二元一次不等式组与简单的线性规划问题

（五）二元一次不等式组与简单的线性规划问题

一、知识归纳:

1．二元一次不等式表示的平面区域：

二元一次不等式0>++C By Ax 在平面直角坐标系中表示直线0=++C By Ax 某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）.

对于在直线0=++C By Ax 同一侧的所有点),(y x ，实数C By Ax ++的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0，y 0)，从C By Ax ++00的正负即可判断0>++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 2．线性规划：

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.

满足线性约束条件的解),(y x 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。分别使目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解． 3．线性规划问题应用题的求解步骤：

（1）先设出决策变量，找出约束条件和线性目标函数； （2）作出相应的图象（注意特殊点与边界）

（3）利用图象,在线性约束条件下找出决策变量,使线性目标函数达到最大(小)值；在在求线性目标函数

ny mx z +=的最大(小)时,直线0=+ny mx 往右（左）平移则值随之增大(小),这样就可在可行域中确定最优解．

二、例题分析：

例1．①画出不等式062<-+y x 表示的平面区域；②点),2(t -在直线0632=+-y x 的上方,则t 的取值

范围是________；③画出不等式组??

?

??≤≥+≥+-300

5x y x y x 表示的平面区域.

例2．设y x ,满足约束条件：??

?

??≥≤+-≤-1255334x y x y x ，分别求下列目标函数的的最大值与最小值：

（1）y x z 106+=；（2）y x z -=2；（3）y x z -=2（y x ,是整数）；（4）2

2y x +=ω；（5）1

+=

x y

ω． 例3．甲乙两个粮库要向A 、B 两镇运送大米，已知甲库可调出100吨大米，乙库可调出80吨大米，A 镇需70吨大米，B 镇需110吨大米，两库到两镇的路程和运费如下表：

（1）这两个粮库各运往A 、B 两镇多少吨大米？才能使总运费最省？此时总运费是多少？ （2）最不合理的调运方案是什么？它使国家造成的损失是多少？

例4．预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌、椅的总数尽可能的多。但椅子数不能

少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍。问桌子、椅子各买多少才合适？ 四、练习题： （一）选择题：

1．不等式02≥-y x 表示的平面区域是

A ．

B ．

C ．

D ．

2．满足不等式022≥-x y 的点),(y x 的集合（用阴影表示）是

A ．

B ．

C ．

D ．

3．若函数a bx ax y ++=2

的图象与x 轴有两个交点，则点),(b a 在aOb 平面上的区域（不含边界）为

A ．

B ．

C ．

D ．

4．不等式组??

?

??≤+≤--≥+-1012012y x y x y x 表示的平面区域是

A ．一个正?及几个内部

B ．一个等腰?及内部

C ．一象限内的一无界区域

D ．不含一象限的一个有界区域

5．如果实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥??

+≥??++≤?

，那么2x y -的最大值为

A ．2

B ．1

C ．2-

D ．3-

6.已知点P （x ，y ）在不等式组??

?

??≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域上运动，则z ＝x －y 的取值范围是

A ．[－2，－1]

B ．[－2，1]

C ．[－1，2]

D ．[1，2]

7．双曲线22

4x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是

A ．0003x y x y x -≥??+≥??≤≤?

B ．0003x y x y x -≥??+≤??≤≤?

C ．0003x y x y x -≤??+≤??≤≤?

D ．0003x y x y x -≤??

+≥??≤≤?

8．在平面直角坐标系中，不等式组??

?

??≤≥+-≥-+2,02,

02x y x y x 表示的平面区域的面积是

A ．

B ．4

C ．

D ．2

9．在约束条件????

???≤+≤+≥≥4

200x y s y x y x 下,当53≤≤s 时,目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是

A. ]15,6[

B. ]15,7[

C. ]8,6[

D. ]8,7[

10. 已知平面区域D 由以()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 为顶点的三角形内部和边界组成，若在区域D 上有无穷多个点()y x ,可使目标函数my x z +=取得最小值，则=m

A. 2-

B. 1-

C. 1

D. 4 （二）填空题：

11．点)4,(a P 到直线022=+-y x 的距离为52，且P 在033>-+y x 表示的区域内，则=a _____

12．不等式组??

?

??≥>≤-+>+-0,0016401y x y x y x 表示的区域中,坐标是整数的点共有_________个。

13．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140

元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 ___ 元.

14．设变量x 、y 满足约束条件??

?

??-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为_______

15．已知点(,)P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤??

≥??≥?

,点O 为坐标原点,则||PO 的最小值等于___,最大值等于____.

（三）解答题：

16．某厂生产A 与B 两种产品，每公斤的产值分别为600元与400元.又知每生产1公斤A 产品需要电力2千

瓦、煤4吨；而生产1公斤B 产品需要电力3千瓦、煤2吨.但该厂的电力供应不得超过100千瓦，煤最多只有120吨.问如何安排生产计划以取得最大产值?

17．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180t 支援物资的任务,该公司有8辆载重量为6t 的A 型卡

车与4辆载重量为10t 的B 型卡车,有10名驾驶员．每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次,B 型卡车3次．每辆卡车每天往返的成本费为A 型车320元,B 型车504元,请你给该公司调配车辆,使公司所花的成本最低?

18．某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资是由每份金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进

取型组合投资是由每份金融投资40万元，房地产投资30万元组成。已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元。若可作投资用的资金中，金融投资不超过160

万元，

房地产投资不超过180万元，那么这两种组合投资应注入多少份，才能使一年获利总额最多？

（五）二元一次不等式组与简单的线性规划问题参考答案

三、例题分析：

例1①解：先画直线2x +y -6=0（画成虚线）. 取原点（0，0），代入2x +y -6,∵2×0+0-6=-6＜0,

∴原点在2x +y -6＜0表示的平面区域内，不等式2x +y -6＜0表示的区域如图： ②(t>2/3) ③

解：不等式x -y +5≥0表示直线x -y +5=0上及右下方的点的集合，x +y ≥0表示直线x +y =0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x =3上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域:

例2．解：（1）先作可行域,如下图所示中ABC ?的区域,且求得)2,5(A 、)1,1(B 、)5

22,1(C 作出直线0106:0=+y x l ,再将直线0l 平移,当0l 的平行线1l 过点B 时,可使

y x z 106+=达到最小值；当0l 的平行线2l 过点A 时，可使y x z 106+=达到

最大值。

故1611016min =?+?=z ，5021056max =?+?=z

（2）同上，作出直线02:0=-y x l ，再将直线0l 平移，当0l 的平行线1l 过点C

时，可使y x z -=2达到最小值；当0l 的平行线2l 过点A 时，可使y x z -=2达到最大值。 则5

12

min -

=z ，8max =z （3）同上，作出直线02:0=-y x l ，再将直线0l 平移，当0l 的平行线2l 过点A 时，可使y x z -=2达到最大

值，8max =z

当0l 的平行线1l 过点C 时，可使y x z -=2达到最小值，但由于

522不是整数，点)5

22,1(C 不是最优解，当0l 过可行域内的点)4,1(时，可使y x z -=2达到最小值，2min -=z

（4）ω表示区域内的点),(y x 到原点的距离的平方。则),(y x 落在点)1,1(B 时，ω最小，),(y x 落在点)

2,5(A 时，ω最大，故2min =ω，29425max =+=ω

（5）ω表示区域内的点),(y x 与点)0,1(-D 连线的斜率。则),(y x 落在点)2,5(A 时，ω最小，),(y x 落在点

)522,

1(C 时，ω最大，故31min =ω，5

11

max =ω 例3．解：设甲粮库向A 镇运送大米x 吨，向B 镇运送大米y 吨，总运费为z 元，则乙粮库向A 镇运送大米

)700(x -吨，向B 镇运送大米)110(y -吨，目标函数是

+-??+?+?=)700(121510252012x y x z )110(820y -??302009060++=y x

其中线性约束条件是：???????≥≤≤≤-+-≤+070080

)110()700(100

y x y x y x ，即????

???≥≤≤≥+≤+0

700100100y x y x y x

可行域如右图。当30,70==y x 时，总运费最省37100max =z 元 当100,0==y x 时，总运费最不合理39200min =z 元。

答：甲粮库要向A 镇运送大米70吨,向B 镇运送大米30吨,乙粮库要向A 镇运送大米0吨,向B 镇运送大米80

吨,此时总运费最省,为37100元。最不合理的调动方案是甲粮库要向A 镇运送大米0吨,向B 镇运送大米100吨,乙粮库要向A 镇运送大米70吨,向B 镇运送大米10吨,此时总运费为39200元,使国家造成损失2100元。

例4．解：设桌子、椅子分别买y x ,张，共买y x z +=张，依题意，得????

???∈≤+≤≤N

y x y x x y y

x ,200020505.1

可行域如图。

由???=+=20002050y x y x ，得???

????

==72007

200y x ，即)7200,7200(

A 由???=+=200020505.1y x x y ，得??

?

??==275

25

y x ，即)275,25(B 由y x z +=,即直线z x y +-=平移得知,当直线过点B 时,即25=x ,2

75

=

y 时,z 最大。由于N y ∈，故37=y 答：买25张桌子、37张椅子时是最优选择。 四、练习题：

一、选择题：1．D ．2．B ．3．C ．4．B ． 5． B ． 6. C ．7．A ． 8．B ．9．D. 10. C. 二、填空题：

11． =a __ ；12． 10_个；13．500元. 14．3_ 15．

7．双曲线22

4x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围成一个三角形区域时有0003x y x y x -≥??+≥??≤≤?

。

9．由??

?-=-=????=+=+4

2442s y s x x y s y x 交点为)4,0(),,0(),42,4(),2,0(C s C s s B A '--， （1）当43<≤s 时可行域是四边形OABC ，此时，87≤≤z

（2）当54≤≤s 时可行域是△OA C '此时，8max =z 故选D.

10．解选C 。由()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 的坐标位置知，ABC ?所在的区域在第一象限，故

0,0x y >>。由my x z +=得1z

y x m m

=-

+，它表示斜率为1m -。

（1）若0m >，则要使my x z +=取得最小值，必须使

z m 最小，此时需11331AC k m --==-，即=m 1； （2）若0m <,则要使my x z +=取得最小值,须使z m 最小,此时需112

35

BC k m --==-,即=m 2,与0m <矛盾。

综上可知，=m 1。

13．解：设需35千克x 袋，24千克y 袋，则目标函数y x z 120140+=元，约束条件为

?

?

?∈≥+N y x y x ,1062435，当1=x 时，2471

≥y ，即3=y ，这时5003120140min =?+=z 三、解答题：

16．解:设生产A 与B 两种产品分别为x 公斤，y 公斤，总产值为Z 元。则??

?

??≥≥≤+≤+0,012024100

32y x y x y x

且y x z 400600+=

作可行域：

作直线l ：600x +400y =0，即直线l ：3x +2y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点A ，且与原点距离最大，此时z =600x +400y 取最大值.解方程组

?

?

?=+=+602100

32y x y x ,得A 的坐标为x =20，y =20王新敞

答：生产A 产品20公斤、B 产品20公斤才能才能使产值最大。

17．解：设每天调出A 型车x 辆，B 型车y 辆，公司所花的成本为z 元，则

有???????∈≥+≤+≤≤+

N y x y x y x y x ,3054104,8

且y x z 504320+=,由图解法可得最优整点解为（5,2）,即每天调出A 型车5辆,B 型车2辆时,公司所花的成本最低。

18．解：设稳健型投资x 份，进取型投资y 份，利润总额为z （×10万元），

则目标函数为)5.1(y x z +=（×10万元），

线性约束条件为：?????≥≥≤+≤+0,018030301604020y x y x y x ，即??

?

??≥≥≤+≤+0,068

2y x y x y x

作出可行域（图略），解方程组??

?=+=+6

8

2y x y x ，得交点)2,4(M

作直线05.1=+y x ，平移l ，当l 过点M 时，z 取最大值：10)34(max ?+=z 万元=70万元。