10.3 分式的加减

简单

1、计算4222x x x ++

--的结果是（ ）

A ．1

B ．-1

C ．x+2

D ．x-2

【分析】几个分式相加减，根据分式加减法则进行运算，如果分式分母互为相反数，则先将其变为同分母分数，然后再直接相加减即可． 【解答】解：4222x x x ++--＝4222x x x +-

--＝22x x -+-＝?1，故选B ．

2、学完分式运算后，老师出了一道题“化简：23224x x x x +-++-”．

小明的做法是：原式=()()2222223226284444x x x x x x x x x x x +--+-----==----； 小亮的做法是：原式=（x+3）（x-2）+（2-x ）=x 2+x-6+2-x=x 2-4；

小芳的做法是：原式=()()3231311222222x x x x x x x x x x +-++--=-==++-+++． 其中正确的是（ ）

A ．小明

B ．小亮

C ．小芳

D ．没有正确的

【分析】小明的做法在通分后分子（x-2）的符号没有变换；

小亮的做法把分母忘记写了；

小芳的做法是正确的． 【解答】解：23224x x x x +-++-=()()3231311222222x x x x x x x x x x +-++--=-==++-+++．

所以正确的应是小芳．

故选C ．

3、计算：2256x x x +--+=___________．

A ．1

3x - B ．1

【分析】原式两项通分，并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．

【解答】解：原式=

()()()()()()31212323233x x x x x x x x x --+==-------．

故选A ．

4、()()22

111a

a a +++=________．

A ．1

1a + B ．1

【分析】原式利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．

【解答】解：原式=

()21

111a a a +=++．

故选A ．

5、化简：2a a b a b b a ++

--=_______． A ．a+b B ．1

【分析】首先把分式通分，然后进行同分母的分式的加减，最后把结果进行化简即可求解．

【解答】解：原式=22()1a a b a a b a b a b a b a b a b +-+--===----．

故选B ．

6、计算：a b b a +

--=_______

A ．a+b

B ．1

【分析】把第二个分式提取负号，进行分式加减，再把分式的分子分解公因式从而解得．

【解答】解：原式=2222

a b a b a b a b a b a b --==+---．

故选A ．

7、化简311a a a a -

++=_________．

A ．a 2-a

B ．a 2

+a

【分析】本题属于同分母运算，把分子相加减，分母不变，再将所得分子因式分解，约分． 【解答】解：原式=()()321111a a a a a a a a a +--==-++，

故选A ．

难

1、公路全长skm ，骑车th 可走完全程，要提前20min 走完全程，每小时应多走________km ．

A ．22s

t t - B ．1

【分析】每小时多走千米数=实际速度-原来速度，速度=路程÷时间．

【解答】解：依题意得：2123s

s s t t t t -=--．

故选A ．

2、如果x=300，则26133x x x x x x +-+--的值为（ ）

A ．0

B ．1300

C ．301300

D ．101100

【分析】本题是先化简，再求值的题目，属于异分母相加减，将分母分解因式，通分，化简，再代值． 【解答】解：()()22639333x x x x x x x x x x --+--+==--，

当x=300时，原式=

3x x +=101100．

故选D ．

3、从甲地到乙地有两条路，每条路都是3km ，其中第一条是平路，第二条有1km 的上坡路和2km 的下坡路，小丽在上坡路上的汽车速度为每小时vkm ，在平路上的汽车速度为每小时2vkm ，在下坡路上的汽车速度为3vkm ，那么

（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需要多长时间？

（2）她走哪条路花费时间少，少用多少时间？

A ．（1）53v ；（2）1

6v

B ．（1）32v ；（2）1

v

【解答】解：设小丽走第一条路所用时间为t 1小时，走第二条路所用时间为t 2小时． （1）小丽走第二条路的时间为：t 2=

123v v +． 故当走第二条路时，她从甲地到乙地需要

5

3v 小时； （2）小丽走第一条路的时间为：t 1=32v ．

t 1-t 2=31223v v v ??-+ ???． 整理得：-1

6v ，因为v ＞0，所以可得-16v ＜0． 即：t 1＜t 2，所以可得小丽走第一条路所花时间少，少用

1

6v 小时． 故选A

4、甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．

（1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？

（2）谁的购货方式更合算？

A ．（1）2m n +，2mn

m n +；（2）甲

B ．（1）2m n +，2mn

m n +；（2）乙

【分析】这是一道分式应用题，不但要进行分式的运算，更重要的是要根据题中的文字列是分式，由题中可设两次购买的饲料单价分别为 m 元/千克和n 元/千克（m ，n 是正数，且m ≠n ），然后依题列式即可．

【解答】解：（1）设两次购买的饲料单价分别为m 元/千克和n 元/千克（m ，n 是正数，且m ≠n ）， 甲两次购买饲料的平均单价为

10001000100022m n m n ++=?（元/千克）， 乙两次购买饲料的平均单价为80022800800mn m n m n ?=++（元/千克）．

（2）甲、乙两种饲料的平均单价的差是：

()()()()()()2222242422222m n m n m n mn mn m mn n mn m n m n m n m n m n +-+++--=-==+++++，

由于m 、n 是正数，因为m ≠n 时，()

()2

2m n m n -+也是正数，

即

22m n mn m n +-+＞0， 因此乙的购货方式更合算．

故选B

5、已知x 2-4x+1=0，求x 4+41

x 的值．

A ．195

B ．194

【分析】完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2，先把x 2-4x+1=0两边同除x （由题意可知x ≠0），得到

x+1x =4，然后把该式子两边平方，整理后再次平方即可得到x 4+41x 的

值． 【解答】解：∵x 2-4x+1=0，

∴x-4+1

x =0，

即x+1

x=4，

∴x2+

2

1

x=（x+

1

x）2-2，

=42-2，=14，

∴x4+

4 1 x

=（x2+

2

1

x）2-2，

=142-2，=194．故选B．

6、已知

2

34

221

x A B

x x x x

+

=-

---+，其中A、B为常数，则4A-B的值为（）

A．7B．9C．13D．5【考点】分式的加减法．

【专题】计算题．

【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用分式相等的条件求出A与B的值，即可确定出4A-B的值．

【解答】解：

()()

()()

()

22

122

34

2212

A x

B x A B x A B

x

x x x x x x

+---++ +

==

---+--

，

可得A-B=3，A+2B=4，

解得：A=10

3，B=

1

3，

则4A-B=40

3-

1

3=13．

故选：C．

7、已知：M=

2

4

4

a-，N=

11

22

a a

+

+-，则M、N的关系是（）

A ．M=N

B ．MN=1

C ．M+N=0

D ．不能确定 【分析】首先利用分式的加减运算法则求得N 的值，可得N=-M ，继而求得M+N=0．

【解答】解：∵N=

()()()()2112242222224a a a a a a a a a -++=-=-+-+-+--=-M ，

∴M+N=0．

故选C ．

8、化简

2222111a a a a a a -+-+-+的结果是（ ） A ．a-1

B ．a+1

C ．1-a

D ．-a-1

【分析】将a 2-1分解成（a+1）（a-1），然后将分母统一进行计算即可．

【解答】解： ()()()22222212111111111

a a a a a a a a a a a a a a a a a --+---+++=+==--++-++1，

故选A ．

9、若xy=a ，2211x y +＝b （b ＞0），则（x+y ）2的值为（ ）

A ．b （ab-2）

B ．a （ab+2）

C ．a （ab-2）

D ．b （ab+2）

【考点】分式的加减法．

【专题】计算题．

【分析】因为（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，可通过已知得出x 2+y 2及xy=a ，从而得出结论． 【解答】解：∵xy=a ，2211x y +＝b （b ＞0），

∴

22

22x y x y +=b ，即x 2+y 2=a 2b ． ∴（x+y ）2=x 2+2xy+y 2=a 2b+2a=a （ab+2）．故选B ．

10、甲、乙两人3次都同时到某个体米店买米，甲每次买m（m为正整数）千克米，乙每次买米用去2m元．由于市场方面的原因，虽然这3次米店出售的是一样的米，但单价却分别为每千克1.8元、2.2元、2元，那么比较甲3次买米的平均单价与乙3次买米的平均单价，结果是（）

A．甲比乙便宜B．乙比甲便宜

C．甲与乙相同D．由m的值确定

【分析】通过已知条件，求出甲、乙的平均单价，然后进行比较．

【解答】解：由题意可知：甲三次共买了3m千克的米，

花费为1.8×m+2.2×m+2×m=6m元，则甲的平均单价为6m÷3m=2；

乙共花费3×2m÷（2m÷1.8+2m÷2.2+2m÷2）=1.99＜2；

∴乙比甲便宜．

故选B．

【八年级】八年级数学下册103分式的加减分式解题中常见错误归类剖析素材新版苏科版

【关键字】八年级 分式解题中常见错误归类剖析 分式是在整式运算、多项式因式分解、一元一次方程的解法基础上学习的．分式的运算与整式的运算相比，运算步骤明显增多，符号更加复杂，解法更加灵活；因而更容易出现这样或那样的错误，为帮助同学们弄清分式运算中的错误所在，本文归纳几种错误如下，供同学们学习时参考． 一、忽视隐含条件致错 【例1】当x=___________时，分式的值为0． 〖错解〗当x2－x＝0，即x=0或x=1时，上述分式的值为零． 【剖析】由于x=0时，分母=0，因此分式无意义．故正确答案为：x=1． 二、轻易约分致错 【例2】为何值时，分式无意义？ 〖错解〗因为,由a+3=0得a＝－3，∴当a=－3时分式没有意义． 【剖析】讨论分式有无意义及分式的值是否为零，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式．误解的原因是轻易的约掉分子、分母中的公因式(a＋1)，相当于分子、分母同除以一个可能为零的代数式，扩大了分式中字母的取值范围，即放宽了分式成立的条件．正确答案应为：a＝－3或a=－1． 三、符号上的错误 【例3】化简的结果是（）． A、 B、 C、 D、 〖错解〗原式=，选C 【剖析】错误的原因是由于把(2-m)变形为（m-2）时没有改变分式的符号．正解应为，故应选A． 四、通分时误去分母 【例4】计算： 〖错解〗原式= 【剖析】错解把分式的化简与解方程去分母混同一体，分式化简的每一步变形的依据都是依靠分式的基本性质，通分要保留分母，而不是去分母； 正解应为：原式=. 五、违走运算通性致错

【例5】计算： 〖错解〗原式 = = 【剖析】乘除法是同级运算，谁在前先做谁，而不应违反运算通性．正解应为：原式== 六、结果不是最简分式 【例6】计算 〖错解〗原式 【剖析】本题错在分式化简的结果不是最简分式，应在分式此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！

分式的加减乘除运算试题

分式的加减乘除运算试题 乘除： 一、选择题 1.下列运算正确的是（ ） A.326x x x = B.0=++y x y x C.1-=-+-y x y x D.b a x b x a =++ 2.下列分式运算，结果正确的是（ ） A.n m m n n m =?3454; B.bc ad d c b a =? C . 222242b a a b a a -=??? ??-; D.3334343y x y x =??? ? ?? 3.已知a-b 0≠,且2a-3b=0，则代数式 b a b a --2的值是（ ） A.-12 B.0 C.4 D.4或-12 4.已知72=y x ，则222 273223y xy x y xy x +-+-的值是（ ） A.10328 B.1034 C.10320 D.103 7 5.化简x x y x 1?÷等于（ ） A.1 B.xy C. x y D.y x 6.如果y=1 -x x ,那么用y 的代数式表示x 为（ ） A. 1+-=y y x B. 1--=y y x C. 1+=y y x D. 1 -=y y x 7.若将分式x x x +22化简得1+x x ，则x 应满足的条件是（ ） A. x>0 B. x<0 C.x 0≠ D. x 1-≠ 二、解答题 8.22442bc a a b -?； 9.化简222 210522y x ab b a y x -?+； 10.化简x x x x x ÷+++1222；

11.若m 等于它的倒数，求分式22444222-+÷-++m m m m m m 的值； 12.若分式43 21++ ÷++x x x x 有意义，求x 的取值范围； 13.计算-()44 25m n m n n m -÷??? ? ??-???? ??； 14.计算22 322358154m ab m b a -÷; 15.计算（xy-x 2）xy y x -÷. 加减： 1.已知x 0≠,则x x x 31 21 1 ++等于（ ） A.x 21 B.x 61 C.x 65 D.x 611 2.化简xy y x zx x z yz z y 649332232-+-+-可得到（ ） A.零 B.零次多项式 C.一次多项式 D.不为零的分式

分式的混合运算和整数指数幂(基础)知识讲解

分式的混合运算，整数指数幂（基础） 责编：杜少波 【学习目标】 1．掌握分式的四则运算法则、运算顺序、运算律． 2．能正确进行分式的四则运算． 3. 掌握零指数幂和负整数指数幂的意义． 4．掌握科学记数法． 【要点梳理】 【高清课堂 402547 分式的混合运算和整数指数幂 知识要点】 要点一、分式的混合运算 与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式. 要点诠释：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是 正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握.. （2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算 括号内的. （3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分 配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度. 要点二、零指数幂 任何不等于零的数的零次幂都等于1，即()0 10a a =≠. 要点诠释：同底数幂的除法法则可以推广到整数指数幂.即m n m n a a a -÷=（0a ≠，m 、n 为整数）当m n =时，得到()010a a =≠. 要点三、负整数指数幂 任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即1 n n a a -=（a ≠0，n 是正整数）. 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立. 要点诠释：()0n a a -≠是n a 的倒数，a 可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如()1122xy xy -= （0xy ≠），()()551a b a b -+=+（0a b +≠）. 要点四、科学记数法的一般形式 （1）把一个绝对值大于10的数表示成10n a ?的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤< （2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即10 n a -?的形式，其中n 是 正整数，1||10a ≤<.

人教版数学八上 《 分式的加减》》同课异构教案2《

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分数加减法100道

分数加减法专项练习100题（有答案） 1、21 33 + 2、31 44 - 3、2710 5151 - 4、1011 2121 + 5、15 412 + 6、51 114 + 7、 92 147 - 8、175 186 - 9、3171 5204 +- 10、 17 66 + 11、 733 842 +- 12、 532 2147 -- 13、 13 23 44 + 14、 22 13 53 + 15、 31 42 42 - 16、 11 32 74 - 17、 137 231 111111 +- 18、 31 311 87 +

19、711 2 99 - 20、 2123 1363 -+ 21、1- 125－12 7 22、 125+8 7 －87 23、 87+277+27 20 24、 65－（65－12 1 ） 25、 31+72+32+7 4 26、 21+31+4 1 27、1415 －1315 ＋8 15 28、 41517 ＋8712 ＋32 17 29、 618 －156 －315 16 30、 6.5＋11 6 －4.8 31、1538 －53 4 ＋4.8 32、9.28－3313 －2213 －18 13 33、 10314 －(23 14 ＋3.9) 34、 1016 －311 20 －2.45＋1.6 35、310 －415 +5 18 36、57+358 －411 12 37、 241130 －15+61 6 38、1516 －71 5 －2.8

39、 1960 +(125 －14 15 ) 40、435 －(7.2－31 4 ) 41、1714 －(55 8 ＋4.5) 42、 523 +6310 +31 3 +2.7 43、18.79－(4.79+33 5 )－0.4 44、3.82＋(738 －2.82)－53 4 45、3.825+294+19 5 46、815 +11320 +31 4 47、 10－2712 －45 6 48、 525 －(1.8+24 9 ) 49、213 －1.5+35 12 50、 6513 －2.375－15 8 51、3.825+249 +15 9 52、413 －(1.75+7 20 ) 53、 7.42－(535 －1.35)－13 4 54、 515 －3310 +44 15 55、819 －256 －311 12 56、1045 +(7.2－35 7 ) 57、738 －(313 +212 )+31 3 58、1234 －(7.25－123 )－24 5

分式及分式的加减乘除运算

第一部分：从整式到分式 知识汇总 1、分式的定义： 2、分式有意义的条件： 3、分式的值： 4、因式分解： 5、分式的约分： 典型例题 例1.下列各式，哪些是整式，哪些是分式？ x 1,3a ,y x x - ,a ab ,22-+x x ,π 1+x ,41（x －y ）,y 1（a+b ）,b a b ab a +++222. 整式____________________________________________________________ 分式____________________________________________________________ 例2、当x 为何值时，下列分式有意义： （1）11-x ;（2）2||1 x -;（3）15622++-x x x 例3、x 为何值时，下列分式的值为0？ （1） 11+-x x ;（2）9 )3)(2(2---x x x 例4、如果分式31--x x 的值是负数，那么x 的值是（ ） A.x ＜1 B.x ＜3 C.1＜x ＜3 D.x ＜1或x ＞3 例5、判断题： （1）如果M 、N 都是整式，则 N M 是分式. （2）如果N 中不含字母，则N M 一定不是分式. （3）当x=2时，422--x x 的值为零. （4）32)()(b a a b --=b a -1. （5）32)()(a b b a --=b a -1.

例6、把分式y x x +中的x 和y 都扩大5倍，即分式的值（ ） A.扩大5倍 B.不变 C.缩小5倍 D.缩小10倍 例7、下列约分的四式中，正确的是（ ） A.22x y =x y B.b a c b c a =++22 C. 12a b ma mb m +=+ D.1-=--a b b a 例8、若 )1)(3()3(---x a x a =x x -1成立，a 应取何值？ 课堂练习 1.当x=__________时，分式32+x x 无意义. 2.当x__________时，分式5 21-+x x 有意义. 3.当a__________时，分式5 ||-a a 有意义. 4.下列各式中，对任意x 都有意义的是 A.2 2x x + B.22)2(4++x x C.22+x x D.122-x x 5.使分式) 2)(2(2-+-y y y 无意义的y 的值是 A.y=－2 B.y=2 C.y ≠2且y ≠－2 D.y=2或y=－2 6.要使分式) 1)(1()1(-++x x x x 的值为零，则x=____________. 7.下列各式中与y x y x +-相等的是 A.5)(5)(+++-y x y x B.y x y x +-22 C.222)(y x y x --（x ≠y ） D.2 222y x y x +- 8.有一大捆粗细均匀的电线，现要确定其长度的值.从中先取出1米长的电线，称出它的质量为a ，再称其余电线的总质量为b ，则这捆电线的总长度是____________米. 9、下列说法正确的是（ ）

浙教版数学七年级下册【课时训练】5.4分式的加减(1).doc

5.4分式的加减（1） 1．同分母的分式相加减__________________________，用式子表示则为 a c ± b c =______． 2．填空： (1)2214_______;(2)_______;(3)y x a b m m x y x y a b b a --=-=+----=_ ___． 3．填空： （1）2()______2;(2) 11a b a x x ++=+--=1． 4．一只袋了中有m 个球，其中有n 个是红球，其余都是黑球，从袋中任意取一个球，取到红球的概率是 ______，取到黑球的概率是________，则两者的概率之和=_____+_______=________． 5．下列计算正确的是（ ） 2211111.. 0211..0()()A B a a a a b b a m n m n C D a b b a a a +=+=---++-=-- 6．下面各运算结果正确的是（ ） 222112. .111144.1.1(2)(2) x x A B a a a a a m n x x C D m n n m x x +=-+=----+-=+=--++ 7．下列各式计算正确的是（ ） 11. .0112..0111y x A B x y x y a b b a x x C D a a a a a -=+=----+=-+=---- 8．计算22222a a b a b a b b a a b ---+---，正确的结果是（ ） 234343..1..222a b a b a b A B C D b a a b b a ------ 9．计算： （1）2251022(2)(3)(4)22m n mn a b y x a a m n m n a b b a x y x y ++-+------- 10．计算： （1）222323211(2)11 a b b b x x x b a a b b a x x x x ++++------+- 11．先化简再求值：22111 x x x x x ++---，其中x=2．

八年级数学下册 异分母分式的加减教案

第2课时 异分母分式的加减 1．学会确定几个分式的最简公分母并 进行通分；(重点) 2．能正确地运用分式的加、减、乘、除、乘方的运算法则进行混合运算．(重点，难点) 一、情境导入 小学我们学习过异分母分数的加减法，如13＋12＝1×23×2＋1×32×2＝56，那么如何计算1x ＋1－2x －1 呢？ 二、合作探究 探究点一：分式的通分 【类型一】 最简公分母 分式 1x 2－3x 与2 x 2－9 的最简公分母是________． 解析：∵x 2－3x ＝x (x －3)，x 2－9＝(x ＋3)(x －3)，∴最简公分母为x (x ＋3)(x －3)． 方法总结：最简公分母的确定：最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数；字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂．“所有字母和式子的最高次幂”是指“凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂的因式选取指数最大的”；当分母是多项式时，一般应先因式分解． 【类型二】 分母是单项式分式的通分 通分． (1)c bd ，ac 2b 2； (2)b 2a 2c ，2a 3bc 2； (3)45y 2z ，310xy 2 ，5－2xz 2 . 解析：先确定最简公分母，找到各个分 母应当乘的单项式，分子也相应地乘以这个单项式． 解：(1)最简公分母是2b 2d ，c bd ＝2bc 2b 2d ，ac 2b 2＝acd 2b 2d ； (2)最简公分母是 6a 2bc 2， b 2a 2 c ＝3b 2c 6a 2bc 2 ，2a 3bc 2＝4a 3 6a 2bc 2； (3)最简公分母是10xy 2z 2，4 5y 2z ＝ 8xz 10xy 2z 2，310xy 2＝3z 210xy 2z 2，5 －2xz 2＝－－25y 210xy 2z 2. 方法总结：通分时，先确定最简公分母，然后根据分式的基本性质把各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式，使分母化为最简公分母． 【类型三】 分母是多项式分式的通分 通分． (1)a 2（a ＋1），1 a 2－a ； (2)2mn 4m 2－9，3m 4m 2－6m ＋9 . 解析：先把分母因式分解，再确定最简公分母，然后再通分． 解：(1)最简公分母是2a (a ＋1)(a －1)， a 2（a ＋1）＝a 2（a －1）2a （a ＋1）（a －1）， 1 a 2－a ＝2（a ＋1）2a （a ＋1）（a －1）； (2)最简公分母是(2m ＋3)(2m －3)2， 2mn 4m 2－9＝2mn （2m －3）（2m ＋3）（2m －3）2 ， 3m 4m 2－6m ＋9＝3m （2m ＋3）（2m ＋3）（2m －3）2 . 方法总结：①确定最简公分母是通分的关键，通分时，如果分母是多项式，一般应先因式分解，再确定最简公分母；②在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母

分式的加减乘除运算整数指数幂试题

分式的加减乘除运算试题 乘除： 一、选择题 1.下列运算正确的是（ ） A.3 26x x x = B. 0=++y x y x C.1-=-+-y x y x D.b a x b x a =++ 2.下列分式运算，结果正确的是（ ） A.n m m n n m =?3454; B.bc ad d c b a =? C . 2 222 42b a a b a a -=??? ??-; D.333 4343y x y x =??? ? ?? 3.已知a-b 0≠,且2a-3b=0，则代数式b a b a --2的值是（ ） A.-12 B.0 C.4 D.4或-12 4.已知72=y x ，则2 22 273223y xy x y xy x +-+-的值是（ ） A. 10328 B.1034 C.10320 D.103 7 5.若将分式x x x +22 化简得1+x x ，则x 应满足的条件是（ ） A. x>0 B. x<0 C.x 0≠ D. x 1-≠ 二、解答题 1.若m 等于它的倒数，求分式224 4422 2-+÷-++m m m m m m 的值； 2.若分式 4 3 21++÷++x x x x 有意义，求x 的取值范围； 加减： 1.已知x 0≠,则 x x x 31211++等于（ ） A.x 21 B.x 61 C.x 65 D.x 611 2.化简 xy y x zx x z yz z y 649332232-+-+-可得到（ ） A.零 B.零次多项式 C.一次多项式 D.不为零的分式 3.分式 35,3,x a bx c ax b -的最简公分母是（ ） A.5abx B.15ab 5 x C.15abx D.15ab 3 x

分式的加减混合运算及实际问题

分式的加减及混合运算 注意事项： 1、知道负整数指数幂n a -= n a 1 （a ≠0，n 是正整数）. 2、掌握整数指数幂的运算性质. 3、会用科学计数法表示小于1的数. 4、明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算 一、整数指数幂的运算性质： （1）同底数的幂的乘法：n m n m a a a +=?(m,n 是整数，当m 或n 为负整数时，0≠a )； （2）幂的乘方：mn n m a a =)((m,n 是整数，当m 或n 为负整数时，0≠a )； （3）积的乘方：n n n b a ab =)((n 是整数，当n 为负整数时，0≠a ，0≠b )； （4）同底数的幂的除法：n m n m a a a -=÷( a ≠0，m ,n 是整数)； （5）商的乘方：n n n b a b a =)((n 是整数，0≠b ，n 为负整数时，0≠a )； 例1：计算 （1）321)(b a - （2）32222)(---?b a b a (3) (3×10-8)×(4×103) (4) (2×10-3)2÷(10-3)3 1.填空 （1）-22= （2）(-2)2= （3）(-2) 0= （4）20= ( 5）2 -3= ( 6）(-2) -3= （7）=0b （8）=-2b （0≠b ） 例2、下列等式是否正确？为什么？ （1）n m n m a a a a -?=÷ （2）n n n b a b a -=?? ? ??

例4、计算 4 122 b b a b a b a ÷--? ??? ?? 例5、计算（1）x x x x x x x x -÷+----+4)4 4122( 22 练习：（1） )11(1x x x -÷- ； （2）2 292312a a a a a a --÷-+- （3）???? ??-÷???? ??+221111y x y x ； （4）)25 2(423--+÷--x x x x ； （5）2 22 4442 y x x y x y x y x y y x x +÷ --+?- (6) x x x x x 22)242(2+÷-+- （7）)11()(b a a b b b a a -÷--- （8）)2 122()41223(2+--÷-+-a a a a

(完整版)人教版八年级数学分式知识点和典型例题

第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1

第十六章分式题型总结

第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲分式的运算

【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6. 积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0=1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11-

八年级数学下册5分式与分式方程课题异分母分式的加减法学案新版北师大版

课题异分母分式的加减法 【学习目标】 1．依据分式基本性质，确定几个分式的最简公分母并进行通分． 2．熟练利用异分母分式加减法法则进行计算，会进行分式混合计算． 【学习重点】 分式通分及异分母分式加减法的理解与应用． 【学习难点】 熟练进行异分母分式加减计算． 行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么． 行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决． 学习笔记： 行为提示：分式的混合运算按照先乘方，再乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的． 情景导入生成问题 旧知回顾： 1．异分母分数加减法法则是什么？ 答：异分母分数相加减，先通分化为同分母分数，再加减． 2．分式的基本性质是什么？ 答：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不为0的整式分式值不变． 3．利用分式基本性质1 2x ， 1 3y 变为同分母分式． 解：利用分式基本性质1 2x ＝ 1·3y 2x·3y ＝ 3y 6xy ， 1 3y ＝ 1·2x 3y·2x ＝ 2x 6xy .

自学互研 生成能力 知识模块一 分式的通分 【自主探究】 阅读教材P 119－120内容，回答下列问题： 什么是通分？ 答：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分，异分母分式通分时，通常取各分母的最简公分母作为它们的共同分母． 范例1：通分：(1)c bd ，ac 2b 2；(2)45y 2z ，310xy 2，5－2xz 2. 解：(1)最简公分母是2b 2d ，c bd ＝2bc 2b 2d ，ac 2b 2＝acd 2b 2d ； (2)最简公分母是10xy 2z 2，45y 2z ＝8xz 10xy 2z 2，310xy 2＝3z 210xy 2z 2，5－2xz 2＝－25y 210xy 2z 2. 归纳：通分时，先确定最简公分母，然后根据分式的基本性质把各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式，使分母化为最简公分母． 仿例：把1x －2，1（x －2）（x ＋3），2（x ＋3）2通分过程中，不正确的是( D ) A ．最简公分母是(x －2)(x ＋3)2 ＝（x ＋3）2（x －2）（x ＋3）2 ＝x ＋3（x －2）（x ＋3）2 ＝2x －2（x －2）（x ＋3）2 知识模块二 异分母分式加减法 阅读教材P 120－121的内容，回答下列问题： 1．异分母分式加减法法则是什么？用式子表示出来． 答：异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式加减法法则进行计算.b a ±d c ＝bc ac ±ad ac ＝bc ±ad ac . 2．计算：(1)x x 2－4－2x 2＋4x ＋4 ； (2)a 2－4a ＋2 ＋a ＋2； (3)m m －n －n m ＋n ＋2mn m 2－n 2. 行为提示：在群学后期教师可有意安排每组的展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．有展示、有补充、有质疑、有评价穿插其中． 学习笔记： 教会学生整理反思． 解：(1)原式＝x （x ＋2）（x －2）－2（x ＋2）2＝x （x ＋2）（x ＋2）2（x －2）－2（x －2）（x ＋2）2（x －2） ＝

《分式》总复习-华东师大版知识讲解

《分式》总复习-华东 师大版

《分式》总复习 一. 本周教学内容： 《分式》总复习 [全章知识网络图] [全章重点难点] 重点：同底数幂的除法、单项式除以单项式；分式的意义及相关概念、分式的基本性质；分式的四则运算；可化为一元一次方程的分式方程及其应用；零指数幂和负整指数幂、用科学记数法表示绝对值小于1的数。 难点：整式的除法运算、分式的运算及分式方程的解法、检验与应用、零指数幂和负整指数幂、用科学记数法表示绝对值小于1的数（同底数幂的除法是基础和关键。） [本章考点]

同底数幂的除法、整式的除法、分式概念、分式的基本性质、分式的运算、分式方程的解法及应用题、零指数和负整指数、科学记数法。 [主要知识与技能整和] 一. 同底数幂的除法运算及应用 1. 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 公式：n m n m a a a -=÷（n m n m a >≠,,,0都是正整数）。 2. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 公式：n m n m a a a +=?（都是正整数n m a ,,0≠）。 3. 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘。 公式：),,0()(都是正整数n m a a a n m n m ≠=?。 4. 121222)()(++-=-=-n n n n a a a a ； ；（n 为正整数） n n n n b a b a a b b a 2222)()()()+=---=-；（；（n 为正整数） 12121212)()()()(+++++-=----=-n n n n b a b a a b b a ； 。（n 为正整数） 例1.计算下列各题： （1）a a a 13?÷a a a =?=12 ； （2）m m a a a ÷÷+35235a a m m ==--+ ； （3）m m k k k ÷)(21122+-+==÷?=m m m m m k k k k k ； (4)])()[()(322425x x x ÷÷82106810)(x x x x x x =÷=÷÷=； （5）y y y x y x xy y x 16)4 14(414)21(4232232232=÷=÷=-÷-； （6）b ax x a ax abx x a x a ++-=-÷--39)3()3927(22223 。 例2.已知 8,4==n m a a ，求n m a 23-的值。 分析：将指数相减恢复为幂的除法，将指数相乘恢复为幂的乘方。

分式知识点复习

分式知识点复习 1、分式的有关概念： 例1．（1）当x 时，分式 1 1 +x 有意义． 若分式293 x x -+的值为0，则x =___________ 在代数式23 153******** a b ab c x xy a y +++、、、、、中，分式有（ ）. （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 2、分式的基本性质 【同乘同除同一个不等于零的数、式，分式值不变】 例2．下列各式与 x y x y -+相等的是（ ） （A ） ()5 ()5x y x y -+++ （B ）22x y x y -+ （C ）222()()x y x y x y -≠- （D ） 2222 x y x y -+ 例3．如果把分式 2x y x +中的x y 和都扩大10倍，那么分式的值（ ）. （A ）扩大10倍 （B ）缩小10倍 （C ）扩大2倍（D ）不变 3、分式的约分【实质：分解因式，约去公因式】 例4．化简22 2a b a ab -+的结果是（ ）. （A ） 2a b a - （B ）a b a - （C ）a b a + （D ）a b a b -+ 4、分式的乘除法：【实质：分解因式及约分】 例5．化简： )9(32 2 -?-x x x x 5、分式的通分【先分解，分母化为相同】 例6．分式 1a b +、222a a b -、b b a -的最简公分母为（ ） （A ）2 2 ()()()a b a b a b -+- （B ）2 2 ()()a b a b -+ （C ）2 2 ()()a b b a -- （D ）22 a b - 6、分式的加减法 【实质：通分】注意：分式的运算不能去分母】

苏教版八下分式的加减、乘除计算复习教案含答案(全面 非常好)

教学主题 分式运算教学目标 重要知识点1. 2. 3. 易错点 教学过程 一、分式的加减 1．化简：． 考点：分式的加减法． 分析：首先将原分式化为同分母的分式，然后再利用同分母的分式的加减运算法则求解即可求得答案． 解答： 解：====x﹣2． 点评：此题考查了分式的加减运算法则．解题的关键是要注意通分与化简． 2．化简的结果是a+b． 考点：分式的加减法． 专题：计算题． 分析：根据同分母的分数相加，分母不变，分子相加减． 解答： 解：原式= = =a+b， 故答案为a+b． 点评：本题考查了分式的加减法，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减． 3．计算：．

考点：分式的加减法． 专题：计算题． 分析：先找出最小公倍数，再通分，最后计算即可． 解答： 解：原式==． 点评：本题考查了分式的加减法，解题的关键是找出各分母的最小公倍数． 4． 考点：分式的加减法． 专题：计算题． 分析：观察发现，只需对第二个分母提取负号，就可变成同分母．然后进行分子的加减运算．最后注意进行化简．解答：解：原式= = =． 点评：注意：m﹣n=﹣（n﹣m）．分式运算的最后结果应化成最简分式或整式． 5．计算：． 考点：分式的加减法． 分析：首先把分子分解因式，再约分，合并同类项即可． 解答： 解：原式=， =a﹣2+a+2， =2a． 点评：此题主要考查了分式的加减法，关键是掌握计算方法，做题时先注意观察，找准方法再计算． 6．化简： 考点：分式的加减法． 专题：计算题． 分析：首先把各分式进行约分，然后进行加减运算． 解答： 解：原式= =x﹣y﹣ =x﹣y﹣2x+y =﹣x．

(完整word版)加减法的巧算教案

教学过程 第 1 讲加减法的巧算 在进行加减运算时，为了又快又准确，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些巧算方法。加减法的巧算主要是“凑整”，就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千……的数，再将各组的结果求和。这种“化零为整”的思想是加减法巧算的基础。 先讲加法的巧算。加法具有以下两个运算律： 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。即 a+b=b+a， 其中 a，b 各表示任意一数。例如，5+6=6+5。 一般地，多个数相加，任意改变相加的次序，其和不变。例如， a+b+c+d=d+b+a+c=… 其中 a，b，c，d 各表示任意一数。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个数相加，再与第一个数相加，它们的和不变。即 a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)， 其中 a，b，c 各表示任意一数。例如， 4+9+7=(4+9)+7=4+(9+7)。 一般地，多个数(三个以上)相加，可先对其中几个数相加，再与

它数相加。 把加法交换律与加法结合律综合起来应用，就得到加法的一些巧算方法。 1.凑整法 先把加在一起为整十、整百、整千……的加数加起来，然后再与其它的数相加。 例 1 计算： (1)23＋54＋18＋47＋82； (2)(1350＋49＋68)＋(51＋32＋1650)。 解：(1)23＋54＋18＋47＋82 ＝(23＋47)＋(18＋82)＋54 ＝70＋100＋54 ＝224； (2)(1350＋49＋68)＋(51＋32＋1650) ＝1350＋49＋68＋51＋32+1650 ＝(1350＋1650)＋(49＋51)＋(68＋32) ＝3000＋100＋100＝3200。 试一试1：速算。 （1）497＋28 （2）750＋1002 （3）574－397 （4）472―203 （5）402＋307―297―99 2.借数凑整法 有些题目直观上凑整不明显，这时可“借数”凑整。例如，

分式要点和典型例习题

分式要点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． < 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则: ()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m － n （ 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0=1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1, ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- ? 题型三：考查分式的值为0的条件 【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2） 4 2 ||2--x x （3）653 222----x x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 【例4】（1）当x 为何值时，分式 x -84 为正；

分式-知识点及典型例题

分 式 【知识网络】 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn 7.负指数幂: a -p =1 p a a 0=1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 一、考点、热点 知识点一：分式的定义 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或? ??<<00 B A ）

⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或? ??><00 B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：C B C ??=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 B B A B B -- =--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件 B ≠0。 知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 知识点四：最简分式的定义 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 知识点五：分式的通分 ① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 ② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数； Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 知识点六分式的四则运算与分式的乘方 ① 分式的乘除法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为： d b c a d c b a ??=? 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为 c c ??=?=÷b d a d b a d c b a