§1函数与极限 练习题
第一章 函数与极限
§1 函数
一、是非判断题
1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界。 [ ]
2、)(x f 在X 上有界的充分必要条件是存在数A 与B ，使得对任一X x ∈都有
B x f A ≤≤)( [ ] 3、)(),(x g x f 都在区间I 上单调增加，则)(·)(x g x f 也在I 上单调增加。 [ ] 4、定义在（∞+∞-，）上的常函数是周期函数。 [ ] 5、任一周期函数必有最小正周期。 [ ]
6、)(x f 为（∞+∞-，）上的任意函数，则)(3
x f 必是奇函数。 [ ]
7、设)(x f 是定义在[]a a ,-上的函数，则)()(x f x f -+必是偶函数。 [ ] 8、f(x)=1+x+ 2x 是初等函数。 [ ] 二．单项选择题
1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是 （A ）||ln x
e
y = （B ）2x y = （C ）4
4
x y =
（D ）x x y sgn =
2、下列函数中 既是奇函数，又是单调增加的。
（A ）sin 3x （B ）x 3+1 （C ）x 3+x （D ）x 3-x 3、设[])(,2)(,)(22x x f x x f x ??则函数==是
（A ）x 2log （B ）x 2 （C ）2
2log x （D ）2x 4、若)(x f 为奇函数，则 也为奇函数。
(A));0(,)(≠+c c x f (B) )0(,)(≠+-c c x f (C) );()(x f x f + (D) )].([x f f - 三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。 1、 y=)
1arctan(+x e
2、 y=x x x ++
3、 y=x
ln ln
ln
四．设f(x)的定义域D=[0，1]，求下列函数的定义域。
（1） f()2x
(2) f(sinx)
(3) f(x+a) (a>0)
(3) f(x+a)+f(x-a) (a>0)
五．设???=,,2)(x x x f 00≥ ??-=,3, 5)(x x x g 00≥ 六．利用x x f sin )(=的图形作出下列函数的图形： 1．|)(|x f y = 2。|)(|x f y = 3．2)(+=x f y 4。)2(+=x f y 5．)(2x f y = 6。)2(x f y = §2 数列的极限 一 是非判断题 1、当n 充分大后，数列n x 与常数A 越来接近，则.lim A x n x =∞ → [ ] 2、如果数列n x 发散，则n x 必是无界数列。 [ ] 3。如果对任意,0>ε存在正整数N ，使得当n>N 时总有无穷多个n x 满足|n x ε<-|a ， 则 .lim a x n n =∞ → [ ] 4、如果对任意,0>ε数列n x 中只有有限项不满足|n x ε<-|a ，则.lim a x n n =∞ → [ ] 5、若数列n x 收敛，列n y 发散，则数列n n y x +发散。 [ ] 二．单项选择题 1、根据 a x n n =∞ →lim 的定义，对任给,0>ε存在正整数N ，使得对n>N 的一切x n ，不等式 ε<-a x n 都成立这里的N 。 （A ）是ε的函数N(ε)，且当ε减少时N （ε）增大； （ B ）是由ε所唯一确定的 （C ）与ε有关，但ε给定时N 并不唯一确定 （D ）是一个很大的常数，与ε无关。 2、?? ???=-为偶数当为奇数 当n n n x n ,10,1 7则 。 （A ）;0lim =∞ →n n x （B ）;10 lim 7 -∞ →=n n x （C ）;,10, ,0lim 7???=-∞ →为偶数 为奇数n n x n n (D) 不存在n n x ∞→lim 3、数列有界是数列收敛的 。 （A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充分必要条件； （D ）既非充分又非必要条件。 4、下列数列n x 中，收敛的是 。 （A ）n n x n n 1) 1(--=（B ）1 += n n x n （C ）2 sin πn x n =（D ）n n n x )1(--= 三．根据数列极限的定义证明。 （1） 01lim 2 =∞ →n n （2）3 21 312lim = ++∞ →n n n （3）0sin lim =∞ →n n n （4）2 1)21( lim 2 2 2 = + ++ ∞ →n n n n n 四、若0lim =∞ →n n x ，又数列n y 有界，则0lim =∞ →n n n y x 。 五、若a x n n =∞ →lim ，证明||||lim a x n n =∞ →。反过来成立吗？成立给出证明，不成立举出 反例。 §3 函数的极限 一 是非判断题 1、如果)(0x f =5，但则,4)0()0(00=+=-x f x f )(lim 0 x f x x →不存在。 [ ] 2、)(lim x f x ∞ →存在的充分必要条件是)(lim x f x +∞ →和)(lim x f x -∞ →都存在。 [ ] 3、如果对某个,0>ε存在,0>δ使得当0<δ<-||0x x 时，有,|)(ε<-A x f 那末 .)(lim 0 A x f x x =→ [ ] 4、如果在0x 的某一去心邻域内，,0)(>x f 且.0,)(lim 0 >=→A A x f x x 那末 [ ] 5、如果A x f x =∞ →)(lim 且,0>A 那么必有,0>X 使x 在[]X X ,-以外时.0)(>x f [ ] 二．单项选择题 1、从1)(lim 0 =→x f x x 不能推出 。 （A ）1)(lim 0=+→x f x x （B ）1)0(0=-x f （C ）1)(0=x f （D ）0]1)([lim 0 =-→x f x x 2、)(x f 在0x x =处有定义是)(lim 0 x f x x →存在的 。 （A ） 充分条件但非必要条件； （B ）必要条件但非充分条件 （C ） 充分必要条件； （D ）既不是充分条件也不是必要条件 3、若,1 1)(,1 ) 1()(2 2 +-= --= x x x g x x x f 则 。 （A ）)()(x g x f = （B ）)()(lim 1 x g x f x =→ （C ）)(lim )(lim 1 1 x g x f x x →→= （D ）以上等式都不成立 4、)(lim )(lim 00x f x f x x x x +→-→=是)(lim 0 x f x x →存在的 。 （A ）充分条件但非必要条件； （B ）必要条件但非充分条件 （C ）充分必要条件； （D ）既不是充分条件也不是必要条件 四．根据函数极限的定义证明 （1）8)13(lim 3 =-→x n （2）44 4lim 2 2 -=+--→x x x （3）2 121lim 3 3 = +∞ →x x x （4）2)4(lim 2 -=--+∞ →x x x x 五．求x x x 0 lim → 六．设f(x)=? ??<>-1;21 ;13x x x x 求（1）)(lim 1 x f x → （2）)(lim 2 x f x → （3）)(lim 0 x f x → 七．设函数| |35||3)(x x x x x f -+= ，求 （1）)(lim x f x +∞ → （2）)(lim x f x -∞ → （3）)(lim 0 x f x +→ （4）)(lim 0 x f x -→（5）)(lim 0 x f x → §4无穷小与无穷大 一、是非题 1、零是无穷小。 [ ] 2、 x 1是无穷小。 [ ] 3、两个无穷小之和仍是无穷小。 [ ] 4、两个无穷小之积仍是无穷小。 [ ] 5、两个无穷大之和仍是无穷大。 [ ] 6、无界变量必是无穷大量。 [ ] 7、无穷大量必是无界变量。 [ ] 8、0,x x →是βα时的无穷小，则对任意常数A 、B 、C 、D 、E ， ββαβE Da C B Aa ++++2 2 也是0x x →时的无穷小。 [ ] 二．单项选择题 1、若x 是无穷小，下面说法错误的是 。 （A ）x 2是无穷小；（B ）2x 是无穷小； （C ）x-0．0001是无穷小；（D ）-x 是无穷小。 2、在X →0时，下面说法中错误的是 。 （A ）xsinx 是无穷小（B ）是无穷小x x 1sin (C) x 1sin x 1是无穷大; (D) x 1是无穷大。 3、下面命题中正确的是 。 （A ）无穷大是一个非常大的数； （B ）有限个无穷大的和仍为无穷大； （C ）无界变量必为无穷大； （D ）无穷大必是无界变量。 三．下列函数在指定的变化趋势下是无穷小量还是无穷大量 （1） lnx )1(→x 及)0(+→x （2）)21(sin +x x )0(→x (3) x e )(+∞→x 及)(-∞→x (4) x e 1 )0(+→x 、)0(-→x 及)0(→x 四．证明函数x x y cos =在),0(+∞内无界，但当+∞→x 时，这函数不是无穷大。 §5 极限的运算法则 一．是非题 1、R ) ()()(x Q x p x = 是有理分式，且)(,0)(x T x Q ≠是多项式， 那末 []).()()()(lim 000 x T x R x T x R x x +=+→ [ ] 2、.0lim ...2lim 1lim ...321lim 2 2 2 2 =+++=++++∞ →∞ →∞ →∞ →n n n n n n n n n n [ ] 3、0 11lim sin lim .lim sin 0x x x x x x x →→→== [ ] 4、 若则可断言且存在,0)(lim ,) ()(lim 0 =→→x g x g x f x x x x 0)(lim 0 =→x f x x [ ] 二．计算下列极限 （1） 3 5lim 2 2 -+→x x x （2）1 12lim 2 2 1 -+-→x x x x （3）h x h x h 2 20 )(lim -+→ （4）1 21lim 2 2 ---∞ →x x x x （5）1 3lim 2 4 2 +-+→x x x x x （6）4 586lim 2 2 4 +-+-→x x x x x （7）)2 14 12 11(lim n n + ++ + ∞ → （8）2 ) 1(321lim n n n -++++∞ → （9） )1311( lim 3 1 x x x -- -→ （10） 3 5) 3)(2)(1(lim n n n n n +++∞ → （11） x e x x arctan lim +∞ → （12） x x x 1sin 1sin lim 0 +?→ （13） )11(lim 2 2 -- +∞ →x x x （14）1 2lim ++++∞ →x x x x x 四．已知 22 lim 2 2 2 =--++→x x b ax x x ，求常数,a 和b 。 五．已知 1)1 1( lim 2 3 =--++∞ →b ax x x x ，求常数,a 和b 。 §6极限存在准则，两个重要极限 一．是非题 1、,lim lim a z y n n n n ==∞ →∞ →且当n>N 时有.lim ,a x z x y n x n n n =≤≤∞ →那么 [ ] 2、如果数列n x 满足：（1）为常数a n a x n ...,2,1(=<；（2）x n >x n+1(n=1,2…).则 x n 必有 极限 [ ] 3、1sin lim =∞ →x x x [ ] 4、1)1 1(lim =+∞ →n n n [ ] 5．∞=+→x x x 1 )1(lim [ ] 二．单项选择题 1、下列极限中，极限值不为0的是 。 （A ）; lim x arctgx x ∞ → （B ）x x x x cos 3sin 2lim +∞ → （C ）x x x 1sin lim 0 2 → （D ）2 4 2 lim x x x x +→ο 2、若且),()(x x f ?>则必有b x a x B x A x f →→==,)(lim ,)(lim ? 。 （A ）A>B (B)A ≥B (C)|A|>B (D)|A|≥|B| 3、1000 ) 11(lim +∞ →+ n x n 的值是 。 (A)e (B)e 1000 (C)e ·e 1000 (D)其它值 4、=→x tgx x sin lim π 。 (A)1 (B) -1 (C)0 (D)∞ 5、=- →)sin 11sin (lim 0 x x x x x 。 (A)-1 (B)1 (C)0 (D)不存在 三．计算下列极限 （1） x x x 2 sin lim → （2） x x tg x 3lim → （3） ax h h cos 1lim 0 -+→ （4） x x x x sin 2cos 1lim -→ （5） x x x 1 )1(lim -→ （6）x x x 21lim +→ （7） x x x x 2) 1( lim +∞ → （8）kx x x ) 11(lim - ∞ → （k 为正整数） （9）x x x 32 ) 11(lim - ∞ → （10） x x x cos 20 ) sin 31(lim -→ （11）x x x x 3sin 11lim 0 -- +→ （12）x x x x x x )cos 1(1sin 3sin lim 2 ++→ 三．利用夹逼准则证明：1)12 11 1( lim 2 2 2 =++ +++ +∞ →n n n n n n 四．设01>=a x ，)2(211n n n x x x + =+ ,3,2,1=n ，利用单调有界准则证明：数列} {n x 收敛，并求其极限。 §7无穷小的比较 1、γβα,,是同一极限过程中的无穷小，且,~,~γββα则必有γα~。 [ ] 2、0→x 时0lim sin sin lim ,~sin 3 3 =-=-∴→∞ →x x x x x tgx x x x x [ ] 3、已知11cos lim =-→x x x ，由此可断言，当)1(cos ,0x x x -→与时为等价无穷小。[ ] 4．当0→x 时，x 3sin 与1-x e 是同阶无穷小 。 [ ] 5．当1→x 时，3 1x - 是1-x 的高阶无穷小。 [ ] 二．单项选择题 1、x →0时，1—cosx 是x 2的 。 (A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小 2、当x →0时，（1—cosx ）2是sin 2x 的 。 (A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小 3、如果应满足则高阶的无穷小是比 时c b a x c bx ax x ,,,1 11, 2 +++∞→ 。 (A)1,1,0===c b a (B) 为任意常数c b a ,1,0=≠ (C) 为任意常数 c b a ,,0≠ (D) 都可以是任意常数 c b a ,, 4、1→x 时与无穷小x -1等价的是 。 (A) ()3 12 1x - (B) () x - 12 1 (C) ()2 12 1x - (D) x - 1 5．下列极限中，值为1的是 。 (A) x x x sin 2 lim π∞ → (B) x x x sin 2 lim π→ (C) x x x sin 2 lim 2 ππ → (D) x x x sin 2 lim ππ → 三．证明：当0→x 时，2 ~)2cos (cos 3 2x x x -。 四．确定α的值，使α x x x 4 1~sin 1tan 1+-+ （)0→x §8 函数的连续性与间断点 1、)(x f 在其定义域（a,b ）内一点x 0处连续的充分必要条件是)(x f 在x 0既左连续又右 连续。 [ ] 2、)(x f 在x 0有定义，且0 lim x x →)(x f 存在，则)(x f 在x 0连续。 [ ] 3、)(x f 在其定义域（a,b ）内一点x 0连续，则0 lim x x →)(x f =0 )(lim x x x f → [ ] 4、)(x f 在（a,b ）内除x 0外处处连续，点x 0是)(x f 的可去间断点，则 0 000 ()(,)(,) ()(,)lim (),x x f x x a x x b F x a b f x x x →∈??=?=??或在内连续 [ ] 5、)(x f 在0x x =无定义，则)(x f 在x 0处不连续。 [ ] 二．单项选择题 1、)(x f 在点0x 处有定义是)(x f 在点0x x =连续的 。 (A) 必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件 2、连续的在是00)()()(lim 0 x x x f x f x f x x ==→ 。 （A ）必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件 3、x x x f x 1sin sin )(0?==是的 。 (A)可去间断点 (B)跳跃间断点 (C)振荡间断点 (D)无穷间断点 4、的是则)(1,1,2, 1,1 1 )(2x f x x x x x x x f =?? ???≥<--= 。 (A)连续点 (B)可去间断点 (C)跳跃间断点 (D)无穷间断点 5、的是则)(0, 0,1 cos ,0,0,0,sin )(x f x x x x x x x x x x f =??? ??? ?>=<+= 。 (A)连续点 (B)可去间断点 (C)跳跃间断点 (D)振荡间断点 6、设函数,)1()(cot x x x f -=则定义)0(f 为 时)(x f 在0=x 处连续 (A) e 1 (B) e (C) -e (D)无论怎样定义),0(f )(x f 在0=x 处也不连续 三．研究下列函数的连续性，并画出图象。 （1）???≤<-≤≤=2 1;210;)(2x x x x x f （2）???>-<≤≤-=11;11 1;)(x x x x x f 或 四．判断下列函数在指定点处的间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的 定义使其连续。 （1）2 312 2 +--=x x x y x=1,x=2 (2) tgx x y = x=k π )2,1,0(2 ±±=+ =k k x ππ （3） ? ??>-≤-=1;31 ;1x x x x y x=1 五 .讨论函数n n n x x x f 2211lim )(+-=∞ →的连续性，若有间断点判断其类型。 §9 连续函数的运算与初等函数的连续性 一．是非题 1、f(x),g(x)在0x x =连续，则)(3)().(2)(2x g x g x f x f -+在0x x =也连续。 [ ] 2、)(x f 在0x x =连续，)(x g 在0x x =不连续，则)()(x g x f +在x 0一定不连续。[ ] 3、)(x f 在x 0连续，)(x g 在x 0不连续，则)().(x g x f 在x 0一定不连续。 [ ] 4、x e x x x f sin )(= 在),(+∞-∞上连续。 [ ] 5、不连续函数平方后仍为不连续函数。 [ ] 三．.求函数6 33)(22 3 -+--+=x x x x x x f 的连续区间。 四．.求函数? ??≤<≤≤-=31;31 0;12)(x x x x x f 的连续区间。 四．.设函数???≥+<=0 ;0 ;)(x x a x e x f x 应当怎样选择数a,使得f(x)成为),(+∞-∞内的连续函数。 五．求下列极限 （1）a x a x a x --→2 2 cos cos lim （2）x x x 5sin )21ln(lim +→ （3）x x x cos 1cos 1lim 0 --+→ （4）1 sin 1tan 1lim 3 -+- +→x x e x x （5）1 31 3lim 1 1 +-+→x x x （6）x x arctan 3 lim ∞ → 六．设函数 ????? ????+--=)ln([ln 1cos 1sin )(2x x x x b x ax x f 000>= 问b a ,为何值时，)(x f 在),(+∞-∞内连续 §10 闭区间上连续函数的性质 一．是非题 1、)(x f 在（a,b ）内连续，则)(x f 在（a,b ）内一定有最大值和最小值。 [ ] 2、设)(x f 在[a,b]上连续且无零点，则)(x f 在上[a,b]恒为正或恒为负。 [ ] 3、)(x f 在[a,b]上连续且单调，f(a)·f(b)<0,则)(x f 在（a,b ）内有且只有一个零点。[ ] 4、若)(x f 在闭区间[a,b]有定义，在开区间（a,b ）内连续，且f(a)·f(b)<0，则)(x f 在（a,b ）内有零点。 [ ] 5、)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上有界。 [ ] 6、)4 3,4( ,014 3,014 ππππ在tgx tg tg ∴<-=>=内必有零点。 [ ] 二．单项选择题 1、函数],[)(b a x f 在上有最大值和最小值是],[)(b a x f 在上连续的 (A) 必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件。 2、],[)(b a x f 在上连续，,,0)()(654321b x x x x x x x b f a f <<<<<<< 点个数 。 (A) ≥3 (B) ≥4 (C) ≥5 (D) ≥6 3、下列命题错误的是 (A) ],[)(b a x f 在上连续，则存在)()()(],,[,2121x f x f x f b a x x ≤≤∈使 (B) ],[)(b a x f 在上连续，则存在常数M ，使得对任意M x f b a x ≤∈)(],,[都有 (C) ],[)(b a x f 在内连续，则在（a,b ）内必定没有最大值； (D) ],[)(b a x f 在内连续，则在（a,b ）内可能既没有最大值也没有最小值； 4．对初等函数来说，其连续区间一定是（ ） （A ）其定义区间 （B ） 闭区间 （C ） 开区间 （D ） （),+∞∞- 三．证明方程135 =-x x 至少有一个根介于1和2之间。 四．若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，b b f a a f ><)(,)(。证明：至少有一点 ),(b a ∈ξ，使得ξξ=)(f 。 五．设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，),(,b a d c ∈，0,021>>t t ，证明：在[],b a 上必有点ξ，使得 )()()()(2121ξf t t d f t c f t +=+ 六．若)(x f 在],[b a 上连续，.21b x x x a n <<<<< 则在],[b a 上至少存在一点ξ，使 n x f x f x f f n ) ()()()(21+++= ξ 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 函数的连续性 分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21 )10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间． 分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1 1 ==- - →→x x f x x 11lim )(lim 1 1 ==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 2 1)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续． （3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）． 说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 x f x f x f x x x x x x →→→+ - =才存在． 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2 +-= x x x f ， （1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象； （2）求）x f (的不连续点0x ； （3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数． 分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0 x f x x →，再让)(lim )(0 0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2 -=+-=x x x x f 其图象如下图． （2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2 -=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ? ??-=--≠+-=)2(4)2(2 4 )(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数． 说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致． 利用函数图象判定方程是否存在实数根 例 利用连续函数的图象特征，判定方程01523 =+-x x 是否存在实数根． 第一章函数与极限复习提纲 一、函数 知识点：1、函数的定义域、性质的判断（有界性、奇偶性、单调性、周期性） 2、基本初等函数的表示形式 3、复合函数的分解必须会！！ 4、函数关系的建立 如1、下列函数中属于偶函数的是（ D. ） A. x x y sin +=； B. x x y sin 2+=； C . x x y cos +=； D. x x y cos 2+=。 2、下列复合函数由哪些基本初等函数构成？ （1）x x f 2ln )(= 解：u y ln =，x u 2= （2）x y 2cos = 解：2u y = ，x u cos = （3）5)13(+=x y 解：5u y =， 13+=x u （4）3 2 1-= x y 解：3 1u y =，12-=x u （5）x y 2cos ln = 解：u y ln =，v u cos =，x v 2= 3、旅客乘坐火车时，随身携带物品，不超过20公斤免费；超过20公斤部分，每公斤收费0.20元；超过50公斤部分再加收50%。试列出收费与物品重量的函数关系式。 解 0, 0.2(20), 2050 0.3(50)6, 50 x y x x x x ≤≤?? =-<≤??-+>? 4、某公司生产某种产品，总成本为C 元，其中固定成本为200元，每多生产一单位产品，成本增加10元，又设该产品价格P 与需求量x 之间的关系为2 25x P -=,求x 为多少时公司总利润最大？ 解 成本函数C （x ）=固定成本+可变成本 所以x x C 10200)(+= 收入函数x x x x x p x R 2521 )225()(2+-=?- =?= 利润函数200152 1)10200(2521)()()(2 2-+-=+-+-=-=x x x x x x C x R x L 令015)('=+-=x x L 得15=x 因为驻点唯一，又根据01)("<-=x L 可知函数最大值存在，所以当15=x 时，() L x 第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案 一、单项选择题 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域 () , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则() 2 f x的反函 数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互 换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数 为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界， B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤ 故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即 n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界， 但不收敛， 选A 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小， 则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设() 1 1 f x x = + ，则() f f x ?? ??的定义域 为 第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 函数与极限测试题（二） 一. 选择题 1.设F()x 是连续函数()f x 的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有( ). （A ）F()x 是偶函数?()f x )是奇函数. （B ）F()x 是奇函数?()f x 是偶函数. （C ）F()x 是周期函数?()f x 是周期函数. （D ）F()x 是单调函数?()f x 是单调函数 2．设函数,1 1)(1 -= -x x e x f 则( ) （A ） 0x =，1x =都是()f x 的第一类间断点. （B ） 0x =，1x =都是()f x 的第二类间断点 （C ） 0x =是()f x 的第一类间断点，1x =是()f x 的第二类间断点. （D ） 0x =是()f x 的第二类间断点，1x =是()f x 的第一类间断点. 3．设()1x f x x -= ，01x ≠、，，则1 [ ]() f f x = ( ) A ） 1x - B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） 0 lim 11(1+ )x x x + →= B ）0lim 1(1+ ) x x e x + →= C ） lim 1(1)x x e x →∞ =-- D ）lim 1(1) x x e x -→∞ =+ 5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1( lim ( ) A.1； B.∞； C.2 -e ； D.2 e 。 7．极限：∞ →x lim 3 32x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 函数与极限测试题（一） 一、 填空题 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 3、若0x →时，无穷小2 21ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则()f x 的间断点为x =_____。 二、 单选题 1、当0x →时，变量 2 11 sin x x 是（ ） A 、无穷小 B 、无穷大 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 2、设函数()bx x f x a e =+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） A 、0,0a b << B 、0,0a b >> C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ） A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????， 则()lim x f x →∞ 为（ ） A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 C 、一定不存在 D 、不一定存在 例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+ =+ ++ 三、 求下列极限 1 、 lim x 2、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 四、 确定,a b 的值，使() 32 2ln 10 011ln 0 1ax x f x b x x x x x x x ?+<==??-+?>++?? 在(),-∞+∞内连续。 五、 指出函数()1 11x x x e e f x e e --= -的间断点及其类型。 六、 设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程 31240123 a a a a x x x x +++=---有且仅有三个实根。 七、 设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，证明： 在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。 函数与极限测试题答案（一） 一、1、 11x x e -+； 2、 11, 2 2a b ++?? ???? ； 3、 4-； 4、0 ； 二、1—4、DCBD 三、1 、解：原式lim 3x ==； 一、P21：1；5 1.设），（），（∞+∞=55--A ，） ，【310-B =，写出 B A B A B A -=\,A B ，及)()\(\B A A B A A --=的表达式。 解：),5()3,(+∞-∞= B A )5,10[-=B A ),5)10,(\+∞--∞=-=（ B A B A )5,10[)()\(\--=--=B A A B A A 5.下列各题中，函数)(x f 和）x g (是否相同？为什么？ （1） x x g x x f lg 2)(,lg )(2== 解：不同。定义域不同，),0()0,(+∞-∞= f D ),0(+∞=g D 。 （2） 2 )(,)(x x g x x f == 解：不同。对应法则不同，即：值域不同。),0[,+∞==g f R R R 。 （3） 3 3 4 )(x x x f -=， 3 1)(-?=x x x g 解：相同。因为定义域和对应法（或值域）则相同。 （4） x x x g x f 2 2tan sec )(,1)(-== 解：不同。定义域不同，R D f = },1,0,2 { ±=+ ≠=k k x x D g π π。 二、P21：4（1）、（3）、（5）、（7）、（9）；6；7（2）； P22：10（1）、（4）、(5)；11（1）、（3）、（5）；15（1）、（3）；16. 4.求下列函数的自然定义域： （1） 23+=x y ； 解：32023-≥?≥+x x 。即：),3 2 [+∞-=D 。 （3）211x x y --=； 解：???≤≤-≠????≥-≠1 10 0102 x x x x 。即：]1,0()0,1[ -=D 。 （5） x y sin =； 解：0≥x 。即：),0[+∞=D （7）)3arcsin(-=x y ； 解：42131≤≤?≤-≤-x x 。即：]4,2[=D 。 （9）)1ln(+=x y 解：101->?>+x x 。即：),1(+∞-=D 6.设,3 ,3,0,sin )(ππ?≥ 题型 一．求下列函数的极限 二．求下列函数的定义域、值域 三．判断函数的连续性，以及求它的间断点的类型 内容 一．函数 1.函数的概念 2.函数的性质——有界性、单调性、周期性、奇偶性 3.复合函数 4.基本初等函数与初等函数 5.分段函数 二．极限 （一）数列的极限 1.数列极限的定义 2.收敛数列的基本性质 3.数列收敛的准则 （二）函数的极限 1.函数在无穷大处的极限 2.函数在有限点处的极限 3.函数极限的性质 4.极限的运算法则 （三）无穷小量与无穷大量 1.无穷小量 2.无穷大量 3.无穷小量的性质 4.无穷小量的比较 5.等价无穷小的替换原理 三．函数的连续性 x处连续的定义 1.函数在点0 2.函数的间断点 3.间断点的分类 4.连续函数的运算 5.闭区间上连续函数的性质 例题详解 题型I函数的概念与性质 题型II求函数的极限（重点讨论未定式的极限） 题型III求数列的极限 题型IV已知极限，求待定参数、函数、函数值 题型V无穷小的比较 题型VI判断函数的连续性与间断点类型 题型VII与闭区间上连续函数有关的命题证明 自测题一 一． 填空题 二． 选择题 三． 解答题 3月18日函数与极限练习题 一．填空题 1.若函数121)x (f x -??? ??=，则______)x (f lim x =+∞ → 2.若函数1 x 1 x )x (f 2--=，则______)x (f lim _1x =→ 3. 设23,,tan ,u y u v v x === 则复合函数为 ()y f x = = _________ 4. 设 cos 0()0 x x f x x x ≤??=? >?? ，则 (0)f = __________ 5.已知函数 2 ()1 ax b x f x x x + 第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性： 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。 基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。 函数的极限与连续训练题 1、已知四个命题：（1）若在点连续，则在点必有极限 )(x f 0x )(x f 0x x →（2）若在点有极限，则在点必连续 )(x f 0x x →)(x f 0x （3）若在点无极限，则在点一定不连续 )(x f 0x x →)(x f 0x x =（4）若在点不连续，则在点一定无极限。 )(x f 0x x =)(x f 0x x →其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、若，则下列说法正确的是（ C ） a x f x x =→)(lim 0A 、在处有意义 B 、)(x f 0x x =a x f =)(0 C 、在处可以无意义 D 、可以只从一侧无限趋近于)(x f 0x x =x 0 x 3、下列命题错误的是（ D ） A 、函数在点处连续的充要条件是在点左、右连续 0x 0x B 、函数在点处连续，则)(x f 0x )lim ()(lim 00x f x f x x x x →→=C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数有)(x f )()(lim 00 x f x f x x =→4、已知，则的值是（ C ）x x f 1)(= x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0A 、 B 、 C 、 D 、21x x 21x -x -5、下列式子中，正确的是（ B ）A 、 B 、 C 、 D 、1lim 0=→x x x 1)1(21lim 21=--→x x x 111lim 1=---→x x x 0lim 0=→x x x 6、，则的值分别为（ A ）51lim 21=-++→x b ax x x b a 、A 、 B 、 C 、 D 、67和-67-和67--和6 7和7、已知则的值是（ C ）,2)3(,2)3(-='=f f 3)(32lim 3--→x x f x x A 、 B 、0 C 、8 D 、不存在4-8、（ D ） =--→33lim a x a x a x 第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 1.填空题: （1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称. （2 ）函数 2 1 ()1f x x = +-的定义域为__________________________； （3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} . （4）设b ax x f +=)(，则=-+= h x f h x f x ) ()()(? a . （5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x . （6）函数2 x x e e y --=的反函数为 。 （7 ）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1 2. 选择题: （1）下列正确的是：(B ，C ) A.2 lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数. C.?? ? ??<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数. D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. . （2）)sin()(2 x x x f -=是( A ). A.有界函数； B. 周期函数； C. 奇函数； D. 偶函数. （3）设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ). A.1； B.–1； C.2； D.–2. （4）函数 2 1 arccos 1++-=x x y 的定义域是（ ） 第一章 函数与极限 （A ） 一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为 。 2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。 3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。 4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。 5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为 。 6、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 7、函数x x y sin = 有间断点 ，其中 为其可去间断点。 8、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。 9、=++++++∞→)21(lim 222 n n n n n n n n 。 10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。 11、=++++∞→352352) 23)(1(lim x x x x x x 。 12、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 13、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 14、当+∞→x 时， x 1 是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 16、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 17、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的 间断点。 18、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。 19、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ，则a= 。 20、曲线2sin 2 -+=x x x y 水平渐近线方程是 。 21、1 14)(2 2-+ -= x x x f 的连续区间为 。 22、设?? ?>≤+=0 ,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数 a= 。 二、计算题 1、求下列函数定义域 （1）2 11 x y -= ； （2）x y sin = ； （3）x e y 1= ； 2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？ （1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ； （2）2)(,)(x x g x x f = = ； （3）x x x g x f 22tan sec )(, 1)(-== ； 3、判定函数的奇偶性 （1）)1(2 2 x x y -= ； （2）3 2 3x x y -= ； 考研数学高数公式:函数与极限 第一章:函数与极限 第一节:函数 函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。 第二节:极限 极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。 强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列 极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。 冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。 第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤ 第一章 函数与极限 §1 函数 一、是非判断题 1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界。 [ ] 2、)(x f 在X 上有界的充分必要条件是存在数A 与B ，使得对任一X x ∈都有 B x f A ≤≤)( [ ] 3、)(),(x g x f 都在区间I 上单调增加，则)(·)(x g x f 也在I 上单调增加。 [ ] 4、定义在（∞+∞-，）上的常函数是周期函数。 [ ] 5、任一周期函数必有最小正周期。 [ ] 6、)(x f 为（∞+∞-，）上的任意函数，则)(3x f 必是奇函数。 [ ] 7、设)(x f 是定义在[]a a ,-上的函数，则)()(x f x f -+必是偶函数。 [ ] 8、f(x)=1+x+ 2 x 是初等函数。 [ ] 二．单项选择题 1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是 （A ）||ln x e y = （B ）2x y = （C ）44x y = （D ）x x y sgn = 2、下列函数中 既是奇函数，又是单调增加的。 （A ）sin 3x （B ）x 3+1 （C ）x 3+x （D ）x 3-x 3、设[])(,2)(,)(22x x f x x f x ??则函数==是 （A ）x 2log （B ）x 2 （C ）22log x （D ）2 x 4、若)(x f 为奇函数，则 也为奇函数。 (A));0(,)(≠+c c x f (B) )0(,)(≠+-c c x f (C) );()(x f x f + (D) )].([x f f - 三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。 1、 y=) 1arctan(+x e 2、 y=x x x ++ 3、 y=x ln ln ln 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数: 函数与极限测试题（一） 一、 填空题 二、 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 三、 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 四、 3、若0x →时，无穷小221ln 1x x -+与2sin 2a 等价，则常数a =_____。 五、 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则 ()f x 的间断点为x =_____。 六、 单选题 七、 1、当0x →时，变量 211 sin x x 是（ ） 八、 A 、无穷小 B 、无穷大 九、 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 十、 2、设函数()bx x f x a e = +在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） 十一、 A 、0,0a b << B 、0,0a b >> 十二、 C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 十三、 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ） 十四、 A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 十五、 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 十六、 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????，则 ()lim x f x →∞ 为（ ） 十七、 A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 十八、 C 、一定不存在 D 、不一定存在 十九、 例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+=+ ++ 二十、 求下列极限 二十一、 1、 2 241lim sin x x x x x +-+、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 函数单元测试（A ） 一、填充题： 1、设的定义域为[]1,0，则)2(+x f 的定义域是________________。 2、1sin )(,)(2 +==x x q x x f ，则[]=)(x q f ________,()[]=x f q __________。 3、设()2212 ++=+x x x f ，则()=x f _____________。 4、 ()_________ )2(_________,)4(,1 ,01 ,sin =-=?????≥=ππf f x x x x f π。 5、已知函数()x f 是偶函数，且在()+∞,0上是减函数，则函数()x f 在()0,∞-上必 是____________函数。 6、设x v v u u y arccos , 1 ,3 =+==，则复合函数()_____________==x f y 。 7、______________,cos sin )(2 2其周期为设函数x x x f -=。 二、选择题： 1、函数??? ??? ? > ≤+=2,sin 2,)1ln()(ππx x x x x f 则) 4(π f 等于（ ） （A ） ) 41ln(π + （B ）22 （C ）2π （D ）4π 2、设x e x g x x f ==)(,)(2，则=)]([x g f （ ） （A ）2 x e （B ）x e 2 （C ）2 x x （D ）x e 3、设函数()x f 的定义域是]1,0[，则()2 x f 的定义域是（ ） （A ）[-1，1] （B ）[0，1] （C ）[-1，0] （D ）（- ∞，+∞） 4、函数()x x x f -+=1010是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函 数 （C ）非奇非偶函 （D ）既是 奇函数又是偶函数 5、函数()[]2 13arcsin +=x y 的复合过程是（ ） ()()13sin ,sin ,(D) 13,arcsin ,)(13,arcsin B) ( 13arcsin ,)(2222+===+===+==+==x v v u u y x v v u u y C x u u y x u u y A 6、3 4x y -=的反函数是（ ） ()()33334(D) 4C) ( 4(B) 4)(x y x y x y x y A -=-=-=-= 7、下列函数中为基本初等函数的是（ ） 1 23)()( )15arctan()()( 0,10 ,0)()( 1)ln()()(-=+=???≥=+=x x f D x x f C x x x f B x x f A π高等数学函数的极限与连续习题及答案
第二章极限习题及答案：函数的连续性
第一章函数与极限复习提纲
函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限
函数与极限测试题及标准答案(二)
函数与极限测试题及答案(一)
第一章 函数与极限的练习解答
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