12x =，21
3
x =
，求点T 的坐标； ⑶ 设9t =，求证：直线MN 必过x 轴的一定点（其坐标与m 无关）．
【例11】（2010北京）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A()
1,1
-关于原点O对称，P是动点，且直
线AP与BP的斜率之积等于
1
3 -．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线3
x=交于点M，N，问：是否存在点P使得PAB
△与PMN
△
的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
高考数学的圆锥曲线题型变化多端，主要有几类题型，我们本讲主要说：
（1）中点弦问题
在韦达定理横行于圆锥曲线的解答题中，我们其实还有一种非常优秀的方法---点差法。对于什么样的中点弦，我们会使用点差法，而点差法中我们需要注意的问题，比如斜率本身的限制等，我们需要特殊关注 （2）定点弦问题
弦上定比分点，或者定点分比问题，是我们常见的问题。我们的目标就是避过复杂的运算方法，转化成横坐标或者纵坐标之间的比例，利用韦达定理处理的更加轻松。 （3）顶点弦问题
顶点似乎在圆锥曲线并不是那么实际的几何意义，其实并非如此，关于顶点很多问题都是在解析几何中需要讨论出来的，让我更加清晰的认识到顶点的重要．
课堂总结
【习题1】 已知抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ，则AB 等于（ ）
A ． 3
B ．4 C
． D
．
【习题2】 （2009年海南宁夏高考）设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为(10)F ，，直线l 与抛物线
C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为(22)，
，则直线l 的方程为_____________．
【习题3】 设11()A x y ，，22()B x y ，
两点在抛物线22y x =上，l 是AB 的垂直平分线．当直线l 的斜率为2时，l 在y 轴上截距的取值范围为_________．
【习题4】 已知椭圆C ：22143
x y +=，试确定m 的取值范围，使得对于直线l ：4y x m =+，椭圆C 上有
不同的两点关于这条直线对称．
【习题5】 椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y
轴上，离心率e =
，椭圆上的点到焦点的最短距离为1e -，直线l 与y 轴交于P 点()0m ，
，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP PB λ=
⑴求椭圆方程；⑵若4,OA OB OP m λ+=
求的取值范围．
课后检测
【习题6】 （2006年东城一模）设A B ，分别是直线y x =
和y =上的两个动点，并且
AB = P 满足OP OA OB =+
．记动点P 的轨迹为C ，
⑴求轨迹C 的方程；
⑵若点D 的坐标为(016)，，M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM DN λ=
，求实数λ的取值范
围．
【习题7】 （2010年朝阳二模）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为
1
2
，且经过点31,2M ??
???
．过点()2,1P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ． ⑴ 求椭圆C 的方程；
⑵ 是否存在直线l ，满足2
PA PB PM ?= ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
【习题8】 （2010年崇文二模）已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>短轴
的一个端点(0,D ，离心率
1
e 2
=
．过D 作直线l 与椭圆交于另一点M ，与x 轴交于点A （不同于原点O ），点M 关于x 轴的对称点为N ，直线DN 交x 轴于点B ． ⑴求椭圆的方程；
i. 求OA OB ?
的值．
【习题9】 （2009年福建高考）已知直线220x y -+=经过椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左顶点A 和上
顶点D ．椭圆C 的右顶点为B ．点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线10
:3
l x =
分别交于M N ，两点． ⑴求椭圆C 的方程；
⑵求线段MN 的长度的最小值．
⑶当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TSB ?的面积为1
5
？若存在，
确定点T 的个数；若不存在，说明理由．
【习题10】 （2010年东城二模）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1
2
，以原点为圆心，椭圆
的短半轴为半径的圆与直线0x y -+相切． ⑴ 求椭圆C 的方程；
⑵ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；
⑶在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?
的取值范围．
圆锥曲线学生版 苏教版
圆锥曲线（学生版） 一、填空题 1、已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率的值 为 ▲ 2、等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2 = 4x 的准线交于A 、B 两点， AB =3，则C 的实轴长为 ▲ . 3、已知1F 、2F 分别是椭圆14 82 2=+y x 的左、右焦点, 点P 是椭圆上的任意一点, 则 121 || PF PF PF -的取值范围是 ▲ ． 4、已知双曲线22221y x a b -=的一个焦点与圆x 2+y 2－10x =0的圆心重合，且双曲线的离心率等5，则该双曲线的标准方程为 ▲ ． 5、已知双曲线)0,0(12 22 2>>=-b a b y a x 的右焦点为,F 若以F 为圆心的圆 05622=+-+x y x 与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为 ▲ . 6、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22 22:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左顶点为A ，过双曲 线E 的右焦点F 作与实轴垂直的直线交双曲线E 于B ，C 两点，若ABC ?为直角三角形，则双曲线E 的离心率为 ． 7、设双曲线22 145 x y -=的左、 右焦点分别为1F ,2F ,点P 为双曲线上位于第一象限内一点，且12PF F 的面积为6，则点P 的坐标为 8、如图，过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线L 交抛物线于点A 、B ， 交其准线于点C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为 。 9、已知圆C 的圆心为抛物线x y 42 -=的焦点,又直线4360x y --=与圆C 相切，则圆C 的标准方程为 ▲ ． 10、圆心在抛物线22x y =上,并且和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为 ▲ ．
文科圆锥曲线测试题
圆锥曲线单元复习题 一、选择题：在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、F1、F1是定点，1F26，动点M满足126，则点M的轨迹是（） A 椭圆 B 直线 C 线段 D 圆 2、已知M（－2，0），N（2，0），－4，则动点P的轨迹是：（） A、双曲线 B、双曲线左支 C、一条射线 D、双曲线右支 3、已知抛物线C：y2=4x的焦点F，1与x轴的交点K，点A在C 上且，则△的面积为（） A 8 B 4 C 2 D 1 4、抛物线2上到直线2x—4距离最近的点的坐标是（） A B (1，1) C D (2， 4) 5、设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则（ A．B．C．D． 6.已知椭圆的焦点，为椭圆上一点，且 ,则椭圆的方程为（）
A. B. C. D. 7．过椭圆1（0 是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（） A. B. C. D. 12.θ是任意实数，则方程x22＝４的曲线不可能是（） Ａ.椭圆Ｂ.双曲线Ｃ.抛物线 Ｄ.圆 13、（） 15、某圆锥曲线C是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点，则（） A.曲线C可为椭圆也可为双曲线 B.曲线C一定是双曲线有 C.曲线C一定是椭圆 D.这样的曲线C不存在 16、设椭圆和双曲线的公共焦点为，是两曲线的一个公共点，则的值等于（） A. B. C. D. 17、表示 的曲线方程是（） A.焦点在x轴上的双曲线 B.焦点在x轴上的椭圆 C.焦点在y轴上的双曲线 D.焦点在y轴上的椭圆. 18、. 12的 值（） A.一定是正数 B.一定是零 C.一定是负数 D.以上答案均不对 19、设动点P在直线1上，O为坐标原点，以为直角边、点O 高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义 一、基础知识【理解去记】 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0 文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ?是底角为30的等腰三 角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为0 30的等腰三角形， ∴322c a = ，∴e =3 4 ， ∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以2 2 2 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点 P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= 试题解析：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2 213x y +=.所以3a =，1b =，2c =.所以椭圆C 的 离心率6 3 c e a = = . （Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -. 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--.令3x =，得1(3,2)M y -. 所以直线BM 的斜率11 2131 BM y y k -+= =-. 17.（2015年安徽文）设椭圆E 的方程为22 221(0),x y a b a b +=>>点O 为坐标原点，点A 的坐标 为(,0)a ,点B 的坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 的斜率为510 。 （1）求E 的离心率e; (2)设点C 的坐标为（0，-b ）,N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB 。 ∴a b 3 231＝5525451511052 222222=?=?=-?=?e a c a c a a b （Ⅱ）由题意可知N 点的坐标为（2,2b a -）∴a b a b a a b b K MN 56 65232213 1==-+= a b K AB -= ∴1522-=-=?a b K K AB MN ∴MN ⊥AB 18.（2015年福建文）已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线 :340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于 4 5 ，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ A ） A ． 3(0, ]2 B ．3(0,]4 C ．3[,1)2 D ．3[,1)4 1 19.（2015年新课标2文）已知双曲线过点() 4,3,且渐近线方程为1 2 y x =±,则该双曲线的标 准方程为 ．2 214 x y -= 20.（2015年陕西文）已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ B ） A ．(1,0)- B ．(1,0) C ．(0,1)- D ．(0,1) 【解析】试题分析：由抛物线22(0)y px p =>得准线2 p x =- ，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =， 所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 考点：抛物线方程. 21.（2015年陕西文科）如图，椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -，且离心率为22. (I)求椭圆E 的方程；2 212 x y += 圆锥曲线标准方程求法 一、椭圆标准方程求法 1、定义法 【例1】已知ABC ?的周长是18，)0,4(),0,4(B A -，求点C 的轨迹方程。 【变式】：在周长为定值的△ABC 中,已知|AB|=6,且当顶点C 位于定点P 时,cosC 有最小值为25 7.建立适当的坐标系,求顶点C 的轨迹方程. 【例2】已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为()0,1，点??? ? ??26,23M 在椭圆上，求椭圆C 的方程； 【例3】已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0)F ．动圆M 过点F 2，且与圆F 1相内切．求点M 的轨迹C 的方程. 【例4】设R y x ,,,∈为直角坐标系内y x ,轴正方向的单位向量， ,)2(j y i x a ++=j y i x b )2(-+=，且8||||=+．求点),(y x M 的轨迹C 的方程； 2、待定系数法 1.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为 2 ，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，椭圆G 的方程． 2．已知椭圆1C ：22 221(0)y x a b a b +=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1．求椭圆1C 的方程． 3.已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．求椭圆C 的方程． 4.设椭圆:E 22 221x y a b +=（,0a b >>）过2)M ，(6,1)N 两点，O 为坐标原点，求椭圆E 的方程。 3、转化已知条件 【例1】已知点,A B 的坐标分别是(0,1)-,(0,1),直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为12- .求点M 轨迹C 的方程; 【例2】设Q 、G 分别为ABC ?的外心和重心,已知)0,1(-A ,)0,1(B ,AB QG //?求点C 的轨迹E 【例3】已知动点P 到直线33 4- =x 的距离是到定点(0,3-)的距离的332倍.求动点P 的轨迹方程; 专题五 第二讲离心率专题 卡 两 勖心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点，对于求 圆锥曲线离心率的问题，通常有 一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围， 属于中低 档次的题型，对大多数学生来说是没什么难度的。 一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心 率，只需要由条件得到一个关于基本量 a 与 b 或a 与 c 的其次式，从而根据e - . 1 2 a \ a （这是椭圆）e - . 1 b 2 （这是双曲线），就可以从中求出离心率. 但如果选择方法不 a ■ a 恰当，则极可能“小题”大作，误入歧途。许多学生认为用一些所谓的“高级”结论可以 使结果马上水落石出，一针见血，其实不然，对于这类题，用最淳朴的定义来解题是最好 的，此时无招胜有招！ 一、求椭圆与双曲线离心率的值： （一）、用定义求离心率问题： 例1、（05全国川）设椭圆的两个焦点分别为 F i 、 F 2,过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P, 若F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A. 2 B. C. 2 - 2 D. . 2-1 2 2 点C ,则该椭圆的离心率 e ___________ 2、已知正方形 ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过 C 、D 两点的椭圆的离心率为 __________________ 3、已知长方形 ABCD , AB = 4, BC = 3,则以A 、B 为焦点，且过 C 、D 两点的椭圆的离 心率为 。 【强化训练】1.在厶ABC 中，AB BC , cosB 18 .若以A ，B 为焦点的椭圆经过 7 x 2 y 4?已知F 1、F 2是双曲线 飞 亍1(a a b MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上 , A . 4 2.3 B . . 3 1 2 2 5、如图，F 1和F 2分别是双曲线 笃 爲 1(a 0,b 0)的两个焦点, a b A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1为半径的圆与该双曲线左支的两个交 点，且△ F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( ) (A ) 3 ( B ) ■■-- 5 (C ) —— ( D ) 1 , 3 2 (二)、列方程求离心率问题：构造a 、c 的齐次式，解出e 根据题设条件，借助 a 、b 、c 之间的关系，构造 a 、c 的关系(特别是齐二次式)，进而 得到关于e 的一元方程，从而解得离心率 e x 2 y 2 例2、如图，在平面直角坐标系 xoy 中，A ,, A 2, B ,,B 2为椭圆二 2 1(a b 0)的四 a b 个顶点，F 为其右焦点，直线AB ?与直线B 1F 相交于点T ,线段OT 与椭圆的交点M 恰 为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率为 _____________________ . ” 【点评】本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念 ，以及直线与抛物线的位置关系 只有一个公共点，则解方程组有唯一解?本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能 0,b 0)的两焦点，以线段 F 1F 2为边作正三角形 则双曲线的离心率是( 变式：设双曲线 的离心率等于( (A ) .3 b 2 1 (a > 0,b > 0)的渐近线与抛物线 y=x +1相切，则该双曲线 (B ) 2 (C ) 5 6 已知椭圆=1（a>b>0）,点P （ a 5 5 ,）在椭圆上。 （I ）求椭圆的离心率。 （II ）设A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线OQ 的斜率的值。 22.【2012高考安徽文20】（本小题满分13分） 如图，21,F F 分别是椭圆C ：22a x +22 b y =1（0>>b a ）的左、右 焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点， 1F ∠A 2F =60°. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）已知△A B F 1的面积为403，求a, b 的值. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22 221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1) P 在1C 上. （1）求椭圆1C 的方程； （2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：2 4y x =相切，求直线l 的方程. 24.【2102高考北京文19】(本小题共14分) 已知椭圆C ：22x a +2 2y b =1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为2， 直线y=k(x-1)与椭圆C 交与 不同的两点M,N （Ⅰ）求椭圆C 的方程 （Ⅱ）当△AMN 的面积为3 时，求k 的值 如图，椭圆 22 22 :1(0) x y M a b a b +=>>的离心率为 3 ，直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD的面积 为8. (Ⅰ)求椭圆M的标准方程； (Ⅱ) 设直线:() l y x m m =+∈R与椭圆M有两个不同的交点,, P Q l与矩形ABCD有两个不同的交点,S T. 求|| || PQ ST 的最大值及取得最大值时m的值. 26.【2102高考福建文21】（本小题满分12分） 如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。（1）求抛物线E的方程； （2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。证明 以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。 2019北京高三一模数学---圆锥曲线综合文科（教师版） 【2019东城一模——文】（19） 已知3(2,0),(1,)2 A P -为椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：上两点，过点P 且斜率为,(0)k k k ->的两条直线与椭圆M 的交点分别为, B C . （Ⅰ）求椭圆M 的方程及离心率； （Ⅱ）若四边形PABC 为平行四边形，求k 的值． 解：（I ）由题意得22 2,19 1.4a a b =???+=?? 解得2,a b =???=?? 所以椭圆M 的方程为22 143 x y +=. 又1c =， 所以离心率12c e a = =. ………………………..5分 （II ）设直线PB 的方程为(0)y kx m k =+>， 由22,14 3y kx m x y =+???+=??消去y ，整理得222(34)8(412)0k x kmx m +++-=. 当0?>时，设1122(,),(,)B x y C x y ， 则212412134m x k -?=+，即212 41234m x k -=+. 将3(1,)2P 代入y kx m =+，整理得32 m k =-，所以212412334k k x k --=+. 所以2112121292(34)k k y kx m k --+=+=+.所以2222412312129(,)342(34) k k k k B k k ----+++. 同理2222412312129(,)342(34) k k k k C k k +--++++. 所以直线BC 的斜率212112 BC y y k x x -==-. 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、圆： 1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2 (2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2 ,2(E D -- 半径是2 422F E D -+。配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+ 2D )2+(y+2 E )2=4 4F -E D 2 2+ ②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(- 2D ,-2 E ); ③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. （3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内，其中｜MC ｜= 2 020b)-(y a)-(x +。 （4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交?有两个公共点；直线与圆相切?有一个公共点；直线与圆相离?没有公共点。 ②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离2 2 B A C Bb Aa d +++= 与半径r 的大小 关系来判定。 二、圆锥曲线的统一定义： 平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率。当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e ＞1时，轨迹为双曲线。 圆锥曲线 要求层次 重难点 椭圆的定义及标准方程 C ⑴圆锥曲线 ①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． ②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质． ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质． ④了解圆锥曲线的简单应用． ⑤理解数形结合的思想． ⑵曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 椭圆的简单几何性质 C 抛物线的定义及标准方程 C 抛物线的简单几何性质 C 双曲线的定义及标准方程 A 双曲线的简单几何性质 A 直线与圆锥曲线的位置关系 C 曲线与方程的对应关系 B （一） 知识内容 轨迹方程与圆锥曲线的常考题型： ⑴对椭圆、双曲线与抛物线的定义的理解与灵活运用； ⑵对圆锥曲线的几何性质的考查，常常结合直线与圆的相关知识，中点公式、点到直线的距离等解析几何的常用公式； ⑶求曲线的方程或相应的轨迹，根据所给的几何关系或向量关系，要注意某些特殊点能否取到； ⑷圆锥曲线与平面向量、三角函数、不等式等综合考查的题型，一般条件较多，需要根据条件恰当选择所用的方法，并要求较高的计算能力． 直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有： 知识精讲 高考要求 第十一讲 圆锥曲线 ⑴从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础． 要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质． ⑵以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题． 注意利用弦长公式与两根差公式简化计算： 弦长公式： 对于直线MN ：y kx b =+，点()M M M x y ，，()N N N x y ，，22 1 11M N M N MN k x x y y k =+-=+-． 两根差公式： 如果M N x x ，满足一元二次方程：20ax bx c ++=， 则2 22 4()44M N M N M N b c b ac x x x x x x a a a a -??? -=+-=--?== ??? （0?>）． （二）典例分析： 【例1】 ⑴（2009广东11） 已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为 3 2 ，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ． ⑵（2008重庆8） 已知双曲线22 221x y a b -=（00a b >>，）的一条渐近线为y kx =()>0k ，离心率5e k =， 则双曲线方程为（ ） A ．222214x y a a -= B ．222215x y a a -= C ．222214x y b b -= D ．22 2215x y b b -= ⑶（2009山东10） 设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若OAF ?（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ） A ．24y x =± B ．28y x =± C ．24y x = D ．28y x = 【例2】 （2008四川延7） 若点(20)P ，到双曲线22 221x y a b -=的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．22 D ．23 07 圆锥曲线 一、选择题 1．（北京3）“双曲线的方程为22 1916 x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ A ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．（福建12）双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PE 2|，则双曲线离心率的取值范围为（ B ） A.（1，3） B.（1，3） C.（3，+∞） D. [3，+∞] 3．（宁夏2）双曲线22 1102 x y -=的焦距为（ D ） A ．32 B ．42 C ．33 D ．43 4．（湖南10）．双曲线)0,0(12222 >>=-b a b y a x 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( C ) A ．(1,2] B ．[2,)+∞ C ．(1,21]+ D ．[21,)++∞ 5．（江西7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ C ） A ．(0,1) B ．1(0,]2 C ．2(0, )2 D ．2[,1)2 6．（辽宁11）已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 15，则m =（ D ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．（全国Ⅱ11）设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ B ） A ．221+ B ． 231+ C ． 21+ D ．31+ 8．（上海12）设p 是椭圆22 12516 x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ D ） 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程,认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程,理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角,掌握点到直线的距离公式. 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义,并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上,以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性,掌握求这些曲线方程的基本 方法,并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定,确定它们之间的位置关系,并能利用解 析法解决相应的几何问题. 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图,已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2),过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD 与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 , F F是椭圆的右焦点,求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图,已知平行四边形ABCO,O 是坐标原点,点A 在线段MN 上移动,x=4,y=t (33)t -≤≤上移动,点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动,求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=,问椭圆上是否存在相异两点A 、B,关于直线l 对称,请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--,点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上,且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时,求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例 5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点,且在以点D （0,-1）为圆心 的同一圆上,求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R,,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量,若向量 (2)a x i y j → →→=++,且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设OP OA OB → → → =+,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB 是矩形？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由 圆锥曲线方程 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义： ⑴①椭圆的标准方程： i. 中心在原点，焦点在x 轴上： . ii. ii. 中心在原点，焦点在轴上： . ②一般方程：.⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x 轴，轴；长轴长，短轴长.③焦点：或 .④焦距：.⑤准线：或.⑥离心 率：. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和 二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义： 为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+πφ)0(12 22 2φφb a b y a x =+ y ) 0(12 22 2φφb a b x a y =+ )0,0(122φφB A By Ax =+),0)(0,(b a ±±)0,)(,0(b a ±±y a 2b 2)0,)(0,(c c -),0)(,0(c c -2 2 2 1,2b a c c F F -==c a x 2 ± =c a y 2 ± =)10(ππe a c e =),(22 2 2a b c a b d -= ),(2a b c ⑴①双曲线标准方程： . 一般方程： . ⑵①i. 焦点在x 轴上： 顶点： 焦点： 准线方程 渐近线方程： 或 ②轴为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率. ④通径 . ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线 方程 （分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下 焦点） ⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为， 离心率. 三、抛物线方程. 3. 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 的一个端点的一条射线 以无轨迹 方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-φπ)0,(1), 0,(12 22 22 22 2φφb a b x a y b a b y a x =- =- )0(122πAC Cy Ax =+)0,(),0,(a a -)0,(),0,(c c -c a x 2 ± =0=±b y a x 02222=-b y a x y x ,a c e =a b 2 2a c e b a c =+=,22212 22 2=- b y a x 21,F F 222a y x ±=-x y ±=2= e 0φp 专题巧圆锥曲线的综合应用C 押題专练） 2 f f X 2 1已知F i , F 2是椭圆—+ y = 1的左、右焦点，点 P 在椭圆上运动，则PF ? PR 的最大值是（ ） A.— 2 B . 1 C. 2 D . 4 【答案】B f f 【解析】设 P （x , y ），依题意得点 F i （ —73, 0） , F 2（（3, 0） , PF ? PF =（—点—x ）（｛3 — x ） + y 2= x 2 2 3 2 3 2 + y — 3= 4X — 2,因为一2< x <2,所以一2< 4X — 2< 1, A. 3 B . 4 C. 5 D. 15 【答案】D 【解析】在椭圆中，由 a = 5, b = 4,得c = 3,故焦点为（一3, 0）和（3 , 0），点B 是右焦点，记左焦 占 八、、 为 C(~3, 0). 由椭圆的走义得|PS|+|pq=io ; 所以昭|+刊|=10 + |M|-|旳, 因为\\RA\-\PC\\<\AC\^S f 所臥当点巴A f C 三点共纟却土 |?| +阿|取得最大值15. 2 f f 因此PF ? PR 的最大值是 1. 2. 已知椭圆 2 2 x y 25+ 16= 1内有两点A (1 , 3), B (3 , 0) , P 为椭圆上一点, 则| PA +1 PB 的最大值为（ 3.过抛物线y2= 4 3x的焦点的直线l与双曲线C:才—y2= 1的两个交点分别为（为,yj ,（X2, y?）, 足X i X2> 0. 2 2 x y 4?椭圆C:^+L= 1的焦点在x轴上，点A B是长轴的两端点，若曲线C上存在点M满足/ AM B= 120°, 3 m 则实数m的取值范围是() A. (3 ,+^) B. [1 , 3) C. (0, 3) D. (0, 1] 【答案】D 【解析】依题意，当0 v m< 3时，焦距在x轴上，要在曲线C上存在点M满足/ AMB= 120°, 5.在直线y = —2上任取一点Q过Q作抛物线x2= 4y的切线，切点分别为A, B,则直线AB恒过的点 的坐标为( ) A. (0 , 1) B . (0 , 2) C (2 , 0) D . (1 , 0) 【答案】B 【解析】设Qt, —2) , A(X1, y” , B(X2, y2)，抛物线方程变为y= ^x2,贝H y，=1x,则在点A处的切11 线方程为y —y1 = 2为(％—X1)，化简得y = —Q X1X —y1, 同理，在点占处的切线方程为1 又点戲匚一2〉的坐标适合这两个方程，代入得_ 2= _ pif-胆，_ 2= _ 则b>tan 60，即工> 3.解得0< me 1. v m 若X1 ? X2> 0,贝U k的取值范围是（ 【答案】D 高三文科数学专题复习之圆锥曲线 抛物线： 图形 x y O F l x y O F l 方 程 )0(22>=p px y )0(22>-=p px y )0(22>=p py x )0(22>-=p py x 焦 点 )0,2 (p )0,2(p - )2,0(p )2,0(p - 准 线 2 p x -= 2p x = 2p y -= 2 p y = （一）椭圆 1. 椭圆的性质：由椭圆方程)0(122 22>>=+b a b y a x （1）范围：a x b -a ，x a ≤≤≤≤-，椭圆落在b y ±=±=a ，x 组成的矩形中。 （2）对称性:图象关于y 轴对称。图象关于x 轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心， 简称中心。x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。 （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -。加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点。21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴。长分别为b a 2,2。b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。 （4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。a c e = ?2)(1a b e -=。10< 圆锥曲线的综合运用 一、单选题 1．（2020·涡阳县第九中学期末（文））已知椭圆C 与双曲线22 179 x y -=的焦点相同，且椭圆C 上任意一点 到两焦点的距离之和为10，则椭圆C 的离心率等于（ ） A ． 35 B ． 34 C ． 45 D ． 54 2．（2020·涡阳县第九中学期末（文））在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2 6y x =的焦点，A 、B 是抛物 线上两个不同的点．若AF BF +5=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A ． 1 2 B ．1 C ． 32 D ．2 3．（2020·全国专题练习）已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为1F ，右焦点为2(2,0)F ，点P 为双 曲线右支上的一点，且122122,F F PF PF F =的周长为10，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y = B ．3 y x =± C ．2y x =± D ．12 y x =± 4．（2020·全国课时练习）设某曲线上一动点M 到点(3,0)F 与到直线3x =-的距离相等，经过点(2,1)P 的直线l 与该曲线相交于A 、B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则||||+=AF BF （ ） A ．6 B ．8 C ．9 D ．10 5．（2020·全国课时练习）已知两定点12(3,0),(3,0)F F -，在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中，是双曲线的是（ ） A ．12||||||5PF PF -= B ．12||||||6PF PF -= C ．12||||||7PF PF -= D ． 12||||0PF PF -=‖ 6．（2020·全国课时练习）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?= A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】D 1.椭圆)0(,112:222 >=+m m y x C 的离心率21=e ，则m 的值为： 2.若双曲线C 的实轴长,虚轴长,焦距成等差数列,则双曲线C 的离心率=e 3.P 是抛物线:C x y 42=上的一动点，则P 到抛物线C 的准线距离与到点)2,0(A 距离之和的最小值为： 4.过点)1,1(P 作直线l 交抛物线:C x y 42=于B A ,两点，若P 恰是B A ,的中点， 则直线l 的方程为： 5.双曲线C 的中心在坐标原点，焦点21,F F 在x 轴上，过右焦点2F 作x 轴的垂线， 交双曲线C 的渐近线于B A ,两点，若 1201=∠B AF ，则双曲线C 的离心率=e 6.P 是椭圆142 2=+y x 上的动点，给定点)0,1(A ，则||PA 的最小值为 7.已知双曲线1C 与椭圆11216:2 22=+y x C 有共同的焦点，且在一象限的公共点的横 坐标为2 (1)试求：双曲线1C 的标准方程及离心率 (2)P 是双曲线1C 上的动点，试证明：P 到双曲线1C 的两渐近线距离之积是一 个定值. 8.如图动圆圆P 与圆9)4(:22=+-y x F 相外切，且圆P 与直线:l 1-=x 相切，动 圆P 的圆心P 的轨迹为C (1)试求：轨迹C 的标准方程 (2)过圆F 的圆心F 作直线1l 与轨迹C 相交于B A ,两点，若B A ,的中点Q 在圆F 外，试求直线1l 斜率的取值范围。 9.中心在坐标原点的椭圆C 过两定点)3,32(),3,2(B A -，21,F F 是椭圆的两焦点 (1)试求：椭圆C 的标准方程和离心率 (2)过点2F 作直线l 交椭圆C 于N M ,两点，若N MF 1∠为锐角，试求l 斜率的取 值范围. 圆锥曲线（1） 一、基础训练 1．若椭圆2215x y m += 的离心率e =，则m 的值是________． 2．若抛物线22y x =上的一点M 到坐标原点O 则M 到该抛物线焦点的距离为________． 3．双曲线22260x y -+=上一个点P 到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________． 4．已知双曲线22 12x y a -= 的一个焦点坐标为(，则其渐近线方程为________． 5．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为1F ，2F .若曲线C 上存在点P 满足1122::4:3:2P F F F P F =，则曲线 C 的离心率等于________． 6.若椭圆22 221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点1(1,2作圆221x y +=的切线，切点分别为 ,A B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________． 二、典型例题 例1 (1)椭圆22 143 x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A ，B .当FAB ?的周长最大时，FAB ?的面积是________． (2) 已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若椭圆 上存在点P ，使得 1 2 PF e PF =，则该椭圆离心率e 的取值范围是________． (3)已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线2 4y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是________． 例2已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A ，离心率为2.直线 (1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当AMN ?k 的值． 例3已知双曲线2 2 13 y x -=，椭圆与该双曲线共焦点，且经过点(2,3) ． (1)求椭圆方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，直线l 为椭圆的右准线，N 为l 上的一动点，且在x 轴上方，直线AN 与椭圆交于点M . ①若AM MN =，求AMB ∠的余弦值； ②设过A ，F ，N 三点的圆与y 轴交于P ，Q 两点，当线段PQ 的中点为(0,9)时，求这个圆的方程．高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义
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