欧拉角速率和机体角速度转换详细推导
三角函数公式大全81739
三角函数公式大全三角函数定义 函数关系 倒数关系： 商数关系： 平方关系： ． 诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：
公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数
名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切------------------奇变偶不变 根据教的范围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终 边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数 值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得 到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终 边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的 三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负 值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角 的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项 数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。
四元数转欧拉角代码解析
四元数转欧拉角代码解析 本文的内容就是解析正点原子MPU6050的mpu_dmp_get_data()函数中，三个欧拉角的由来，即如何将MPU6050输出的四元数转化为姿态解算所需要的欧拉角。 *pitch = asin(-2 * q1 * q3 + 2 * q0* q2)* 57.3; // pitch *roll = atan2(2 * q2 * q3 + 2 * q0 * q1, -2 * q1 * q1 - 2 * q2* q2 + 1)* 57.3; // roll *yaw = atan2(2*(q1*q2 + q0*q3),q0*q0+q1*q1-q2*q2-q3*q3) * 57.3; //yaw 其实上述三个公式的核心就是将一次的姿态变换分别用四元数矩阵和欧拉角矩阵表示出来，由于这两个矩阵是等价的即对应元素都相等，通过简单的对比运算就可以得到上述的三个公式。 因此，我将从1.四元数矩阵的得到；2.欧拉角矩阵的得到；3.两个矩阵的等价运算三个部分进行说明。 1.四元数矩阵的得到 三重矢量计算公式： AX(BXC)=B(A·C)-C(A·B) 这个公式很好记，右边部分就是BACK-CAB(后面的出租车)
2.欧拉角矩阵的得到 q02+q12+q22+q32=1 从9.2.33到9.2.34的化简，其实就是利用 进行化简，把1去掉即可。 将右侧的矩阵乘开，可得到一个3x1矩阵， 与左边3x1矩阵对应元素相等，这个相等的 关系，就是上个框框中求出的三个等式。 各轴上的单位1，就是图1.2.2矩阵任意 行与列各个元素的平方和为1。
到这里，用欧拉角表示描述一次旋转变换已经结束了。然而，上述的姿态矩阵C n b仅仅是《惯性导航》这本书先Z,再X,最后Y旋转变换而形成的姿态矩阵，这样的旋转顺序其实是和很多大家实际使用的飞控代码不一样的（同样的，关于θφγ的实际意义其实也没有明确的规定）。此文目的就是解析“正点原子”飞控代码中四元数转欧拉角部分，因此，接下来，
线速度、角速度与转速-速度和转速
线速度、角速度与转速 线速度V就是物体运动的速率。那么物理运动360度的路程为：2πR 这样可以求出它运动一周所需的时间，也就是圆周运动的周期： T=2πR/V 角速度ω就是物体在单位时间内转过的角度。那么由上可知，圆周运动的物体在T （周期）时间内运动的路程为2πR ,也就可以求出它的角速度： ω=2π / T =V / R 线速度与角速度是解决圆周运动的重要工具，解题时要灵活运用。 高一物理公式总结 匀速圆周运动 1.线速度V=s/t=2πR/T 2.角速度ω=Φ/t=2π/T=2πf ω×r=V 3.向心加速度a=V2/R=ω2R＝(2π/T)2r 4.向心力F心＝mV2/r＝mω2r＝mr(2π/T)2＝mωv=F合 5.周期与频率：T＝1/f 6.角速度与线速度的关系：V＝ω r 7.角速度与转速的关系ω＝2 π n (此处频率与转速意义相同) 8.主要物理量及单位：弧长(s):米(m)；角度(Φ)：弧度（rad）；频率（f）：赫（Hz）；周期（T）：秒（s）；转速（n）：r/s；半径(r):米（m）；线速度（V）：m/s；角速度（ω）：rad/s；向心加速度：m/s2。 注： （1）向心力可以由某个具体力提供，也可以由合力提供，还可以由分力提供，方向始终与速度方向垂直，指向圆心； （2）做匀速圆周运动的物体，其向心力等于合力，并且向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小，因此物体的动能保持不变，向心力不做功，但动量不断改变。 转速、线速度与角速度： v = (2 π r)/T ω = 2 π/T v = 2 π r/60 ω = 2 πn/60 (T为周期，n为转速，即每分钟物体的转数)参考公式：D1＝√D2＋4TV／3.14 公式中：D1＝当前卷径；D＝前次卷径㎜；T＝料厚μm；V＝线速度m／min。
[实用参考]大学数学公式总结大全
导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分：
一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： ·和差角公式：·和差化积公式： 2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ αβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(
·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：·余弦定理： ·反三角函数性质： 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：中值定理与导数应用： 曲率： 定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 空间解析几何和向量代数： 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用： 方向导数与梯度： 多元函数的极值及其求法： 重积分及其应用： 柱面坐标和球面坐标： 曲线积分： 曲面积分： 高斯公式：
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：常数项级数： 级数审敛法： 绝对收敛与条件收敛： 幂级数： 函数展开成幂级数： 一些函数展开成幂级数： 欧拉公式： 三角级数： 傅立叶级数： 周期为的周期函数的傅立叶级数： 微分方程的相关概念： 阳光怡茗工作室https://www.wendangku.net/doc/7216022256.html, 一阶线性微分方程： 全微分方程： 二阶微分方程： 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
欧拉角与四元数
四元数与旋转 一．四元组基础 Q(x,y,z,w)，其中x，y，z用来确定旋转轴，w为旋转的角度 Q=w+xi+yj+zk，i，j，k为三个虚轴的单位分量 I*j=k J*k=i; K*i=j; 叉乘： c=a × b= | i j k| |a1 b1 c1| |a2 b2 c2| =(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1) c也为一个向量，且c的长度为|a||b|sin(theta)，垂直于a和b所在的平面，方向由右手法则来判定，用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向 1．四元组相乘： Q1=w1+x1i+y1j+z1k=(w1,v1) Q2=w2+x2i+y2j+z2k=(w2,v2) Q1*Q2=(w1*w2-
欧拉公式推导
欧拉公式推导： 图4.3所示的两端铰支杆件，受轴向压力N 作用而处于中性平衡微弯状态，杆件弯曲后截面中产生了弯矩M 和剪力V ，在轴线任意点上由弯矩产生的横向变形为1y ，由剪力产生的横向变形为2y ，总变形21y y y +=。 y 图4.3 两端铰支的轴心压杆临界状态 设杆件发生弯曲屈曲时截面的临界应力小于材料比例极限p f ，即p f ≤σ（对理想材料取y p f f =）。由材料力学可得： EI M dz y d -=2 12 由剪力V 产生的轴线转角为： dz dM GA V GA dz dy ?=?==ββγ2 式中 A 、I ——杆件截面面积、惯性矩； E 、G ——材料的弹性模量、剪切模量； β—— 与截面形状有关的系数。 因为 222 22dz M d GA dz y d ?=β 所以 2222122222d y d y d y M d M dz dz dz EI GA dz β=+=-+? 由 y N M ?=得： 2222dz y d GA N y EI N dz y d ?+?-=β
01=?+??? ??-''y EI N GA N y β 令 ??? ??-=GA N EI N k β12 得常系数线性二阶齐次方程 20y k y ''+= 其通解为：sin cos y A kz B kz =+ 由边界条件：;0,0==y z 0=B ，kz A y sin =。再由0,==y l z 得： 0sin =kl A 上式成立的条件是0=A 或0sin =kl ，其中0=A 表示杆件不出现任何变形，与杆件微弯的假设不符。由0sin =kl ，得πn kl =（=n 1，2，3…），取最小值=n 1，得π=kl ，即 2 221N k N l EI GA πβ==??- ??? 由此式解出N ，即为中性平衡的临界力cr N 12222222211Ι11γππβππ?+?=?+?=l ΕΙl ΕGA l ΕΙl ΕΙ N cr （4.6） 临界状态时杆件截面的平均应力称为临界应力cr σ 12 22211γλπλπσ?+?==ΕΑΕA N cr cr （4.7） 式中 1γ——单位剪力时杆件的轴线转角，)/(1GA βγ=； l ——两端铰支杆得长度； λ——杆件的长细比，i l /=λ； i ——杆件截面对应于屈曲轴的回转半径，A I i /=。 如果忽略杆件剪切变形的影响（此影响很小）则式（4.6）、（4.7）变为： 22cr E πσλ = （4.8）
最全高中数学三角函数公式
定义式 ） ct 函数关系 倒数关系：；； 商数关系：；． 平方关系：；；．诱导公式
公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系：
记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作 锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：
记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用： 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。
Unity旋转(四元数)
在Unity 3D中，实现物体旋转有多种方式，如旋转矩阵、欧拉角和四元数等[1]。旋转需要两个基本参量轴和角，物体从一个方位旋转到另一个方位可以采用多次改变轴和角的方式，依次旋转。其中，有一种旋转方式是只绕一个轴旋转一次就能达到指定方位，且旋转角度在﹣180°～180°之间，称 这样的旋转方式为最短旋转。 任意指定两个方位，要找出其中的最短旋转并不是一件容易的事。本文将给出最短旋转的数学描述以及在Unity 3D中实现最短旋转的方法。 最短旋转的数学描述 刚体的运动包括平动和转动。描述刚体的空间位置，用三维空间坐标点（x,y,z）表示，在Unity 3D中有3个基本坐标系，分别是世界坐标系、惯性坐标系与本地坐标系。相应的，描述刚体的旋转状态，即方位，是本地坐标系与惯性坐标系所形成的角度变化，采用欧拉角来描述。由于本文不涉及平移，因此为方便讨论，将惯性坐标系和世界坐标系重合。 众所周知，“两点之间线段最短”，同样两个方位之间也存在类似的关系，即最短旋转，两点之间的距离用两点位置之差来描述。相应的，两个方位之间的最短旋转用两个方位的四元数之比来描述。 如果方位a的四元数为q1，方位b的四元数为q2，刚体从方位a旋转到方位b的最短旋转的四元数为q，则q = q2÷q1。 设四元数q的4个分量分别是(x,y,z,w)，该四元数隐含了旋转轴向量n和旋转角d，设轴向量n 的3个分量为(nx,ny,nz)。一般将轴n和角d写成“轴角对”的形式，即(n,d)=(nx,ny,nz,d )。四元数q=(x,y,z,w)与轴角对(n,d)=(nx,ny,nz,d )之间的关系为： q = (x,y,z,w) = (nx*sin(d/2),ny*sin(d/2),nz*sin(d/2),cos(d/2)) 在Unity 3D中，改变欧拉角和改变四元数是两种基本的旋转方式，Unity 3D提供了Lerp和Slerp 两种插值函数，在两个方位之间进行采样插值。对欧拉角的Lerp插值，很难实现最短旋转，而四元数Slerp函数插值则非常容易实现最短旋转，下面通过例子来进行验证。 在Unity3D中改变欧拉角实现旋转 在Unity 3D中，制作一个空物体，命名为a，该物体位于世界坐标系的原点位置，在其下面放置一个立方体Cube和一个小球Sphere，调整立方体和小球的大小和位置，如下图所示，让小球位于立方体的一个角点。
欧拉公式的证明(整理)Word版
欧拉公式的证明 著名的欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ是人们公认的优美公式。原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却发现了他们可以相互转化，并被一个非常简单的关系式联系在一起。特别是当θ=π时，欧拉公式便写成了e^(iπ)+1=0,就这个等式将数中最富有特色的五个数0，1，i , e , π ,绝妙地联系在一起 方法一：用幂级数展开形式证明，但这只是形式证明（严格的说，在实函数域带着i只是形式上的） 再抄一遍：设z = x+iy 这样 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x = e^(iy) 用牛顿幂级数展开式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+...... 把 e^(iy) 展开，就得到 e^z/e^x = e^(iy) =1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-..... =(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....) +i(y-y^3/3!+y^5/5!-....) 由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+....., siny = y-y^3/3!+y^5/5!-.... 所以 e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny) 即 e^(iy) = (cosy+isiny) 方法二：见复变函数第2章，在整个负数域内重新定义了sinz cosz而后根据关系推导出了欧拉公式。着个才是根基。由来缘于此。 方法一是不严格的。 再请看这2个积分 ∫sqrt(x^2-1)dx=x*sqrt(x^2-1)/2-ln(2*sqrt(x^2-1)+2x)/2 ∫sqrt(1-x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2; 上式左边相当于下式左边乘以i 于是上式右边相当于下式右边乘以i 然后化简就得到欧拉公式 这个证明方法不太严密 但很有启发性 历史上先是有人用上述方法得到了对数函数和反三角函数的关系 然后被欧拉看到了,才得到了欧拉公式 设a t θ ?R,ρ?R+,a^(it)?z有: a^(it)=ρ(cosθ+isinθ) 1 因共轭解适合方程,用-i替换i有: a^(-it)=ρ(cosθ-isinθ) 2
欧拉公式的证明
欧拉公式的证明 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
欧拉公式的证明 着名的欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ是人们公认的优美公式。原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却发现了他们可以相互转化，并被一个非常简单的关系式联系在一起。特别是当θ=π时，欧拉公式便写成了e^(iπ)+1=0,就这个等式将数中最富有特色的五个数0，1，i , e , π ,绝妙地联系在一起 方法一：用幂级数展开形式证明，但这只是形式证明（严格的说，在实函数域带着i只是形式上的） 再抄一遍：??? 设z = x+iy 这样 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是 e^z/e^x = e^(iy) 用牛顿幂级数展开式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+...... 把 e^(iy) 展开，就得到 e^z/e^x = e^(iy) =1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-..... =(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....) +i(y-y^3/3!+y^5/5!-....) 由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....,
siny = y-y^3/3!+y^5/5!-.... 所以 e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny) 即 e^(iy) = (cosy+isiny) 方法二：见复变函数第2章，在整个负数域内重新定义了sinz cosz而后根据关系推导出了欧拉公式。着个才是根基。由来缘于此。 方法一是不严格的。 再请看这2个积分 ∫sqrt(x^2-1)dx=x*sqrt(x^2-1)/2-ln(2*sqrt(x^2-1)+2x)/2 ∫sqrt(1-x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2; 上式左边相当于下式左边乘以i 于是上式右边相当于下式右边乘以i 然后化简就得到欧拉公式 这个证明方法不太严密 但很有启发性 历史上先是有人用上述方法得到了对数函数和反三角函数的关系 然后被欧拉看到了,才得到了欧拉公式 设a t θ ?R,ρ?R+,a^(it)?z有:
旋转矩阵、欧拉角、四元数
旋转矩阵、欧拉角、四元数比较 旋转矩阵、欧拉角、四元数主要用于: 向量的旋转、坐标系之间的转换、角位移计算、方位的平滑插值计算 各方法比较 任务/性质旋转矩阵欧拉角四元数 在坐标系间(物体和惯性)旋转点能不能(必须转换到矩 阵) 不能(必须转换到矩 阵) 连接或增量旋转能,但经常比四元数 慢,小心矩阵蠕变的情 况 不能能,比矩阵快 插值基本上不能能,但可能遭遇万向锁 或其他问题Slerp提供了平滑插值 易用程度难易难 在内存或文件中存储9个数3个数4个数 对给定方位的表达方式是否唯一是不是,对同一方位有无 数多种方法 不是,有两种方法,它 们互相为互 可能导致非法矩阵蠕变任意三个数都能构成 合法的欧拉角可能会出现误差积累,从而产生非法的四元数 不同的方位表示方法适用于不同的情况。下面是我们对合理选择格式的一些建议: l 欧拉角最容易使用。当需要为世界中的物体指定方位时,欧拉角能大大的简化人机交互, 包括直接的键盘输入方位、在代码中指定方位(如为渲染设定摄像机)、在调试中测试。这个优点不应该被忽视,不要以”优化”为名义而牺牲易用性,除非你去顶这种优化的确有效果。 2如果需要在坐标系之间转换响亮,那么就选择矩阵形式。当然,这并不意味着你就不能用其他格式来保存方位,并在需要的时候转换到矩阵格式。另一种方法是用欧拉角作为方位的”主拷贝”但同时维护一个旋转矩阵,当欧拉角发生改变时矩阵也要同时进行更新。
3 当需要大量保存方位数据(如:动画)时,就使用欧拉角或四元数。欧 拉角将少占用25%的内存,但它在转换到矩阵时要稍微慢一些。如果动画数据需要嵌套坐标系之间的连接,四元数可能是最好的选择。 4 平滑的插值只能用四元数完成。如果你用其他形式,也可以先转换 到四元数然后再插值,插值完毕后再转换回原来的形式。
角速度与线速度的关系
角速度与线速度的关系 A卷 一、填空题 1．如图所示，O1、O2两轮通过摩擦传动，传动时两轮间不打滑， 两轮的半径之比为r1：r2，A、B分别为O1、O2两轮边缘上的点， 则A、B两点的线速度大小之比为v A：v B＝，角速度之比为 ωA：ωB＝，周期之比为T A：T B＝，转速 之比为n A：n B＝。 二、选择题 2．时钟上时针、分针和秒针的角速度关系是（）。 （A）时针与分针的角速度之比为1∶60 （B）时针与分针的角速度之比为1∶12 （C）分针与秒针的角速度之比为1∶12 （D）分针与秒针的角速度之比为1∶60 3．在质点做匀速圆周运动的过程中，发生变化的物理量是（） （A）频率（B）周期 （C）角速度（D）线速度 根据铭牌中的有关数据，可知该车的额定时速约为（）。 （A）15 km/h （B）18 km/h （C）20 km/h （D）25 km/h 5．一个质点沿半径为R的圆周做匀速圆周运动，周期为4s，在1s内质点位移的大小和路程分别是（）。 （A）R，πR/2 （B）πR/2，πR/2 （c） 2 R，πR/2 （D）πR/2， 2 R 6．质点A沿竖直平面内、半径为R的圆周从最高点开始顺时针做匀速圆周运动，质点B 在圆周最高点的正上方比最高点高2R的地方同时做自由落体，为使两质点能相遇，质点A 的速度v应满足什么条件？ B卷 一、填空题 1．某人在地球上北纬30°的某一点，则他随地球自转的线速度大小为m/s，角速度rad/s，他随地球绕太阳公转的线速度大小为m/s，角速度为rad/s。已知地球半径为R地＝6400 km，日地距离为r＝1.5×108km。 2．如图所示，一辆自行车上连接踏脚板的连杆长为R1，由踏脚板 带动半径为r1的大齿盘，通过链条与半径为r2的后轮齿盘连接，再 带动半径为R2的后轮转动。若将后轮架空，踩踏脚板使后轮匀速转 动，则踏脚板上一点和后轮边缘的一点的角速度之比为，线速
大一高等数学公式(精华整理的)
高等数学公式 1导数公式： 2基本积分表： 3三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
欧拉公式的证明
欧拉公式的证明（是我摘录的） 2008/10/23 16:49 看到了q239urju空间里关于欧拉公式的证明。本着为人民服务的思想，我在此做一些补充： 方法一：用幂级数展开形式证明，但这只是形式证明（严格的说，在实函数域带着i只是形式上的）（就是q239urju空间里的那个） 再抄一遍：设z = x+iy 这样 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x = e^(iy) 用牛顿幂级数展开式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+...... 把 e^(iy) 展开，就得到 e^z/e^x = e^(iy) =1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-..... =(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....) +i(y-y^3/3!+y^5/5!-....) 由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+....., siny = y-y^3/3!+y^5/5!-.... 所以 e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny) 即 e^(iy) = (cosy+isiny) 方法二：见复变函数第2章，在整个负数域内重新定义了sinz cosz而后根据关系推导出了欧拉公式。着个才是根基。由来缘于此。 方法一是不严格的。
a^(it)=ρ(cosθ+isinθ) 1 因共轭解适合方程,用-i替换i有: a^(-it)=ρ(cosθ-isinθ) 2 由1,2得ρ=1,点P[a^(it)]在单位圆上,a^(it)可表达为: a^(it)=cosθ+isinθ 3 设t=u(θ),对3微商有: [a^(it)]*(lna)*u'(θ)*i=-sinθ+icosθ整理有: [a^(it)]*(lna)*u'(θ)*i=(cosθ+isinθ)(cosπ/2+isinπ/2)约去a^(it)有: u'(θ)=logae 4 4取积分有: T=(logae)*θ+Ψ 5 θ→0时,t=limt=Ψ,带入3有: a^(iΨ)=1 即: Ψ=0 6 6代入5有: T=(logae)*θ 7 7代入3有: [a^(logae)]^(iθ)=cosθ+isinθ化简得欧拉公式: e^(iθ)=cosθ+isinθ （后两者才是真正让我震惊的！！！！）
四元数矩阵转化
//公式都是网上搜罗的，下面这些经过简单的测试，确认可用。 //ps: x,y,z,w 分别是四元素的四个值。稍微修改下就可以用。 // 由旋转矩阵创建四元数 inline CQuaternion(const_Matrix4& m) { float tr, s, q[4]; int i, j, k; int nxt[3] = {1, 2, 0 }; // 计算矩阵轨迹 tr = m._11 + m._22 + m._33; // 检查矩阵轨迹是正还是负 if(tr>0.0f) { s = sqrt(tr + 1.0f); this->w = s / 2.0f; s = 0.5f / s; this->x = (m._23 - m._32) * s; this->y = (m._31 - m._13) * s; this->z = (m._12 - m._21) * s; } else { // 轨迹是负 // 寻找m11 m22 m33中的最大分量 i = 0; if(m.m[1][1]>m.m[0][0]) i = 1; if(m.m[2][2]>m.m[i][i]) i = 2; j = nxt[i]; k = nxt[j]; s = sqrt((m.m[i][i] - (m.m[j][j] + m.m[k][k])) + 1.0f); q[i] = s * 0.5f; if( s!= 0.0f) s = 0.5f / s; q[3] = (m.m[j][k] - m.m[k][j]) * s; q[j] = (m.m[i][j] - m.m[j][i]) * s; q[k] = (m.m[i][k] - m.m[k][i]) * s; this->x = q[0]; this->y = q[1]; this->z = q[2]; this->w = q[3]; }
角速度与线速度、向心加速度与力的关系(含答案)
角速度与线速度 一、基础知识回顾 1．请写出匀速圆周运动定义，特点，条件. (1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。 (2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。 (3)条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。 2．试写出线速度、角速度、周期、频率，转数之间的关系 T r t s v π2==； T t π?ω2==； f T 1=； v=ωr ； 转数（转/秒）n=f 二、例题精讲 【例题1】如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r ，b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r ，c 点和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上，皮带不打滑，则. ( ) A ．a 点与b 点的线速度大小相等 B ．a 点与b 点的角速度大小相等 C ．a 点与c 点的线速度大小相等 D ．a 点与d 点的向心加速度大小相等 因为右轮和左侧小轮靠皮带传动而不打滑，所以v a =v c ，选项C 正确. b 、 c 、 d 绕同一轴转动，因此ωb =ωc =ωd . ωa =r v r v c a ==2ωc 选项B 错误. 22a c c b b v v r r v ====ωω 选项A 错误. r v r a a c a 220== r v r r r v a c d a d 2224)4(4=?==ω ∴a d = a a ∴正确答案为C 、D 【例题2】 如图2所示，一个圆环，以竖直直径AB 为轴匀速转动，如图所示，则环上M 、N 两点的线速度的大小之比v Ｍ∶v N ＝ ；角速度之比ωＭ∶ωN ＝ ；周期之比T Ｍ∶T N ＝ . 图2 图 3
临界力和欧拉公式
临界力和欧拉公式 杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将由稳定状态转化为不稳定状态。这个压力的限度称为临界力P cr。它是压杆保持直线稳定形状时所能承受的最小压力。 为了计算压杆的稳定性，就要确定临界力的大小。通过实验和理论推导，压杆临界力与各个因素有关： (1) 压杆的材料，P cr与材料的弹性模量E成正比，即 (2）压杆横截面的形状和尺寸，P cr与压杆横截面的轴惯性矩J成正比，即 (3) 压杆的长度，P cr与长度的平方l2成反比，即 (4) 压杆两端的支座形式有关，用一个系数表示，称为支座系数 ，列于表1-10。为计算方便，写成 欧拉计算的结果（此处从略），细长压杆的临界力为 ， (1-72) 上式称为欧拉公式。当已知压杆的材料、尺寸和支座形式时，即可由欧拉公式求得临界力 根据欧拉公式，若要提高细长杆的稳定性，可从下列几方面来考虑： (1) 合理选用材料临界力与弹性模量E成正比。钢材的E值比铸铁、铜、铝的大，压杆选用钢材为宜。合金钢的E值与碳钢的E值近似，细长杆选用合金钢并不能比碳钢提高稳定性，但对短粗杆，选用合金钢可提高工作能力。 (2) 合理选择截面形状临界力与截面的轴惯性矩J成正比。应选择J大的截面形状，如圆环形截面比圆形截面合理，型钢截面比矩形截面合理。并且尽量使压杆横截面对两个互相垂直的中性轴的J值相近。如下图中的(a)所示的截面就比(b)好。
(3) 减少压杆长度临界力与杆长平方成反比。在可能的情况下，减小杆的长度或在杆的中部设置支座，可大大提高其稳定性。 (4) 改善支座形式临界力与支座形式有关。固定端比铰链支座的稳定性好，钢架的立柱，其柱脚与底板的联系形式，能提高立柱受压时的稳定性。像下图中所示的(a)的支座形式就比(b)中的要好。 表1-10 压杆长度系数
三角函数和双曲函数公式表
三角函数的定义 直角坐标系中定义 直角三角形定义 a, b, h 为角A的对边、邻边和斜边在笛卡尔平面上f(x) = sin(x) 和f(x) = cos(x) 函数的 图像。 单位圆定义 六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是： x2+y2=1 对于大于 2π或小于?2π的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：
级数定义 只使用几何和极限的性质，可以证明正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦。（在微积分中，所有角度都以弧度来度量）。我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数x都成立： 这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点（比如，在傅立叶级数中），因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。 在这种形式的表达中，分母是相应的阶乘，分子称为“正切数”，它有一个组合解释：它们枚举了奇数势的有限集合的交错排列（alternating permutation）。
在这种形式的表达中，分母是对应的阶乘，而分子叫做“正割数”，有组合解释：它们枚举偶数势的有限集合的交错排列。 从复分析的一个定理得出，这个实函数到复数有一个唯一的解析扩展。它们有同样的泰勒级数，所以复数上的三角函数是使用上述泰勒级数来定义的。 与指数函数和复数的联系 可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数在它的自变量为纯虚数时候的虚数和实数部分： 这个联系首先由欧拉注意到，叫做欧拉公式。在这种方式下，三角函数在复分析的几何解释中变成了本质性的。例如，通过上述恒等式，如果考虑在复平面中 eix 所定义的单位圆，同上面一样，我们可以根据余弦和正弦来把这个圆参数化，复指数和三角函数之间联系就变得更加明显了。 进一步的，这样就可以定义对复自变量 z 的三角函数： 这里 i2=?1还有对于纯实数 x， 微分方程定义 正弦和余弦函数都满足微分方程
四元数,欧拉角,矩阵的相互转换
四元数，欧拉角，矩阵的相互转换 网上太多的将转换的了，翻来覆去转载没有意义。。奉上源码，TC下直接编译即可～～在附上编译好了的exe可以直接下载运行～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～不华丽的分割～～以下是源码～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ /* 输入欧拉角，能看到四元数，以及再转换回去成欧拉角Yaw范围（-180~180）Pitch范围（-90~90）Roll范围（-180~180）*/ #include "stdio.h"#include "math.h"#include "conio.h"main(){float theta_z , theta_y ,theta_x ;float cos_z_2;float cos_y_2;float cos_x_2;float sin_z_2;float sin_y_2;float sin_x_2;float Pitch;float Roll;float Yaw;float Q[4];float T[3][3];do{printf("/nYaw = ");scanf("%f",&theta_z);printf("/nPitch = ");scanf("%f",&theta_y);printf("/nRoll = ");scanf("%f",&theta_x);theta_z = theta_z*3.1416/180;theta_y = theta_y*3.1416/180;theta_x = theta_x*3.1416/180;cos_z_2 = cos(0.5*theta_z);cos_y_2
四元素与欧拉角
1.欧拉角 在四元数出现之前先看下欧拉角： 对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。为了后面的角度不混乱，我们要先区分参考系和坐标系的概念。 参考系即为大地参考系，是静止不动的。而坐标系则固定于四轴飞行器，随着四轴飞行器的旋转而旋转。 按照右图所示。设定xyz-轴为四轴上的参考轴，XYZ-轴则是大地的参考轴。右图即为四轴相对地面进行了一定旋转，xy-平面与XY-平面的相交线为交点线，用英文字母（N）代表。我们可以这样定义欧拉角： α是x-轴与交点线的夹角 β是z-轴与Z-轴的夹角 γ是交点线与X-轴的夹角 这样我们就可以用三个欧拉角：(α，β，γ)其取值为0-360来描述四轴飞行器相对于大地的参考系的姿态角度了。 三个欧拉角：(α，β，γ)。蓝色的轴是xyz-轴，红色的轴是XYZ-坐标轴。绿色的线是交点线(N) 。 2.轴角 欧拉角使用roll，pitch，yaw来表示这些分量的旋转值。需要注意的是，这里的旋转是针对大地参考系说的，这意味着第一次的旋转不会影响第二、三次的转轴，简单的说，三角度系统无法表现任意轴的旋转，只要一开始旋转，物体本身就失去了任意轴的自主性，这也就导致了万向节锁（Gimbal Lock）的问题。 什么是Gimbal Lock？ 正如前面所说，因为欧拉描述中针对x,y,z的旋转描述是世界坐标系下的值，所以当任意一轴旋转90°的时候会导致该轴同其他轴重合，此时旋转被重合的轴可能没有任何效果，这就是Gimbal Lock，还有一种是轴角的描述方法，这种方法比欧拉描述要好，它避免了Gimbal Lock，它使用一个3维向量表示转轴和一个角度分量表示绕此转轴的旋转角度，即(x,y,z,angle)，一般表示为(x,y,z,w)或者(v,w)。(x,y,z)为旋转轴，w为旋转角度。但这种描述法却不适合插值。
角速度与线速度的关系
如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！ 课题：4B 角速度与线速度的关系 松江区教师进修学院附属立达中学陆美群 〖教学设计思路〗： 本节包括两部分内容，一是角速度与线速度的关系；二是周期、转速与角速度、线速度的关系。 设计的基本思路是：根据线速度和角速度的定义以及数学知识推导出线速度与角速度关系。然后根据周期、转速的含义导出它们与角速度、线速度的关系式。最后通过对自行车的探索研究，巩固所学知识，感悟物理学在生活、生产等方面的重要作用。 突出的重点是：角速度与线速度的关系。在导出角速度和线速度的关系式v＝ωr后，要注意结合实例——同轴转动和皮带、链及齿轮传动的讨论，引导学生认识角速度和线速度的区别与联系。 要突破的难点是：对自行车的探索研究，巩固所学知识。 完成本设计的内容约需2课时。 〖教学目标〗： 1．知识与技能 （1）理解线速度、角速度都是描述质点做圆周运动的快慢的物理量，找出两者的关系。 （2）理解引入周期、转速等概念的必要性。 （3）能自己推导周期、转速与角速度、线速度之间的关系。 2．过程与方法 （1）讨论同轴转动和皮带、链及齿轮传动的现象，感受观察、实验、分析、比较、归纳等科学方法。 （2）运用角速度和线速度关系的知识解决实际问题，感受具体问题具体分析的方法。 3．情感、态度与价值观 （1）分析生活实例，探究自行车的问题，感悟物理源于生活，提高学习物理的兴趣。 （2）感受学习过程中的讨论、交流的乐趣，激发与他人合作、交流的愿望。 〖教学的重点和难点〗： 重点：掌握描述圆周运动的角速度、线速度、周期、转速的意义及相互间的关系。 难点：生活实例分析。 〖教学资源〗： 电脑、投影仪、多媒体课件、自行车等。 〖教学流程〗：