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名师讲数学(高二上,共7讲)-2

高二数学（第3讲）

主讲教师：刘华（苏州中学）

【教学内容】

第六章不等式

6.11 不等式应用举例

6.12 含有绝对值的不等式

【知识讲解】

1、绝对值不等式性质定理

||||||||||||b a b a b a +≤±≤-

注意这个不等性性质的证明过程：

第一步：证明||||||b a b a +≤±（1）

由|||||)||(|||||||||b a b a b a b b b a a a +≤+≤+-??

??≤≤-≤≤- 即有|a+b|≤|a|+|b|

“=”当且仅当0≥?b a 时成立

第二步：证明|||||||||b a b a +≤- (2)

∵a=a+b-b=a+b+(-b)

∴|a|≤|a+b|+|-b|（利用（1））

同理|b|≤|a+b|+|-a|

这样|||||||,|||||b a a b b a b a +≤-+≤-

故一定有||||||||b a b a +≤-

“=”当且仅当0≤?b a 时成立

第三步：证明||||||||||||b a b a b a +≤-≤-

这一步较为简单，只要取（1）（2）两式中的b 为-b 即可（或换个角度想，把a-b 写成a+(-b)）

有关等号成立的条件，请读者自行验证。

2、这个绝对值不等式性质定理，也可称作“三角形不等式”，当我们把a,b 看作向量→a ，→

b 时，（1）式就代表“两边之和大于（等于）第三边；其中“=”成立当且仅当同向；（2）式就代表“两边之差的绝对值小于（等于）第三边”；其中“=”成立当且仅当→a ，→b 反向。

这样在记忆时，较为直观。

3、课本中提到了上述性质的一个推论：

||||||||321321a a a a a a ++≤++

简证如下：||||||||||||321321321a a a a a a a a a ++≤++≤++

注意证明时用到一次放缩（传递性）

“=”成立的情形较为复杂，因为不能反认为0321≥a a a 就可以了事实上要求321,,a a a 同正或同负，或者当其中有一数为“0”时，要遵循二无的“三角形不等式”的有关条件。

例1、设εε<-<||,||b a a ，求证：ε2||

分析：考虑到b=a-(a-b)

证明：|b|=|a-(a-b)|≤|a|+|a-b|

又∵εε<-<||,||b a a ∴|a|+|a-b|<2ε

∴ε2||

回顾：1、本题的思想方法在极限的证明中常用，这是本题的高等数学背景。

2、由于b 用a-b 和a 的表示方法是唯一的，因此用条件所得出的b 的范围（ε2||

“已知εε<-<||,||b a a ，求|2a-3b|的范围”

提示：将2a-3b 表示成a-b 与a+2b 的线性组合。

例2、已知函数f(x)=21x +，a,b ∈R ，且b a ≠，求证|f(a)-f(b)|<|a-b|。分析：要证|||11|22b a b a -<+-+，考察左边，是否能产生|a-b|。

证明：|f(a)-f(b)|=|

|||||||11|

||11|222222b a b a b a b a b a b a +-?+<+++-=+-+ |||||

|||||||b a b a b a b a -=-?++≤ （其中||122a a a =>+，同理|,|12b b >+∴|

|||1111

22b a b a +<+++）回顾：1、证题时，应注意式子两边代数式的联系，找出它们的共同点是证题成功的第一步。此外，综合运用不等式的性质是证题成功的关键。如在本例中，用到了不等式的传递性，倒数性质，以及“三角形不等式”等等。

2、本题的背景知识与解析几何有关。函数21x y +=是双曲线，122=-x y 的上支，而||2

121x x y y --（即|)()(|

b a b f a f --），则表示该图象上任意两点连线的斜率的绝对值。（学过有关知识后），很显然这一斜率的

范围是在（-1，1）之间。

例3、（1）已知不等式|x-3|+|x+1|

（2）已知不等式|x-3|+|x+1|

分析：“有解”即“解集非空”，可见（1）（2）两小题的答案（集合）互为补集（全集为R ）

当然可以用|x-3|+|x+1|=??

???-≤-<<-≥-)1(22)31(4)3(22x x x x x 这种“去绝对值”的方法来解，但我们考虑到“三角形不等

式”：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|

知|x-3|+|x+1|≥|x-3-x-1|=4

这样|x-3|+|x+1|

??≥++-<++-x x a x x 若（*）解集为φ，则a ≤4，若（*）有解，则a>4。

解（略）

回顾：本题是“绝对值不等式性质定理”（即“三角形不等式”）的一个应用。

发展题：（1）已知不等式|x-3|+|x+1|>a 的解集非空，求a 的取值范围。

（2）已知不等式|x-3|+|x+1|≤a 的解集非空，求a 的取值范围。

例4、已知a 、b 是实数，求证|

|1||||1||||1||b b a a b a b a +++≤+++ 分析：我们知道，在分子、分母均正的前提下，当“分母减小时”，分式的值会增大。即|

|1||||||1||a a b a a +≤++ （当且仅当b=0时取“=”）同理

||1||||||1||b b b a b +≤++ 问题是由于|a+b|≤|a|+|b|，当分子分母同时增大时，分式的值会怎样变化，这和具体的式子（函数）有关，目前要证|

|||1||||||1||b a b a b a b a +++≤+++。证明：∵|

|||1||||||||111||111||1||b a b a b a b a b a b a +++=++-≤++-=+++ |

|1||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a +++≤+++++= ∴|

|1||||1||||1||b b a a b a b a +++≤+++ 回顾：涉及的函数是f(x)=

x x +1，这一函数在),1(),1,(+∞---∞上都是增函数（请自行证明）。

例5、已知二次方程ax 2+bx+c=0，(a,b,c ∈R +)的两个实根为x 1，x 2求证：

a b x a b <<||1,a b x a b <<||2 分析：首先，应设法知道a

b 与b

c 与x 1，x 2之间的关系由韦达定理????????=+=-2121x x a

c x x a b 由于x 1·x 2>0即x 1，x 2同号进一步有????????=+=||||||||2121x x a c x x a b ∴???????+?=+=|

|||||||||||212121x x x x a c x x a b 再往下是不是很容易证？

证明：略

回顾：证题前，先弄清题目的真实含义，找到各参量之间的关系。

例6、已知f(x)的定义域为[0,1]，且f(0)=f(1)，如果对于任意不同的x 1,x 2∈[0,1]，都有|f(x 1)-f(x 2)|<|x 1-x 2|，求证：|f(x 1)-f(x 2)|<2

1 分析：题设中没有给出f(x)的解析式，这给我们分析f(x)的结构带来困难，事实上，可用的条件只有f(0)=f(1) ①，与|f(x 1)-f(x 2)|<|x 1-x 2|②两个。

首先，若|x 1-x 2|≤

21，那么必有|f(x 1)-f(x 2)|<|x 1-x 2|≤21即|f(x 1)-f(x 2)|<21成立。但若|x 1-x 2|>

21呢？考虑到0≤|x 1-x 2|≤1，则1-|x 1-x 2|<21，看来要证明的是|f(x 1)-f(x 2)|≤1-|x 1-x 2|<2

1成立！证明：不妨设x 1≤x 2，则0≤x 1≤x 2≤1

（1）当|x 1-x 2|≤

21时，则有|f(x 1)-f(x 2)|<|x 1-x 2|≤21即|f(x 1)-f(x 2)|<21成立。（2）当|x 1-x 2|>21时，即x 2-x 1>2

1时，∵0≤x 2-x 1≤1 必有1-|x 1-x 2|<21即1- x 2+x 1<2

1 也可写成|1- x 2|+|x 1|<

21 (*) 另一方面|f(x 1)-f(x 2)|=|f(1)-f(x 2)+f(x 1)-f(0)|≤|f(1)-f(x 2)|+|f(x 1)-f(0)|<|1- x 2|+|x 1-0| 则由（*）式知|f(x 1)-f(x 2)|<

21成立

典中点一元一次方程专训7 一元一次方程全章热门考点整合应用

典中点一元一次方程专训7 一元一次方程全章热门考点整合应用 ?名师点金? 一元一次方程的知识是方程的基础，在初中数学中占有非常重要的地位，因此一元一次方程一直是中考的必考内容．本章主要考查一元一次方程及方程的解的概念、等式的基本性质、解方程、利用一元一次方程解决实际问题等，主要热门考点可概括为：三个概念，一个性质，一个解法，一个应用，四个技巧，三种思想．考点1：三个概念概念1：方程 1．判断下列各式是不是方程，不是的说明为什么？ (1)4×5＝3×7－1. (2)2x ＋5y ＝3. (3)9－4x>0. (4)x －32＝13 . (5)2x ＋3. 概念2：一元一次方程 2．下列方程中，是一元一次方程的是( ) A ．1－x 2＝3y －2 B.1y －2＝y C ．3x ＋1＝2x D ．3x 2＋1＝0 3．若关于x 的方程(3－m)x 2|m|－5＋7＝2是一元一次方程，则m ＝________．概念3：方程的解 4．若关于x 的方程ax ＋3＝4x ＋1的解为正整数，则整数a 的值为( ) A ．2或3 B ．4 C ．5 D ．6 考点2：一个性质——等式的性质 5．已知x ＝y ≠－12，且xy ≠0，下列各式：①x －3＝y －3；②5x ＝y 5；③x 2y ＋1＝y 2x ＋1 ；④2x ＋2y ＝0，其中一定正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．如图，图中标有相同字母的物体的质量相同，若A 的质量为20 g ，当天平处于平衡状态时，B 的质量为________．考点3：一个解法——一元一次方程的解法

整合提升密码50

专训1.利用特殊四边形的性质巧解折叠问题名师点金：四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠，然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明．折叠的本质是图形的轴对称变换，折叠后的图形与原图形全等．平行四边形的折叠问题 1．在?中，＝6，＝8，∠B是锐角，将△沿对角线所在直线折叠，点D落在△所在平面内的点E处．如果恰好经过的中点，那么?的面积是．处，恰好经过边的中点2．如图，将平行四边形纸片沿对角线所在直线折叠，点D落在点E 6，求∠B的度数．．若＝3，＝ (第2题)

矩形的折叠问题 3．(中考·衢州)如图①，将矩形沿折叠，使顶点A落在上的点A′处，然后将矩形展平，沿折叠，使顶点A落在折痕上的点G处．再将矩形沿折叠，此时顶点B恰好落在上的点H处．如图②. (1)求证：＝； (2)已知＝，求和的长． (第3题) 菱形的折叠问题

(第4题) 4．如图，在菱形中，∠A＝120°，E是上的点，沿折叠△，点A恰好落在上的F点，连接，那么∠的度数是( ) A．60°B．70°C．75°D．80° 5．如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为.若菱形的边长，求的长．120°＝A，∠2为

(第5题) 正方形的折叠问题

(第6题) 6．如图，正方形纸片的边长＝12，E是上一点，＝5，折叠正方形纸片使点B和点E重合，折痕为，则的长为． 7．(中考·德州)如图，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为正方形边上的一点(不与点A，点D重合)．将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G 处，交于H，折痕为，连接，. (1)求证：∠＝∠. (2)当点P在边上移动时，△的周长是否发生变化？并证明你的结论． (第7题) 专训2.利用特殊四边形的性质巧解动点问题名师点金：利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点解决问题，再运用从特殊到一般的思想，将特殊点转化为一般点(动点)来解

典中点图形的初步认识专训4 线段上的动点问题

典中点图形的初步认识专训4 线段上的动点问题 ?名师点金? 解决线段上的动点问题一般需注意:(1)找准点的各种可能位置;(2)通常可用设元法,表示出移动变化后的线段的长(有可能是常数,那就是定值),再由题意列方程求解。训练角度1：线段上动点与中点问题的综合 1.(1)如图①,点D 是线段AB 上任意一点,点M,N 分别是AD,DB 的中点,若AB=16,求MN 的长。 (2)如图②2,AB=16,点D 是线段AB 上一动点,点M,N 分别是AD,DB 的中点,能否求出线段MN 的长?若能,求出其长;若不能,试说明理由。 (3)如图③,AB=16,点D 运动到线段AB 的延长线上,其他条件不变,能否求出线段MN 的长?若能,求出其长;若不能,试说明理由。 (4)请用一句简洁的话,描述你发现的结论。训练角度2：线段上动点问题中的存在性问题 2.如图,已知数轴上A,B 两点表示的数分别为-2,6,点0为原点,点P 为数轴上的一动点,其表示的数为x 。 (第2题) (1)PA=________,PB=__________.(用含x 的式子表示) (2)在数轴上是否存在点P,使PA+PB=10?若存在,请求出x 的值;若不存在,请说明理由。 (3)点P 以1个单位长度/秒的速度从点O 向右运动,同时点A 以5个单位长度/秒的速度向左运动,点B 以20个单位长度/秒的速度向右运动,在运动过程中,点M,N 分别是AP,OB 的中点,问:MN OP -AB 的值是否发生变化?请说明理由。

训练角度3：线段和差倍分关系中的动点问题 3.如图,线段AB=24,动点P从A出发,以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动,点M为AP的中点,设点P的运动时间为x秒。 (1)当PB=2AM时,求x的值。 (2)当点P在线段AB上运动时,试说明2BM-BP为定值。 (3)当点P在线段AB的延长线上运动时,点N为BP的中点,下列两个结论:①MN的长度不变;②MA+ PN的值不变.选择一个正确的结论,并求出其值。训练角度4:线段上的动点的方案问题 4.情境一:如图①,从教学楼到图书馆,总有少数同学不走人行道而横穿草坪,这是为什么呢?试用所学数学知识来说明这个问题. 情境二:如图②,A,B是河流l两旁的两个村庄,现要在河边修一个抽水站向两村供水,问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短?请在图中表示出抽水站点P的位置,并说明你的理由. 你赞同以上哪种做法?

2016年秋人教版七年级数学上典中点第三章整合提升专训三.doc

7．如图，图中标有相同字母的物体的质量相同，若A 的质量为20 g ，当天平处于平衡状态时，B 的质量为________． (第7题) 解一元一次方程 8．解下列方程： (1)12－(3x －5)＝7－5x ； (2)2x －56＋3－x 4＝1； (3)－25(3y ＋2)＝110－3 2(y －1)． 9．已知方程37x ＋11＝9－114x 的解比关于x 的方程8x ＋a 3＝3x ＋7a 3的解小2，求a 的值．一元一次方程的应用 10．某校为了做好大课间活动，计划用400元购买10件体育用品，备选体育用品及价格如下表：

四个图形图形1平行四边形 3．【中考·凉山州】如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为点F，连接DF. (1)求证：AC＝EF； (2)求证：四边形ADFE是平行四边形． (第3题) 图形2矩形 4．如图，在?ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA的延长线，DC 的延长线分别交于点E，F. (1)求证：△AOE≌△COF. (2)连接EC，AF，则EF与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是矩形？请说明理由． (第4题)

图形3菱形 5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点 F. (1)求证：四边形DBFE是平行四边形． (2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？ (第5题) 图形4正方形 6．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°后至△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H. (1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由； (2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形． (第6题)

2014年一级建造师考试《建筑工程》名师点金试卷

2014 年一级建造师考试《建筑工程》名师点金试卷——卓鼎教育一、一级建造师模拟试题单项选择题 (共 20 题，每题 1 分。在每题的 4 个备选项中，选择 1 个最符合题意的) 1.某两端固定的受压钢筋混凝土柱高 3m，其临界力为 100KN。若将此杆件改为两端铰支，则其临界力为( ) KN。 A. 25 B.50 C.200 D.400 2.下列选项中不属于混凝土结构裂缝控制等级分类的是( )。 A.构件不出现拉应力 B.构件虽有拉应力，但不超过混凝土的抗拉强度 C.不允许出现裂缝 D.允许出现裂缝，但裂缝宽度不超过允许值 3.下列关于常见结构体系的表述不正确的是( )。 A.框剪结构在水平荷载作用下，框架为剪切变形，剪力墙为弯曲变形 B.网架结构的网架高度与短跨之比一般为 1/15 左右 C.拱式结构产生的推力可以由两侧框架承受 D.悬索结构一般由索网和支撑结构两部分组成 4.关于门窗与墙体结构的连接，下列叙述中错误的是( )。 A.门窗应注意门窗框与墙体结构的连接，接缝处应避免刚性接触，应采用弹性密封材料 B.金属保温窗的主要问题是结露，应将与室外接触的金属框和玻璃结合处做断桥处理，以提高金属框内表面的温度，达到防止结露的目的 C.隔声窗一般采取双层或三层玻璃。为防止共振降低隔声效果，各层玻璃的空气层厚度应相同，且平行放置 D.防火门窗应按防火规范要求制作，玻璃应是防火安全玻璃;有防爆特殊要求的房间，其窗应考虑自动泄压防爆功能更多一级建造师模拟试题 https://www.wendangku.net/doc/7b16397451.html,/ 5.对火山灰水泥的特性描述正确的是( )。 A.水化热较大、耐热性较差、干缩性较小、抗渗性较好 B.水化热较大、耐热性较差、干缩性较大、抗渗性较好 C.水化热较小、耐热性较差、干缩性较小、抗渗性较好

专训：有理数混合运算的四种解题思路

专训有理数混合运算的四种解题思路名师点金：对于有理数的混合运算，根据题目特征，理清解题思路，是正确解题的关键，有理数混合运算中常见的解题思路有：弄清运算顺序，再计算；先转化，再计算；确定运算符号，再计算；找准方法，再计算. 思路1 弄清运算顺序，再计算 1.计算：－38÷35×53 . 2.计算：－23－12÷（－2＋12÷3）. 思路2 先转化，再计算 3.计算：－27－? ????－49＋47－29－17 . 4.计算：－4×? ?? ??－134÷（－1.4）. 思路3 确定运算符号，再计算 5.计算：－1 2 017－? ?? ??23－12×（－6）. 6.计算：－32－（－2－5）2－???? ??－14×（－2）4.

思路4 找准方法，再计算 7.计算：? ?? ??－34＋56－712×（－24）. 8.计算：1－2－3＋4＋5－6－7＋8＋…＋97－98－99＋100.

参考答案 1．解：原式＝－38×53×53＝－2524 . 2．解：原式＝－8－12÷2＝－14. 3．解：原式＝－27＋49＋47－29－17 ＝(－27＋47－17)＋(49－29 ) ＝17＋29 ＝2363 . 4．解：原式＝－4×? ????－74×? ?? ??－57＝－5. 5．解：原式＝－1－16 ×(－6)＝0. 6．解：原式＝－9－49－4＝－62. 7．解：原式＝? ????－34×()－24＋56×(－24)＋? ?? ??－712×(－24) ＝18－20＋14 ＝12. 8．解：原式＝(1－2－3＋4)＋(5－6－7＋8)＋…＋(97－98－99＋100)＝0.

浙教版数学七年级上册专项训练一：巧用运算律及特殊规律简化计算过程

专项训练一：巧用运算律及特殊规律简化计算过程名师点金：进行有理数的运算时，我们可以根据题目的特征，运用相应的运算技巧，这样不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致．技巧1：归类——将同类数(如正数、负数、整数、分数) 归类计算 1．计算：(－100)＋70＋(－23)＋50＋(－6) 2．计算：－23－35＋5－13－2 5＋4 技巧2：凑整——将和为整数的数结合计算 3．计算：278＋? ????－2712＋535＋? ?? ??－178＋22 5＋ ? ? ???－3512. 技巧3：对消——将相加得零的数结合计算 4．计算：350＋(－26)＋700＋26＋(－1 050) 技巧4：变序——运用运算律改变运算顺序

5．计算：(－12.5)×(＋31)×? ?? ?? －45×(－0.1) 6．计算：? ?? ?? 23－56＋112－78×(－24) 技巧5：换位——将被除数与除数颠倒位置 7．计算：－130÷? ????13＋16－25－12 技巧6：分解——将一个数拆分成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式 8．计算：－214＋512－413＋31 6 9．计算：12＋16＋112＋120＋130＋142＋156＋1 72 10．计算：2 015×201 620 162 016－2 016×201 520 152 015.

专项训练二：思想方法荟萃名师点金：本章主要体现了数形结合思想、转化思想、整体思想、分类讨论思想、从特殊到一般的思想，这几种数学思想是初中数学中很重要的解题思想．数形结合思想 1．有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列式子中：①ab ＜0；②－a b ＞0；③a ＜|b|；④－a ＞－b ；⑤ a －b b －a ＞0，成立的有( ) (第1题) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个转化思想 2．计算136÷? ????14＋1 12－718－136. 整体思想 3．若a ，b 互为倒数，x ，y 互为相反数，|m|＝3.求下列各式的值： (1)x ＋y x 3－ab ＋m 2－8；

典中点相交线与平行线专训7 相交线与平行线全章热门考点整合应用

典中点相交线与平行线专训7 相交线与平行线全章热门考点整合应用 ?名师点金? 本章知识是中考的必考内容,也是后面学习有关几何中计算和证明的基础,其常见的题目涉及角度的计算、垂线段及其应用、平行线的判定和性质,命题形式有填空题、选择题、解答题,题目难度不大.本章的热门考点可概括为三个概念、两个判定、两个性质、两个方法、两种思想。考点1：三个概念概念1：相交线 1.图中的对顶角共有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 2.如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOC,∠COF=35°, ∠BOD=60°,求∠EOF的度数. 概念2：三线八角 3.如图,如果∠1=40°,∠2=100°，那么∠3的同位角等于_____________; ∠3的内错角等于 ______________; ∠3的同旁内角等于_____________. 4.如图,点E在AB的延长线上,指出下面各组中的两个角是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的?它们是什么角? (1)∠A和∠D; (2)∠A和∠CBA; (3)∠C和∠CBE. 概念3：平行线 5.在同一平面内,直线a与b满足下列条件,写出其对应的位置关系。 (1)a与b没有公共点,则a与b_____________. (2)a与b有且只有一个公共点,则a与b_______________. 6.如图,在方格纸中,有两条线段AB,BC.利用方格纸完成以下操作: (1)过点A作BC的平行线; (2)过点C作AB的平行线,与(1)中BC的平行线交于点D. (3)过点B作AB的垂线BE.

考点2:两个判定判定1:垂线 7.如图,直线AB,CD 相交于点O,OM ⊥AB. (1)若∠1=20°,∠2=20°,则∠DON=_________. (2)若∠1=∠2,判断ON 与CD 的位置关系,并说明理由. (3)若∠1=41∠BOC,求∠AOC 和∠MOD 的度数. 判定2:平行线 7. 如图,已知CF ⊥AB 于点F,ED ⊥AB 于点D,∠1=∠2,猜想FG 和BC 的位置关系,并说明理由. 考点3:两个性质性质1:垂线段的性质 9.如图,AB 是一条河流,要铺设管道将河水引到C,D 两个用水点,现有两种铺设管道的方案: 方案一:分别过点C,D 作AB 的垂线,垂足分别为点E,F,沿CE,DF 铺设管道; 方案二:连接CD 交AB 于点P,沿PC,PD 铺设管道这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料?为什么? (忽略河流的宽度) 性质2:平行线的性质 10.如图,已知AB ∥CD,直线EF 交AB 于点E,交CD 于点F,且EG 平分∠FEB,∠1=50°,则∠2等于( ) A.50° B.60° C.70° D.80° 11.如图,分别过等边三角形ABC 的顶点A,B 作直线a,b,使a ∥b 若∠1=40°,则∠2的度数为__________. (第10题) (第11题)

典中点图形的初步认识专训9 动角问题的解题思路

O D C B A 典中点图形的初步认识专训9 动角问题的解题思路 ?名师点金? 动角问题常作为压轴题，难度系数比较大，一般解题方法：（1）化动为静，分类画图；（2）转化为常见角度计算题型。例1：如图（1），将两块直角三角板的直角顶点C 叠放在一起，（1）试判断∠ACE 与∠BCD 的大小关系，并说明理由；（2）若∠DCE=40°，求∠ACB 的度数；（3）猜想∠ACB 与∠DCE 的数量关系，并说明理由；（4）若改变其中一个三角板的位置，如图（2），则第（3）小题的结论还成立吗？．例2：将一副三角板如图1摆放．∠AOB=60°，∠COD=45°，OM 平分AOD ，ON 平分∠COB ．（1）∠MON=______；（2）将图1中的三角板OCD 绕点D 旋转到图2的位置，求∠MON ；（3）将图1中的三角板OCD 绕点D 旋转到图3的位置，求∠MON ．例3：已知：如图，OB 、OC 分别为定角∠AOD 内的两条动射线 ⑴当OB 、OC 运动到如图的位置时，∠AOC+∠BOD=110°，∠AOB+∠COD=50°，求∠AOD 的度数； ⑵在⑴的条件下，射线OM 、ON 分别为∠AOB 、∠COD 的平分线，当∠COB 绕着点O 旋转时，下列结论：①∠AOM －∠DON 的值不变；②∠MON 的度数不变.可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值.

例4：如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC．①求t的值；②此时ON是否平分∠AOC？请说明理由；（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠MON？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠MOB？请画图并说明由．演练题： 1.已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC=30°，求∠DOE的度数；（2）在图1中，若∠AOC=a，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）；（3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置． ①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足：∠AOC-4∠AOF=2∠BOE+∠AOF，试确定∠AOF 与∠DOE的度数之间的关系，说明理由．

整合提升密码12

专训一：三角形中的计数问题名师点金：在复杂的图形中数三角形个数的常见方法有：按顺序计数法、按基本图形计数法、由特殊到一般计数法．计数的原则是做到不重复、不遗漏．按顺序计数 1．如图，在△中，D，E，F都是上的点，则图中共有个三角形，它们分别是. (第1题)

(第2题) 2．如图，图中三角形的个数为( ) A．2 B．18 C．19 D．20 按基本图形计数 3．如图，在△中，M，N，P，Q，E为边上的点，连接，，，，，数一数图中共有多少个三角形？并说明你是怎样数的．

(第3题) 由特殊到一般计数 4．(1)如图①，当△内部有1条线段()时，共有个三角形；时，共有个三角形；)，(条线段2如图②，当△内部有(2)． (第4题) (3)如图③，当△内部有3条线段(，，)时，共有个三角形； (4)当△内部有4条这样的线段时，共有个三角形； (5)当△内部有n条这样的线段时，共有个三角形． 5．阅读材料，并填表：

在△中，有一点P，当P，A，B，C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形(如图)，当△内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？ (第5题) 完成下表： 1 2 3 1 007 △内点的个数 (5) 3 构成不重叠的小三角形的个数…6.根据表中三角形叠加的规律，探求三角形叠加的层数与内部不再含三角形的三角形个数之间的关系，写出相应的关系式．(用含n的式子表示) 三角形层数个数

2＝1 11 2 2 3＝2＋1 2＋3 5＝331＋ 4 ………n 专训二：几种热门考点名师点金：本章在学习三角形的基础知识中主要涉及与三角形有关的线段，命题与证明，和三角形内角、外角相关的知识，一般考查的题型包括三角形的三边关系，三角形的中线、高线、角平分线，命题与证明，以及与三角形内角和外角性质相关的角度的计算等．三角形的三边关系 1．现有长度分别为3 ，4 ，7 ，9 的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为( ) A．9 B．12 C．9或12 D．5 3．三角形的一边长是8，另一边长是1，第三边长如果是整数，则第三边长是，

专训4 二元一次方程组的五种特殊解法

专训4 二元一次方程组的五种特殊解法名师点金：解二元一次方程组的思想是“消元”，是一个变“未知”为“已知”的过程．解二元一次方程组的过程的实质是转化过程，因此解方程组时，要根据方程组的特点，灵活运用方程组的变形的技巧，选用较简便的方法来解．引入参数法解二元一次方程组 1．用代入法解方程组： ?????x 3＋y 4＝0，① 2（x ＋y ）－3（2y －x ）＝62.② 特殊消元法解二元一次方程组类型1 方程组中两未知数系数之差的绝对值相等 2．解方程组：? ????2 015x ＋2 016y ＝2 017，①2 016x ＋2 017y ＝2 018.② 类型2 方程组中两未知数系数之和的绝对值相等 3．解方程组：? ????13x ＋14y ＝40，①14x ＋13y ＝41.②

利用换元法解二元一次方程组 4．解方程组?????3（x ＋y ）＋4（x －y ）＝20，x ＋y 4 －x －y 2＝0. 同解交换法解二元一次方程组 5．已知关于x ，y 的方程组?????ax －by ＝4，3x －y ＝5与方程组?????ax ＋by ＝16，4x －7y ＝1 的解相同，求(a －b)2 018的值．运用主元法解二元一次方程组

6．已知?????4x －3y －3z ＝0，x －3y －z ＝0 (x ，y ，z 均不为0)，求xy ＋2yz x 2＋y 2－z 2的值．

答案 1．解：由①，得x 3＝－y 4 . 设x 3＝－y 4 ＝k ，则x ＝3k ，y ＝－4k. 将x ＝3k ，y ＝－4k 代入方程②，得2(3k －4k)－3[2×(－4k)－3k]＝62. 解这个方程，得k ＝2.所以x ＝6，y ＝－8. 所以原方程组的解是?????x ＝6，y ＝－8. 技巧点拨：本题利用引入参数法解方程组．当方程组中出现x a ＝y b 的形式时，常考虑先用参数分别表示出x ，y 的值，然后将x ，y 的值代入另一个方程求出参数的值，最后将参数的值回代就能求出方程组的解． 2．解：②－①，得x ＋y ＝1.③ 由③，得x ＝1－y.④ 把④代入方程①，得2 015(1－y)＋2 016y ＝2 017. 解这个方程，得y ＝2. 把y ＝2代入方程③，得x ＝－1. 所以原方程组的解为? ????x ＝－1，y ＝2. 点拨：观察方程①和②的系数特点，数值都比较大，如果用常规的代入法或加减法来解，不仅计算量大，而且容易出现计算错误．根据方程组中的两个未知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再用代入法或加减法求解，更为简便． 3．解：①＋②，得27x ＋27y ＝81.化简，得x ＋y ＝3.③ ①－②，得－x ＋y ＝－1.④ ③＋④，得2y ＝2，y ＝1. ③－④，得2x ＝4，x ＝2. 所以这个方程组的解是? ????x ＝2，y ＝1. 点拨：方程组中x 的系数分别为13，14，y 的系数分别为14，13.当两式相加时，x 和y 的系数相等，化简即可得到x ＋y ＝3；当两式相减时，x 和y 的系数互为相反数，化简即可得到－x ＋y ＝－1.由此达到化简方程组的目的． 4．解：设x ＋y ＝m ，x －y ＝n ，则原方程组可转化为?????3m ＋4n ＝20，m 4－n 2 ＝0，解得?????m ＝4，n ＝2.

典中点二次函数专训7 二次函数全章热门考点整合应用

关系2：二次函数与一元二次方程的关系 4.已知关于x 的函数41)1()23(22+ ++++=x a x a a y 的图象与x 轴总有交点。 (1)求a 的取值范围； (2)设函数的图象与x 轴有两个不同的交点,分别为A(1x ,0),B(2x ,0),当 31122 1-=+a x x 时,求a 的值。考点4：三个应用应用1：最大面积的应用 5.为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等,设BC 的长度是x 米,矩形区域ABCD 的面积为y 平方米。 (1)求y 与x 之间的函数表达式,并注明自变量x 的取值范围; (2)当x 取何值时,y 有最大值?最大值是多少?

典中点函数及其图象专训4 求反比例函数表达式的六种方法

典中点函数及其图象专训4 求反比例函数表达式的六种方法 ?名师点金? 求反比例函数的解析式，关键是确定比例系数k 的值．求比例系数k 的值，可以根据反比例函数的定义及性质列方程、不等式求解，可以根据图象中点的坐标求解，可以直接根据数量关系列解析式，也可以利用待定系数法求解，还可以利用比例系数k 的几何意义求解．其中待定系数法是常用方法．方法1：利用反比例函数的定义求解析式 1．若y ＝(m ＋3)x 102-m 是反比例函数，试求其函数解析式．方法2：利用反比例函数的性质求解析式 2．已知函数y ＝(n ＋3)x 922-+n n 是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，y 随x 的增大而减小，求此函数的解析式．方法3：利用反比例函数的图象求解析式 3．如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝m x 的图象在第一象限交于点A(4，2)，与y 轴的负半轴交于点B ，且OB ＝6. (1)求函数y ＝m x 和y ＝kx ＋b 的解析式． (2)已知直线AB 与x 轴相交于点C ，在第一象限内，求反比例函数y ＝m x 的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.

方法4：利用待定系数法求解析式 4．已知y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，若函数y ＝y 1＋y 2的图象经过点(1，2)，??? ??21,2，求y 与x 的函数解析式．方法5：利用图形的面积求解析式 5．如图，点A 在双曲线y ＝1x 上，点B 在双曲线y ＝k x 上，且AB ∥x 轴，C ，D 两点在x 轴上，若矩形ABCD 的面积为6，求点B 所在双曲线对应的函数解析式．方法6：利用实际问题中的数量关系求解析式 6．某运输队要运300t 物资到江边防洪． (1)求运输时间t(单位：h)与运输速度v(单位t/h)之间的函数关系式． (2)运了一半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2 h 之内运到江边，则运输速度至少为多少？