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小学奥数平面几何五种面积模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）

目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如右图12::S S a b =

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，

则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△

图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理

任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：

①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++

蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造

b a S 2

S 1

C B

A S 4

S 3

S 2

S 1

O D

模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：

①2213::S S a b = ②22

1324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．

四、相似模型

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

F E A

B C

F G

①AD AE DE AF AB

===；

②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．

在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）

在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ??=．

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ?和ACO ?的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称

为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，

它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为A B

D O b

a S 3S 2S 1

S 4

O F

D C B

三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题

【例 1】如图，正方形

ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面

积为．

【解析】连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．

三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

66 1.562262 4.54216.5DEF S =?-?÷-?÷-?÷=△,所以长方形EFGH

面积为33．

【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘

米，那么长方形的宽为几厘米？

【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方

形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一

起)．

∵在正方形ABCD 中，G 12

AB S AB AB =??△边上的高， ∴12

ABG ABCD

S S

=△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积

的一半)

同理，1

ABG

EFGB S S =△． ∴正方形ABCD 与长方形

E F G B 面积相等．长方形的宽

106.

=?÷=(厘米)． _

_ A _

_ A _ B

_ G

_ C _ E _ F

_ D

_ A _ B

_ G

_ C

_ E

_ F

_ D

【例 2】长方形ABCD 的面积为

362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任

意一点，问阴影部分面积是多少？

【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：

可得：1

EHB AHB S S ??=、12

FHB CHB S S ??=、12

DHG DHC S S ??=，而

36ABCD AHB CHB CHD S S S S ???=++=

即11()361822

EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ??????++=++=?=；而

EHB BHF DHG EBF

S S S S S ????++=+阴影，

11111

()()36 4.522228

EBF S BE BF AB BC ?=??=????=?=．

所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ?=-=-=阴影

解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，

那么图形就可变成右图：

E (H )

这样阴影部分的面积就是DEF ?的面积，根据鸟头定理，则有：

1111111

3636363613.52222222

ABCD AED BEF CFD S S S S S ???=---=-??-???-??=阴影．

【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边

二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．

【解析】（法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，

假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴

影三角形的面积分别占正方形面积的14

和16

，所以阴影部分的面积为

211

6()1546

?+=平方厘米．

（法2）连接PA 、PC ．

由于PAD ?与PBC ?的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14

，同理可知

左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16

，所以阴

影部分的面积为2116()154

?+=平方厘米．

【例 3】如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为

70，8AB =，

15AD =，四边形EFGO 的面积为．

【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的

面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO

的面积．

由于长方形ABCD 的面积为158120?=，所以三角形BOC 的面积为

1120304?

=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为3

12070204

?-=；又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024??

?-= ???，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．

另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部

分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．

【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则

阴影部分的面积为．

【解析】如图，连接OE ．

根据蝶形定理，1:::1:12

COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ????===，所以

E N O E

S S ??

=； 1

:::1:42

BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ????===，所以15OEM OEA S S ??=．

又11

334

OED ABCD S S ?=?=矩形，26OEA OED S S ??==，所以阴影部分面积为：

36 2.725

?+?=．

【例 4】已知ABC 为等边三角形，面积为

400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC

)

【解析】因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的

中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．

根据图形的容斥关系，有ABC ABN AMC AMHN S S S S S ???-=+-丙，

即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙．又ADF AMHN S S S S S ?+=++乙甲阴影，所以

143400434

ADF S S S S S ?=++-=-?=乙甲丙阴影．

【例 5】如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部

分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是．

E D

C B

C D

E F

【解析】连接AF ，BD ．

根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；

所以，15

27BE CBF F S S ??=

，1227BE CBF C S S ??=，2128

AEG ADG S S ??=，728AED ADG S S ??=，于是：2115

652827

ADG CBF

S S ??+=；712382827ADG CBF S S ??+=；可得40ADG S ?=．故三角形ADG 的面积是40．

【例 6】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，

16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．

【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△，

::4:7(45):(75)

ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(7A D E A B C S S =??△△，设

8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角

形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？

【解析】连接BE ．

∵3EC AE =

∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =

∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．

【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，

3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？

乙

甲

E D

甲

乙

【解析】连接AD ．

∵3BE =，6AE =

∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，

∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．

【例 7】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，

:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．

B A

【解析】连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===??△△

[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=?+?△△，

所以[]:(32):5(32)6:25A D E A B C S S =??

+=△△，设6A D E S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，

ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平

行四边形ABCD 的面积是2，求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．

B C

D E

B C

D E

【解析】连接AC 、BD ．根据共角定理

∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，

∴11113

ABC FBE

S AB BC S BE BF

??===??△△．

又1ABC S =△，所以3FBE S =△．

同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．

所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以21

3618

ABCD

EFGH

S S =

=．

【例 9】如图所示的四边形的面积等于多少？

【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接

求面积.

我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：

把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.

因此，原来四边形的面积为1212144?=.(也可以用勾股定理)

【例 10】如图所示，ABC ?中，90ABC ∠=?，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC

?外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ?的面积．

【解析】如图，将OAB ?沿着O 点顺时针旋转90?，到达OCF ?的位置．

由于90ABC ∠=?，90AOC ∠=?，所以180OAB OCB ∠+∠=?．而OCF OAB ∠=∠，所以180OCF OCB ∠+∠=?，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．

由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=?，所以BOF ?是等腰直角三角形，且斜边

BF 为538+=，所以它的面积为21

8164

?=．

根据面积比例模型，OBC ?的面积为516108

?=．

【例 11】如图，以正方形的边AB

为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，

90AEB ∠=?，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．

【解析】如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ?顺时针旋转90?到ABF ?的位置．

那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=?，而AEB ∠也是90?，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==，所以梯形AFBE 的面积为：

()1

353122

+??=(2cm )．

又因为ABE ?是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，

所以2

1172

ABD S AB ?==(2cm )．

那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ?????=-+=-=-=(2cm )，所以1 2.52

OBE BDE S S ??==(2cm )．

【例 12】如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行

于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，

对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？

【解析】如图，我们将BCD ?平移使得CD 与AF 重合，将DEF ?平移使得ED 与AB 重

合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432?=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．

【例 13】如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且

:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．

3332

1F E

C B

【解析】方法一：连接CF ，根据燕尾定理，1

ABF ACF S BD S DC ==△△，

1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，

如图所标

所以551212

DCEF ABC S S =

=△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1

133

ABD ABC S S ==△△，

11212233

ADE ADC ABC S S S ==?=△△△，所以

1ABD ADE S BF FE S ==△△，

1111111

22323212

DEF DEB BEC ABC S S S S =?=??=???=△△△△，

而211323CDE ABC S S =??=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512

．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．

阴影部分的面积是多少平方厘米

y B C

D E

E D C

B A 【解析】设1DEF

S =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示55

1212

BCD S S =

=△阴影平方厘米.

【例 14】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD

的面积等于三角形BCD 的面积的13

，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度

是DO 的长度的_________倍．

H G

A B

D O

【解析】在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无

外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题．解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==，∴236OC =?=，∴:6:32:1O C O D ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．

∵13ABD

BCD S S ??=，∴13

AH CG =，∴13AOD

DOC S S ??=， ∴13

AO CO =，∴236OC =?=，∴:6:32:1OC OD ==．

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？

【解析】 ⑴根据蝶形定理，123BGC

?=?，那么6BGC

=；

⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AG GC =++=．

【例 15】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、

BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE

△的面积．

F E

【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ?的

面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；

⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为

862-=，

根据蝶形定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ??===，所以

::1G C E G C F S S E G F G ??==，

那么112

21233

GCE CEF S S ??=

=?=+．

【例 16】如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积

为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．

D E

F G

D E

F G

【解析】连接AE ，FE ．

因

为:

2B E E

，:1:2

DF FC =，

所

以

3111

()53210

DEF

ABCD ABCD S

S S =??=长方形长方形．因为1

2AED

ABCD S S =长方形，11::5:1210

AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==平方厘米，所以12AFD S =平方厘米．因为1

AFD

ABCD S S =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．

【例 17】如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中

阴影部分的面积．

【解析】因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝶形定理可以知

道

22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =??=△△△△（）（），设1A G M S =△份，则123M C D S =+=△ 份，所以正方形的面积为1224312++++=份，

224

S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．

【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，

三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是平方厘米．

A B

【解析】连

接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝶形定理得

129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么

12ABCD

=(平方厘米)．

【例 18】已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为

6平方厘

米．则阴影部分的面积是平方厘米．

【解析】连接AC ．

由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，

根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =??=，所以6AOC S =(平方厘米)，9AOD S =(平方厘米)，又691A B C A C D S S ==+=(平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．

【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所

示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．

【分析】连接AE

．由于AD 与

是平行的，所以

AECD

也是梯形，那么

OCD

OAE S S ??=．

根据蝶形定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ?????=?=?=，故2

36OCD S ?=，所以6OCD S ?=(平方厘米)．

【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所

示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．

【解析】连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么

OCD OAE S S ??=．

根据蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ?????=?=?=，故216OCD S ?=，

所以4OCD S ?=(平方厘米)．

另解：在平行四边形ABED 中，()1

168122

ADE ABED

S S

?==?+=(平方厘米)，所以1284AOE ADE AOD S S S ???=-=-=(平方厘米)，

根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244?÷=(平方厘米)．

【例 19】如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中

3块的面积分别

为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．

2O A B

C D

【解析】连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ?=，又根据蝶形定理，

EOD FOC EOF COD S S S S ?????=?，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ?????=?=?=，所以

4EOD S ?=(平方厘米)，4812ECD S ?=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224?=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘

米)．

【例 20】如图，ABC ?是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交

于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ?的面积是多少？

【解析】由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在

梯形ADBC 中，BDK ?和ACK ?的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK

?的面积是ABC ?面积的1113

=+，那么BDK ?的面积也是ABC ?面积的14

．

由于ABC ?是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ?和ACM ?的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ?的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．

那么BDK ?的面积为148124

?=．

【例 21】下图中，四边形ABCD 都是边长为

1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是

AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分

的面积之比是最简分数m n

，那么，()m n +的值等于．

【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观

察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．

如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．

左图中AEGD 为长方形，可知AMD ?的面积为长方形AEGD 面积的14

，所

以三角形AMD 的面积为2111124

??=．又左图中四个空白三角形的面积是

相等的，所以左图中阴影部分的面积为11148

-?=．

如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ．可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的1

，所以三角形BEF 的面积为2111124

??=，梯形AEFC 的面积为1132

-=．

在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4??=，所以三角形EFN 的面积为

311

8122424?=+++，

那么四边形BENF 的面积为1118246

+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463

-?=．

那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223

=，

即32

m n =，那么325m n +=+=．

【例 22】如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，

则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形．

F A D C

【解析】设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，

所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△，因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，

进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形

【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．

A E

D C

【解析】由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷?=

【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，

AD DF FM MP PB ====，则

::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =

△四边形四边形四边形四边形

．【解析】设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此

4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有

5F G N M S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．

所以有

::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形

【例 23】如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F

是BC 边的中点，E 是DC 边上

的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △

C B

M G

【解析】方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，

所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::G B G E A B E

==，所以4432

(442)471111

ABG ABE S S =

=??÷=+△△．

方法二：连接

,AE EF

，分别求4224ABF S =?÷=△，4441232247AEF

S =?-?÷-?÷-=△，根据蝶形定理

B F A E

S S B

G G E ==△△

，所以4432

(442)471111

ABG ABE S S ==??÷=+△△．

【例 24】如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是

1，E 、F 是AB 、AD 的中

点， BF 交EC 于M ，求BMG ?的面积．

Q E G

A D

F E D

【解析】解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而

::1:2

FD BC FH HC ==， ::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，

并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以 ::2:3BG EF BM MF ==，

所以25

BM BF =，1111222

BFD ABD ABCD

S S S ??==?=；又因为13

BG BD =，所以121211

354

BMG BFD S S ??=??=??=

．解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，

可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置， ::2:3BM MF BC IF ==，25

BM BF =，13

BG BD =(鸟头定理)，

可得21211153534

BMG BDF ABCD

S S S ??=?=??=

【例 25】如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边

形

PQRS 的面积为多少？

A 【解析】 (法1)由//A

B CD ，有MP P

C MN

=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以

12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的

，

小学五六年级奥数学竞赛五大模型——共边模型、鸟头模型

大海传功等积变形五大模型——共边模型、鸟头模型共角模型(鸟头模型) 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 1.两个三角形，如果底边相等，高也相等，那么它们的面积相等。拓展：夹在一组平行线间的同底三角形面积相等。 2.两个三角形，如果底相等，一个的高是另一个的n倍，那么它的面积也是另一个的n倍；两个三角形，如果高相等，一个的底是另一个的n倍，那么它的面积也是另一个的n倍。 D A E D E A D D A E E A B C B C B C B 如图,S:S (AB AC):(AD AE) △ABC△ADE C 【例1】(★★)【例2】(★★★) 如图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积为4.6平方厘米，BE=EF=FD，求三角形ABF、CDF、ABD、ACD的面积。如图，由面积分别为2、3、5、7的四个三角形拼成一个大三角形，已知：S△ADE 2,S△AEC 5,S△BDF 7,S△BCF 3, 那么三角形BEF的面积为___________。

如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△OAB、△ABC、△ BCD、△CDE、△DEF的面积都等于1，则 △DCF的面积等于。等腰△ABC中，AB=AC=12cm，BD、DE、EF、FG把它的面积5等分，求AF、FD、DC、AG、GE、EB的长。【例5】（★★★）【例6】(★★★★) 已知四边形ABCD、BEFG、CHIJ为正方形，正方形ABCD边长为10，正方形BEFG边长为6，求阴影部分的面积。E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若 AD=5， BC=7，AE=5 ， EB=3。求阴影部分的面积。 2

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型)-精选.

模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 【例 1】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =， 16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．三角形等高模型与鸟头模型

E D C B A E D C B A 【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△， ::4:7(45):(75) ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设 8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？ E D C B A A B C D E 【解析】连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【巩固】如图，三角形被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =， 6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲 E D C B A A B C D E 甲乙【解析】连接AD ． ∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==， ∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．

六年级下册奥数试题-几何专题全国通用(含答案) (1)

小学奥数几何专题 1、（★★）如图，已知四边形ABCD 中，AB=13，BC=3，CD=4，DA=12，并且BD 与AD 垂直，则四边形的面积等于多少？ [思路]：显然四边形ABCD 的面积将由三角形ABD 与三角形BCD 的面积求和得到．三角形 ABD 是直角三角形，底AD 已知，高BD 是未知的，但可以通过勾股定理求出，进而可以判定三角形BCD 的形状，然后求其面积．这样看来，BD 的长度是求解本题的关键．解：由于BD 垂直于AD ，所以三角形ABD 是直角三角形．而AB=13，DA=12，由勾股定理，BD 2 =AB 2 －AD 2 =132 —122 =25=52 ，所以BD=5．三角形BCD 中BD=5，BC=3，CD=4，又32 十42 =52 ，故三角形BCD 是以BD 为斜边的直角三角形，BC 与CD 垂直．那么： ABCD S 四边形=ABD S ?+BCD S ?=12×5÷2+4×3÷2=36．．即四边形ABCD 的面积是36． 2、（★★）如图四边形土地的总面积是48平方米，三条线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是7平方米和9平方米．那么最大的一个三角形的面积是________平方米； [分析]:剩下两个三角形的面积和是 48-7-9=32 ，是右侧两个三角形面积和的2 倍，故左侧三角形面积是右侧对应三角形面积的2倍，最大三角形面积是 9×2=18。 3．（★★）将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2:3。已知右图中3个阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少？ [思路]：小升初中常把分数，百分数，比例问题处理成份数问题，这个思想一定要养成。解：粗线面积：黄面积=2：3 绿色面积是折叠后的重叠部分，减少的部分就是因为重叠才变少的，这样可以设总共3份，后来粗线变2份，减少的绿色部分为1份，所以阴影部分为2-1=1份， 7 9

六年级奥数专题-4几何五大模型——鸟头模型

几何五大模型——鸟头模型本讲要点一两点都在边上：鸟头定理：（现出“鸟头模型” 。然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。最后按一下，出公式。） S AD×AE △ADE = S AB×AC △ABC A E D B C 二一点在边上，一点在边的延长线上： S CD×CE △CDE = S BC×AC △ABC A E D B C

例3 已知△ DEF的面积为12 平方厘米， BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ ABC的面积。例4 三角形 ABC面积为 1， AB 边延长一倍到 D， BC 延长 2 倍到 E， CA延长 3 倍到 F，问三角形DEF的面积为多少？ F A E C B D

例5 长方形 ABCD面积为 120， EF 为 AD上的三等分点， G、 H、 I 为 DC上的四等分点，阴影面积是多大？例 6 如图，过平行四边形 ABCD内的一点 P 作边AD、BC的平行线 EF 、GH，若 PBD 的面积为 8 平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？ AG D P E F B H C

(完整版)小学数学几何题(总复习)

小学数学几何题小学数学图形计算公式 1、正方形（C：周长 S：面积 a：边长）周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a 2、正方体（V:体积 a:棱长）表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3、长方形（ C：周长 S：面积 a：边长）周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4、长方体（V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高） (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5、三角形（s：面积 a：底 h：高）面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高 6、平行四边形（s：面积 a：底 h：高）面积=底×高 s=ah 7、梯形（s：面积 a：上底 b：下底 h：高）面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8、圆形（S：面积 C：周长л d=直径 r=半径） (1)周长=直径×л=2×л×半径 C=лd=2лr (2)面积=半径×半径×л 9、圆柱体（v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径 c:底面周长） (1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高（4）体积＝侧面积÷2×半径 10、圆锥体（v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径）体积=底面积×高÷3

一、选择题 1、用圆规画一个周长是12.56厘米的圆，圆规两脚之间的距离是（） A 、2厘米 B 、4厘米 C 、12.56厘米 2、监利水文站用来测量水位高低和变化情况的选用（）统计图。 A 、条形 B 、折线 C 、扇形 3、这里共有（）条线段。 A 、三条 B 、四条 C 、五条 D 、六条 4、一个圆柱体和一个圆锥体的底面积相等，圆锥的高是圆柱高的3倍。则圆锥的体积（）圆柱的体积。 A 、小于 B 、等于 C 、大于 5、一个圆柱体,挖去一个最大的圆锥体,成为一个容器，这个容器的体积是原来圆柱的（） A 、13 B 、23 C 、33 6、长方形有（）条对称轴。 A 、1 B 、2 C 、4 D 、无数条 7、棱长为a 厘米的正方体,其体积是（）立方厘米. A 、6a 2 B 、6a C 、a+a+a D 、a 3 8、一个圆柱和一个圆锥的底面积和体积分别相等，如果圆锥的高是9厘米，圆柱的高是（） A 、3厘米 B 、9厘米 C 、27厘米 9、一个长方体的长、宽、高分别是a 米、b 米、h 米，如果高增加3米后，新的长方体体积比原来增加（）立方米。 A 、3ab B 、3abh C 、ab(h+3) D 、abh+33 10、下列图形中，对称轴最多的是（） A 、正方形 B 、长方形 C 、等边三角形 D 、圆 11、甲、乙两车同时从两地相向而行，距中点14千米的地方相遇，两车相遇时，它们所行路程的差是（）千米。 A 、7 B 、14 C 、28 D 、42 12、一块菜地呈半圆形,它的半径是r,周长是（） A 、2πr ×12 B 、πr+r C 、2πr D 、r(2+π) 13、一个正方体棱长扩大2倍,体积就扩大（）倍. A 、2 B 、4 C 、8 D 、16 14、如果一个长方体和圆锥体等底等高，那么长方体的体积是圆锥体积的（） A 、3倍 B 、2倍 C 、1倍 D 、13 15、一个长方形和一个正方形的周长相等，那么它们的面积相比较，（）的面积大。 A 、正方形 B 、长方形 C 、同样大

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).

模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在 △ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图(1)(或D在BA的延长线上，E在AC上如图2)，则ABC : ADE -(AB AC)： (AD AE) 厘米，求△ ABC的面积. 【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE= AD ： AB =2 ：5 =(2 4): (5 4), S A ABE : S A ABC = AE : AC = 4 ： 7 = (4 5) : (7 5)，所以S^ADE: S^ ABC= (2 4) : (7 5),设S A ADE= 8 份，则S A ABC =35份，S A ADE =16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比三角形等高模型与鸟头模型【例1】如图在△ ABC中, D,E分别是AB,AC上的点，且AD: AB =2:5 ,AE:AC =4:7 , S^ADE =16 平方图⑵

【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的 3 倍，如果三角形么三角形ABC的面积是多少？ ?/ EC =3AE --S A BC = 3S ABE 又??? AB =5AD --S|_ADE = S_ABE 5 = S_ ABC 15 ,??? S ABC 如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD=DC=4 , BE=3 , AE=6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ ?/ BE =3 , AE =6 --AB = 3BE , S ABD=3S BDE 又T BD =DC =4 , --S ABC =2S ABD，…S ABC - 6S BDE , 【例2】如图在△ ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB: AD =5: 2 , AE:EC=3:2 , S A ADE =12平方厘米，求△ ABC的面积. 【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE= AD： AB =2:5 =(2 3): (5 3) S A ABE : S A ABC=AE： AC =3:(3 2)=(3 5): 1(3 2) 5】, 所以S A ADE : S A ABC - (3 2) : 5 (3 2^ - 6 : 25，设S A ADE = 6 份，贝V S A ABC = 25 份，S A ADE =12 平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例3】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF =2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米？ ADE的面积等于1，那 = 15S ADE =15 . 【巩固】【解析】连接AD . 【解析】

小学奥数之几何蝴蝶定理问的题目

几何之蝴蝶定理一、基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比等于对应底边之比。 S 1 : S 2 = a : b 定理2：等分点结论( 鸟头定理) 如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的 203 4153=? 定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理) 1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）

梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2 上、下部分的面积比等于上、下边的平方比 2）左、右部分的面积相等 3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab 4）S 的对应份数为（a+b ）2 定理4：相似三角形性质 1） H h C c B b A a === 2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2

C F E A D B C B E F D A 定理5：燕尾定理 S △ABE ∶ S △AEC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶EC S △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FC S △ADC ∶ S △DCB = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB 二、例题例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB = ，13BE BC =，14CF CA =，求三角形DEF 的面积. 例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为35，AB 上的一点，且BE=13 AB,已知四边形EDCA 的面积是

六年级奥数专题几何五大模型鸟头模型

六年级奥数专题几何五大模型鸟头模型 The latest revision on November 22, 2020

几何五大模型——鸟头模型本讲要点一两点都在边上：鸟头定理：（现出“鸟头模型”。然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。最后按一下，出公式。）二一点在边上，一点在边的延长线上：

例1 如图，AD=DB ，AE=EF=FC ，已知阴影部分面积为5平方厘米，△ABC的面积是平方厘米．例2 例2 （1）如图在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7,△ABC的面积是16平方厘米，求△ABC的面积。（2）如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2,△ADE 的面积是12平方厘米，求△ABC的面积。例3 已知△DEF的面积为12平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC的面积。例4 三角形ABC面积为1，AB边延长一倍到D，BC延长2倍到E，CA延长3倍到F，问三角形DEF的面积为多少例5 长方形ABCD面积为120，EF为AD上的三等分点，G、H、I为DC上的四等分点，阴影面积是多大

如图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边AD 、BC 的平行线EF 、GH ，若PBD ?的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米 1. 如下左图，在ABC △中，D 、E 分别是BC 、AB 的三等分点，且ABC △的面积是54，求 CDE △的面积。 2. 如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且12AN BN =．那么，阴影部分的面积等于． 3. 如图以ABC △的三边分别向外做三个正方形ABIH 、ACFG 、BCED ,连接HG 、EF 、 ID ，又得到三个三角形，已知六边形DEFGHI 的面积是77平方厘米，三个正方形的面积分别是9、16、36平方厘米，则三角形ABC 的面积是多少 4. 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使 2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积。 5. 把四边形ABCD 的各边都延长2倍，得到一个新的四边形EFGH 。如果ABCD 的面积是5 平方厘米，则EFGH 的面积是多少家庭作业例6 A C E

小学奥数几何五大模型(鸟头模型)

小学奥数7-7-3 几何中的重叠问题.专项练习

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点 7-7-3.几何中的重叠问题 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．

几何五大模型之二(鸟头定理)

三角形之鸟头模型共角定理（鸟头模型）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在△ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图(或D 、E 分别在BA 、CA 延长线上)，则 AC AB AE AD AC AE AB AD S S ABC ADE ??=?=?? (夹角两边：大大小小??) 即，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比例题讲解： 1、如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ 2、如右图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC 的面积． 3、如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB : AD = 5 : 2，AE :EC = 3: 2，平方厘米12=?ADE S ，求△ABC 的面积．

4、如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． E D C B A 【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？ E D C B A A B C D E 【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲 E D C B A A B C D E 甲乙 5、如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． E D C B A E D C B A

a小学数学奥赛4-3-1 三角形等高模型与鸟头模型(一).学生版

板块一三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底?高2÷ 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1 3 ，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图12::S S a b = b a S 2S 1 D C B A ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形； ⑶6个面积相等的三角形．【例 2】如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上． ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？例题精讲 4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型

小学奥数系列训练题-几何计数通用版

2015年小学奥数计数专题——几何计数 1．用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图,用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形．如果这个大等边三角形昀每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴? 2．如图，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍? 3．图是一个跳棋棋盘，请你计算出棋盘上共有多少个棋孔? 4．如图，在桌面上，用6个边长为l的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形．如果在桌面上要拼出一个边长为6的正六边形，那么，需要边长为1的正三角形多少个？ 5．如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和． 6．如图，18个边长相等的正方形组成了一个3×6的方格表，其中包含“*”的长方形及正方形共有多少个?

7．图是由若干个相同的小正方形组成的．那么，其中共有各种大小的正方形多少个? 8．图中共有多少个三角形? 9．图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．那么，图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个? 10．如图，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少? 11．在图中，共有多少个不同的三角形? 12．如图，一块木板上有13枚钉子．用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正方形、梯形等等，如图．那么，一共可以构成多少个不同的正方形?

13．如图，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵．用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形．在这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形共有多少个? 14．如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形? 15．如图，正方形ACEG的边界上有A，B，C，D，E，F，G这7个点，其中B，D，F分别在边AC，CE，EG上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少? 16．数一数下列图形中各有多少条线段. 17．数出下图中总共有多少个角. 18．数一数下图中总共有多少个角？ 19．如下图中，各个图形内各有多少个三角形？

小学奥数-几何计数-专题

几何计数知识框架图几何计数8计数综合7-7 教学目标 .掌握计数常用方法；1熟记一些计数公式及其推导方法；2. .根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．3本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．知识要点一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些条直线最多将平面分成处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n12个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分2)(nn?n??????223……2成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分…… 在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．

二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．例题精讲【例 1】下图的两个图形(实线)是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律(每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？（4级）【例 2】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?（4

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型)

如图在 △ ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图(1)(或D 在BA 的延长线上， E 在AC 上如图2)，则 ABC : ADE =(AB AC)： (AD AE) 厘米，求△ ABC 的面积. 【解析】连接 BE , S A ADE ：S A ABE 二 AD ： AB =2:5 =(2 4):(5 4), S A ABE : S A ABC 二 AE : AC = 4 ： 7 = (4 5) : (7 5)，所以 S A ADE : S A ABC = (2 4) : (7 5),设 S A ADE = 8 份，则S A ABC =35 份，S A ADE =16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC 的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【巩固】如图，三角形 ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形 ADE 的面积等于1，那么三角形 ABC 的面积是多少？ ??? EC =3AE --S ABC = 3S_ABE 又??? AB =5AD 「?S LADE = S_ABE ' 5 = S_ABC 15 , — S ABC =15S ADE =15 . 【巩固】如图，三角形 ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分, 鸟头模型角形中有一个补，这两个三角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角 (相等角或互补角)两夹边的乘积之比 . 【例1】如图在△ ABC 中, D,E 分别是 AB,AC 上的点，且 AD: AB =2:5 , AE:AC=4:7 , S A ADE *6平方 BD =DC =4 , BE =3 , AE =6，乙部分面图⑵ 【解析】

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).

模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 图⑴ 图⑵ 【例 1】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△， ::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？【解析】连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？【解析】连接AD ． ∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==， ∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 2】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．【解析】连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===??△△ []::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=?+?△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =??+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 3】如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【解析】连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2 倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326?=（）倍．因此，平行四边形的面积为三角形等高模型与鸟头模型

小学奥数几何专题训练附答案

学习奥数的重要性 1. 学习奥数是一种很好的思维训练。奥数包含了发散思维、收敛思维、换元思维、反向思维、逆向思维、逻辑思维、空间思维、立体思维等二十几种思维方式。通过学习奥数，可以帮助孩子开拓思路，提高思维能力，进而有效提高分析问题和解决问题的能力，与此同时，智商水平也会得以相应的提高。 2. 学习奥数能提高逻辑思维能力。奥数是不同于且高于普通数学的数学内容，求解奥数题，大多没有现成的公式可套，但有规律可循，讲究的是个“巧”字；不经过分析判断、逻辑推理乃至“抽丝剥茧”，是完成不了奥数题的。所以，学习奥数对提高孩子的逻辑推理和抽象思维能力大有帮助 3. 为中学学好数理化打下基础。等到孩子上了中学，课程难度加大，特别是数理化是三门很重要的课程。如果孩子在小学阶段通过学习奥数让他的思维能力得以提高，那么对他学好数理化帮助很大。小学奥数学得好的孩子对中学阶段那点数理化大都能轻松对付。 4. 学习奥数对孩子的意志品质是一种锻炼。大部分孩子刚学奥数时都是兴趣盎然、信心百倍，但随着课程的深入，难度也相应加大，这个时候是最能考验人的：少部分孩子凭着天分，凭着在困难面前的百折不挠和愈挫愈坚的毅力，坚持了下来、学了进去、收到了成效；一部分孩子在家长的“威逼利诱”之下，硬着头皮熬了下来；不少孩子更是或因天资不足、或惧怕困难、或受不了这份苦、再或是其它原因而在中途打了退堂鼓。我以为，只要能坚持学下来，不论最后取得什么样的结果，都会有所收获的，特别是对孩子的意志力是一次很好的锻炼，这对他今后的学习和生活都大有益处。六年级几何专题复习如图，已知AB ＝40cm，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接而成，那么阴影部分的面积是_____cm2。(π取3.14)(几何) 有7根直径都是5分米的圆柱形木头，现用绳子分别在两处把它们捆在一起，则至少需要绳子_____分米。(结头处绳长不计，π取3.14) 图中的阴影部分的面积是________平方厘米。(π取3)

奥数专题：几何五大模型(鸟头模型)

鸟头模型如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 【例 1】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16 ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． E D C B A E D C B A 【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△， ::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等

于1，那么三角形ABC 的面积是多少？ E D C B A A B C D E 【解析】连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲 E D C B A A B C D E 甲乙【解析】连接AD ． ∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==， ∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．【例 2】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． E D C B A E D C B A 【解析】连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===??△△ []::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=?+?△△，

六年级奥数专题-4几何五大模型-鸟头模型

几何五大模型——鸟头模型一两点都在边上：鸟头定理：（现出“鸟头模型”。然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。最后按一下，出公式。） △ADE △ABC S AD ×AE =S AB ×AC E D C B A 二一点在边上，一点在边的延长线上： △CDE △ABC S CD ×CE =S BC ×AC

如图，AD=DB ，AE=EF=FC ，已知阴影部分面积为5平方厘米，△ ABC 的面积是平方厘米．例2 （1）如图在△ABC 中，D 、E 分别是AB ，AC 上的点，且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7,△ABC 的面积是16平方厘米，求△ABC 的面积。（2）如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2,△ ADE 的面积是12平方厘米，求△ABC 的面积。例2 例1

已知△DEF 的面积为12平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC 的面积。三角形ABC 面积为1，AB 边延长一倍到D ，BC 延长2倍到E ，CA 延长3倍到F ，问三角形DEF 的面积为多少？ F E D C B A 例4 例3

长方形ABCD 面积为120，EF 为AD 上的三等分点，G 、H 、I 为DC 上的四等分点，阴影面积是多大？如图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边AD 、BC 的平行线EF 、GH ，若PBD 的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？ E F P 例6 例5

小学奥数平面几何五种面积模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)

小学五六年级奥数学竞赛五大模型——共边模型、鸟头模型

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