矩阵方程AXB=C
矩阵方程C
AXB
=的定秩解及其最佳逼近问题
第1章 绪论
对于矩阵方程C AXB T =,刘瑞娟]2[利用矩阵对的商奇异值分解,得到了解非空的充要条件和解的最大(小)秩.1955年Penrose ]5[得到了C AXB =有解的充要条件和通解的表达式;1970年Lnacaster ]6[利用Kornecker 乘积和拉直映射也得到了它的一般解的条件和显式解;1976年，S.K.Mitra ]7[研究了它的Hermitian 解及非负定解的条件,并给出了两种解的表达式;1990年,戴华]8[研究了此方程在对称矩阵集合中的求解问题，利用矩阵对的广义奇异值分解得到了问题有对称解的条件和解的表达式；邓远北、彭向阳、雷渊]129[-等系统地研究了此方程在对称化矩阵、（反）对称矩阵、半正定矩阵、正交（反）对称矩阵、（反）自反矩阵集合中的等式约束解以及最小二乘解；2003年,廖安平]13[利用广义奇异值分解研究了它在对称半正定矩阵集合中的最小二乘解;2004年,彭亚新]14[用迭代法系统地研究了矩阵方程C AXB =的一般解 对称解 (反)中心对称解 (反)自反解 双对称解与对称次反对称解等问题.
对于矩阵方程的定秩解问题及其最佳逼近,1972年，S ．K ．Mitra ]16[提出了线性矩阵方程(组)的定秩求解问题；于1984年，Sujit Kumar Mitra ]17[利用空间有关理论及秩的相关不等式，给出了矩阵方程组D XB C AX ==, 的极小秩及其它定秩的通解;Uhlig ]18[于1987年给出了矩阵方程 B AX =的可能秩的解；于1990年Mitra ]15[研究了矩阵方程组111C XB A = ,222C XB A = 的公共解的最小秩；Gross
]
19[使用了广义逆给出了矩阵方程 B AXA =*的最大秩和最小秩的
Hermitian 非负定解;Xiao Q F,Hu X Y,Zhang L ]35[于2009年研究了矩阵方程
B
AX =的对称最小秩解和最佳逼近解;2007年,雷渊]12[利用矩阵对的广义奇异值分解和标准相关分解研究了以下不相容矩阵方程和矩阵方组
D
AXB =,D BYB AXA T T =+ , [][]D C XB B XA A T T ,,= , [][]D C GXH AXB ,,=
的最小二乘问题等价转换为相容矩阵方程的求解问题,并得到了相应的最小二乘解的表达式;于2009年，肖庆丰]4[对矩阵对利用广义奇异值分解，研究了矩阵方程B AX =的自反、反自反、中心对称、反中心对称矩阵的定秩求解的问题及最小秩解的最佳逼近问题，还研究了矩阵方程 B AX = 的对称、反对称矩阵反问题的定秩求解问题，并得到了相应的成果.
第2章 秩约束下矩阵方程C
AXB =的一般解及其最佳逼近
2.1引言
秩约束下矩阵的求解问题是线性代数的重要研究课题之一.关于矩阵方程C AXB =的在秩约束下的一般解、最小秩和最小秩解的通式及其最佳逼近解、最大秩和最大秩解的通式.本章采用了RSVD 分解,对矩阵方程C AXB =的一般解的秩的情况进行了详细的分析,成功地获取了解的最大(小)秩及其定秩解的表达式.利用相应的结果,也获得了最小秩解的表达式和唯一最佳逼近解的表达式.
2.2 提出问题
问题I 给定矩阵m m m n n m R C R B R A ???∈∈∈,,，非负整数s ，
(i)求n n R X ?∈,使得C AXB =，且s X rank =)(; (ii)若有解,设X S }|{C AXB R
X n
n =∈=?,求M
m ,~
使得 )
(max ),(min ~
X rank M X rank m X
X
S X S X ∈∈==,
以及},)(|{~
~
X m
S X m X rank X S ∈==.
问题II 给定n
n R
X ?*∈,求~
~
m
S X ∈使得
||||min ||||~
*∈*-=-X X X X m
S X
2.3 解决问题 2.
3.1问题Ⅰ的解
给定矩阵m m m n n m R C R B R A ???∈∈∈,,，记:
)(),(),(C rank r B rank r A rank r c b a ===
[]??
?
?
??=??????==0,,B A C
rank r B C rank r A C rank r cab cb
ca
cab b ca b a cab r r r k r r r k -+=--=21,
cb ca cab c cab a cb r r r r k r r r k --+=-+=43,
引理 2.3.1 (RSVD 定理]1[)给定矩阵m m m n n m R C R B R A ???∈∈∈,,,则存在非奇异
矩阵m m m m R N R M ??∈∈,及正交矩阵n n n n OR V OR U ??∈∈,，使得
N M
C N V B U M
A C
B T
A
∑
∑∑
===,, (1.1)
其中
ca
c
ca r r k k r n A
r m r r k k k k I I I c ca a --??
??
???
???
?
?????
??????=--∑
4
32
14
3
00
000000000000000000，c cb b r m r r k k k k B r r k k r m I I I cb c cb --???
???
??
?
????????
?
=∑
--4
2
4
3
2
1
00
0000000000000000， ca c ca
r m r r k k k k CAB C
r m r r k k k k S I I I cb c
cb --????
??
???
??
?
???????????
?=--∑
4
3
21
4
3
2
100
0000000000000000000000000，
其中0},,,{4
4
211>≥≥≥=k k CAB diag S σσσσσ .
于是有如下定理:
定理2.3.1 设矩阵m m m n n m R C R B R A ???∈∈∈,,分解如引理1，非负整数s ，则矩阵方程C AXB =有解n n R X ?∈的充要条件是:
???
??=-+=-+=--???
??===0
00,000
3
21cab a cb
cab b ca b a cab r r r r r r r r r k k k 即， (1.2) 若矩阵方程C AXB =有解,则有
(1) 矩阵方程C AXB =的通解表达式为:
T
CAB V Y S Y Y Y Y U X ????
?
?????
=00
04131
141311
, (1.3) 其中4131141311,,,,Y Y Y Y Y 是具有相应维数的任意矩阵,CAB S V U ,,见引理1.
(2) 矩阵方程C AXB =的解矩阵中最小秩及最小秩解为:
最小秩为=~
m cb ca cab c r r r r --+, (1.4) 且最小秩解为:
T
CAB CAB V S Y Y Y S Y U X ????
?
???
??
?
?=-00
00031
1313131, (1.5) 其中3113,Y Y 是具有相应维数的任意矩阵,V U S CAB ,,见引理1.
(3) 矩阵方程C AXB =的解矩阵中最大秩及最大秩解为: 最大秩为,要考虑两种情况：
第一，当},min{},min{},min{b cb c c ca c c c r r r n r r r m r m r n --+--≥--时， },min{)(max 1c c cb ca cab c S X r m r n r r r r X rank M X
--+--+==∈， (1.6)
且相应的最大秩解为:
T
CAB V Y S Y Y Y Y U X ?????
??????
?=00
04131
141311
, (1.7)
其中,4114,Y Y 是具有相应维数的任意矩阵，我们总可以选取131
3111Y S Y Y CAB
--为行满秩或列满秩,V U S CAB ,,见引理1.
第二，当},min{},min{},min{b cb c c ca c c c r r r n r r r m r m r n --+--<--，
},min{},min{)(max 2c ca c b cb c cb ca cab c S X r r r m r r r n r r r r X rank M X
--+--+--+==∈,
(1.8)
且相应的最大秩解为:
T
CAB V Y S Y Y Y Y U X ?????
?????
=00
04131
141311
, (1.9)
其中,311311,,Y Y Y 是具有相应维数的任意矩阵，我们总可以选取4114,Y Y 为行满秩或列满秩,V U S CAB ,,见引理1.
(3) 也要分两种情况:
第一,对于1
~M s m ≤≤,矩阵方程C AXB =的解矩阵中具有秩为s 的解为: T
CAB V Y S Y Y Y Y U X ????
?
??????
?
=00
04131
141311
, (1.10) 其中1441,Y Y 是具有相应维数的任意矩阵,V U S C ,,见引理1,我们可以选133111,,Y Y Y
使得-=--s Y S Y Y rank CAB
)(131
3111cb ca cab c r r r r ++-. 第二,对于2
~M s m ≤≤,矩阵方程C AXB =的解矩阵中具有秩为s 的解为: T
CAB V Y S Y Y Y Y U X ????
?
??????
?=00
04131
141311
, (1.11) 其中133111,,Y Y Y 是具有相应维数的任意矩阵,V U S C ,,见引理1,我们可以选1441,Y Y 使得-=+s Y rank Y rank )()(4114cb ca cab c r r r r ++-.
证明 给定m m m n n m R C R B R A ???∈∈∈,,,RSVD 分解由引理1给出，则
N XV U M N M AXB C B
T A C ∑
∑∑-=-
N XV
U M B
T
A
C
)(∑
∑
∑-
=
令XV U Y T =,则有
rank AXB C rank =-)())((N XV
U M B
T
A C
∑
∑∑-
rank =)(∑∑∑
-
B A
C
Y
将Y 作如下分块:
?????
????
???=4443
42
41
3433323124
232221
14131211Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y , 则
ca c
ca r m r r k k k k CAB B
A
C
r m r r k k k k Y Y Y Y Y S Y Y Y I Y
I I Y cb c cb --???
?
??
???
??
?
????
??
???
??
?---------=-
--∑∑∑
4
3
21
444342343332242322
43
210000
000000000000000
00000，
在上式中，由)4,3,2,4,3,2(==j i Y ij 的任意性，得到
)(min )(min ∑∑
∑
-
=-B A
C
Y rank AXB C rank
321k k k ++= cab cb ca r r r -+=
因此，矩阵方程C AXB =是可解的0)(min =-?AXB C rank X
???
??=-+=-+=--?????===?0
00,000321cab a cb
cab b ca b a cab r r r r r r r r r k k k 即
(1)易知若矩阵方程C AXB =是有解,即0321===k k k 时,则解的一般表达式为
T
UZV
X =,其中
c ca c
r r k r m CAB
r r k r n Y S Y Y Y Y Z b cb c --?????
?
??????=--44131141311
4000, 其中4131141311,,,,Y Y Y Y Y 是具有相应维数的任意矩阵,V U S CAB ,,见引理1. (2)记X S 为相容矩阵C AXB =的解集合,即 }|{T X UZV X X S ==;
由高斯块变换，得
????
????
?
?-=→??
??
?
??????
?-00
00000
04114131
31114131
141311
Y S Y Y S Y Y T Y S Y Y Y Y CAB CAB CAB , 则有
4)(min )(min )(min k T rank Z rank X rank Z
S X X
===∈，
因此有，0,0,4114131
3111===-Y Y Y S Y Y CAB
容易得知:
====∈4
)(min )(min ~k Z rank X rank m Z
S X X
cb ca cab c r r r r --+,且最小秩解为: T
CAB CAB V S Y Y Y S Y U X ?????
???
???
?=-00
00031
1313
1
31, 其中3113,Y Y 是具有相应维数的任意矩阵,V U S CAB ,,见引理1. 记m S ~为相容矩阵C AXB =的最小秩解集合,即
},~)(|{~X m S X m X rank X S ∈==
(3)由(2)中的矩阵T 可得, 矩阵方程C AXB =的解矩阵中最大秩为: 要考虑两种情况：
第一，当},min{},min{},min{b cb c c ca c c c r r r n r r r m r m r n --+--≥--时， },min{)(max 1c c cb ca cab c S X r m r n r r r r X rank M X
--+--+==∈，
且相应的最大秩解为:
T
CAB V Y S Y Y Y Y U X ?????
??????
?=00
04131
141311
,
其中,4114,Y Y 是具有相应维数的任意矩阵，我们总可以选取131
3111Y S Y Y CAB
--为行满秩或列满秩,V U S CAB ,,见引理1.
第二，当},min{},min{},min{b cb c c ca c c c r r r n r r r m r m r n --+--<--，
},min{},min{)(max 2c ca c b cb c cb ca cab c S X r r r m r r r n r r r r X rank M X
--+--+--+==∈,
且相应的最大秩解为:
T
CAB V Y S Y Y Y Y U X ?????
??????
?=00
04131
141311
,
其中,311311,,Y Y Y 是具有相应维数的任意矩阵，我们总可以选取4114,Y Y 为行满秩或列满秩,V U S CAB ,,见引理1.
(4) 也要分两种情况:
第一,对于1
~M s m ≤≤,我们可以选133111,,Y Y Y 使得 -=--s Y S Y Y rank CAB )(131
3111cb ca cab c r r r r ++-,
则矩阵方程C AXB =的解矩阵中具有秩为s 的解为:
T
CAB V Y S Y Y Y Y U X ????
?
??????
?
=00
04131
141311
, 其中1441,Y Y 是具有相应维数的任意矩阵,V U S C ,,见引理1.
第二,对于2~M s m ≤≤,我们可以选14
41,Y Y 使得 -=+s Y rank Y rank )()(4114cb ca cab c r r r r ++-,
则矩阵方程C AXB =的解矩阵中具有秩为s 的解为:
T
CAB V Y S Y Y Y Y U X ????
?
??????
?
=00
04131
141311
, 其中133111,,Y Y Y 是具有相应维数的任意矩阵,V U S C ,,见引理1 .证毕.
第三章 矩阵方程C
AXB =的自反解及其最佳逼近
3.1 引言
秩约束下矩阵的求解问题是线性代数的重要研究课题之一.关于矩阵方程
C
AXB =的在秩约束下的对称解、最小秩和最小秩对称解的通式及其最佳逼近
解、最大秩和最大秩对称解的通式.本章采用了RSVD 分解,对矩阵方程C AXB =的对称解的秩的情况进行了详细的分析,成功地获取了对称解的最大(小)秩及其定秩解的表达式.利用相应的结果,也获得了最小秩对称解的表达式和唯一最佳逼近解的表达式.
3.2 提出问题
问题Ⅰ给定矩阵m m m n n m C C C B C A ???∈∈∈,,， 求)(P C X n
n R ?∈,使得C AXB =，
若有解,记X S }|{C AXB C X n n =∈=?
问题II 给定n
n C
X ?*
∈,求X S X ∈~
使得
||||min ||||~
*∈*-=-X X X X X
S X 3.3问题Ⅰ的解
设C P ∈n
n ?，且I P P P H ==2,，则称P 为广义反射矩阵.本文中的P 均为广
义反射矩阵.
设n n C X ?∈,若X 满足PXP X =,则称X 为关于P 的自反矩阵.所有关于P 的
自反矩阵的全体记为X C X P C n n n n R |{)(??∈=}PXP =.
引理3.3.1]33[ 矩阵)(P C X
n
n R
?∈的充要条件是X
可以表示为: H
U X X U X ???
? ??=210
(3.1)
其中U P I rank r C X C X n p n p n p p ),(,,)()(21+=∈∈-?-?为酉矩阵且由P 唯一确定.
引理3.3.2]34[ (广义奇异值分解(GSVD)) 给定l m n m C C C A ??∈∈,，则存在酉矩
阵l
l n
n OC
V OC
U ??∈∈11,以及非奇异矩阵m m C W ?∈1使得
∑∑==C A V W C U W A 1111, (3.2) 这里l m C n m A C C ??∑∑∈∈,，并且()()C A r C r A r t A r r C A r k -+===)()(),(,,
k
m
r k t t r S I r
n t
t
r A A A
A ---????????????=--∑00000
000
0，,0000
000
000k
m
r k t t r I S r
k t
k
t r l C C C C
---????????????=---+∑
其中,A I 和C I 为单位矩阵,A 0和C 0为零矩阵，并且 ),,,(),,(1,1t C t A diag S diag S ββαα ==
其中10,0111<≤≤<>≥≥>t t ββαα ，而.,,1,122t i i i ==+βα 3.3.1问题Ⅰ的解
现在考虑问题Ⅰ，取U 如（3.1）式，记
??
?
???==2121),,(B B B U
A A AU H
, (3.3)
其中)(,,,,)(21)(21P I rank r C B C B C A C A n m r n m r r n m r m +=∈∈∈∈?-?-??
而矩阵对),(),,(2121H H B B A A 的广义奇异值分解如下:
1121112
1
,
V M A U M A A A ∑
∑
==,
(3.4)
222212
1
,
V M B U M B H
H
B H
B H
∑
∑
==, (3.5)
其中酉矩阵)
()(22)
()(11,,,r n r n r
r r n r n r
r OC
V OC
U OC
V OC
U -?-?-?-?∈∈∈∈,非奇异矩阵
m
m m
m C
M C
M ??∈∈21,,
这里)
(2
1
,r n m A r
m A C
C
-??∈∈∑
∑
,并且+===)(),(),,(1111211A rank t A rank r A A rank k
),()(212A A rank A rank -;∑
∑
-??∈∈)
(2
1
,r n m B r
m B C
C
H
H
,并且r r B B rank k H H ==22),,(2
1
+=)(),(112H
H
B rank t B ank ),()(212H
H
H B B rank B rank -,
1
1
111
11
1
1
111
1
1
00000
000
00k m r k t t r S I r r t t r A A A
A ---?
??
?
????????=--∑
， 1
1
111
11
11
1
1122
2
2
0000
000
000k m r k t t r I S r k t k t r r n A A A
A
---?
??
?
????????=---+-∑,
2
2
222
22
2
221
1
1
1
00000
000
00k m r k t t r S I r r t t r B B B B
H H
H
H ---?
??
?
????????=--∑, 2
2
222
22
22
2
222
2
2
2
0000
000
000k m r k t t r I S r k t k t r r n B B B B
H H
H
H ---?
??
?
????????=---+-∑,
于是有以下定理:
定理3.3.1给定m m m n n m C C C B C A ???∈∈∈,,，非负整数s 和广义反射矩阵n n C P ?∈
B
U
AU H
,按(3.3)式进行分块,矩阵对),(),,(2121H H B B A A 的广义奇异值分解由
(3.4)(3.5)式给出,则矩阵方程C AXB =有自反矩阵解的充要条件是:
)3,2,1(0),4,3,2,1(0,0,0443113======j C i C C C j i , (3.6)
并且若(3.6)式成立,则矩阵方程C AXB =有自反矩阵解的一般表达式为:
H
H
H U YV V ZU
U U X ???
?
?
?=212
100
, (3.7)
其中1
11
13332
31231
22221211
131
1211
2
2
2
21
2
211
1
)(r r t t r Z Z Z
Z S S Y S C S C S Z S C C Z t r t t r B B A A A B H
H H
--????
?????
?-=------,
1
111
11331
3231
231
2221
13
12112
22
2
222
2r k t k
t r r n C S C Y C S Y Y Y Y Y Y r k t k t r r n B A H
---+-??????????=---+---,312221323113,,,,),3,2,1(,Y Y Y Z Z i Y Z i i =,是
具有相应维数的任意矩阵,H H B B A A S S S S V V U U 2
1
2
1
,,,,,,,2121见(3.4)(3.5)式,1(=i C ij
333223,,),2,1,2,C C C j =见①式.
证明 给定m m m n n m C C C B C A ???∈∈∈,,,由引理3.3.1，对)(P C X n
n R ?∈,有
H
U X X U X ???
?
??=2100,
其中)()(21,p n p n p p C X C X -?-?∈∈,由)2,1(,=i B A i i 的定义,矩阵方程C AXB =有自反矩阵解等价于矩阵方程：
C B X A B X A =+222111, 有一般解.
下面来解矩阵方程C B X A B X A =+222111,
矩阵对),(),,(2121H H B B A A 分解如(3.4),(3.5)式 令=),(21X X F C B X A B X A -+222111,有
=),(21X X F C
V M X V M U M X U M H
B A H
B A H H
-+∑
∑
∑∑
)
()
(22211221112
2
1
1
C
M V X V M M U X U M H
H
H
A H
H
H
A H
B H B -+=∑
∑
∑
∑
22
21122
1112
2
1
1
∑
∑
∑
∑
---+
=H H H
H
A H
H
A M
CM
M V X V U X U M H B H B 2
2
1
12
212
111)(2
2
1
1
令H H V X V Y U X U Z 221211,==,则有 )),((21X X F rank )
)((2
2
1
112
2
1
1
∑
∑
∑
∑---+
=H H H
A H
A M
CM
M Y Z M rank H B H B
)(2
1
12
2
1
1
∑
∑
∑
∑
---+
=H H
A H
A CM
M Y Z rank H B H B
将1
2
11,,--CM
M Y Z 作如下分块：
1
11
13332
31
232221
1312112
2
2
2r r t
t r Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z t r t t r --??????????=--， 1
11
1
113332
31
2322211312112
22
2
22r k t k t r r n Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y r k t k t r r n ---+-????
??????=
---+-，
1
1
11
1
14443
42
41
34333231242322211413121112
1
12
2
22
2
2k m r k t t r C C C C C C C C C C C C C C C C CM
M k m r k t t r ---?
???????????=-----, ① 则有
∑
∑
∑
∑
---+
H H
A H
A CM
M Y Z H B H B 2
1
12
2
1
1
1
1
11
1
14443
42
41
34333332
323124232322
222221211413
12
1211112
2
22
2
22
22
21
111
k m r k t t r C C C C C C Y C S Y C C C Y S C S Y S S Z S C Z S C C C S Z C Z k m r k t t r B A B A B A A B H H H H ---?
??????
???
?
?-----------+-----=---， 在上式中，由于)3,2,3,2(),2,1,2,1(====l k Y j i Z kl ij 的任意性，可知
)),((min 21X X F rank )(min 2
1
12
2
1
1
∑
∑
∑
∑
---+
=H H
A H
A CM
M Y Z rank H B H B
则矩阵方程0),(21=X X F 有解的充要条件是：
)3,2,1(0),4,3,2,1(0,0,0443113======j C i C C C j i .
易知,若阵方程0),(21=X X F 有解,解的一般表达式为:
H
H
H U YV V ZU
U U X ???
?
?
?=212
100
,
其中1
11
13332
31231
2222121
1
131
12112
2
2
21
2
211
1
)(r r t t r Z Z Z
Z S S Y S C S C S Z S C C Z t r t t r B B A A A B H
H H
--????
?????
?-=------,
1
111
11331
3231
231
2221
13
12112
22
2
222
2r k t k
t r r n C S C Y C S Y Y Y Y Y Y r k t k t r r n B A H
---+-??????????=---+---,312221323113,,,,),3,2,1(,Y Y Y Z Z i Y Z i i =,是
具有相应维数的任意矩阵,H H B B A A S S S S V V U U 2
1
2
1
,,,,,,,2121见(3.4)(3.5)式,1(=i C ij
333223,,),2,1,2,C C C j =见①式.
3.3.2问题Ⅱ的解
由问题Ⅰ的解,易知矩阵方程C AXB =的自反矩阵解集合是一个闭凸集,因此问题Ⅱ一定存在唯一的最佳逼近.
因为)(P C n n R ?是n
n C
?的一个子空间，令⊥?))((P C n n R 表示)(P C n n R ?的正交补空间,则对任意的n n C X ?*∈,有
***+=21X X X
其中)(1P C X n n R ?*∈,⊥?*∈))((2P C X n n R .因为)(1P C X n
n R ?*∈,由引理3.3.1知:
H
U X X U X
???
?
?
?=***
2211
1
00
利用矩阵的广义奇异值分解表达式中的酉矩阵2121,,,V V U U 和引理(3.1)式中
的U ,对给定的H
H V X V U X U 22212111,**进行如下分块:
?
???
?
??????
?=*
*
**
**
**
*
*3332
31232221
1312
11
2
111W W W W W W W W W U X U H
,?
???
?
??????
?=*
***
*
*
**
**
6665
64565554
464544
2
122W W W W W W W W W V X V H
, (3.8)
于是有如下定理:
定理 2.3.2 设矩阵m m m n n m C C C B C A ???∈∈∈,,分解式为(3.4)(3.5)式,且(3.6)式成立.给定n
n C X ?*
∈,则问题Ⅱ存在唯一的最佳逼近解)(~
P C X n
n R
?∈,且它可表示为:
H
H
H U YV V ZU U U X ???
?
?
?=212
100
~
, (3.8)
其中,11
1
13332
31231
5522121
1
131
1211
2
2
2
21
2
21
1
1
)(r r t t r W W W W S S W S C S
C S W S C C Z t r t t r B B A A A B H
H H
--????
?????
?-=--*
*
*
*-*--*
-
1
111
11331
3264
231
5554
4645442
22
2
222
2r k t k t r r n C S C W C S W W W W W Y r k t k t r r n B A H
---+-??????????=---+--*-*
*
*
*
*
,312221323113,,,,),3,2,1(,Y Y Y Z Z i Y Z i i =,是
具有相应维数的任意矩阵,H H B B A A S S S S V V U U 2
1
2
1
,,,,,,,2121见(3.4)(3.5)式,1(=i C ij
333223,,),2,1,2,C C C j =见①式.
证明 对于给定的n n C X ?*∈,有如下分解:
*
**
+=2
1X X X
,
其中)(1P C X n
n R ?*∈,⊥?*∈))((2P C X n n R .
利用酉矩阵对Frobenius 范数的不变性和范数的基本性质，对于~
m
S X ∈,有
2
2
2
1
2
2
12
*
*
*
**
+-=--=-X X X X X X X
X
因此,*
∈*
∈-?-1
2
~~min min X X X X m
m
S X S X ,而
21
212
2
1
00
1
*
*
-???
??
?=-X U YV V ZU
U U X X H
H
H
2
2211
212
1
0000
??
????-????
?
?=**X X YV V ZU U H
H
2
22
212
11
2
1*
*
-+-=X YV V X ZU
U H
H
2
2
2212
2
111H
H
V X V Y U X U Z *
*
-+-=
2
23
232
21
2112
13
132
12
1
122
11
111
1
**-**-*-+-+-+-+-=W
Z W
C S W
Z W
S C W
C A B H
2
33
332
32
32231
312
22
1
22221
1
2
21
)(*
*
*
*---+-+-+--+W Z W Z W Z W
S S Y S C S H H B B A A
2
56
231
2
55
222
54
212
46
132
45
122
44
112*
-*
*
*
*
*
-+-+-+-+-+-+W C S W Y W Y W Y W Y W Y A
2
66
332
65
1
322
64
312
**-*-+-+-+W
C W
S C W
Y H B
*
∈*
∈-?-1
~min min X X X
X m
X
S X S X ?
*
*--*
*==-==?31
31221
22221
23231313,)(,,1
2
21W Z W S S Y S C S W Z W Z H H B B A A
*
*
*
*
*
*
*
=======5522542146134512441133333232,,,,,,W Y W Y W Y W Y W Y W Z W Z
将上式代入(3.7)式,得(3.8)式.证毕.
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Solution of the Matrix Equation B
AX= and the Optimal Approxim- ation.Electronic Journal of LINEAR Algebra.2009,(18):264-273(SCI)
矩阵方程求解方法
矩阵方程求解方法 本文所述的矩阵方程是指形如Ax=b的方程，其中A是一个mxn的矩阵，称为方程的系数 矩阵。x和b是mx1的矩阵。特别的，当b=0时，这种方程又称为其次方程。本文将讨论 这种矩阵的有解条件和求解方法。 矩阵方程的有解条件 为了解释矩阵方程的有解条件，我们首先要熟悉一些概念。 一个矩阵方程的增广矩阵是系数矩阵A和b并在一起构成的矩阵，记作(A,b)。 假定 , ,则矩阵方程的增广矩阵就是 矩阵的秩定义为其行向量中极大线性无关组中包含向量的个数，等价的说法是，矩阵的秩 是r，则矩阵通过行列初等变换，变换成左上角是一个r阶单位矩阵，其他都是0的矩阵。矩阵A的秩记作r(A)，其中r是英文单词rank的缩写。 有了这两个基本概念，我们就可以准确描述矩阵方程的有解条件了：矩阵方程Ax=b的有 解条件是矩阵A的秩等于增广矩阵(A,b)的秩，也就是r(A)=r(A,b)。 证明很简单，既然矩阵A的秩是r，那么肯定可以找到两个可逆的矩阵P,Q，满足 --1) 其中I r表示r阶单位矩阵。 应用到原来的方程，可以得到: --2) 我们把Q-1x当作一个未知的变量，PAQ当作系数，这就构成一个新的矩阵方程。而这个矩 阵方程的左侧系数除了前r行是有1的之外，其余行是0。为了它有解，Pb的后m-r行必 须也是0。这样(A,b)的秩必然是r。 必须注意到Q-1是可逆的，因此以Q-1x为未知变量的方程有解意味着以x为未知变量的原 方程也是有解的。
矩阵方程的解 对于矩阵方程Ax=b，如果满足r(A)=r(A,b)，则矩阵方程是有解的。为了求它的解，我们首先把矩阵方程通过行列初等变换变化成前文2）式的形式，代入1）式后得到： --3) 其中Q-1x和Pb是一个列向量，我们可以把它们分割成rx1和(n-r)x1的两个矩阵，分别记作x’1和x’2，及b’1和b’2。则很显然我们可以得到： --4) 很显然，b’2必须为0，因为展开后b’2等于0 x’1 +0 x’2 =0 而由4式可以看出，x’1= b’1，x’2可以为任意向量。 所以方程最后的解为： --5) 从解的形式可以看出解空间有如下特性： 1．方程Ax=b的解空间的秩是n=r(A) 2．如果A是满秩的，则方程的解唯一。
第3章 矩阵及其运算
第3章 矩阵及其运算 3.1 基本要求、重点难点 基本要求： 1．1．掌握矩阵的定义. 2．2．掌握矩阵的运算法则. 3．3．掌握伴随矩阵的概念及利用伴随矩阵求逆矩阵的方法. 4．4．掌握矩阵秩的概念及求矩阵秩的方法. 5．5． 掌握初等变换和初等矩阵的概念，能够利用初等变换计算矩阵的秩，求可逆矩阵的逆矩阵. 6．6．掌握线形方程组有解得判定定理及其初等变换解线形方程组的方法. 重点难点：重点是矩阵定义，矩阵乘法运算，逆矩阵的求法，矩阵的秩，初等 变换及线性方程组的解. 难点是矩阵乘法，求逆矩阵的伴随矩阵方法. 3.2 基本内容 3.2.1 3.2.1 重要定义 定义3.1 由n m ?个数)2,1;,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的数表成为一个m 行n 列矩阵，记为 ????????????mn m m n n a a a a a a a a a 2122221 11211 简记为A n m ij a ?=)(，或A )(ij a =,n m A ?,mn A 注意行列式与矩阵的区别： （1） （1） 行列式是一个数，而矩阵是一个数表. （2） （2） 行列式的行数、列数一定相同，但矩阵的行数、列数不一定相 同. （3） （3） 一个数乘以行列式，等于这个数乘以行列式的某行（或列）的所有元素，而一个数乘以矩阵等于这个数乘以矩阵的所有元素. （4） （4） 两个行列式相等只要它们表示的数值相等即可，而两个矩阵相等则要求两个矩阵对应元素相等. （5） （5） 当0||≠A 时，||1A 有意义，而A 1 无意义.
n m =的矩阵叫做阶方阵或m 阶方阵.一阶方阵在书写时不写括号，它在 运算中可看做一个数. 对角线以下（上）元素都是0的矩阵叫上（下）三角矩阵，既是上三角阵， 又是下三角的矩阵，也就是除对角线以外的元素全是0的矩阵叫对角矩阵.在对角矩阵中，对角线上元素全一样的矩阵叫数量矩阵；数量矩阵中，对角线元素全是1的n 阶矩阵叫n 阶单位矩阵，常记为n E （或n I ），简记为E （或I ），元素都是0的矩阵叫零矩阵，记为n m 0?，或简记为0. 行和列分别相等的两个矩阵叫做同型矩阵，两个同型矩阵的且对应位置上的 元素分别相等的矩阵叫做相等矩阵. 设有矩阵A =n m ij a ?)(，则A -n m ij a ?-=)(称为A 的负矩阵. 若A 是方阵，则保持相对元素不变而得到的行列式称为方针A 的行列式，记 为||A 或A Det . 将矩阵A 的行列式互换所得到的矩阵为A 的转置矩阵，记为T A 或A '. 若方阵A 满足A A T =，则称A 为对称矩阵，若方阵A 满足A A T -=，则称A 为反对称矩阵. 若矩阵的元素都是实数，则矩阵称为实矩阵.若矩阵的元素含有复数，则称矩 阵为复矩阵，若A =n m ij a ?)(是复矩阵，则称矩阵n m ij a ?)(（其中ij a 为ij a 的共轭矩阵，记为A n m ij a ?=)(. 定义3.2 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，则 称方阵A 可逆，B 称为A 的逆矩阵，记做1-=A B . 对于方阵A n m ij a ?=)(，设ij a 的代数余子式为ij A ，则矩阵 *A ????????????=nm n n n n A A A A A A A A A 2122212 12111 称为A 的伴随矩阵，要注意伴随矩阵中元素的位置. 定义3.3 设有矩阵A ，如果： （1） （1） 在A 中有一个r 阶子式D 不为零.
矩阵运算与方程组求解
附录Ⅰ 大学数学实验指导书 项目五 矩阵运算与方程组求解 实验1 行列式与矩阵 实验目的 掌握矩阵的输入方法. 掌握利用Mathematica (4.0以上版本) 对矩阵进行转置、加、减、 数乘、相乘、乘方等运算, 并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式. 基本命令 在Mathematica 中, 向量和矩阵是以表的形式给出的. 1. 表在形式上是用花括号括起来的若干表达式, 表达式之间用逗号隔开. 如输入 {2,4,8,16} {x,x+1,y,Sqrt[2]} 则输入了两个向量. 2. 表的生成函数 (1) 最简单的数值表生成函数Range, 其命令格式如下: Range[正整数n]—生成表{1,2,3,4,…,n }; Range[m, n]—生成表{m ,…,n }; Range[m, n, dx]—生成表{m ,…,n }, 步长为d x . 2. 通用表的生成函数Table. 例如,输入命令 Table[n^3,{n,1,20,2}] 则输出 {1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859} 输入 Table[x*y,{x,3},{y,3}] 则输出 {{1,2,3},{2,4,6},{3,6,9}} 3. 表作为向量和矩阵 一层表在线性代数中表示向量, 二层表表示矩阵. 例如,矩阵 ??? ? ??5432 可以用数表{{2,3},{4,5}}表示. 输入 A={{2,3},{4,5}} 则输出 {{2,3},{4,5}}
命令MatrixForm[A]把矩阵A 显示成通常的矩阵形式. 例如,输入命令: MatrixForm[A] 则输出 ??? ? ??5432 注:一般情况下,MatrixForm[A]所代表的矩阵A 不能参与运算. 下面是一个生成抽象矩阵的例子. 输入 Table[a[i,j],{i,4},{j,3}] MatrixForm[%] 则输出 ???? ?? ? ??]3,4[]2,4[]1,4[]3,3[]2,3[]1,3[]3,2[]2,2[]1,2[]3,1[]2,1[]1,1[a a a a a a a a a a a a 注:这个矩阵也可以用命令Array 生成,如输入 Array[a,{4,3}]//MatrixForm 则输出与上一命令相同. 4. 命令IdentityMatrix[n]生成n 阶单位矩阵. 例如,输入 IdentityMatrix[5] 则输出一个5阶单位矩阵(输出略). 5. 命令DiagonalMatrix[…]生成n 阶对角矩阵. 例如,输入 DiagonalMatrix[{b[1],b[2],b[3]}] 则输出 {{b[1],0,0},{0,b[2],0},{0,0,b[3]}} 它是一个以b[1], b[2], b[3]为主对角线元素的3阶对角矩阵. 6. 矩阵的线性运算:A+B 表示矩阵A 与B 的加法;k*A 表示数k 与矩阵A 的乘法; A.B 或 Dot[A,B]表示矩阵A 与矩阵B 的乘法. 7. 求矩阵A 的转置的命令:Transpose[A]. 8. 求方阵A 的n 次幂的命令:MatrixPower[A,n]. 9. 求方阵A 的逆的命令:Inverse[A]. 10.求向量a 与b 的内积的命令:Dot[a,b]. 实验举例 矩阵的运算
矩阵数值算法
计算实习报告 一 实习目的 （1）了解矩阵特征值与相应特征向量求解的意义，理解幂法和反幂法的原理， 能编制此算法的程序，并能求解实际问题。 （2）通过对比非线性方程的迭代法，理解线性方程组迭代解法的原理，学会编 写Jacobi 迭代法程序，并能求解中小型非线性方程组。初始点对收敛性质及收 敛速度的影响。 （3）理解 QR 法计算矩阵特征值与特征向量的原理，能编制此算法的程序，并 用于实际问题的求解。 二 问题定义及题目分析 1. 分别用幂法和幂法加速技术求矩阵 2.5 2.5 3.00.50.0 5.0 2.0 2.00.50.5 4.0 2.52.5 2.5 5.0 3.5-?? ?- ?= ?-- ?--?? A 的主特征值和特征向量． 2. 对于实对称矩阵n n ?∈A R ，用Jacobi 方法编写其程序，并用所编程序求下列矩阵的全部 特征值． 1515 4 1141144114114?-?? ?-- ? ?- ?= ? ?- ?-- ? ?-??A 3. 对于实矩阵n n ?∈A R ，用QR 方法编写其程序，并用所编程序求下列矩阵的全部特征值: 111 21 113,4,5,62311111n n n n n n ? ???? ?????==+? ????? ??+??A 三 概要设计 （1） 幂法用于求按模最大的特征值及其对应的特征向量的一种数值算法，
它要求矩阵 A 的特征值有如下关系： 12n ...λλλ>≥≥ ，对于相应 的特征向量。其算法如下： Step 0：初始化数据0,, 1.A z k = Step 1：计算1k k y A z +=。 Step 2：令 k k m y ∞=。 Step 3：令 k k k z y m = ；如果1k k m m +≈或1k k z z +≈，则 goto Step 4；否则 ， k = k + 1 ，goto Step 1。 Step 4：输出结果 算法说明与要求 输入参数为实数矩阵、初始向量、误差限与最大迭代次数。输出 参数为特征值及相对应的特征向量。注意初始向量不能为“0”向量。 （2） 迭代法的原理 如果能将方程 Ax =b 改写成等价形式：x=Bx+f 。如果B 满足：ρ(B )<1，则对于任意初始向量 x (0) ，由迭代 x ( k + 1) = Bx (k ) + f 产生的序列均收敛到方程组的精确解。迭代法中两种最有名的迭代法就是Jacobi 迭代法，它的迭代矩阵 B 为： 1()J D L U -=-+,1 f D b -= 其中，D 为系数矩阵 A 的对角元所组成对角矩阵，L 为系数矩阵 A 的对角元下方所有元素所组成的下三角矩阵，U 为系数矩阵 A 的对角元上方所有元素所组成的上三角矩阵。 算法如下： Step 0：初始化数据 00,,,,k A b x δ=和ε。 Step 1：计算D,L,U,J 或G, 得到迭代矩阵B. Step 2：:1k k =+ 0x B x f * =+ 0x x = 如果0x x δ-<或()f x ε≤，goto Step 3?否则 goto Step ２。 Step 3：输出结果。 程序说明与要求
用矩阵的初等变换求逆矩阵
2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。 用矩阵的初等变换求逆矩阵 一、问题提出 在前面我们以学习了用公式求逆矩阵，但当矩阵A的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？（饿了再吃） 二、求逆矩阵方法的推导（“润物细无声”“化抽象为自然”） 我们已学习了矩阵初等变换的性质，如 1.定理对mxn矩阵A，施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。 2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。 3.定理的推论A可逆的充要条件为A可表为若干初等矩阵之积。即 4.推论 A可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。 （1） 由矩阵初等变换的这些性质可知，若A可逆，构造分块矩阵(A︱E)，其中E为与A同阶
的单位矩阵，那么 （2） 由（1）式代入（2）式左边， 上式说明分块矩阵(A︱E)经过初等行变换，原来A的位置变换为单位阵E，原来E的位置 A ,即 变换为我们所要求的1 三，讲解例题 1. 求逆矩阵方法的应用之一 例 解： 四，知识拓展 2．求逆矩阵方法的应用之二 利用矩阵的初等行变换也可以判断一个矩阵是否可逆，即分块矩阵(A︱E)经过初等行变换，原来A的位置不能变换为单位阵E，那么A不可逆。
Hilbert矩阵病态线性代数方程组的求解
实验一病态线性代数方程组的求解 1.估计Hilbert矩阵2-条件数与阶数的关系 运行tiaojianshu.m 输入m=10 可以得到如下表的结果 2.选择不同维数，分别用Guass消去（LU分解），Jacobi迭代，GS 迭代，SOR迭代求解，比较结果。 说明：Hx=b，H矩阵可以由matlab直接给出，为了设定参考解，我们先设x为分量全1的向量，求出b,然后将H和b作为已知量，求x，与设定的参考解对比。 对于Jacobi迭代，GS迭代，SOR迭代，取迭代初值x0为0向量，迭代精度eps=1.0e-6，迭代次数<100000, SOR迭代中w=1.2和0.8分别计算。 a. n=5 b. n=8
c. n=10 d. n=15
取不同的n值，得到如下结果: 对于Guass法，可以看出来，随着n的增大，求解结果误差变大，这是因为随着n增大，系数矩阵的条件数变大，微小的扰动就容易造成很大的误差。最后得不到精确解。 对于Jacobi迭代，计算结果为Inf，说明是发散的。 对于GS迭代和SOR迭代，结果是收敛的，但是可以看出迭代次数比较多，并且对于不同维数GS和SOR收敛速度不一样，有时候GS快，有时SOR快。对SOR取不同的w迭代速度也不一样，存在一个最优的松弛因子w。并且可以知道，迭代次数多少跟初值x0也有关系。 3.讨论病态问题求解的算法。 通过上面的实验分析，可以看出，求解病态矩阵的时候要小心，否则可能得不到所要求的精确度。可以采用高精度运算，用双倍多倍字长，使得由于误差放大而损失若干有效数字位之后，还能保留一些有效位。 另外可以通过对原方程作某些预处理，降低系数矩阵的条件数，因为cond(aA)=cond(A),所以不能通过将每一个方程乘上相同的常数来达到这个目标，可考虑将矩阵的每一行和每一列分别乘上不同的常数，亦即找到可逆的对角阵D1和D2将方程组化为 D1AD2y=D1b，x=D2y 这称为矩阵的平衡问题，但是这样计算量比原问题本身要多。 或者通过变分原理将求解线性方程组的问题转化为等价的求解无约束函数最优化问题的极小值等等，可以参考 [1]郑洲顺，黄光辉，杨晓辉求解病态线性方程组的混合算法
矩阵方程的解法
矩阵方程的解法 本文首先介绍了行对称矩阵的定义及性质，利用矩阵的广义逆，奇异值分解，给出了矩阵方程AX=B有行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式；并给出了矩阵方程解集合中与给定矩 阵的最佳逼近解的表达式。最后利用奇异值分解给出了矩阵方程 有行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式。矩阵方程问 题是指在满足一定条件的矩阵集合中求矩阵方程的解的问题。不 同的约束条件，不同的矩阵方程，就导致了不同的约束矩阵方程 问题。约束矩阵方程问题在结构设计，参数识别，主成分分析， 勘测，遥感，生物学，电学，固体力学，结构动力学，分子光谱学，自动控制理论，振动理论，循环理论等领域都有重要应用。 约束矩阵方程问题的内容非常广泛、约束矩阵方程问题又分为线性约束矩阵方程问题和非线性约束矩阵方程问题、有关线性约束矩阵方程问题的研究成果相当丰富、其中最简单的矩阵方程AX = B是研究最透彻的一类问题、求解线性矩阵方程一般会遇到两种情况：一是当矩阵方程有解时，如何求它的解及最佳逼近；二是 当矩阵方程无解时，如何求它的最小二乘解。对于本文所研究的AX= B、这两类简单矩阵方程，国内外学者已经作了大量研究。都在相应的文献中对其进行了大量的研究，解决了求此方程的一些 约束解和最小二乘解的问题。自从针对工程应用领域提出了行对
称矩阵概念之后，这方面研究已经取得了一些成果，如对行对称矩阵的一些性质，行对称矩阵的QR分解。本文先对行对称矩阵进行介绍，再将行对称矩阵与约束矩阵方程结合起来，先研究了矩阵方程AX=B有行对称实矩阵解的充要条件，有解时，用奇异值分解及广义逆求出解及最佳逼近。再对矩阵方程有行对称实矩阵解的充要条件进行了研究，利用奇异值分解得出了有解时的充要条件及解的表达式。设表示全体n*m阶实矩阵集合，rank(A)表示矩阵A的秩,表示次对角线上元素全为1，其余元素全为0的方阵，即=,显然有成立。表示n阶正交矩阵全体。本文要讨论以下问题：问题1 给定矩阵A,B,求实行对称方阵X，使得AX=B。问题2 给定，求，使得。其中为问题1的解集。问题3 给定矩阵,求实行对称方阵X，使得=B。 定义设A = ()，若A满足，则称A为n *m行对称矩阵、所有n *m行对称矩阵的全体记为。考查满足的矩阵A，不难发现A 是关于行具有某种对称性的矩阵，即当阶数n为奇数时，以将行为对称线，矩阵A的行关于该线对称；当阶数n为偶数时，在行与行间做一条直线，则A的行关于该直线对称。或简单的说，将A 进行上下翻转后矩阵不变，我们就称这种矩阵为行对称矩阵。为了更好的了解行对称矩阵，我们介绍一下行对称矩阵的性质：（1）当n=2k时，=、（2）当n=2k+1时，=定义设A=，r(A)=r,的大于零的特征值为。则称为A的奇异值。定义设矩阵A ，若矩阵X满足如下四个Penrose方程：
矩阵链算法
/************************ Matrix Chain Multiplication ***************************/ /************************ 作者：Hugo ***************************/ /************************ 最后修改日期：2015.09.10 ***************************/ /************************ 最后修改人：Hugo ***************************/ using System; using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Text; using System.Threading.Tasks; using System.Text.RegularExpressions; using System.Collections; namespace Matrix { class Program { public static int nummulti = 0; static ArrayList list1 = new ArrayList();//定义计算式存储列表 static ArrayList listrow = new ArrayList();//定义矩阵行数存储列表 static ArrayList listcolumn = new ArrayList();//定义矩阵列数存储列表 static void Main(string[] args) { /****************************************************************************** *****************/ //从键盘上获取矩阵 int nummatrix = Int32.Parse(Console.ReadLine()); int countmat = 0; for (countmat = 0; countmat < nummatrix; countmat++) { string s = Console.ReadLine(); string[] str = s.Split(' ');//把输入的一行字符按空格拆分 listrow.Add(Int32.Parse(str[1]));//行数存储到矩阵行数存储列表 listcolumn.Add(Int32.Parse(str[2]));//列数存储到矩阵列数存储列表
矩阵的运算及其运算规则
矩阵基本运算及应用 201700060牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则
简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的． 1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或． 特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB．
已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即 ． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．
线性方程组的矩阵求法.
线性方程组的矩阵求法 摘要： 关键词： 第一章引言 矩阵及线性方程组理论是高等代数的重要内容, 用矩阵 方法解线性方程组又是人们学习高等代数必须掌握的基本 技能,本文将给出用矩阵解线性方程组的几种方法，通过对线性方程组的系数矩阵（或增广矩阵）进行初等变换得到其解，并列举出几种用矩阵解线性方程组的简便方法。 第二章用矩阵消元法解线性方程组 第一节预备知识 定义1：一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。定理1：初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。 定义2：定义若阶梯形矩阵满足下面两个条件： （1）B的任一非零行向量的第一个非零分量（称为的 一个主元）为1； （2）B中每一主元是其所在列的唯一非零元。 则称矩阵为行最简形矩阵。 第二节 1．对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩
阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，因此，我们将要通过花间矩阵来讨论化简线性方程组的问题。这样做不但讨论起来比较方便，而且能给我们一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次都把未知量写出来。 下面以一般的线性方程组为例，给出其解法： （1） 11112211 21122222 1122 , , . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= +++= +++ = 根据方程组可知其系数矩阵为： （2） 11121 21222 12 n n m m mn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ??? 其增广矩阵为： （3） 111211 212222 12 n n m m mn m a a a b a a a b a a a b ?? ? ? ? ? ??? 根据（2）及矩阵的初等变换我们可以得到和它同解的线性方程组，并很容易得到其解。 定理2：设A是一个m行n列矩阵
GE矩阵+计算方法+案例(一班三组)
GE矩阵法及其使用方法介绍 一、GE矩阵法概述 GE矩阵法又称通用电器公司法、麦肯锡矩阵、九盒矩阵法、行业吸引力矩阵是美国通用电气公司（GE）于70年代开发了新的投资组合分析方法。对企业进行业务选择和定位具有重要的价值和意义。GE矩阵可以用来根据事业单位在市场上的实力和所在市场的吸引力对这些事业单位进行评估，也可以表述一个公司的事业单位组合判断其强项和弱点。在需要对产业吸引力和业务实力作广义而灵活的定义时，可以以GE矩阵为基础进行战略规划。按市场吸引力和业务自身实力两个维度评估现有业务（或事业单位），每个维度分三级，分成九个格以表示两个维度上不同级别的组合。两个维度上可以根据不同情况确定评价指标。 二、方格分析计算方法介绍： GE矩阵可以用来根据事业单位在市场上的实力和所在市场的吸引力对这些事业 单位进行评估，也可以表述一个公司的事业单位组合判断其强项和弱点。在需要 对产业吸引力和业务实力作广义而灵活的定义时，可以以GE矩阵为基础进行战 略规划。按市场吸引力和业务自身实力两个维度评估现有业务（或事业单位），
每个维度分三级，分成九个格以表示两个维度上不同级别的组合。两个维度上可以根据不同情况确定评价指标。 绘制GE矩阵，需要找出外部（行业吸引力）和内部（企业竞争力）因素，然后对各因素加权，得出衡量内部因素和市场吸引力外部因素的标准。当然，在开始搜集资料前仔细选择哪些有意义的战略事业单位是十分重要的。 1. 定义各因素。选择要评估业务（或产品）的企业竞争实力和市场吸引力所需的重要 因素。在GE内部，分别称之为内部因素和外部因素。下面列出的是经常考虑的一些因素（可能需要根据各公司情况作出一些增减）。确定这些因素的方法可以采取头脑风暴法或名义群体法等，关键是不能遗漏重要因素，也不能将微不足道的因素纳人分析中。 2. 估测内部因素和外部因素的影响。从外部因素开始，纵览这张表（使用同一组经理）， 并根据每一因素的吸引力大小对其评分。若一因素对所有竞争对手的影响相似，则对其影响做总体评估，若一因素对不同竞争者有不同影响，可比较它对自己业务的影响和重要竞争对手的影响。在这里可以采取五级评分标准（1=毫无吸引力，2=没有吸引力，3=中性影响，4=有吸引力，5=极有吸引力）。然后也使用5级标准对内部因素进行类似的评定（1=极度竞争劣势，2=竞争劣势，3=同竞争对手持平，4=竞争优势，5=极度竞争优势），在这一部分，应该选择一个总体上最强的竞争对手做对比的对象。 具体的方法是：- 确定内外部影响的因素，并确定其权重- 根据产业状况和企业状况定出产业吸引力因素和企业竞争力因素的级数（五级）- 最后，用权重乘以级数，得出每个因素的加权数，并汇总，得到整个产业吸引力的加权值 下面分别用折线图和表格两种形式来表示。
矩阵及方程组求解
第1章矩阵及其基本运算 MATLAB，即“矩阵实验室”，它是以矩阵为基本运算单元。因此，本书从最基本的运算单元出发，介绍MATLAB的命令及其用法。 1.1 矩阵的表示 1.1.1 数值矩阵的生成 1．实数值矩阵输入 MATLAB的强大功能之一体现在能直接处理向量或矩阵。当然首要任务是输入待处理的向量或矩阵。 不管是任何矩阵（向量），我们可以直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗号（，）或者用空格符来分隔，且空格个数不限；不同的行用分号（；）分隔。所有元素处于一方括号（[ ]）内；当矩阵是多维（三维以上），且方括号内的元素是维数较低的矩阵时，会有多重的方括号。如： >> Time = [11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10] Time = 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 >> X_Data = [2.32 3.43；4.37 5.98] X_Data = 2.43 3.43 4.37 5.98 >> vect_a = [1 2 3 4 5] vect_a = 1 2 3 4 5 >> Matrix_B = [1 2 3； >> 2 3 4；3 4 5] Matrix_B = 1 2 3 2 3 4 3 4 5 >> Null_M = [ ] %生成一个空矩阵 2．复数矩阵输入 复数矩阵有两种生成方式： 第一种方式 例1-1 >> a=2.7;b=13/25; >> C=[1,2*a+i*b,b*sqrt(a); sin(pi/4),a+5*b,3.5+1] C= 1.0000 5.4000 + 0.5200i 0.8544 0.7071 5.3000 4.5000
用矩阵的初等变换求逆矩阵
2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。 用矩阵的初等变换求逆矩阵 一、问题提出 在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？ （饿了再吃） 二、求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”） 我们已学习了矩阵初等变换的性质，如 1.定理 2.4 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。 2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。 3.定理2.5的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。即 4.推论 A 可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。 （1） 由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E)，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么 （2） 由（1）式 代入（2）式左边， 上式说明分块矩阵(A ︱E)经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置变换为我们所要求的1A -,即 211211111111 12112112s t s s t t m P P P AQ Q Q E A P P P P EQ Q Q Q R R R ----------=?=?L L L L L 11121m R R R A E ---=L 111121m R R R A ----=L ()()122n n n n A E E A -???????→ 1*1A A A -=()()()1111A A E A A A E E A ----==111121m A R R R ----=L ()()111121m R R R A E E A ----=L
矩阵方程的数值解法开题报告
毕业论文开题报告 信息与计算科学 矩阵方程的数值解法 一、选题的背景、意义 1.选题的背景 在科学、工程计算中，求解矩阵方程的任务占相当大的份额。这是因为，矩阵方程不仅能以完整的形式作为许许多多实际问题的模型之一，而且还能作为不少其他数值方法处理过程中转化而成的组成部分。例如，在电路网络、弹性力学、潮流计算、热传导、振动等领域，其基本模型就是矩阵方程，而求微分方程边值问题的差分法和有限元法等数值计算本身，也导致求解某些矩阵方程。在系统控制等工程研究领域经常遇到矩阵方程的求解问题。自动控制系统最重要的一个特征是稳定性问题,它表示系统能妥善地保持预定工作状态,耐受各种不利因素的影响,因此矩阵方程在系统的稳定性理论,极点配置等方面具有重要的意义。在常微分方程的定性研究以及数值求解常微分方程的隐式Rung-kwtta方法和块方法中,也需要求解矩阵方程。此外,在广义特征值问题的摄动研究中及隐式常微分方程的数值解中,经常遇到矩阵方程的求解问题。 1.1.2选题的意义 随着科学技术的迅速发展，矩阵方程越来越多地出现在科学与工程计算领域，关于这类问题的研究也日益受到人们的高度重视．对矩阵方程的研究具有很重要的理论意义和很高的应用价值．所以，学会如何更好的解矩阵方程就显得非常重要。本文主要介绍了解矩阵方程的高斯消元法、Jacobi迭代法、Gauss-Seidcl迭代法和SOR迭代方法。在这些方法的基础上，利用matlab软件，快速求出矩阵方程的解。通常熟练使用这些工具或编写程序，而这通常是一项入门缓慢、熟练精通时间较长的工作。MATLAB在提供强大的计算功能，也为我们用数值方法求解矩阵方程提供了很大的方便。 1.1.3求解线性方程组 由于线性方程组是矩阵方程的一个特例，所以本文试图将解线性方程组的一些经典方法推广用来解矩阵方程。 记线性方程组为
用矩阵初等变换逆矩阵
用矩阵初等变换逆矩阵
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2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。 用矩阵的初等变换求逆矩阵 一、问题提出 在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？ （饿了再吃） 二、求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”） 我们已学习了矩阵初等变换的性质，如 1.定理 2.4 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。 2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。 3.定理2.5的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。即 4.推论 A 可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。 （1） 由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E )，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么 （2） 由（1）式 代入（2）式左边， 上式说明分块矩阵(A ︱E )经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置 变换为我们所要求的1 A -,即 21121111111112112112s t s s t t m P P P AQ Q Q E A P P P P EQ Q Q Q R R R ----------=?=?L L L L L 111 21m R R R A E ---=L 111121m R R R A ----=L () () 1 22n n n n A E E A -???????→ 1* 1A A A -=( )()() 1111A A E A A A E E A ----==1111 21m A R R R ----=L ( )() 1 111 21m R R R A E E A ----=L
线性方程组的矩阵求解算法
线性方程组的矩阵求解算法 摘要 线性方程组的矩阵求解算法,只需在约当消元法的基础上,再对方程组的 增广矩阵的行最简形进行行(列)删除和增加行,交换行等运算即可得到方程组的解,并且这种方法既可求解有唯一解的方程组.因而算法简单,易于实现. 关键词 线性方程组;解向量;解法;约当消元法 1 矩阵求解算法 设有线性方程组m n A X b ?=,其增广矩阵())(1,m n A A b ?+=,算法的步骤如下: 第一步:利用约当消元法,把增广矩阵A 化为行最简形,设行最简形为()1m n B ?+.若()t i (),r A r =则方程组无解;否则设(),r A R =并执行以下步骤; 第二步:删除B 中的所有零行和每一行第一个非零元素(这个非零元素一定是1)所在的列,得到矩阵()1,r n r D ?-+并记录每行的第一个非零元所在的列标,放在一维数组()1, ,t r 中,如第i 行的第一个非零元在第j 列,则()t i j =; 第三步:构造矩阵() 1m n r D H F ?-+?? = ? ??,其中 ()() 1100001 0000 1 0n r n r F -?-+-?? ?- ? = ? ? -? ? 第四步:对矩阵H 中的行作交换运算:把H 中的第i 行(,1,1,i r r =-即从第r 行开始直到第一行)依次与其下一行交换,使之成为第()t i 行,交换运算结果后的矩阵记为G ,则G 中的前n r -个n 维列向量即为方程组的一个基础解系,最后一列向量即为方程组的一个特解; 第五步:写出方程组的通解. 2 算法证明 先证一个特殊情形,增广矩阵A 的行最简形矩阵B 的左上角为一r 阶的单位矩阵,即第i 行的第一个非零元的列标为i ,即()()1t i i i r =≤≤,所以设B 为
动态规划矩阵连乘算法
问题描述：给定n个矩阵：A1,A2,...,A n，其中A i与A i+1是可乘的，i=1，2...，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。 问题解析：由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。 完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为： （1）单个矩阵是完全加括号的； （2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC) 例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。 看下面一个例子，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50 按此顺序计算需要的次数
((A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次，按此顺序计算需要的次数(A1*(A2*A3)):10*5*50+10*100*50=75000次 所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小 化。 算法思路： 例：设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分别是： A1：30*35; A2：35*15; A3：15*5; A4： 5*10; A5：10*20; A6：20*25 递推关系： 设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。 当i=j时，A[i:j]=A i，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n 当i 逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ， 因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证 A 2 =????????? ???0000000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???00000000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3= ? ? ?? ? ???????1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=???? ? ?????521310132. 解 [A I]→??????????100521010310001132→???? ? ?????001132010310100521 → ??????????--3/16/16/1100010310100521→???? ??????-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)