随机过程课件第6章

随机过程-习题-第6章

6.1 6.2 6.3 6.4设有n 维随机矢量)(21n ξξξξτ =服从正态分布，各分量的均值为 n i a E i ,,2,1, ==ξ，其协方差矩阵为 ????? ? ??? ? ?=22 2 2 2 2 2000000σσσσσσσ a a a B 试求其特征函数。 解：n 元正态分布的特征函数为 }2 1 e x p {),,,(21][Bt t t j t t t n '-'=μφξ n i a E i ,,2,1, ==ξ ),,,(21n t t t t =' ，则 ∑== 'n i i jat t j 1 μ ()()),,,(2 1 2 23222 2212 1' ++='n n t t t t t a t t a t t Bt t σσσσσσ =22223232222221221σσσσσσn t t a t t t a t t t ++++++ =∑∑ -=+=+ 1 1 2112 2n i i i n i i a t t t σσ

∴]21exp[)]21(exp[),,,(1 1 211 2221][∑ ∑ -=+=- -=n i i i n i i i n a t t t jat t t t σσφξ 6.5. 设n 维正态分布随机矢量)(21n T ξξξξ =各分量的均值为i E i =ξ， n i ,3,2,1=，各分量间的协方差为 n i m i m n b i m ,3,2,1,|,|,=--= 设有随机变量∑==n i i 1 ξη，求η的特征函数。 解：易得：???? ? ???????=n ξξξη 21]111[ 2 ) 1(][][1 1 += ==∑∑==n n i E E n i n i i ξη 协方差矩阵为： ??????? ??? ? ?? ???------=n n n n n n n n n n 321 312211121B 所以 ]111[]111['??= B ηD =2 2 3n n + 由于高斯分布的随机变量的线形组合依旧是高斯分布的，所以η的特征函数为： ?? ? ???????++-+=2456822)1(exp )(t n n n t n n j t ηΦ 6.6 设有三维正态分布随机矢量)(321ξξξξ=T ，其各分量的均值为零，即0][=i E ξ )3,2,1(=i ，其协方差矩阵为 ???? ? ??=333231232221131211b b b b b b b b b B

上海大学随机过程第六章习题与答案

第三章 习 题 1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概 率为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链. （1）写出状态空间； （2）求一步转移概率矩阵； （3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为 {2,1,0,1,2}S =-- （2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为 10000000 0000 1q r p q r p q r p ????????=???????? P （3）因为两步转移概率矩阵为 22 (2) 2222 22 1 0000 202220 20 000 1q rq r pq pr p q rq r pq pr p q qr pq r p pr ????++????==+? ?++?????? P P 所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为 (2) 12(1)p p pr p r =+=+ 2．设{,1,2,}i Y i =L 为相互独立的随机变量序列，则

（1）{,1,2,}i Y i =L 是否为Markov 链？ （2）令1 n n i i X Y == ∑，问{,1,2,}i X i =L 是否为Markov 链？ 解（1）由于 11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,) ()()()() ()() (,,,) n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------================= ========L L L L L 因此，{,1,2,}n Y n =L 是马尔可夫链. （2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依 次 类 推 ， 1121 n n X U U U --=+++L 为 1 n U -的函数，记为 1112(),n n n n f U X U U U --=+++L 为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U L L 相互 独立，则其相应的函数1122(),(),,(),n n f U f U f U L L 也相互独立，从而 12211122111 1112211 (,,,)(,,,) (,,,)()() n n n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑L L L 因此{,1,2,}n X n =L 是马尔可夫链. 3 设,1,2,i X i =L 是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j ===L ，如果 max{,1,2,,1}n i X X i n >=-L ，其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻 n 产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值. （1）证明，{,1,2,}n R n =L 是Markov 链，并求其转移概率； （2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n =L 是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率. 证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足

2012-2013秋季学期《随机过程》第六章习题

中科院研究生院2012～2013第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 第六章 高斯过程（维纳过程） 习题 1、 设有随机过程Y ，∞<= ∫t ds s Y t Z t 2、 设是初值为零的标准布朗运动，令0,)(≥t t B 10)],1/([)1()(<≤??=t t t B t t ξ，的常数，试求随机过程0,0),12>≥?a t at η()(=?e B e t at )(t ξ和)(t η的均值函数和相关函数，并说明)(t ξ和)(t η是否是正态过程。 3、 设是标准的布朗运动，试求与的相关系数，其中： 。 }0,)({≥t t B 1≤≤t )(t B ∫1 0)(du u B 04、 已知是初值为0的标准布朗运动， 求在0),(>t t B 0)1(=B 时的条件概率分布密度函数。 )10()(<b ,0>0≥6、 设{为零初值的标准布朗运动，试求： }0),(≥t t B （1） 在的条件下，的条件概率密度函数，其中t ； 01)(x t B =)(2t B 12t >（2） 布朗运动的对称性，即证明：当 t 时，有 0,00>>t 2/1})()({})()({00000000==≤+==>+x t B x t t B P x t B x t t B P ； （3） 令： T })(,0:inf{a t B t t a =>=a ，T 表示布朗运动首次到达a 的时刻，当时，试求T 的分布函数。 a 0>a 7、 设是初值为零的标准布朗运动，令： 0,)(≥t t B 10,)1()()(≤≤?=t tB t B t X 称{}10),(≤≤t t X 为布朗桥过程。 （1） 试问布朗桥过程是否为正态过程，为什么？ （2） 试求布朗桥过程的均值函数和相关函数； （3） 试求布朗桥过程的一维分布密度函数。

随机过程-习题-第6章

| . 设有n 维随机矢量)(21n ξξξξτ =服从正态分布，各分量的均值为 n i a E i ,,2,1, ==ξ，其协方差矩阵为 ????? ???? ? ?=22 2 2 2 2 2000000σσσσσσσ a a a B 试求其特征函数。 解：n 元正态分布的特征函数为 }2 1exp{),,,(21][Bt t t j t t t n '-'=μφξ n i a E i ,,2,1, ==ξ ),,,(21n t t t t =' ，则 > ∑== 'n i i jat t j 1 μ ( )()),,,(21 2 232222212 1' ++='n n t t t t t a t t a t t Bt t σσσσσσ

=22223232222221221σσσσσσn t t a t t t a t t t ++++++ =∑∑ -=+=+ 1 1 2112 2n i i i n i i a t t t σσ ∴]21exp[)]21(exp[),,,(1 1 211 2221][∑ ∑ -=+=--=n i i i n i i i n a t t t jat t t t σσφξ . 设n 维正态分布随机矢量)(21n T ξξξξ =各分量的均值为i E i =ξ， n i ,3,2,1=，各分量间的协方差为 n i m i m n b i m ,3,2,1,|, |,=--= 设有随机变量∑==n i i 1 ξη，求的特征函数。 [ 解：易得：???? ? ???????=n ξξξη 21]111[ 2 ) 1(][][1 1 += ==∑∑==n n i E E n i n i i ξη 协方差矩阵为： ??????? ??? ? ?? ???------=n n n n n n n n n n 321 312211121B 所以 ]111[]111['??= B ηD =2 2 3n n + 由于高斯分布的随机变量的线形组合依旧是高斯分布的，所以η的特征函数为： ?? ? ???????++-+=2456822)1(exp )(t n n n t n n j t ηΦ 设有三维正态分布随机矢量)(321ξξξξ=T ，其各分量的均值为零，即0][=i E ξ

第六章 随机过程

1、修理一个机器所需要的时间T 是均值为1/2（小时）的指数随机变量 （a ）问修理时间超过1/2小时的概率是多少？ （b ）已知修理持续时间超过12小时，问修理时间至少需要12.5小时的概率是多少？ 2、考察一个由两个办事员经营的邮局。假设当甲进入邮局的时候，他发现乙正在接受一个办事员的服务，丙正在接受另一个办事员的服务。甲被告知，只要乙或丙中的一个离开，他的服务就可以立刻开始。如果一个办事员用在一个顾客上的时间是以均值为1/λ指数地分布的，那么在这3个顾客中，甲是最后一个离开邮局的概率是多少？ 3、若X1和X2是独立的非负连续随机变量，证明： )()()(}),min(|{2112121t r t r t r t X X X X P +==< 其中)(t r i 是Xi 的失效率函数。 4、某种理论假设细胞分裂的错误按速率每年2.5个的泊松过程发生，而人体在发生了196个这种错误后死亡。假设该理论成立，求 （1）人的平均寿命 （2）人在67.2岁前死亡的概率 （3）人活到90岁的概率 （4）人活到100岁的概率 5、令{N(t)，t ≥0}是速率为λ的泊松过程，以Sn 记第n 个事件发生的时间。求 （1）][4S E （2）]2)1(|[4=N S E （3）]3)1(|)2()4([=-N N N E

6、事件按速率为每小时λ=24的泊松过程发生。 （1）在下午8：00到9:00没有事件发生的概率是多少？ （2）从正午开始，到第四个事件发生的期望时间是多少？ （3）在下午6:00到8:00有两个或两个以上事件发生的概率是多少？ 7、顾客按速率为λ的泊松过程进入银行。假设两个顾客在第一小时内到达。下面的概率分别是多少？ （1）两个顾客都在前20分钟内到达 （2）至少一个顾客在前20分钟内到达 8、某人负责订阅杂志，设前来订阅的顾客是一天内平均达到率为8的泊松过程，他们分别以概率1/2、1/3和1/6订阅1季、2季和3季的杂志，其选择是相互独立的。每次订阅1季时，该负责人可得1元钱手续费。令X（t）表示在[0,t)内此人的全部手续费，试求E[X(t)]。

随机过程复习小结

1：正态过程或者高斯过程 设{(),}X t t T ∈是随机过程，若对任意正整数n 和1212,,,,((),(),,())n n t t t T X t X t X t ???∈???是n 维正态随机变量，则称{(),}X t t T ∈是正态过程或者高斯过程。 2：维纳过程的定义 3：广义平稳过程=宽平稳过程 若两个随机过程X(t)和Y(t)的联合概率分布不随时间平移而变化，即与时间的起点无关，则称此两个过程为联合严平稳。 4：二维联合分布函数 5：半角公式和全角公式 . cos2α = 2(cos α)^2 ? 1 cos2α = 1 ? 2(sin α)^2 cos2α = (cos α)^2 ? (sin α)^2 6 ：

7：一维概率密度族 (,)X s t ρ= ,0s t > 第三章：泊松过程 1：称计数过程{(),0}X t t ≥为具有参数0λ>的泊松过程，若它满足下列条件： （1）(0)0X =; （2）()X t 是独立增量过程； （3）在任一长度为t 的区间中，事件A 发生的次数服从参数0λ>的泊松分布，即对任意 ,0s t ≥，有 ()(()()),0,1,...! n t t P X t s X s n e n n λλ-+-=== [()]E X t t λ= 2：定义3.3说明，在充分小的时间间隔内容，最多有一个时间发生，而不能同时有两个或者两个以上事件同时发生。 3：[()()][()()]()E X t X s D X t X s t s λ-=-=- s

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第三章习题 1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率 为 r ，其中 p, q, r 0, p q r 1 ，设每局比赛后，胜者得 1 分，负者得1分，平局不记分，当两个人中有一个人得到 2 分时比赛结束，以X n表示比赛至第n 局时甲获得的分数， 则{ X n , n 1} 是一齐冯马尔可夫链. （1）写出状态空间； （2）求一步转移概率矩阵； （3）求在甲获得 1 分的情况下，再赛 2 局甲胜的概率 . 解（ 1）{ X n, n0} 的状态空间为 S { 2, 1,0,1,2} （ 2）{ X n, n 0} 的一步转移概率矩阵为 1 0 0 0 0 q r p 0 0 P 0 q r p 0 0 0 q r p 0 0 0 0 1 （ 3）因为两步转移概率矩阵为 1 0 0 0 0 q rq r 2 pq 2 pr p2 0 P(2) P 2 q2 2rq r 2 2 pq 2 pr p2 0 q2 2qr pq r 2 p pr 0 0 0 0 1 所以在甲获得 1 分的情况下，再赛 2 局甲胜的概率为 p12(2) p pr p(1 r ) 2．设{ Y i,i 1,2,L } 为相互独立的随机变量序列，则 （1）{ Y i,i 1,2,L } 是否为Markov链？ n （2）令X n Y i，问 { X i , i 1,2,L } 是否为Markov链？ i 1 解（ 1）由于

P(Y n j Y 1 i 1 ,Y 2 i 2 ,L ,Y n 1 P(Y 1 i 1, Y 2 i 2 ,L ,Y n 1 i ,Y n j ) i) P(Y 1 i 1 ,Y 2 i 2 ,L , Y n 1 i) P(Y 1 i 1 )P(Y 2 i 2 )L P(Y n 1 i )P(Y n j ) j ) P(Y n j Y n 1 i ) 1 i 2 , L ,Y n 1 i ) P(Y n P(Y i 1 ,Y 2 因此， { Y n , n 1,2,L } 是马尔可夫链 . （ 2）取 f 1 (U 1 ) X 1 U 1 ，当 U 1 i 1 时， X 2 U 1 U 2 是 U 2 的函数，记为 f 2 (U 2 ). 依 次类推， X n 1 U 1 U 2 L U n 1 为 U n 1 的函数，记为 f n 1 (U n 1 ), X n U 1 U 2 L U n 为 U n 的 函 数 ， 记 为 f n (U n ). 由 于 U 1,U 2 ,L ,U n ,L 相 互 独 立 ， 则 其 相 应 的 函 数 f 1 (U 1), f 2 (U 2 ),L , f n (U n ),L 也相互独立，从而 n P( X n j X 1 i 1 , X 2 i 2 ,L , X n 1 i ) P( Y i j X 1 i 1, X 2 i 2 ,L , X n 1 i ) i 1 P( X n 1 Y n j X 1 i 1 , X 2 i 2 ,L , X n 1 i) P(Y n j i ) P( X n j X n 1 i ) 因此 { X n , n 1,2,L } 是马尔可夫链 . 3 设 X i , i 1,2,L 是相互独立的随机变量，且使得 P( X i j ) a j , j 0,1,L ，如 果 X n max{ X i ,i 1,2,L ,n 1} ，其中 X 0 ，就称在时刻 n 产生了一个记录 .若在时刻 n 产生了一个记录，就称 X n 为记录值，以 R n 表示第 n 个记录值 . （1）证明， { R n , n 1,2,L } 是 Markov 链，并求其转移概率； （2）以 T i 表示第 i 个与第 i 1 记录之间的时间， 问 { T n , n 1,2,L } 是否是 Markov 链，若是， 则计算其转移概率 . 明 ：（ a ） 根 据 意 有 ： R 1 X n 1 , R 2 X n 2 ,....R k X n k ， ? ? 足 X n 1 X n 2 .... X n k .... 且 1 n 1 n 2 .... n k .... 故 P{ R k 1 z | R k i k , R k 1 i k 1 ,...R 1 i 1} P{ R k 1 z | j i k i k 1 ... i 1} P{ R k 1 z | j i k } P{ R k 1 z | R k i k } 故 { R i , i 1} 是一个 可夫 且

上海大学随机过程第六章习题及标准答案

上海大学随机过程第六章习题及答案

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第三章 习 题 1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率 为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链. （1）写出状态空间； （2）求一步转移概率矩阵； （3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为 {2,1,0,1,2}S =-- （2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为 10000000 0000 1q r p q r p q r p ????????=???????? P （3）因为两步转移概率矩阵为 22 (2) 2222 2 2 1 0000 20222020 000 1q rq r pq pr p q rq r pq pr p q qr pq r p pr ????++????==+??++??????P P 所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为 (2) 12(1)p p pr p r =+=+ 2．设{,1,2,}i Y i =L 为相互独立的随机变量序列，则 （1）{,1,2,}i Y i =L 是否为Markov 链？ （2）令1 n n i i X Y == ∑，问{,1,2,}i X i =L 是否为Markov 链？ 解（1）由于

第六章平稳随机过程

第六章 平稳随机过程 6.1平稳过程的概念与例子 第二章2.4中介绍了严平稳过程与宽平稳过程.在自然科学,工程技术中人们常遇到这类过程,例如纺织过程员棉纱截面积的变化;导弹在飞行中受到湍流影响产生的随机波动;军舰在海浪中的颠波;通讯中的干扰噪声等等.它们都是可用平稳过程描述.这类过程一方面受到随机因素的影响产生随机波动,同时又有一定的惯性,使在不同时刻的波动特性基本保持不变.其统计特是,当过程随时间的变化而产生随机波动时,其前后状态是相互联系的,且这种联系不随时间的推延而改变 . 由于严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数来决定的,在应用中比较难以确定,而宽平稳过程的判别只涉及一二阶矩的确定,在实际中比较容易获得,因此我们主要研究宽平稳过程.这种仅研究与过程一二阶矩有关性质的理论,这就是所谓相关理论.对于正态过程,由于其宽平稳性与严平稳性是等价的,故用相关理论研究它显得特别方便.本书后面涉及的.主要是宽平稳过程,简称它为平稳过程. 例6.1 设,...}2,1,0,{,±±=n X n 是实的互不相关随机变量序列,且,0][=n X E 2 ][σ =n X D ,试讨论随机序列的平稳性. 解 因为,0][=n X E ???≠===--, 0,00,],[),(2ττσττ n n X X X E n n R 其中τ为整数,故随机序列的均值为常数,相关函数仅与τ有关,因此它是平稳序列. 在物理和工程技术中,称上述随机序列为白噪声.它普遍存在于各类波动现象中,如电子发射波的波动,通讯设备中电流或电压的波动等,这是一种较简单的随机干扰的数学模型. 例6.2设,...}2,1,0,{,±±=n Z n 为复随机序列,且,0][=n Z E mn n m n Z Z E δσ2][=, ,...) 2,1,0(,2±±=∞<∑∞ -∞ =n w n n n σ 为实数序列.对于每一个t,可以证明级数 t iw n n n e Z ∑∞ -∞ =在 均方意义下收敛.令 X(t)= t iw n n n e Z ∑ ∞ -∞ = 利用随机变量级数均方收敛性质,可以推得 E t X E =)]([[ t iw n n n e Z ∑∞ -∞ =]=0, [ )]()([E t X t X E =-τt iw n n n e Z ∑ ∞ -∞ =, ]) (∑ ∞ = ∞--n t iwm m e Z τ

六章 平稳时间序列

第六章 平稳时间序列模型 时间序列的分析研究始终是计量经济学和统计学的一个热点，对于制定精确定价和预测决策是至关重要的，近代计量经济学和金融市场的许多研究成果和市场决策理论愈来愈多是建立在时间序列分析的基础上。Engle 和Grange 因为他们的时间序列模型在经济金融中的广泛应用而获得2003年的诺贝尔经济学奖，就是时间序列分析方法的重要性在世界上被广泛认可的有力证明．近代计量经济和金融市场的许多研究成果都建立在时间序列分析的基础之上。传统应用较广的是Box 和Jenkins （1970）提出的ARIMA （自回归求和移动平均）方法；Engle(1982)提出了ARCH 模型（一阶自回归条件异方差），用以研究非线性金融时间序列模型，由此开创了金融时序独树一帜的研究思路和方法。随着时间序列分析理论和方法的发展，美国学者Schemas 和Lebanon 发现股票日收益序列与周收益序列中存在混沌现象，米尔斯也指出金融时间序列似乎通常可以用随机漫步来很好近似，非线性时间序列模型被广泛应用在金融时间序列分析中。就数学方法而言，平稳随机序列的统计分析，在理论上的发展比较成熟，从而构成时间序列分析的基础。因此，本章从基本的平稳时间序列讲起。 第一节 基本概念 一、随机过程 在概率论和数理统计中，随机变量是分析随机现象的有力工具。对于一些简单的随机现象，一个随机变量就足够了，如候车人数，某单位一天的总用水量等。对于一些复杂的随机现象，用一个随机变量来描述就不够了，而需要用若干个随机变量来加以刻画。例如平面上的随机点，某企业一天的工作情况（产量、次品率、耗电量、出勤人数等）都需要用多个随机变量来刻画。 还有些随机现象，要认识它必须研究其发展变化过程，这一类随机现象不能 只用一个或多个随机变量来描述，而必须考察其动态变化过程，随机现象的这种动态变化过程就是随机过程。例如，某一天电话的呼叫次数ξ，它是一个随机变量。若考察它随时间t 变动的情况，则需要考察依赖于时间t 的随机变量t ξ，｛t ξ｝就是一个随机过程。又例如，某国某年的GNP 总量，是一个随机变量，但若考

第6章 随机过程通过非线性系统分析

第6章 随机过程通过非线性系统分析 6.1 引言 1． 问题 系统的输入与输出的关系为)]([)(t X L t Y =，其中][?L 是非线性系统。 输入)(t X 已知，如何分析)(t Y ？这是一件较难的事情。到目前为上，没有一个通用的方法来处理、解决非线性系统问题。 2． 目标与目的 对于非线性系统，信号分析的主要目的是掌握系统输出)(t Y 的有关特性： （1） 系统][?L 的传输特性：能否用一个具体的非线性函数来表达输入)(t X 与输出)(t Y 的 关系？ （2） 求输出)(t Y 的均值、自相关等特性。 （3） 求输出)(t Y 的概率分布。 3． 无记忆的非线性系统 （1） 定义：如果在某一给定的时刻t ，系统输出)(t Y 只取决于同一时刻的输入)(t X ，而 与)(t X 的任何过去或未来值无关。 即，系统的输入与输出可表达成函数关系 )]([)(t X g t Y = 在无记忆系统中，若输入)(t X 已知，可用函数来研究输出)(t Y 的相关特性。 )(x g y =称为系统的传输特性。 （2） 无记忆系统的分解

对于大多数系统而言，系统的记忆性是存在的，因为大多数系统存在贮能元件。 研究表明，有记忆的系统可分解成： 其中，][1?L 、][3?L 是有记忆的线性系统，][2?L 是无记忆的非线性系统 对于线性系统，有完整的理论与方法来研究其输出特性。所以，吸需要对无记忆非线性系统进行充分的研究，便可解决非线性系统的信号处理问题。 6.2 直接法 已知条件：已知系统的传输特性)]([)(t X g t Y =；已知系统输入)(t X 的概率密度 ),(t x f X 。 1．)(t Y 的均值与矩 dx t x f x g t Y E X ),()()]([? +∞ ∞ -= dx t x f x g t Y E X n n ),()()]([? +∞ ∞ -= 2．)(t Y 的自相关 对于给定的1t 、2t ， 2121212121),,,()()(),(21dx dx t t x x f x g x g t t R X X Y ? +∞ ∞ -= 若)(t X 是平稳随机过程，则有 212121),,()()()(21dx dx x x f x g x g R X X Y ττ? +∞ ∞ -= 3．传输特性)(x g y =为特殊函数时，输出)(t Y 的统计特性 （1）2 )(bx x g = 称2)(bx x g =为全波平方律检波器，简称平方律检波器。这是最简单、最常用的非线性

第六章窄带随机过程

第八讲 窄带随机过程 8.1 希尔伯特变换和解析过程 8.1.1 希尔伯特变换 一． 希尔伯特变换的定义 设有实信号)(t x ，它的希尔伯特变换记作)(?t x 或)]([t x H ，并定义为 ττ τπd t x t x H t x ?∞ ∞--==) (1 )]([)(? 用'ττ +=t 代入上式，进行变量替换，可得到上式的等效形式为： '' ) '(1 )(?τττπd t x t x ?∞ ∞-+-= 也可得 '' ) '(1 )(?τττπd t x t x ?∞ ∞--= 希尔伯特反变换为 ττ τπd t x t x H t x ?∞ ∞----==)(?1 )](?[)(1 经变量替换后得 ττ τπττ τπd t x d t x t x ? ? ∞ ∞ -∞ ∞ -+= -- =)(?1 )(?1 )( 二． 希尔伯特变换的性质 1. 希尔伯特变换相当于一个0 90的理想移相器。

从定义可以看出，希尔伯特变换是)(t x 和t π1 的卷积，即 t t x t x π1 *)()(?= 于是，可以将 )(?t x 看成是将)(t x 通过一个具有冲激响应为t t h π1 )(=的线性滤波器的输出。由冲激响应可得系统的传输函 数为 )sgn()(ωωj H -= 式中，)sgn(ω为符号函数，其表达式为 010 1)sgn(<-≥= ωωω 可得滤波器的传输函数为 00 )(<≥-=ωωωj j H 即 1)(=ωH 2 02 )(<≥- = ωπ ωπ ω? 上式表明，希尔伯特变换相当于一个090的理想移相器。 由上述分析可得，)(?t x 的傅立叶变换)(?ωX 为

第六章 平稳随机过程

第六章 平稳随机过程 在自然科学与工程技术研究中遇到的随机过程有很多并不具有Markov 性，这就是说从随机过程本身随时间的变化和互相关联来看，不仅它当前的状况，而且它过去的状况都对未来的状况有着不可忽略的影响，并且其统计特征不随时间推移而变化，这类随机过程称为平稳过程. 例如，恒温条件下热噪声电压()X t 是由于电路中电子的热扰动引起的，这种热扰动不随时间推移而改变；又如，连续测量飞机飞行速度产生的测量误差()X t ，它有很多因素（如仪器振动，电磁波干扰与气候等）造成，但主要因素不随时间推移而改变. 平稳过程是一种特殊的二阶矩过程，其表现在过程的统计特性不随时间的推移而改变.用概率论语言来描述：相隔时间h 的两个时刻t 与t h +处随机过程所处的状态()X t 与 ()X t h +具有相同的概率分布.一般地，两个n 维随机向量()12(),(),,()n X t X t X t 与 ()12(),(),,()n X t h X t h X t h +++ 具有相同的概率分布. 这一思想抓住了没有固定时间 （空间）起点的物理系统中最自然现象的本质，因而平稳过程在通讯理论、天文学、生物学、生态学、和经济学个领域中有着十分广泛的应用. 6.1 随机微积分 在高等数学的微积分中，连续、导数和积分等概念都是建立在极限概念的基础上.对于随机过程的研究，也需要建立在随机过程的连续性、可导性和可积性等概念的基础上，这些内容形式上与高等数学极为相似，但实质不同，高等数学研究的对象是函数，随机微积分研究的对象是随机函数（即随机过程），有关这部分的内容统称为随机分析（stochastic analysis ）. 在随机分析中，随机序列极限的定义有多种，下面我们简单介绍常用的定义.由于我们主要研究广义平稳过程（具体的定义将在第二节介绍），因此，以下的随机过程都假定为二阶矩过程.为了讨论的方便，我们约定：今后如不加说明，二阶矩过程{(),}X t t T ∈的均值函数()()0X m t EX t ==，自协方差函数(,)()()X C s t E X s X t ??=?? . 6.1.1 均方收敛 定义6.1 称二阶矩随机序列{()}n X ω以概率为1收敛于二阶矩随机变量()X ω，若使 lim ()()n n X X ωω→∞ =成立集合的概率为1，即 {} :lim ()()1n n P X X ωωω→∞ == 或称{()}n X ω几乎处处收敛（almost everywhere converge ）于()X ω，记作n X ..a e ??→ X .