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2018版 第3章 3.1.1 分数指数幂

2018版 第3章 3.1.1 分数指数幂
2018版 第3章 3.1.1 分数指数幂

分数指数幂

1.理解根式、分数指数幂的意义,掌握根式与分数指数幂的互化.(重点) 2.掌握有理指数幂的运算法则.(重点) 3.了解实数指数幂的意义.

[基础·初探]

教材整理1 根式 1.平方根与立方根的概念

如果x 2=a ,那么x 称为a 的平方根;如果x 3=a ,那么x 称为a 的立方根.根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有2个,它们互为相反数,一个数的立方根只有一个.

2.a 的n 次方根

(1)定义:一般地,如果一个实数x 满足x n =a (n >1,n ∈N *),那么称x 为a 的n 次实数方根,式子n

a 叫做根式,其中n 叫做根指数,a 叫做被开方数.

(2)几个规定:

①当n 为奇数时,正数的n 次实数方根是一个正数,负数的n 次实数方根是一个负数,这时,a 的n 次实数方根只有一个,记作x =n

a ;

②当n 为偶数时,正数的n 次实数方根有2个,它们互为相反数,这时,正数a 的正的n 次实数方根用符号n a 表示,负的n 次实数方根用符号-n

a 表示,它们可以合并写成±n

a (a >0)形式;

③0的n 次实数方根等于0(无论n 为奇数,还是为偶数).

3.根式的性质

(1)n

0=0(n∈N*,且n>1);

(2)(n

a)n=a(n∈N*,且n>1);

(3)(n

a n)=a(n为大于1的奇数);

(4)(n

a n)=|a|=

?

?

?a(a≥0),

-a(a<0)

(n为大于1的偶数).

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)16的四次方根为2.()

(2)(π-4)2=π-4.()

(3)4

-16=-2.()

2.若n是偶数,n

(x-1)n=x-1,则x的取值范围为________.

教材整理2分数指数幂

1.分数指数幂的意义

一般地,我们规定:

(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.

2.有理数指数幂的运算性质

(1)a s a t=a s+t;

(2)(a s)t=a st;

(3)(ab)t=a t b t,

(其中s,t∈Q,a>0,b>0).

1.下列根式与分数指数幂的互化正确的是________.(填序号)

2.设5x =4,5y =2,则52x -y =________.

[小组合作型] 类型一

根式的性质

求下列各式的值.

(1)3(-2)3;(2)4(-3)2;(3)8

(3-π)8;(4)a 6;(5)x 2-2x +1-x 2+6x +9,x ∈(-3,3).

【精彩点拨】 利用根式的性质进行求解. 【自主解答】 (1)3

(-2)3=-2. (2)4(-3)2=4

32= 3. (3)8

(3-π)8=|3-π|=π-3.

(4)a 6=(a 3)2=|a 3

|=???

a 3,a ≥0,-a 3

,a <0.

(5)原式=(x -1)2-(x +3)2=|x -1|-|x +3|, 当-3

??

-2x -2,-3

-4,1

1.解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值.

2.注意n a n 与(n

a )n 的区别

(n

a )n =a (当n 为奇数时,a ∈R ,当n 为偶数时,a ≥0); n a n =?????

a ,n 为奇数,|a |=???

a (a ≥0),-a (a <0)n 为偶数.

[再练一题]

1.(1)化简:(a -1)2+(1-a )2+3

(1-a )3=________. (2)若x 2-2x +1+y 2+6y +9=0,则y x =________.

类型二

根式与分数指数幂的互化

将下列根式化成分数指数幂的形式.

【精彩点拨】 利用分数指数幂的意义以及有理指数幂的运算性质进行转化.

[再练一题]

2.将下列根式化成分数指数幂的形式.

类型三分数指数幂的运算

【精彩点拨】将各个根式化成指数幂的形式,按照幂的运算性质进行运算.

指数幂与根式运算的技巧

1.有理数指数幂的运算技巧

(1)运算顺序:有括号的,先算括号里面的,无括号的先做指数运算.

(2)指数的处理:负指数先化为正指数.(底数互为倒数)

(3)底数的处理:底数是负数,先确定幂的符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数,先化成假分数,然后再把底数尽可能用幂的形式表示.2.根式运算技巧

(1)各根式(尤其是根指数不同时)要先化成分数指数幂,再运算.

(2)多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂.

[再练一题]

[探究共研型]

探究点条件求值问题

探究2立方和(差)公式是什么?

【提示】a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2),a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).

【精彩点拨】应用乘法公式进行计算.

【答案】19452

条件求值问题的常用方法

1.整体代入:从已知条件中解出所含字母的值,然后再代入求值,这种方法一般是不可取的,而应设法从整体寻求结果与条件的联系,进而整体代入求值.2.求值后代入:所求结果涉及的某些部分,可以作为一个整体先求出其值,然后再代入求最终结果.

[再练一题]

4.已知a >0,a 2x

=3,求a 3x +a -3x

a x +a -x

的值.

1.以下说法正确的是________.(填序号) ①正数的n 次方根是正数; ②负数的n 次方根是负数;

③0的n 次方根是0(其中n >1且n ∈N *); ④a 的n 次方根是n

a .

2.计算:x 2-2x +1=________.(x <1) 3.计算[(-2)2]

的结果是________. 4.计算:(

3

6

a 9)4(

63

a 9)4=________.

5.若代数式2x -1+2-x 有意义,化简: 4x 2-4x +1+24

(x -2)4.

高一数学指数函数知识点及练习题

2.1.1指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次 当n 是偶数时,正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根. n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数 时,0a ≥. n a =;当n a =;当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.② 正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0 的负分数指 数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 指数函数练习

1.下列各式中成立的一项 ( ) A .71 7 7)(m n m n = B .31243)3(-=- C .4 343 3)(y x y x +=+ D . 33 39= 2.化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 ( ) A .a 6 B .a - C .a 9- D .2 9a 3.设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ,则下列等式中不正确的是 ( ) A .f (x +y )=f(x )·f (y ) B .) () (y f x f y x f =-) ( C .)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D .)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4.函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y ( ) A .}2,5|{≠≠x x x B .}2|{>x x C .}5|{>x x D .}552|{><≤-=-0 ,0,12)(21x x x x f x ,满足1)(>x f 的x 的取值范围 ( ) A .)1,1(- B . ),1(+∞- C .}20|{-<>x x x 或 D .}11|{-<>x x x 或 9.函数2 2)2 1(++-=x x y 得单调递增区间是 ( ) A .]2 1,1[- B .]1,(--∞ C .),2[+∞ D .]2,2 1 [ 10.已知2 )(x x e e x f --=,则下列正确的是 ( ) A .奇函数,在R 上为增函数 B .偶函数,在R 上为增函数

人教版数学高中必修一教材《指数与指数幂的运算》教学设计

2.1.1 指数与指数幂的运算(二) (一)教学目标 1.知识与技能 (1)理解分数指数幂的概念; (2)掌握分数指数幂和根式之间的互化; (3)掌握分数指数幂的运算性质; (4)培养学生观察分析、抽象等的能力 2.过程与方法 通过与初中所学的知识进行类比,得出分数指数幂的概念,和指数幂的性质 3.情感、态度与价值观 (1)培养学生观察分析,抽象的能力,渗透“转化”的数学思想; (2)通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯; (3)让学生体验数学的简洁美和统一美. (二)教学重点、难点 1.教学重点:(1)分数指数幂的理解; (2)掌握并运用分数指数幂的运算性质; 2.教学难点:分数指数幂概念的理解 (三)教学方法 发现教学法 1.经历由利用根式的运算性质对根式的化简,注意发现并归纳其变形特点,进而由特 殊情形归纳出一般规律. 2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后,进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发 现规律,并由特殊推广到一般的研究方法. (四)教学过程 教学 环节 教学内容师生互动设计意图 提出问题 回顾初中时的整数指数幂及运算性质 ,1(0) n a a a a a a a =?????=≠, 0无意义 老师提问,学生回答. 学习 新知前的 简单复

1(0) n n a a a -= ≠;()m n m n m n mn a a a a a +?==(),()n m mn n n n a a a b a b ==什么叫实数? 有理数,无理数统称实数. 习,不仅 能唤起学生的记 忆,而且为学习新课作好了知识上的准备. 复习 引入 观察以下式子,并总结出规律:a >0① 105 10 252 55 ()a a a a === ② 884242 ()a a a a === ③ 12 12 34 3 44 4 ()a a a a === ④5 10510 252 5 ()a a a a ===小结:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式,(分数指数幂形式). 根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如: 23 2 3 (0)a a a ==> 1 2 (0) b b b ==>55 4 4 (0) c c c ==>即:*(0,,1) m n m n a a a n N n =>∈> 老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根 式可以写成分数作为指数的形式,(分数指数幂形式)”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也可以写成分数指数幂的形 式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义 数学中引进一 个新的概 念或法则时,总希望它与已有的概念或法则是相容的 形成概念 为此,我们规定正数的分数指数幂的意义为: 学生计算、构造、猜想,允许交流讨论,汇报结论.教师巡视指导 让学生经历从“特殊一

高中数学苏教版必修一分数指数幂.doc

第 3 章指数函数、对数函数和幂函数 §3.1指数函数 3.1.1分数指数幂(一) 一、基础过关 4 1. - 2 4运算的结果是 ________. 2.若 2< a<3,化简2- a 2+4 3- a 4的结果是________. 3.若 a+ (a- 2)0有意义,则 a 的取值范围是 ______.4.已知 xy≠0 且4x2y2=- 2xy,则有 ________. ①xy<0;② xy>0;③ x>0, y>0;④ x<0, y<0. 5.化简π- 4 2+3 π- 4 3的结果为 ________. 6.若 x<0,则 |x|- x2+ x2 = ________. |x| 7.写出使下列各式成立的x 的取值范围. (1)31 3= 1 ; x-3x- 3 (2)x- 5 x2-25 =(5- x) x+ 5. 8.计算下列各式的值: (1)n 3-πn(n>1 ,且 n∈ N * ); (2)2n x-y 2n(n>1,且 n∈ N* ); (3) 5+ 2 6+7-4 3-6-4 2. 二、能力提升 3 4 3 5- 4 3的值为 ______. 9. -6 3+5-4 4+ 10.当 2- x有意义时,化简x2- 4x+4-x2- 6x+9的结果是 ________. 11.已知 a∈ R,n∈N *,给出下列四个式子:① 6 - 2 2 n;② 5 a2;③ 6 -3 2n+1;④ 9 -a4, 其中没有意义的是________. (填序号 )

12.已知 a1, n∈ N*,化简n a- b n+ n a+ b n. 三、探究与拓展 2x-xy 13.若 x>0,y>0 ,且 x-xy-2y= 0,求的值.

2019-2020年高中数学 3.2.2分数指数幂教案 北师大必修1

2019-2020年高中数学 3.2.2分数指数幂教案 北师大必修1 一、教学目标: 1、知识与技能(1) 在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的概念及运算.(2) 能够利用分数指数幂的运算性质进行运算化简.2、 过程与方法(1)让学生了解分数指数幂的扩展,进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义.(2)随着数的扩展,相应的运算性质也要判断能否延用和拓展.3、情感.态度与价值观:使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义,增强学习数学的积极性和自信心. 二、教学重点、: 分数指数幂的运算性质.教学难点:分数指数的运算与化简. 三、学法指导:学生思考、探究.教学方法:探究交流,讲练结合。 四、教学过程 (一)、新课导入 前面我们已经把正整数指数幂扩充到整数指数幂,还要进一步扩充到分数指数幂.有许多问题都不是整数指数.例如,若已知,你能表示出吗?怎样表示?我们引入分数指数幂表示为. (二)新知探究 (Ⅰ)分数指数幂 1.的次幂:一般地,给定正实数,对于给定的正整数,存在唯一的正实数,使得,我们把叫做的次幂,记作.例如:,则;,则. 由于,我们也可以记作 2.正分数指数幂:一般地,给定正实数,对于任意给定的正整数,存在唯一的正实数,使得,我们把叫做的次幂,记作,它就是正分数指数幂.例如:,则;,则等. 说明: 有时我们把正分数指数幂写成根式的形式,即,例如:; 例1.把下列各式中的写成正分数指数幂的形式: () 5455m 2n (1)b 32;(2)b 3;(3)b m,n N +===π∈ 解:(1);(2);(3) 练习1:把下列各式中的写成正分数指数幂的形式:(1);(2) 例2:计算:(1);(2) 解:(1)因为,所以=3;(2)因为,所以=8 练习:计算(1);(2) 请同学们回顾负整数指数幂的定义,能否类似地引入负分数指数幂呢? 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,我们规定 m n m n 1a (a 0,m,n N ,n 1) a - += >∈>; 说明:(1).0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. (2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数推广到有理指数.当我们把正整数指数幂推广到有理指数幂或时,对底数应有所限制,即. (3)对于每一个有理数我们都定义了一个有理指数与它对应,这样就可以把整数指数函数扩展到有理指数函数,一个定义在有理数集上的指数函数. 例3.把下列各式中的写为负分数指数幂的形式: () 5455m 2n (1)b 32;(2)b 3;(3)b m,n N ---+===π∈ 解:(1);(2);(3) 例4.计算:(1);(2)

分数指数幂的运算

分数指数幂的运算 2.1.1.2 分数指数幂的运算 一、内容及其解析 (一)内容:分数指数幂的运算。 (二)解析:本节课要学的内容有分数指数幂的概念以及运算,理解它关键就是能够利用次方根概念转化到分数指数幂的形式。学生已经学过了根式概念和运算性质,对于转化到分数指数幂的形式难度不大,本节课的内容分数指数幂就是在此基础上的发展。由于它还与有理数指数幂有必要的联系,所以在本学科有着比较重要的地位,是学习后面知识的基础,是本学科的一般内容内容。教学的重点是利用次方根的性质转化成分数指数幂的形式,在利用有理数指数幂的运算性质化简指数幂的算式,所以解决重点的关键是利用分数有理指数幂的运算性质的运算性质,计算、化简有理数指数幂的算式。 二、目标及其解析 (一)教学目标 1.理解分数指数幂的概念; 2.掌握有理指数幂的运算性质; (二)解析 1.理解分数指数幂的概念就是指通过复习已学过的整

数指数幂的概念和根式的概念,推导出分数指数幂的概念; 2.学会有理指数幂的运算性质,能够化简一般有理指数幂的算式。 三、问题诊断分析 在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是分数指数幂的运算性质,产生这一问题的原因是:学生对根式化简到分数指数幂的形式熟练程度低,对于整数指数幂的运算性质不够熟练,不能很好的结合从特殊到一般的思想。要解决这一问题,就要在在练习中加深理解。 四、教学过程设计 1、导入新课 同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢?答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题—分数指数幂 2、新知探究 提出问题 (1)整数指数幂的运算性质是什么? (2)观察以下式子,并总结出规律: ①; ②; ③; ④ .

《分数指数幂》教学设计

教学设计:《分数指数幂》 一、教学目标 〖知识与技能〗 (1) 理解分数指数幂的概念,掌握有理数指数幂的运算性质,并能运用性质进行计算和化简。 (2) 会对根式、分数指数幂进行互化。 (3) 了解无理指数幂的概念 〖过程与方法〗 通过对实际问题的探究过程,感知应用数学解决问题的方法,理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。 〖情感、态度与价值观〗 通过对数学实例的探究,感受现实生活对数学的需求,体验数学知识与现实的密切联系。 二、教学重难点 根式、分数指数幂的概念及其性质。 三、教学情景设计 1、复习讨论 (1)根式的相关概念 (2)整数指数幂:a a a a n ???= 运算性质:n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===?+)(,)(,)1,,,0(*>∈>n N n m a 。 2、问题情境设疑 问题1、当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个 时间称为“半衰期”,根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)2 1(t P =,考古学家 根据这个式子可以知道,生物死亡t 年后,体内碳14含量P 的值。 例如: 当生物死亡了5730,2×5730,3×5730,……年后,它体内碳14的含量P 分别为 21,2)21(,3 )2 1(,…… 当生物死亡了6000年,10000年,100000年后,根据上式,它体内碳14的含量P 分别为57306000 )21(, 573010000 )21(,5730 100000 )2 1 (。 设疑:以上三个数的含义到底是什么呢? 问题2:如何计算:322?? 分析:6623626 3332222222=?=?= ?,然而普通学生要找到该解法并不容易,如何把这种运算简单 化呢?能否类似于整数指数幂的运算来解决上题?

高一数学教案:指数

第1页 共3页 课题:§2.1.1指数 教学目的:(1)掌握根式的概念; (2)规定分数指数幂的意义; (3)学会根式与分数指数幂之间的相互转化; (4)理解有理指数幂的含义及其运算性质; (5)了解无理数指数幂的意义 教学重点:分数指数幂的意义,根式与分数指数幂之间的相互转化,有理指数幂的 运算性质 教学难点:根式的概念,根式与分数指数幂之间的相互转化,了解无理数指数幂. 教学过程: 一、 引入课题 1. 以折纸问题引入,激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性 2. 由实例引入,了解指数指数概念提出的背景,体会引入指数的必要性; 3. 复习初中整数指数幂的运算性质; n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===?+)()( 4. 初中根式的概念; 如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根,如果一个数的立 方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根; 二、 新课教学 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念 一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根(n th root ),其中n >1,且n ∈N *. 当n 是奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数.此 时,a 的n 次方根用符号n a 表示. 式子n a 叫做根式(radical ),这里n 叫做根指数(radical exponent ),a 叫做被

第2页 共3页 开方数(radicand ). 当n 是偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示,负的n 次方根用符号-n a 表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a (a >0). 由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n . 思考:(课本P 58探究问题)n n a =a 一定成立吗?.(学生活动) 结论:当n 是奇数时,a a n n = 当n 是偶数时,? ? ?<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 例1.(教材P 58例1). 解:(略) 巩固练习:(教材P 58例1) 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定: )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(11 *>∈>==-n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 3.有理指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>; (3)s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>. 引导学生解决本课开头实例问题

人教新课标版数学高一-人教数学(必修一)-2分数指数幂

2. 1.1第二课时分数指数幂教案 【教学目标】 1.通过与初中所学知识进行类比,理解分数指数幂的概念进而学习指数幂的性质. 2.掌握分数指数幂和根式的互化,掌握分数指数幂的运算性质培养学生观察分析、抽 象类比的能力 3.能熟练地运用有理数指数幂运算性质进行化简、求值,培养学生严谨的思维和科学 正确的计算能力. 【教学重难点】 教学重点: (1)分数指数幂概念的理解. (2)掌握并运用分数指数幂的运算性质. (3)运用有理数指数幂性质进行化简求值. 教学难点: (1)分数指数幂概念的理解 (2)有理数指数幂性质的灵活应用. 【教学过程】 1、导入新课 同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢?答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题—分数指数幂 2、新知探究 提出问题 (1)整数指数幂的运算性质是什么? (2)观察以下式子,并总结出规律:0 a> 10 25 a a ===; 8 42 a a ===; 12 34 a a ===; 10 52 a a ===. (3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗?

*(0,,,x m n N >∈且n>1) (4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗?(5)你能推广到一般情形吗? 活动:学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他同学鼓励提示. 讨论结果:形式变了,本质没变,方根的结果和分数指数幂是相通的.综上我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书: 规定:正数的正分数指数幂的意义是*0,,,1)n m a a m n N n =>∈>. 提出问题 (1) 负整数指数幂的意义是怎么规定的? (2) 你能得出负分数指数幂的意义吗? (3) 你认为应该怎样规定零的分数指数幂的意义? (4) 综合上述,如何规定分数指数幂的意义? (5) 分数指数幂的意义中,为什么规定0a >,去掉这个规定会产生什么样的后果? (6) 既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质 是否也适用于有理数指数幂呢? 活动:学生回顾初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生合作交流,以具体的实例说明0a >的必要性,教师及时作出评价. 讨论结果:有了人为的规定后指数的概念就从整数推广到了有理数.有理数指数幂的运算性质如下: 对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质: ① (0,,) r s r s a a a a r s Q +?=>∈② )(0,,) (r s rs a a r s Q a =>∈③ ()(0,0,)r r r a b a b a b r Q ?=>>∈ 3、应用示例

分数指数幂运算

数学学科导学案 教师: 学生: 年级: 高一日期: 星期: 时段: 课题分数指数幂 学情分析 熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础,较高的运算能力是高考得分的保障,所以熟练掌握这一基本技能是重中之重. 教学目标理解分数指数幂的含义,掌握分数指数幂的运算方法. 教学重点分数指数幂的运算 考点分析分数指数幂的化简、求值是常考题型. 教学方法讲授法、训练法 学习内容与过程 1.根式 (1)根式的概念 如果一个数的n次方等于a(n>1且,n∈N*),那么这个数叫做a的n次方根.也就是,若x n=a,则x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N*. (2)根式的性质 ①当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这 时,a的n次方根用符号n a表示. ②当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的 n次方根用符号n a表示,负的n次方根用符号- n a表示.正负两个n次方根可 以合写为±n a(a>0). 注:式子n a叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.

③? ????n a n =a . ④当n 为奇数时,n a n =a ; 当n 为偶数时,n a n = |a |=????? a a ≥0 -a a <0 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂:a n =a ·a ·…·a n 个 (n ∈N * ); ②零指数幂:a 0=1(a ≠0); ③负整数指数幂:a -p =1 a p (a ≠0,p ∈N *); ④正分数指数幂:a m n =n a m (a >0,m 、n ∈ N *,且n >1); ⑤负分数指数幂:a -m n =1a m n =1n a m (a >0,m 、n ∈N *且n >1). ⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r +s (a >0,r 、s ∈Q ) ②(a r )s =a rs (a >0,r 、s ∈Q ) ③(ab )r =a r b r (a >0,b >0,r ∈Q ). 分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的,分数指数幂与根式可以相互转化,通常利用分数指数幂进行根式的化简运算. 指数幂的化简与求值 【例1】?化简下列各式(其中各字母均为正数).

广东深圳中学高中数学必修一导学案8分数指数幂

8.分数指数幂 张长印 学习目标 1.理解分数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,理解n 次方根式的概念. 2.熟练掌握用根式与分数指导数幂表示一个正实数的算术根. 3.能运用有理数指数幂的运算性质进行运算和化简,会进行根式与分数指数幂的相互转化. 一、夯实基础 基础梳理 1.整数指数幂的概念. (1)正整数指数幂:()n *a n N n a a a =?∈个 . (2)零指数幂:()010a a =≠. (3)负整数指数幂:()*1 0N n n a a n a -= ≠∈,. 2.整数指数幂的运算性质: (1)m n m n a a a +?=;(2)()n m mn a a =;(3)()n n n ab a b =. 3.如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根;如果一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根. 4.如果n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中1n >,且*N n ∈. (1)当n 是奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数.此时,a 的n 次 (2)当n 是偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数a 的正的n 次 负的n 次方根有符号正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成) 0a >. (3)负数没有偶次方根.0的任何次方根都是00=. (4n 叫做根指数,a 叫做被开方数. (5)负数没有偶次方根;0的任何次方根都是00. 5.n 次方根的意义,n a =. 6.分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂:n m a =__________( ) (2)正数的负分数指数幂:m n a =__________( ) 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 7.有理数指数幂的运算法则: (1)r s a a ?=__________( ) (2)()s r a =__________( )

分数指数幂的运算

分数指数幂的运算 【知识要点】 1、整数指数幂运算性质 (1)=?n m a a ),(Z n m ∈ (2) =n m a a ),(Z n m ∈ (3) =n m a )( ),(Z n m ∈ (4)=?n b a )( )(Z n ∈ (5) 根式运算性质 ?? ?=为偶数为奇数n a n a a n n ,, 2、正数的正分数指数幂的意义 n m n m a a = (n m a ,,0>∈N *,且)1>n 注意:(1)分数指数幂是根式的另一种表示形式; (2)二是根式与分数指数幂可以进行互化. 3、对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. (1)n m n m a a 1 =- (n m a ,,0>∈N * ,且)1>n (2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 4、有理指数幂的运算性质 (1)∈>=?+s r a a a a s r s r ,,0(Q ) (2) ∈>=s r a a a rs s r ,,0()(Q ) (3) ∈>=?s r a b a b a r r r ,,0()(Q ) 注意:若p a ,0>是一个无理数,则p a 表示一个确定的实数,上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用 【典型例题】 例1、当0>a 时 ①5102552510)(a a a a ===②3124334312)(a a a a === ③323332 32)(a a a ==④21221)(a a a == 根据以上等式,找出规律,把下列各数化成上述形式()0>x .

(1)721x (2) 416x (3) 93x (4) 126x 例2、求值: 43 32132)8116(,)41(,100 ,8---. 例3、用分数指数幂的形式表示下列各式: a a a a a a ,,3232?? (式中0>a ) 4、计算:[].01.016)2()87() 064.0(2175.0343031-++-+----- 例5、化简:(1)52932232(9)(10)100- (2)322322+- (3) a a a a 【经典练习】 1.用根式的形式表示下列各式(0>a ) 3 2 53 4351 ,,,--a a a a 2、求下列各式的值: (1)2325 (2)3227 (3)23)49 36( (4)23)425(- (5)423 981? (6)63125.132?? 3. 用分数指数幂表示下列各式:(其中各式中的字母均为正数)

高中数学分数指数幂练习题(带答案)-精选学习文档

高中数学分数指数幂练习题(带答案) 数学必修1(苏教版) 2.2 指数函数 2.2.1 分数指数幂 在初中我们已经知道:若x2=a,则x叫做a的平方根,同理,若x3=a,则x叫做a的立方根.根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如4的平方根为2,负数没有平方根,一个数的立方根只有一个,如-8的立方根为-2;零的平方根、立方根均为零,那么类比平方根、立方根的概念,n次方根的概念是什么呢? 基础巩固 1.下列各式中,对xR,nN*恒成立的是() A.nxn=x B.n|x|n=x C.(nx)n=x D.2nx2n=|x| 解析:nxn=x,n为奇数|x|,n为偶数. 答案:D 2.设a=424,b=312,c=6,则a,b,c的大小关系是() A.ac B.ba C.ba D.ac 解析:将根指数化为相同,再比较被开方数. 答案:D 3.式子3+5+3-5的化简结果为()

A.1 B.10 C.100 D.10 解析:3+5+3-5=6+252+6-252=5+122+5-122=10. 答案:D 4.614-3338+40.0625-(3+)0的值是() A.0 B.12 C.1 D.32 解析:原式=52-32+0.5-1=12. 答案:B 5.已知x2+x-2=22且x1,则x2-x-2的值为() A.2或-2 B.-2 C.2 D.6 解析:(x2+x-2)2=(22)2,即x4+x-4+2=8,即x4+x -4=6,而(x2-x-2)2=x4+x-4-2=4, 又∵x1,x2x-2,故x2-x-2=2. 解析:C 6.计算:2+25-52+15-1=________. 解析:5-5=-5(5-1),2+2=2(2+1). 答案:-10 7.若4a2-4a+1=31-2a3,则a的取值范围是________.解析:∵2a-12=|2a-1|=1-2a, 2a-10,即a12. 答案:-,12 8.5+26+5-26=________.

高中数学-指数(分数指数幂)教案

高中数学-指数(分数指数幂)教案 第二课时 提问: 1.习初中时的整数指数幂,运算性质? 00,1(0),0n a a a a a a a =?????=≠无意义 1(0)n n a a a -=≠ ;()m n m n m n mn a a a a a +?== (),()n m mn n n n a a ab a b == 什么叫实数? 有理数,无理数统称实数. 2.观察以下式子,并总结出规律:a >0 ① 1051025255()a a a a === ② 884242()a a a a === ③ 1212343444()a a a a === ④5105102525 ()a a a a === 小结:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式,(分数指数幂形式). 根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如: 2323 (0)a a a ==> 1 2(0)b b b ==> 5544(0)c c c ==> *(0,,1)m n m n a a a n N n =>∈> 为此,我们规定正数的分数指数幂的意义为: *(0,,)m n m n a a a m n N =>∈ 正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即:*1 (0,,)m n m n a a m n N a -=>∈

规定:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义. 说明:规定好分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的,分数指数幂只是根式的一种新的写法,而不是111(0)n m m m m a a a a a =????> 由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因此,有理数指数幂是有意义的,整数指数幂的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即: (1)(0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈ (2)()(0,,)r S rs a a a r s Q =>∈ (3)()(0,0,)r r r a b a b Q b r Q ?=>>∈ 若a >0,P 是一个无理数,则P 该如何理解?为了解决这个问题,引导学生先阅读课本P 62——P 62. 即:2的不足近似值,从由小于2的方向逼近2,2的过剩近似值从大于2的方向逼近2. 所以,当2不足近似值从小于2的方向逼近时,25的近似值从小于25的方向逼近25. 当2的过剩似值从大于2的方向逼近2时,25的近似值从大于25的方向逼近25,(如课本图所示) 所以,25是一个确定的实数. 一般来说,无理数指数幂(0,)p a a p >是一个无理数是一个确定的实数,有理数指数幂 的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义,是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小. 思考:3 2的含义是什么? 由以上分析,可知道,有理数指数幂,无理数指数幂有意义,且它们运算性质相同,实数指数幂有意义,也有相同的运算性质,即: (0,,)r s r s a a a a r R s R +?=>∈∈ ()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈

高中数学 3.2.2分数指数幂教案 北师大必修1

3.2.2分数指数幂 一、教学目标: 1、知识与技能(1) 在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的概念及运算.(2) 能够利用分数指数幂的运算性质进行运算化简.2、 过程与方法(1)让学生了解分数指数幂的扩展,进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义.(2)随着数的扩展,相应的运算性质也要判断能否延用和拓展.3、情感.态度与价值观:使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义,增强学习数学的积极性和自信心. 二、教学重点、: 分数指数幂的运算性质.教学难点:分数指数的运算与化简. 三、学法指导:学生思考、探究.教学方法:探究交流,讲练结合。 四、教学过程 (一)、新课导入 前面我们已经把正整数指数幂扩充到整数指数幂,还要进一步扩充到分数指数幂.有许多问题都不是整数指数.例如3 327=,若已知3 a 27=,你能表示出a 吗?怎样表示?我们引入分数指数幂表示为13 a 273==. (二)新知探究 (Ⅰ)分数指数幂 1.a 的1 n 次幂:一般地,给定正实数a ,对于给定的正整数n ,存在唯一的正实数b ,使得n b a =,我们把b 叫做a 的1n 次幂,记作1 n b a =.例如:3 a 29=,则13a 29=;5 b 36=,则1 5 b 36=. 由于3 2 48=,我们也可以记作23 84= 2.正分数指数幂:一般地,给定正实数a ,对于任意给定的正整数n m ,,存在唯一的正实数b , 使得n m b a =,我们把b 叫做a 的m n 次幂,记作m n b a =,它就是正分数指数幂.例如:32b 7=, 则23 b 7=;53 x 3=,则35 x 3=等. 说明: 有时我们把正分数指数幂写成根式的形式, 即 m n a 0)=>,例如 : 12255== ;23 279== 例1.把下列各式中的b 写成正分数指数幂的形式: () 5455m 2n (1)b 32;(2)b 3;(3)b m,n N +===π∈

分数指数幂的运算

10 分数指数幕的运算 【知识要点】 1、整数指数幕运算性质 2、正数的正分数指数幕的意义 二是根式与分数指数幕可以进行互化 3、对正数的负分数指数幕和 0的分数指数幕作如下规定 1 * —(a 0,m, n N,且 n 1) a^ 的正分数指数幕等于 0. 4、有理指数幕的运算性质 质,对于无理数指数幕都适用 【典型例题】 例1、当a V a m ( a 0, m, n N,且 n 1) 注意:(1) 分数指数幕是根式的另一种表示形式; (3)0 的负分数指数幕无意义 ① V a 10 a 5②牯2站(a 4)3 a 4 12 a^ ③V a 2 3J (a 3)3 a 3④ J a 彳(a 2) 根据以上等式,找出规律,把下列各数化成上述形式 (X 0). (1) (m,n Z)⑵ m a n a (m,n Z) / m \n (a ) (m,n Z) (4)(a b)n (n Z) 根式运算性质 a, n 为奇数 a, n 为偶数 (1) (2)0 (1) r s “ 亠 a (a 0,r,s Q) 注意: (a r )s (a b)r rs a (a 0,r,s Q ) a r b r (a 0,r,s Q) 若a 0, P 是一个无理数,则 a P 表示一个确定的实数,上述有理指数幕的运算性

3.用分数指数幕表示下列各式: (其中各式中的字母均为正数) 例2、求值: 2 83,100 例3、用分数指数幕的形式表示下列各式: 【经典练习】 1.用根式的形式表示下列各式( 13 3 2 a , a , a , a 2、求下列各式的值: 3 (1) 252 (4) (25) 4 (1) V x 21 ⑵ V x 16 纵3⑷1$x 6 a 2 j a,a 3 打a 2,J a 禹( 式中a 0) 1 4、计算:(0.064) 3 8)0 (2)3 4 3 16 0.75 1 0.012. 例 5、化简:(1)( J 9)3(茁O 2)' 7100^ ( 2) J 3 2迈 73 2/2 ( 3) a 0) 2 (2) 27 3

(完整版)高一数学指数函数知识点及练习题(含答案)

指数函数 2.1.1指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次 当n 是偶数时,正数a 的正的n 表示,负的n 次方根用符号表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根. n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数 时,0a ≥. n a =;当n a =;当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.② 正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0 的负分数指 数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质

2.1指数函数练习 1.下列各式中成立的一项 ( ) A .71 7 7)(m n m n = B .31243)3(-=- C .4 3433)(y x y x +=+ D . 33 39= 2.化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 ( ) A .a 6 B .a - C .a 9- D .2 9a 3.设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ,则下列等式中不正确的是 ( ) A .f (x +y )=f(x )·f (y ) B .) () (y f x f y x f =-) ( C .)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D .)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4.函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y ( ) A .}2,5|{≠≠x x x B .}2|{>x x C .}5|{>x x D .}552|{><≤-=-0 ,0 ,12)(21x x x x f x ,满足1)(>x f 的x 的取值范围 ( ) A .)1,1(- B . ),1(+∞- C .}20|{-<>x x x 或 D .}11|{-<>x x x 或 9.函数2 2)2 1(++-=x x y 得单调递增区间是 ( ) A .]2 1,1[- B .]1,(--∞ C .),2[+∞ D .]2,2 1[

高一数学 分数指数幂教案

湖南师范大学附属中学高一数学教案:分数指数幂 一 知识要点 1.一般地,如果一个实数x 满足______________________那么,x 为a 的________________。 2.当n 为奇数时,正数的n 次方根是一个 ,负数的n 次方根是一个 当n 为偶数时,正数的n 次方根有两个,它们是 ,这时正数a 的正n 次方根用 表示,负的用 表示,0的任何次方根都是 , 没有偶次方根。 3.式子 叫做根式,其中 叫做根指数, 叫做被开方数。 4.规定正分数指数幂:=n m a ,负分数指数幂:=-n m a 5.指数幂的性质(其中s,t ∈Q,a>0,b>0) =?t s a a ,=t s a )( ,=t ab )( 二 例题 例1 求下列各式的值 (1)2)5( (2)33)2(- (3)44)2(- (4)2)3(π- (5)44)1(a a -+ 说明: _______,_______.n == 例2 求值

(1)21100 (2)328 (3)239- (4)43 )811(- (5)5.02120)01.0()4 12(2)532(-?+-- 例3 用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0) (1)a a 2(2)a a (3)323a a ? 练习:P 47 1、2、3、4 例4 化简 (1)5354215658 5)(b a b a ÷÷ (2)313373329 a a a a ?÷-- 例5 计算625625++- 例6 已知,321 21 =+-a a 求下列各式的值 (1)1-+a a (2)22-+a a (3)2121 2323- ---a a a a

高一数学分数指数幂、分数指数人教版

高一数学分数指数幂、分数指数人教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容: 指数 二. 本周重、难点: 1. 重点: 分数指数幂的概念和分数指数的运算性质。 2. 难点: 根式的概念和分数指数幂的概念。 【典型例题】 [例1] 求值: (1)3 2 )27 8(- (2)246347625-+-++ 解: (1)4 9 )23()32() 32(])32[()278(22)32 (332332=====--?-- (2)原式222)22()32()32(-+-++= 223232-+-++=4= [例2] 化简: (1)33a a a (2)2 13 23 23 12 12 13 2 )4()6()2(-÷-?b a b a b a (3) 3 3 3 233 23 134)21(248a a b a ab b b a a ?-÷++- 解: (1)原式18 132 19 132 19 42 13 13 42 13 13 1)()(])([])([a a a a a a a a a ==?=?=??= (2)原式31 312131 21323 13 13 12 12 13 22 1 )6(2)2()6)(2(++-+- ??-?=÷-=b a b a b a b a

6 7656b a -= (3)原式31 313 23 13 13 23 134])(21[248a a b a b a b b a a ?-÷+--= 3 13 13 13 13 13131313 13 13 13 23 13 13 2312)2(224)8(a b a a b a a a b a a a b a b b a a ?-? -?=?-? ++-= a = [例3](1)已知122+=n a ,求n n n n a a a a --++33的值。 (2)若)0(2 12 12 1>=+- a x a a ,求 x x x x x x 42422 2----+-的值。 解: (1)原式n n n n n n n n a a a a a a a a 22221)1)((----+-=++-+= ∵ 122+=n a 得121 21122-=+== -n n a a ∴ 原式12212112-=-+-+= (2)由2 12 12 1-+=a a x 即a a x 1+ = 得21 ++ =a a x 222 )1()1()21)(21()4(4a a a a a a a a x x x x -?+=-+++ =-=- 2 )1(a a - = ∴ 原式?????<<≥=--+-++ =-)10() 1(11112 2a a a a a a a a a a a a [例4](1)已知:51 =+-a a ,求2 2-+a a ,2 12 1 - +a a ,2 12 1- -a a 。 (2)已知:322=+-a a ,求a a -+88。 解:

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