第24炼 恒成立问题——最值分析法(含恒成立综合习题)

第24炼 恒成立问题——最值分析法

最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题。此方法考研学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功。是导数中的难点问题。 一、基础知识： 1、最值法的特点：

（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参 （2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论

2、理论基础：设()f x 的定义域为D

（1）若x D ?∈，均有()f x C ≤（其中C 为常数），则()max f x C ≤ （2）若x D ?∈，均有()f x C ≥（其中C 为常数），则()min f x C ≥ 3、技巧与方法：

（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：

① 观察函数()f x 的零点是否便于猜出（注意边界点的值） ② 缩小参数与自变量的范围：

通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）

观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围

（2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性。如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号。

（3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内。 二、典型例题：

例1：设()2

22f x x mx =-+，当[)1,x ∈-+∞时，()f x m ≥恒成立，求m 的取值范围

思路：恒成立不等式为2

220x mx m -+-≥，只需(

)

2

min

220x mx m

-+-≥，由于左端

是关于x 的二次函数，容易分析最值点位置，故选择最值法

解：恒成立不等式为2

220x mx m -+-≥，令()222g x x mx m =-+-则对称轴为x m =

（1）当1m ≤-时，()g x 在[)1,-+∞单调递增，()()min 11220g x g m m ∴=-=++-≥ 3m ∴≥-即[]3,1m ∈--

（2）当1m >-时，()g x 在()1,m -单调递减，在(),m +∞单调递增 ()()2

2

min 22021g x g m m m m m ∴==-+-≥?-≤≤

(]1,1m ∴∈- 终上所述：[]3,1m ∈-

小炼有话说：二次函数以对称轴为分解，其单调性与最值容易分析。所以二次恒成立不等式往往可考虑利用最值法，此题中对称轴是否在区间内将决定最值的取值，故以此为分类讨论点。

思路二：从另一个角度看，本题,m x 容易进行分离，所以也可考虑参变分离法 解：()2

2

220212x mx m x m x -+-≥?+≤+

（1）1

2102x x +>?>-时，则2min

221x m x ??+≤ ?+?? (由于m 系数符号未定，故分类讨论进行参

变分离）

令21,0t x t =+>（换元时注意更新新元的取值范围）

则()

2

2212

2

29194=

2121

44t x t t t x t

t t -++-+??==+-≥ ?+??

（2）1

2102

x x +=?=-

，不等式对任意的m 均成立 （3）1

2102x x +

！） 令21,10t x t =+-≤<,则()

2

2212

2

29194=

2321

44t x t t t x t

t t -++-+??==+-≤- ?+??

3m ∴≥-

综上所述：[]3,1m ∈- 小炼有话说：

（1）此题运用参变分离法解题并不简便，不仅要对x 分类讨论，还要处理一个分式函数的最值，所以两个方法请作一对比

（2）最后确定m 的范围时，是将各部分结果取交集，因为分类讨论是对x 进行的，m 的取值要让每一部分必须同时成立才可，所以是“且”的关系，取交集

例2：已知函数()2ln x f x a x x a =+-，对任意的[]12,0,1x x ∈，不等式

()()121f x f x a -≤-恒成立，则a 的取值范围是___________

思路：若不等式恒成立，则()()12max 1a f x f x -≥-，()1f x 与()2f x 差的最大值即为

()f x 最大值与最小值的差。所以考虑求()2ln x f x a x x a =+-在[]0,1的最大最小值，

()()'ln 2ln 1ln 2x x f x a a x a a a x =+-=-+，若1a >，则10,ln 0x a a ->>，所以

()1ln 0x

a

a ->，若01a <<，则10,ln 0x a a -<<，所以()1ln 0x a a ->。而20x ≥，

所以无论a 为何值，

()'0f x >，则()f x 在[]

0,1单调递增。

()()()()max min 10ln f x f x f f a a -=-=-，从而1ln a a a -≥-，解得a e ≥

答案：[),e +∞

例3：已知函数()()ln 10f x a x a =+>，在区间()1,e 上，()f x x >恒成立，求a 的取值范围

思路一：恒成立的不等式为ln 1a x x +>即ln 10a x x -+>,令()ln 1g x a x x =-+观察到两点特征：(1)()g x 导函数易分析单调性，（2）()10g =,对单调性会有一定要求进而限制参数a 的取值。所以考虑使用最值法求解。

解：()f x x >恒成立即不等式ln 10a x x -+>恒成立，令()ln 1g x a x x =-+ ∴只需()min 0g x >即可，()10g = ()'

1a a x g x x x -=

-=，令()'

00a x g x x a x

->?>?<（分析()g x 的单调性） 当1a ≤时 ()g x 在()1,e 单调递减，则

()()010g x g <=

(思考：为什么以1a =作为分界点讨论？因为找到()10g =，若要不等式成立，那么一定从1x =处

起()g

x 要增

（不一定在()1,e 上恒增，但起码存在一小处区间是增的），所以1a ≤时导致()g x 在1x =处开始单减，那么一定不符合条件。由此请体会零点对参数范围所起的作用） 当1a

>时，分x a =是否在()1,e 中讨论（最小值点的选取）

若1a e <<，单调性如表所示

()()1010

g a e g e ≥??∴?≥-?≥?? 1e a e ∴-≤< （（1）可以比较

()()1,g g e 的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦。由于最小值只会在

1,x x e ==处取得，所以让它们均大于0即可。（2）由于1,x x e ==并不在()1,e 中，所以求得的只

是临界值，临界值等于零也符合条件） 若a

e ≥，则()g x 在()1,e 上单调递增，()()10g x g ∴>=，符合题意

综上所述：1a e ≥-

小炼有话说：此题在1a >的情况也可不分类讨论，因为从单调区间分析来看，在()1+∞，中

x a =是极大值点，不可能是最小值，所以无论x a =是否在()1,e ，最小值（或临界值）

均只会在边界处产生，所以只需()()

10

10g a e g e ≥??∴?≥-?

≥??即可 思路二：不等式 ln 10a x x -+>中a 与x 便于分离，所以只要分离后的x 的函数易分析出单调性，那么就可考虑运用参变分离法 解：1ln 10ln x a x x a x --+>?>

，令()1ln x g x x

-=，则只需()max a g x >即可 ()()

'

1ln 1ln x x

g x x -+

=

（单调性受分子影响，但无法直接分析）

令()1

ln 1h x x x

=-+

，()10h =（()h x 求导函数，便不含ln x ，可分析单调性，且零点找到，所以方法二可继续进行） ()'

22111

()01,x h

x x e x x x

-=

-=>∈ ()h x ∴在()1,e 上单调递增 ()()10h x h ∴>= （体会零点配合单调性对确定函数符号的作用）

'

()g x ∴0>，()g x 在()1,e 上单调递增

()()1g

x g e e ∴<=- 1a e ∴≥- （()g x 无最大值，只有临界值，故可取等号）

小炼有话说：第一点是分析'()g x 时由于''()g x 形式复杂并没有对'()g x 直接求导，而是把分子拿出来分析。因为我们只关心导函数的符号，而分母符号恒正，所以要体会导函数的符号是对原函数的单调性最有价值的。第二点是体会零点与单调性合作可确定函数的符号，这也是分析()h x 的重要原因

例4： 已知()11ax

x f x e x

-+=

-，若对任意的()0,1x ∈，均有()1f x >，求a 的取值范围 思路：恒成立不等式为

111ax

x e x

-+>-，可参变分离但函数比较复杂，所以考虑利用最值法来分析。发现0x =时，左右两边刚好相等。这也为最值分析提供方向 解：令()111ax

x g x e x

-+=

--，()00g = （()g x 从0x =起应单调递增） ()()

2'

2

2

1ax ax a g x e x --+=

?- 令()'0g x >，即22202ax a ax a -+>?>-

下面分情况讨论：

0a =时，()'0g x >恒成立，()g x ∴在()0,+∞单调递增

()()()0,1,00x g x g ∴?∈>=

0a <时，2221a x a a -<

=- 2

11a

-> ()0,1x ∴∈，()'0g x >恒成立，()g x ∴在()0,+∞单调递增 ()()()0,1,00x g x g ∴?∈>=

0a >时，222

1a x a a ->

=- 2a ∴≤时，22

a x a ->恒成立，()g x ∴在()0,+∞单调递增

()()()0,1,00x g x g ∴?∈>=

2a >时，22a x x a ->

?>

()g x ∴在? ?单调减，在???单调递增

(),(0)0x g x g ?∴∈<= ?

，不符题意，舍去

综上所述：2a ≤

小炼有话说：本题导函数形式简单，所以直接对参数进行分类讨论与取舍

例5： 已知函数()2

1x

f x e x ax =---对任意的[)0,x ∈+∞，均有()0f x ≥，求实数a

的范围

思路：此题可用最值法求解，先做好准备工作，()00f =，所以函数要从0x =开始增，求导观察特点：

解：()00f = '()21x f x e ax =--（不易直接出单调性，但是发现其中()'

00f

=，且()'f x 再

求一次导，其导函数容易分析单调性。进而可解）

()'00f = ()''2x f x e a =-，令()''0f x >即2x e a >，下面进行分类讨论：

（1）当0a ≤时，()''0f x >，()'f x ∴单调递增。()()''

00f x f ∴>=

()f x ∴单调递增，()()00f x f >=，满足条件

（此处为此题最大亮点，体会三点：①单调性与零点是如何配合来确定()()'

,f x f

x 的符号的；②

每一步的目的性很强，()'

f

x 的作用就是以符号确定()f x 的单调性，所以解题时就关注()'f x 的符号。

而符号的确定同样要靠二阶导数与一阶导函数的零点配合来得到；③ ()()',f x f x 的零点是同一个，进

而引发的连锁反应）

（2）当0a >时，ln 2x a >（ln 2a 可正可负，而[)0,x ∈+∞，所以讨论 ln 2a 的符号） ① 当1ln 2002

a a ≤?<≤时，ln 2x a >恒成立，即()''

f x 恒大于零，则： ()'

f

x 单调递增。()()''00f x f ∴>=

()f x ∴单调递增，()()00f x f >=，满足条件 ② 当1

ln 202

a a >?>

，则()0,l n2x a ∈时，()''0f x <即()'f x 在()0,ln2a 单调递减，()()'

'00f x f

∴<= ()f x ∴在()0,ln2a 单调递减，()()00f x f <=，不符题意，故

舍去

综上所述：1

2

a ≤

时，()0f x ≥恒成立 小炼有话说：这道题的重要特点在于()()',f x f x 的零点是同一个，进而会引发“连锁反应”。大家在处理多次求导问题时，一定要清楚每一层导数的目的是什么，要达到目的需要什么，求出需要的要素。

例6：已知函数()ln 1f x x a x =+-，a R ∈ （1）求函数()f x 的单调区间

（2）若()ln 20x

f x x

+≥对于任意的[)1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围 解：（1）()'

1a x a f x x x

+=+=()0x >

令()'

0f

x >即0x a +>

① 当0a ≥时，()'

0f x >恒成立。()f x ∴在()0,+∞单调递增

② 当0a <时，解得x a >-

（2）思路：恒成立不等式为22ln 20x a x x

+-+

≥，即222ln 2ln 0x ax x x x +-+≥ 若参变分离，分离后的函数较为复杂（也可解决）。所以考虑最值法，观察当1x =时，左边的值为0，所以对左边的函数的单调性有所制约，进而影响参数a 的取值。 解：恒成立不等式等价于2

22ln 2ln 0x ax x x x +-+≥ 设2

()22ln 2ln g x x ax x x x =+-+，()10g =

()()'1

421ln 2g x x a x x

=++-+

()'1422123g a a =+-+=+ ()0g x ≥恒成立，()10g =

()'10g ∴≥ 否则若()'10g ∴<，由于()'g x 连续

所以必存在区间()1,m 使得()'0g x <，即()g x 在()1,m 单调递减 进而()01,x m ?∈，()()010g x g <=，不符题意

（本质：()10g

=，所以要保证从1x =开始的一段小区间要单调增，进而约束导数符号）

32a ∴≥- （这是a 要满足的必要条件，最终结果应该是这一部分的子集，下面证3

2

a ≥-

均满足条件

或者寻找一个更精确的范围）

下面证任意的3

2

a ≥-

均满足条件。 构造函数2

()23ln 2ln h x x x x x x =--+（3

2

a =-

时的()g x ） 则()()()23ln 0g x h x a x x -=+≥

()()()1,,x g x h x ∴?∈+∞≥，若要()0g x ≥恒成立，只需证明()0h x ≥即可 ()10h =

()'11

()431ln 243ln 5h x x x x x x x

=-+-+

=-+- ()'10h = ()()()2''

222

4113143140x x x x h x x x x x +---=--==>成立

()'h x ∴在()1,+∞单调递增，()()''10h x h ≥= ()h x ∴在()1,+∞单调递增，()()10h x h ≥=成立

3

2a ∴≥-时，[)()1,,()0x g x h x ?∈+∞≥≥恒成立，符合题意

3

2

a ∴≥-

小炼有话说：

（1）()h x 的构造的来源：()g x 的解析式可看为以a 为自变量的一次函数()G a ，且单调递增（ln 0x x >），所以对于3,2a ??

∈-

+∞????

，无论x 为何值，()32G a G ??≥- ???，即

()()g x h x ≥，与恒成立的不等式不等号方向一致。

（2）本题核心想法是利用不等式化参数函数为常值函数（函数的放缩），进而便于对参数a 取值范围的验证。

（3）归纳一下解决此题的方法：为最值法解恒成立问题的另一个方法——构造中间函数 首先先说考虑使用这个方法的前提：

① 以参数为自变量的函数结构简单（最好单调）

② 参数缩小后的范围，其不等式与含参函数不等号方向，以及单调性保持一致（在本题中

3

2

a ≥-

，而2()22ln 2ln g x x ax x x x =+-+刚好关于a 单调递增，且要()0g x ≥。故可引入()h x 位于()g x 与0之间） 其步骤如下：

① 代入自变量的特殊值缩小参数的取值范围（有可能就得到最终结果），记为A ② 因为最终结果A 的子集，所以只需证明A 均符合条件或者寻找更小的范围

③ 如果函数是关于参数的一次函数（或单调函数），可通过代入参数的边界值（临界值）构造新函数并与原函数比较大小

④ 证明新函数介于原函数与不等式右侧值之间，进而说明A 中的所有值均满足条件，即为最后结果

例7： 已知函数()2

12ln ,2f x a x ax x a R ?

?=--+∈ ??

?

，

若在区间()1,+∞上，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围

思路：考虑用最值分析法，但可考虑先利用1x =缩小a 的讨论范围 解：()11202f a a =-

-≤ 12

a ∴≥- ()()()()()2

'

2111212111222a x x a x ax f x a x a x x x -----+?

?=--+==

??

? 令()'

0f

x <，即()()2110211a x a x --

（1）12102a a -≤?≤时，即11,22a ??∈-????

，()'

0f x <恒成立 ()f x ∴在()1,+∞单调

递减

()()10f x f ∴<≤ 满足条件

（2）12a >

时，()212ln 2f x a x ax x ?

?=--+ ???，考虑44ln 02121a a f a a ??

=> ?

--??

，不符题意，舍去

（注：这里需要对函数值进行估计，显然102a -

>，总有一个时刻，2122a x ax ?

?-- ??

?大于零，进而()0f x >，所以考虑代入特殊值来说明。对于，所以构造时只需要21202a x ax ?

?--= ???即可，解得

4121a x a =

>-，进而舍掉1

2

a >的情况） 例8：已知函数()1x ax

f x be =-，曲线()y f x =在点()()1,1f

处的切线方程为

()2

10x e y e +--=。其中 2.71828

e =为自然对数的底数

（1）求,a b 的值

（2）如果当0x ≠时，()12x

k

f x e -<恒成立，求实数k 的取值范围 解：（1）()()()

'2

11x x x

a be be ax

f x be

--=

-

()()()

()

'2

2

1111a be abe

a

f be be --∴=

=-

--，切线方程：()

()

2

2

1

11e

y x e e =-

+

--

()

()

2

2

1

11a

be e ∴-

=-

--，而()11a f be =

-且在切线中，1

1

y e =- ()()2

21111

11

a be e a be e ?

-=-?--?∴?

?=?--? 解得：11a b =??=? ()1

x x

f x e ∴=-

（2）思路：恒成立不等式为：2211x

x x k

e e

-<-，若参变分离，则分离后的函数过于复杂，不利于求得最值，所以考虑利用最值法，先变形不等式，由于21x

e

-的符号不确定（以0

x =为界），从而需进行分类讨论。当0x >时，不等式变形为：()()21210x x

k e xe k ---->，

设()()()2121x

x g x k e

xe k =----，可观察到()00g =，则若要0x >时，()0g x >，

则需()'00g ≥，进而解出0k ≤，再证明0k ≤时，()0g x >即可。将k 的范围缩至0k ≤时再证明0x <时，()0g x >即可。 解：由（1）可得恒成立的不等式为：2211x x

x k

e e

-<- 当0x >时，

()()22212111x x x x

x k

xe k e e e

- 设()()()2121x x g x k e xe k =----，可得()00g =

()()()'22121x x g x k e x e =--+

若()'

00g <，则00x ?>，使得()00,x x ∈时，()'

0g x <

()g x ∴在()00,x 单调递减 则()00,x x ∈时，()()00g x g <=与恒成立不等式矛盾 ()'00g ∴<不成立 ()'00g ∴≥ ()()'02120g k ∴=--≥解得：0k ≤

下面证明0k ?≤均可使得0x >时，()0g x >

()()()()'22121211x x x x

g x k e x e e k e x ??=--+=---??

0k ≤ ()1110x x k e x e x ∴--->-->

()'0g x ∴> ()g x ∴在()0,+∞单调递增 ()()00g x g ∴>=，即不等式恒成立

当0x <时，

()()22212111x x

x x

x k xe k e e e

---- ()()()212100x

x k e xe k g x ?----

0k ≤ ∴同理，()()'2110x x

g x e k e x ??=--->??

()g x ∴在(),0-∞单调递增 ()()00g x g ∴<=

即0k ≤时不等式在(),0x ∈-∞ 恒成立 综上所述，0k ≤

例9： 设函数()(1)x

f x ae x =+（其中 2.71828....e =），2

()2

gx x b x =++，已知它们在

0x =处有相同的切线.

立体几何题经典例题

D E A F B C O O 1 M D C A S 15．如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB =1，D 在棱BB 1上，且BD =1，则AD 与平面 AA 1C 1C 所成角的正弦值为 . 6．已知正三棱柱111C B A ABC -的棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点. （1）在直线1CC 上求一点N ，使1AB MN ⊥； （2）当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离. （3）求出1AB 与侧面11A ACC 所成的角θ的正弦值． 7. 如图所示，AF 、DE 分别是1O O ⊙、 ⊙的直径．AD 与两圆所在的平面均垂直，8=AD ．BC 是O ⊙的直径，AD OE AC AB //,6==． （1）求二面角F AD B --的大小； （2）求直线BD 与EF 所成角的余弦值． 8．如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直．点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若 a BN CM ==)20(<

18.（本小题满分12分） 已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面 互相垂直， M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点， 1=AB ,2=AD ， (1)证明：直线//AM 平面NEC ； (2)求二面角D CE N --的大小． 19．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形， 2 π = ∠=∠ABC DAB ，且22===AD BC AB ， 侧面 ⊥PAB 底面ABCD ，PAB ?是等边三角形． (1)求证：PC BD ⊥； (2)求二面角D PC B --的大小． 15、(北京市东城区2008年高三综合练习一）如图，在直三 棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =BB 1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角. （I ）求证：平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1； （II ）求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值； （III ）求二面角B —B 1C —A 的大小. 52、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)如图，在多面体ABCDE 中，AE ⊥面ABC ，BD ∥AE ，且AC ＝AB ＝BC ＝BD ＝2，AE ＝1，F 为CD 中点． (1)求证：EF ⊥面BCD ； (2)求面CDE 与面ABDE 所成的二面角的余弦值． A B C D M N 第18题图

层次分析法作业答案(借鉴分享)

你已经去过几家主要的摩托车商店，基本确定将从三种车型中选购一种。你选择的标准主要有：价格，耗油量大小，舒适程度和外表美观情况。经反复思考比较，构造了它们的成对比较矩阵为 ??? ?? ? ??????13155187313151815 17131 三种车型(记为a,b,c)关于价格，耗油量，舒适程度及你对他们外观喜欢程度的成对比较矩阵为 （价格）??????????121321213121 （耗油量）???? ? ?????127151712151 （舒适程度）??????????141531415131 （外观）?? ?? ??????17153171315 1 （1）根据上述矩阵可以看出这四项标准在你的心目中的比重是不同的，请按由大到小的顺序排出。 （2）哪辆车最便宜，哪辆车最省油，哪辆车最舒适，你认为哪辆车最漂亮？ 用层次分析法确定你对这三种车型的喜欢程度（用百分比表示）。比

建模过程如下： 先构建成对比较矩阵 1378111552311133751114 853x x x x ?????? ???? ?????? 1???? A = 列向量归一化，得到矩阵 B=0.6245 0.68180.52500.47060.20820.22730.37500.29410.08920.04550.07500.17650.0781 0.04550.02500.0588?? ??? ? ?? ? ??? ??? ? ??，然后按行求和得到矩阵C = 2.30191.10460.38620.2074?? ???????????????? ，再对矩阵C = 2.30191.10460.38620.2074??????????????????归一化得到w =0.57530.27610.09650.0518???????? ??????????， 2.49401.20970.38940.2111*?A w ???? ? ??????? =1/4 2.4940/0.5753 1.2097/0.27610.3894/0.09650.2111/0.0518 1.2068 μ=?+++=（）同理，可求得下面四个比较矩阵权向量和最大特征根。 （价格B1） （耗油量B2）

恒成立问题题型分析及经典习题

恒成立题型及解题方法 一 一次函数型： 给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象 （直线）可得上述结论等价于 ⅰ）???>>0)(0m f a 或ⅱ）???><0)(0n f a 亦可合并定成?? ?>>0)(0)(n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有?? ?<<0 )(0 )(n f m f 例、对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2 +px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。 二次函数型 1、由二次函数的性质求参数的取值范围 例、若关于x 的不等式2220ax x ++>在R 上恒成立,求实数a 的取值范围. 2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围 例1、已知二次函数满足(0)1f =，而且(1)()2f x f x x +-=，请解决下列问题 （1）求二次函数的解析式。 （2）若()2f x x m >+在区间[1,1]-上恒成立 ，求m 的取值范围。 例2、设f(x)=x 2 -2ax+2,当x[-1,+∞)时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。 三.变量分离型 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求， 且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成 函数的最值问题求解。 例、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范围。

四.根据函数的奇偶性、周期性等性质 若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)，(f(-x)=f(x))恒成立 若函数y=f(x)的周期为T ，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。 例、若f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)为偶函数，求α的值。 五.直接根据图象判断 若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象， 则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。 例1、当x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2

层次分析法例题(1)

层次分析法在最优生鲜农产品流通中的应用 班级 （一）、建立递阶层次结构 目标层：最优生鲜农产品流通模式。 准则层：方案的影响因素有：c1自然属性、c2经济价值、c3基础设施、c5政府政策。 方案层：设三个方案分别为：A1农产品产地一产地批发市场一销地批发市场一消费者、A2农产品产地一产地批发市场一销地批发市场一农贸市场一消费者、A3农业合作社一第三方 物流企业一超市一消费者(本文假设农产品的生产地和销地不在同一个地区)。 。 目标层：G：最优生鲜农产品流通模式 自经基政 准则层：然济础府属价设政性值施策 方案层：A A2A3 1 图 3— 1 递阶层次结构 （二）、构造判断 (成对比较 )矩阵 所谓判断矩阵昰以矩阵的形式来表述每一层次中各要素相对其上层要素的相对重要程度。为

了使各因素之间进行两两比较得到量化的判断矩阵，引入1～9 的标度，见表 标度 a定义 ij 1i 因素与 j 因素同等重要 3i 因素比 j 因素略重要 5i 因素比 j 因素较重要 7i 因素比 j 因素非常重要 9i 因素比 j 因素绝对重要 2，4，6，8为以上判断之间的中间状态对应的标度值 倒数若 i因素与 j 因素比较，得到判断值为， a ji=1/a ij，a ii=1 为了构造判断矩阵，作者对 6 个专家进行了咨询，根据专家和作者的经验，四个准则下的两两比较矩阵分别为： G c1 c2 c3 c4 c1 A1 A2 A3c1c2c3c4 1853 1/811/21/6 1/5211/3 1/3631 A1A2A3 11/31/9 311/8 981

c2 A1 A2 A3 c3 A1 A2 A3 c4 A1 A2 A3 A1A2A3 139 1/318 1/91/81 A1A2A3 129 1/217 1/91/71 A1A2A3 11/31/9 311/7 971 （三）、层次单排序及其一致性检验 层次单排序就是把本层所有要素针对上一层某一要素，排出评比的次序，这种次序以相对的数值大小来表示。 对应于判断矩阵最大特征根λ max 的特征向量，经归一化 (使向量中各元素之和等于 1) 后记为W。 W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程 称为层次单排序。 能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对 A 确定不一致的允许范围。 由于λ连续的依赖于a ij，则λ比n大的越多，A的不一致性越严重。用最大特征值对 应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用λ― n 数值的大小来衡量 A 的不一致程度。

高考立体几何大题经典例题.

N M P C B A <一 >常用结论 1.证明直线与直线的平行的思考途径:(1转化为判定共面二直线无交点; (2转化为二直 线同与第三条直线平行; (3转化为线面平行; (4转化为线面垂直; (5转化为面面平行 . 2.证明直线与平面的平行的思考途径:(1转化为直线与平面无公共点; (2转化为线线平 行; (3转化为面面平行 . 3. 证明平面与平面平行的思考途径:(1 转化为判定二平面无公共点; (2 转化为线面平行; (3转化为线面垂直 . 4.证明直线与直线的垂直的思考途径:(1转化为相交垂直; (2转化为线面垂直; (3转 化为线与另一线的射影垂直; (4转化为线与形成射影的斜线垂直 . 5.证明直线与平面垂直的思考途径:(1转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2转化为该直线

与平面内相交二直线垂直; (3转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 . 6.证明平面与平面的垂直的思考途径:(1转化为判断二面角是直二面角; (2转化为线面垂直 . 3、如图,在正方体 1111ABCD A B C D -中, E 是 1AA 的中点, 求证: 1//AC 平面BDE 。 5、已知正方体 1111ABCD A B C D -, O 是底 ABCD 对角线的交点 . 求证:(1 C1O ∥面 11AB D ; (21 AC ⊥面 11AB D . 9、如图 P 是ABC ?所在平面外一点, , PA PB CB =⊥平面 PAB , M 是 PC 的中点, N 是 AB 上的点, 3AN NB = A D 1 C B D C D D B A C 1

层次分析法练习参考答案

层次分析法练习 练习一、市政工程项目建设决策 问题提出 市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策，可选择的方案是修建通往旅游 区的高速路（简称建高速路）或修建城区地铁（简称建地铁）。除了考虑经济效益外，还要考虑社会效益、环境效益等因素，即是多准则决策问题，试运用层次分析法建模解决。 1、建立递阶层次结构 在市政工程项目决策问题中，市政管理人员希望通过选择不同的市政工程项目，使综合 效益最高，即决策目标是“合理建设市政工程，使综合效益最高”。 为了实现这一目标，需要考虑的主要准则有三个，即经济效益、社会效益和环境效益。但 问题绝不这么简单。通过深入思考，决策人员认为还必须考虑直接经济效益、间接经济效益、 方便日常出行、方便假日出行、减少环境污染、改善城市面貌等因素（准则），从相互关系上分析，这些因素隶属于主要准则，因此放在下一层次考虑，并且分属于不同准则。 假设本问题只考虑这些准则，接下来需要明确为了实现决策目标、在上述准则下可以有 哪些方案。根据题中所述，本问题有两个解决方案，即建高速路或建地铁，这两个因素作为措 施层元素放在递阶层次结构的最下层。很明显，这两个方案于所有准则都相关。 将各个层次的因素按其上下关系摆放好位臵，并将它们之间的关系用连线连接起来。同 时，为了方便后面的定量表示，一般从上到下用A、B、 C、D。。。代表不同层次，同一层次从左到右用 1、2、 3、 4。。。代表不同因素。这样构成的递阶层次结构如下图。 目标层 A 合理建设市政工程，使综合效益最高(A) 准则层 B 经济效益 (B1)社会效益 (B2)环境效益 (B3) 准则层 C直接经间接带方便日方便假减少环改善城 济效益动效益常出行日出行境污染市面貌 (C1)(C2)(C3)(C4)(C5)(C6) 措施层 D 建高速路 (D1)建地铁(D2) 图 1递阶层次结构示意图 2、构造判断矩阵并请专家填写 征求专家意见，填写后的判断矩阵如下：

恒成立问题习题

2017年12月2日数学试卷 一、选择题（共2小题；共10分） 1. 已知，若恒成立，则的取值范围为 A. C. D. 2. 已知，若恒成立，则的取值范围为 A. C. D. 二、填空题（共2小题；共10分） 3. 若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的最小值为． 4. 若对于，恒成立，则的取值范围是． 三、解答题（共6小题；共78分） 5. 已知函数． （1）当时，恒成立，求实数的取值范围． （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 6. （1）若不等式对于一切恒成立，求的取值范围； （2）若不等式对于一切恒成立，求的取值范围． 7. 已知，，且． （1）若恒成立，求的取值范围； （2）若恒成立，求的取值范围． 8. 设函数． （1）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 9. 设函数． （1）若对于一切实数，恒成立，求的取值范围； （2）对于，恒成立，求的取值范围． 10. 已知． （1）求的单调区间； （2）当时，求证：对于，恒成立； （3）若存在，使得当时，恒有成立，试求的取 值范围．

答案 第一部分 1. A 2. A 第二部分 【解析】因为对任意正实数，不等式恒成立， 所以等价于， 所以，， 所以实数的最小值为． 【解析】由题意恒成立， ， 所以． 第三部分 5. （1）， . （2），对称轴，所以： 无解； 或 ； 或 . . 6. （1）由已知可得对一切恒成立，

设，则，当且仅当时，取到最小值， 所以的取值范围是． （2）因为，则可把原式看作关于的函数， 即，由题意可知， 解之得， 所以的取值范围是． 7. （1）因为，，且， 所以，当且仅当时“”成立， 由恒成立，故． （2）因为，， 所以， 若恒成立， 则， 当时，不等式化为，解得， 当，不等式化为，解得， 当时，不等式化为，解得． 综上所述的取值范围为． 8. （1）当时，恒成立，当时，要保证恒成立，即 的最小值，解得，故． （2）由题意可知，函数的图象恒在直线的上方，画出两个函数图象可知，当时，符合题意，当时，只需满足点不在的下方即 可，所以，即． 综上，实数的取值范围是． 9. （1）要恒成立，若，显然； 若，则． 所以的取值范围为． （2）要恒成立，就要使，．

层次分析法例题(1)

层次分析法在最优生鲜农产品流通中的应用 班级 （一）、建立递阶层次结构 目标层：最优生鲜农产品流通模式。 准则层：方案的影响因素有：1c 自然属性、2c 经济价值、3c 基础设施、5c 政府政策。 方案层：设三个方案分别为：1A 农产品产地一产地批发市场一销地批发市场一消费者、2A 农产品产地一产地批发市场一销地批发市场一农贸市场一消费者、3A 农业合作社一第三方物流企业一超市一消费者(本文假设农产品的生产地和销地不在同一个地区)。 。 目标层： 准则层： 方案层：

图3—1 递阶层次结构 （二）、构造判断(成对比较)矩阵 所谓判断矩阵昰以矩阵的形式来表述每一层次中各要素相对其上层要素的相对重要程度。为了使各因素之间进行两两比较得到量化的判断矩阵，引入1～9的标度，见表 为了构造判断矩阵，作者对6个专家进行了咨询，根据专家和作者的经验，四个准则下的两两比较矩阵分别为：

（三）、层次单排序及其一致性检验 层次单排序就是把本层所有要素针对上一层某一要素，排出评比的次序，这种次序以相对的数值大小来表示。 对应于判断矩阵最大特征根λmax 的特征向量，经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W 。 W 的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。 能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对A 确定不一致的允许范围。 由于λ 连续的依赖于ij a ，则λ 比n 大的越多，A 的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用 λ―n 数值的大小来衡量 A 的不一致程度。 用一致性指标进行检验：max 1 n CI n λ-= -。其中max λ是比较矩阵的最大特征值，n 是比较矩 阵的阶数。CI 的值越小，判断矩阵越接近于完全一致。反之，判断矩阵偏离完全一致的程度越大。 （四）、层次总排序及其一致性检验 )0(273.0104.0056.0567.0092.1418.0224.0266.2222.0316.0353.0201 .0074.0105.0118.0121 .0037.0053.0059.0075 .0667.0526.0470.0603 .0136131121121113581 W A =??? ?? ?? ??????????→??? ? ? ?? ? ???????????→?????????????? ???????→?????????????? ?=归一化按行求和列向量归一化

专题一立体几何经典练习题

2 专题一 立体几何 班级： _____ 姓名： _____ 学号： _____ 一、选择题(4 分×10=40 分) 1．直线 l , l 和 α ， l // l ， a 与 l 平行，则 a 与 l 的关系是 1 2 1 2 1 2 A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．以上都可能 2．若线段 AB 的长等于它在平面内射影长的 3 倍，则这条斜线与平面所成角的余弦值为 A ． 1 3 B ． 2 2 2 2 C ． D ． 3 3 3．在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，B 1C 与平面 DD 1B 1B 所成的角的大小为 A ．15 B ． 30 C ． 45 D ． 60 4．有下列命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中 任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点 不共线，则此四点不共面．其中正确的命题是 A ．②③ B ．①②③ C ．①③ D ．②③④ 5．有一山坡，倾斜度为 300，若在斜坡平面上沿着一条与斜坡底线成 450 角的直线前进 1 公里，则升高了 A ． 250 2 米 B ． 250 3 米 C ． 250 6 米 D ． 500 米 6．已知三条直线 a , b , l 及平面 α , β ，则下列命题中正确的是 A ． 若b ? α , a // b , 则a // α B ．若 a ⊥ α , b ⊥ α ，则 a // b C ． 若 a ? α ,α β = b ，则 a // b D ．若 a ? α , b ? α , l ⊥ a , l ⊥ b , 则 l ⊥ α 7．已知 P 是△EFG 所在平面外一点，且 PE=PG ，则点 P 在平面 EFG 内的射影一定在△EFG 的 A ．∠FEG 的平分线上 B ．边 EG 的垂直平分线上 C ．边 EG 的中线上 D ．边 EG 的高上 8．若一正四面体的体积是18 2 cm 3，则该四面体的棱长是 A ． 6cm B ． 6 3 cm C ．12cm D ． 3 3 cm 9．P 是△ABC 所在平面α 外一点，PA ，PB ，PC 与α 所成的角都相等，且 PA ⊥BC ，则 △ABC 是 A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 3 10．如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 3 的正方形，EF//AB ，EF= ，EF 2 与面 AC 的距离为 2，则该多面体的体积为 E F A ．2 B ．4 C ． 2 2 D ． 4 2 D C 二、填空题(4 分×4=16 分) A B 11．空间四边形 ABCD 中，AB=6，CD=8，E 、F 、G 分别是 BD ，AC ，BC 的中点，若异面直

基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)

基本不等式及其应用 1．基本不等式 若a>0,，b>0，则 a ＋ b 2 ≥ab ，当且仅当 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )． 2 a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2 b a +）2 .

(3)ab≤ 2 2 ? ? ? ? ?+b a (a，b∈R)． (4) b a ＋ a b ≥2(a，b同号且不为0)． (5) 2 2 ? ? ? ? ?+b a ≤ a2＋b2 2 (a，b∈R). （6） b a ab b a b a 1 1 2 2 2 2 2 + ≥ ≥ + ≥ +()0 ,> b a (7)abc≤ a3＋b3＋c3 3 ;() ,,0 a b c> (8) a＋b＋c 3 ≥ 3 abc；() ,,0 a b c> 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥. (2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.

设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a ＋2b的最小值是( ) 解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42， 当且仅当a＝b＝3 2 时取等号，故选B. 若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0， 则ab的最大值为( ) 解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1 2 .当且仅当a ＝1，b＝1 2 时等号成立.故选A.

关于层次分析法的例题与解.

旅游业发展水平评价问题 摘要 为了研究比较两个旅游城市Q、Y的旅游业发展水平，建立层次分析法]3[数学模型，对两个旅游城市Q、Y的旅游业发展水平进行了评价. 首先，通过对题目中的图1、表1进行了分析与讨论，根据层次分析法，建立了目标层A、准则层B和子准则层C、方案层D四个层次，通过同一层目标之 间的重要性的两两比较，得出判断矩阵,利用]1[ MATLAB编程对每个判断矩阵进行求解. 其次,用MATLAB软件算出决策组合向量，再比较决策组合向量的大小，由“决策组合向量最大”为目标,得出城市Y的决策组合向量为0.4325，城市Q组合向量为0.5675. 最后，通过城市Q旅游业发展水平与旅游城市Y旅游业发展水平的决策组合向量比较，得出城市Q的旅游业发展水平较高. 关键词层次分析法MATLAB旅游业发展水平决策组合向量

1.问题重述 本文要求分析Q Y,两个旅游城市旅游业发展水平,并且给出了两个城市各方面因素的对比，如城市规模与密度，经济条件，交通条件，生态环境条件，宣传与监督，旅游规格，空气质量，城市规模，人口密度，人均GDP，人均住房面积，第三产业增加值占GDP比重，税收GDP，外贸依存度，市内外交通，人均拥有绿地面积，污水集中处理率，环境噪音，国内外旅游人数，理赔金额，立案数量，A级景点数量，旅行社数量，星级饭店数量.建立数学模型进行求解. 2.问题分析 本文要求分析Q Y,两个城市的分析Y,两个旅游城市旅游业发展水平，在对Q 中，发现需要考虑因素较多，第一、城市规模与密度，包括城市规模与人口密度.第二、经济条件，包括外贸依存度，人均GDP，人均住房面积，第三产业增加值占GDP比重，税收GDP.第三、交通条件，包括市内外交通.第四，生态环境条件包括空气质量，人均绿地面积，污水处理能力，环境噪音.第五、宣传与监督，包括国内外旅游人数，游客投诉立案件数.第六、旅游规格，包括A级景点个数，旅行社个数，星级饭店个数，这就涉及到层次分析法来估算各个指标的权重，评出最优方案.具体内容如下： （1）本文选择了对Q Y,两个旅游城市旅游业发展水平有影响的19个指标作为评价要素,指标规定如下： 城市规模：城市的人口数量. 人口密度：单位面积土地上居住的人口数.是反映某一地区范围内人口疏密程度的指标.人口影响城市规模.人口密度越大城市规模也就越大. 人均GDP：即人均国内生产总值. 人均城建资金：即用于城市建设的资金总投入. 第三产业增加值：增加值率指在一定时期内单位产值的增加值.即第三产业增加值越高越能带动城市经济的发展. 税收GDP：税收是国家为实现其职能，凭借政治权力，按照法律规定，通过税收工具强制地、无偿地征收参与国民收入和社会产品的分配和再分配取得财政收入的一种形式. 外贸依存度：即城市对于外贸交易的依赖程度. 市内交通：即城市市区交通情况. 市外交通：即城市郊区交通情况.市内交通与市外交通对于城市交通条件具有同等的重要性. 空气质量：即城市总体空气质量情况.空气质量越好对于城市生态环境就越好. 人均绿地面积：即反应城市绿化面积以及人口密度的比值关系. 污水处理能力：城市污水处理水平. 环境噪音：城市环境噪音情况. 国内外旅客人数：国内外来旅客一年总人数.人数越多说明宣传与监督就越好.

立体几何经典题型汇总

1．平面 平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。 （1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内 ，推出点在面内）， 这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。 （2）.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。 （3）.证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合 2. 空间直线. （1）. 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点 [注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等） ②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交 ③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．． 向这个平面所引的垂线段和斜线段） ⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面. ⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在 任何一个平面内的两条直线） （2）. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如右图）. （直线与直线所成角]90,0[??∈θ） （向量与向量所成角])180,0[ ∈θ 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等. （3）. 两异面直线的距离：公垂线段的长度. 空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直. [注]：21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）

层次分析法练习

1．对下列短语作层次分析，如果有歧义，要作不同的分析。 (1)要求我们班明天去主楼开会 (2)访问台湾归来的科学家 (3)咬死了猎人的狗 (4)他的哥哥和妹妹的朋友 (5)三个报社的记者和编辑 (6)看打乒乓球的中小学生 (7)校办工厂幼儿园 (8)看望陈老师的学生 (9)打死老虎 (10)爸爸和妈妈的同事 (11)我们三个一组 2．用层次分析法分析下列词组 (1)恢复和发扬母校的优良传统 (2)母亲那布满皱纹的慈祥的脸 (3)牺牲在这块土地上的烈士 (4)处理好工作、学习二者的关系 (5)用中国乐器演奏的西洋乐曲 (6)积极地培育和正确地使用人才 (7)一位优秀的小学低年级语文教师 (8)那些充满幻想的诗句 (9)交给连长一份秘密文件 (10)发明能打出乐谱的打字机的人 (11)周密的调查能解决问题 (12)在人才集中的研究机关工作 (13)把这个问题讲得又深又透 (14)教室里有两个人在交谈 (15)为国家和人类作出重大贡献的科学工作者 (16)派他到镇上看一下市场情况 (17)矿山建设者的豪迈誓言 (18)不能磨灭的深刻印象 (19)写出更多更好的作品 (20)分析研究以下材料 (21)严格控制基本建设的规模 (22)选他当人民代表 (23)请他到北京参加科学讨论会 (24)谁是最可爱的人 (25)夏天和冬天温差都很大 (26)世界珍惜动物熊猫的故乡中国 (27)浓浓的长长的眉毛和一双不大不小的眼睛 (28)在我们读书的教室里 (29)那个特别红的让他拿走了 (30)沿走廊走过去往右拐就到了

(31)去图书馆借讲法律的书 (32)命令部队迅速占领制高点阻击敌人 (33)老师叫你去办公室交语法作业 (35)扮成一个看山林的人 (36)请你陪小李上街买东西 (37)刚刚打扫完教室的王芳 (38)气氛紧张的会议室里 (39)对国内外旅游者有着极大的吸引力 (40)选你当组长最合适 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！

处理恒成立问题基本方法汇总

处理有关“恒成立”的思路方法 乐山市井研县马踏中学廖德俊与“恒成立”有关的问题一直是中学数学的重要内容，它是函数，数列，不等式，三角等内容交汇处的一个非常活跃的知识点，特别是导数的引入，成为我们更广泛更深入的研究函数，不等式的有利工具，更为我们研究恒成立问题提供了保障。对恒成立问题的考察不仅涉及到函数，不等式等有关的传统知识和方法，而且考察极限，导数等新增内容的掌握和灵活运用。它常与数学思想方法紧密结合，体现了能力立意的原则。恒成立问题涉及到一次函数，二次函数的性质，图象渗透和换元，化归，数形结合，函数与方程等思想方法，有利于考察学生的综合解题能力，培养学生思维的灵活性，创造性，所以是历年高考的热点。 一．恒成立问题的基本类型 按区间分类可分为：①在给定区间某关系的恒成立问题；②在全体实数集上某关系的恒成立问题。 二．处理恒成立问题的基本思路 处理与恒成立有关的问题大致可分以下两种方法 ①变量分离思路处理； ②利用函数的性质，图象思路处理。 若不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，则可将恒成立问题转化为函数的最值问题求解。 在不等式的恒成立问题中，以下充要条件应细心思考，甄别差异，性质使用。

≥∈--∈∴≥=-- =+∴≥-21 例2：若不等式x2+ax+10对一切x (0,]成立,则a 的取值范围为（ ） 2 5 A. 0 B. -2 C. - D.-3 2 111 解析：由于x (0,],a 21115 ()在(0,]上单调递增，在x=取得最小值 2225 ,故选2 方法2：利用函数的性质，图象 其主要体现在： 1，利用一次函数的图象性质 x x x x f x x x a C ≠≥≤≥≥∈?≥≤≤∈?≤若原题可化 为一次函数类型，则由数形结合给定一次函数f(x)=ax+b (a 0).若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)0(或f(x)0)，则 根据函数的图象可得： f(m)0 f(x)0，x [m,n]恒成立{ f(n)0f(m)0 f(x)0，x [m,n]恒成立{ f(n)0 2，利用二次函数的图象性质： >≠??<≤∈220 若 f(x)=ax +bx+c (a 0)大于0恒成立{ 若二次函数在给定区间上恒成立则可利用根的分布和韦达 定理求解。 例1： 函数f(x)是奇函数，且在[-1,1]单调递增，又f(-1)=-1，若 f(x)t -2at+1对所有的a [-1,1]都成立，求t 的取值范围 解析： 不等式中有三个变元，通过逐步消元a ≤∈?≥∈≥∈?≥22max 22法处理。首先选 定主元x ，()在[-1,1]递增 f(x)t -2at+1 a [-1,1]恒成立t -2at+1（x ）[-1,1] 即t -2at+11，a [-1,1]上恒成立t -2at 0 f x f x

层次分析法例题(1)

层次分析法在最优生鲜农产品流通中的应用 班级 （一）、建立递阶层次结构 目标层：最优生鲜农产品流通模式。 准则层：方案的影响因素有：1c 自然属性、2c 经济价值、3c 基础设施、5c 政府政策。 方案层：设三个方案分别为：1A 农产品产地一产地批发市场一销地批发市场一消费者、2A 农产品产地一产地批发市场一销地批发市场一农贸市场一消费者、3A 农业合作社一第三方物流企业一超市一消费者(本文假设农产品的生产地和销地不在同一个地区)。 。 图3—1 递阶层次结构 （二）、构造判断(成对比较)矩阵 所谓判断矩阵昰以矩阵的形式来表述每一层次中各要素相对其上层要素的相对重要程度。为 目标层： 准则层： 方案层：

了使各因素之间进行两两比较得到量化的判断矩阵，引入1～9的标度，见表 为了构造判断矩阵，作者对6个专家进行了咨询，根据专家和作者的经验，四个准则下的两两比较矩阵分别为：

（三）、层次单排序及其一致性检验 层次单排序就是把本层所有要素针对上一层某一要素，排出评比的次序，这种次序以相对的数值大小来表示。 对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量，经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。 W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。 能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。 a，则λ比n 大的越多，A 的不一致性越严重。用最大特征值对由于λ连续的依赖于 ij 应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用λ―n数值的大小来衡量 A 的不一致程度。

立体几何典型例题精选[含答案解析]

F E D C B A ； 立体几何专题复习 热点一：直线与平面所成的角 例1．（2014，广二模理 18） 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥ 平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ? =∠=，3AE = . （1）求证：AB ⊥平面BCF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. · ！ 变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2,1,5,DB DC BC === 2.AB AD ==将左图沿直线BD 折起，使得二面角A BD C --为60,?如右图. （1）求证：AE ⊥平面;BDC （2）求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值.

] 变式2：[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图1-5所示． (1)求证：AB⊥CD； (2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．

热点二：二面角 例2．[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. ? (1)证明：CF⊥平面ADF； (2)求二面角D-AF-E的余弦值． 变式3：[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED ＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2. — (1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B-AD-E的大小． 变式4：[2014·全国19] 如图1-1所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2. (1)证明：AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 -AB -C的大小． 【

层次分析法作业答案(20210228092221)

层次分析法作业答案 您已经去过几家主要的摩托车商店，基本确定将从三种车型中选购一 种。您选择的标准主要有：价格,耗油量大小，舒适程度与外表美观情 况。经反复思考比较，构造了它们的成对比较矩阵为 1 3 7 i i 5 7 i 1 8 5 3 三种车型（记为a,b,c 关于价格，耗油 量,舒适程度及您对她们外观喜欢 程度的成对比较矩阵为 1 2 3 1 1 1 1 5 2 1 2 1 2 5 1 7 （价格）丄 3 1 2 1 （耗油量） 2 丄 7 1 1 3 5 1 1 5 3 1 3 1 4 5 1 7 （舒适程度） 1 1 A （外观） 1 1 d 5 4 1 3 7 1 （1） 根据上述矩阵可以瞧出这四项标准在您的心目中的比重就是不 同的,请按由大到小的顺序排出。 （2） 哪辆车最便宜，哪辆车最省油，哪辆车最舒适，您认为哪辆车最漂 亮？ 用层次分析法确定您对这三种车型的喜欢程度 （用百分比表示）。比 建模过程如下： 8 5 3 1

2.4940 1.2097 0.3894 0.2111 口 1/ 4 （2.4940/0.5753 1.2097/0.2761 0.3894/0.0965 0.2111/ 0.0518） 1.2068 同理，可求得下面四个比较矩阵权向量与最大特征根。 （价格B1） （ 耗油量B2） a b c a b c 1 1 1 2 3 1 a A a 5 2 b — 1 2 b 1 2 c / c 1 1 1 2 1 1 7 3 2 （舒适程度B3） ( 外表B4） 先构建成对比较矩阵 1 3 7 8 x 1 1 1 5 5 2 列向量归一化，得到矩阵 3 x 1 1 7 5 1 3 x 3 1 1 1 8 5 3 x 4 0.6245 0.6818 0.5250 0.4706 0.2082 0.2273 0.3750 0.2941 B= ,然后按行求与得到矩阵 0.0892 0.0455 0.0750 0.1765 0.0781 0.0455 0.0250 0.0588 2.3019 0.5753 1.1046 0.2761 对矩阵C 归一化得到w , 0.3862 0.0965 C 0.2074 0.0518 2.3019 1.1046 ,再 0.3862 0.2074 A* w =

导数中恒成立问题(最值问题)

导数中恒成立问题（最值问题） 恒成立问题是高考函数题中的重点问题，也是高中数学非常重要的一个模块，不管是小题，还是大题，常常以压轴题的形式出现。 知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边） 先来简单的（也是最本质的）如分离变量后，()a f x ≥恒成立，则有max ()a f x ≥ ()a f x ≤恒成立，则有min ()a f x ≤ （若是存在性问题，那么最大变最小，最小变最大） 1.对于单变量的恒成立问题 如：化简后我们分析得到，对[],x a b ?∈，()0f x ≥恒成立，那么只需min ()0f x ≥ [],x a b ?∈，使得()0f x ≥，那么只需max ()0f x ≥ 2.对于双变量的恒成立问题 如：化简后我们分析得到，对[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≥，那么只需min max ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，对[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ?∈使12()()f x g x ≥，那么只需 min min ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ∈使12()()f x g x ≥，那么只需max min ()()f x g x ≥ 还有一些情况了，这里不一一列举，总之一句话（双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理一个变量，再处理另一个变量） 3.对于带绝对值的恒成立问题，我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒成立问题（201 4.03苏锡常镇一模那题特别典型） 今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的，（甚至我提出这样一个观点，所有导数的题目95%归根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论，3%是 ax b +与3ax b +这种形式根的讨论，2%是观察法得到零点，零点通常是1 1,,e e 之类） ，所以如果我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一．二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知()f x =R ，求a 的取值范围 思考：① 引入定义域（非R ） ②参数在二次项，就需考虑是否为0 ③引入高次（3次，4次，1 x ，ln x ，x e 等等） ④引入2a ，3a 等项（导致不能分离变量）