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常微分方程期末试题答案

常微分方程期末试题答案
常微分方程期末试题答案

一、填空题(每空2 分,共16分)。

1、方程

22d d y x x

y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 . 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.

3.),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f x

y =初值唯一的 充分 条件. 4.方程组???????=-=x t

y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5.方程2)(2

1y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6.变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()

x P y N 1 7.二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 线性无关

8.方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e --

二、选择题(每小题 3 分,共 15分)。

9.一阶线性微分方程

d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是( A ). (A )?=x

x p d )(e μ (B )?=x x q d )(e μ (C )?=-x x p d )(e μ (D )?=-x x q d )(e μ 10.微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是( B )

(A )可分离变量方程 (B )线性方程

(C )全微分方程 (D )贝努利方程

11.方程x (y 2-1)d x+y (x 2-1)d y =0的所有常数解是( C ).

(A) 1±=x (B)1±=y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x

12.n 阶线性非齐次微分方程的所有解( D ).

(A )构成一个线性空间 (B )构成一个1-n 维线性空间

(C )构成一个1+n 维线性空间 (D )不能构成一个线性空间

13.方程222+-='x y y ( D )奇解.

(A )有一个 (B )有无数个 (C )只有两个 (D )无

三、计算题(每小题8分,共48分)。

14.求方程2

2

2d d x y xy x y -=的通解 解:令u x y =,则 dx dy x u dx dy +=,于是,Cx u

u x u u dx du =--=1,2 所以原方程的通解为 x y x Cx C y =+=

,12 15.求方程0d )ln (d 3=++y x y x x

y 的通解 解:取()()x y y x N x

y y x M ln ,,,3+== 则()()x

y x N y x M x y 1,,==,于是原方程为全微分方程 所以原方程的通解为 ??=+y x C dy y dx x y 1

31 即 C y x y =+44

1ln 16.求方程2221)(x y x y y +

'-'=的通解 解:令 p y =',得到2

2

2x xp p y +-= (*) ,两端同时关于求导, 整理得 ()012=??

? ??--dx dp x p ,则 取 02=-x p ,得 2x p =,代入(*) 得解 4

2

x y = 取 01=-dx

dp ,得C x p +=,代入(*)得原方程得通解为 22

2

Cx Cx x y ++=

17.求方程53x y y e '''-=的通解

解 对应的齐次方程的特征方程为 032=-λλ,

特征根为 01=λ,32=λ

故齐次方程的通解为 x C C y 321e += 因为5=α不是特征根。所以,设非齐次方程的特解为

x A x y 51e )(= 代入原方程,得

x x x A A 555e e 15e

25=- 即 10

1=A , 故原方程的通解为 x x C C y 5321e 10

1e ++= 18.求方程2(cos 7sin )x y y y e x x '''+-=-的通解

解:先求解对应的其次方程:02=-'+''y y y ,则有,

x x e C e C y 221212;2,1,02-+=-===-+λλλλ

因为数i i ±=±1βα不是特征根,故原方程具有形如

()x B x A e y x sin cos 1+= 的特解。

将上式代入原方程,由于 ()x B x A e y x s i n c o s 1+=

()()[]x A B x B A e y x sin cos 1-++='

[]x A x B e y x sin 2cos 21

-='' 故 =-'+''y y y 2[]x A x B e x sin 2cos 2-()()[]x A B x B A e x sin cos -+++

()()x x e x B x A e x

x sin 7cos sin cos 2-=+- 或 ()()x x x A B x A B s i n 7c o s s i n 3c o s

3-=+--

比较上述等式两端的x x sin ,cos 的系数,可得 73,13-=--=+-B A B A 因此,.1,2==B A 故()x x e y x sin 1cos 21+=

所求通解为()x x x e C e C x x e y 21sin 1cos 2+++=

19.求方程组3553dY Y dx ??= ?-??

的实基本解组 解:方程组的特征多项式为 3

553

--λλ,其特征根是i 532,1±=λ,那么 属于1λ的特征向量???

? ??-=11i α, 属于2λ的特征向量????

??-=i 12α。 则方程的基本解组为()()()()()???? ?

?--=Φ-+-+x i x i x i x

i ie e e ie x 535353531, 其实基本解组为()()0111-ΦΦx 。

而()???

? ??--=???

? ??--=Φ--i i i i 1121110111 因此所求实基本解组为 ()=Φx ()()0111-ΦΦx

()()()()???? ??-=???? ??--???? ??--=-=-+x e x e x e x e i i ie e

e ie t t t t x i x i x i x i 5cos 5sin 5sin 5cos 1121333353535353 四、应用题(每小题 11 分,共11分)。 20.(1)求函数()at

f t e =的拉普拉斯变换

(2)求初值问题3322(0)0,(0)0

t

x x x e x x '''?-+=?'==?的解

解:(1)[]()()?????≤∞>-=∞+--===----∞

+-??a

s a s a s e a s dt e dt e e e t a s t a s at st at ,,1010 (2)设()[]()s X t x = ,()t x 是已知初值问题的解。对已知方程两端同时使用拉普 拉斯变换,可分别得到

[][][][]()[]()()()()();

212323232322--=+-=+-=+'-''=+'-''s s s X s s s X s s s X x x x x x x [][]322233-==s e e t

t 故有 ()()()()

3212---=s s s s X 使用部分分式法,可得 ()3

12211-+---=s s s s X 由(1)可知,[][][]

31;21;1132-=-=-=s e s e s e t t t 故所求的初值解为 ()t t t e e e t x 322+-= 。

五、证明题(每小题10分,共10分)。

21 .证明:对任意0x 及满足条件001y 的0y ,方程

22d (1)d 1y y y x x y -=++的满足条件00()y x y =的解()y y x =在(,)-∞+∞上存在。

证: 由于 221)1(),(y

x y y y x f ++-= 22222)1(2)1()1)(12(),(y x y y y y x y y x f y ++--++-='

在全平面上连续,所以原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理条件.

又显然1,0==y y 是方程的两个特解.现任取),(0∞+-∞∈x ,)1,0(0∈y ,记)(x y y =为过),(00y x 的解,那么这个解可以唯一地向平面的边界无限延展,又

上不能穿越1=y ,下不能穿越0=y ,因此它的存在区间必为),(∞+-∞.

《常微分方程》期末试卷

《常微分方程》期末试卷(16) 班级 学号 姓名 得分 评卷人 一、填空题(每小题5分,本题共30分) 1.方程x x y x y e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 . 2.方程04=+''y y 的基本解组是 . 3.向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W . 4.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件. 5.n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间. 6.向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ,I x ∈. 得分 评卷人 二、计算题(每小题8分,本题共40分) 求下列方程的通解 7. x y x y 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 9.0e =-'+'x y y 10.求方程x y y 5sin 5='-''的通解. 11.求下列方程组的通解. ???????+=+=y x t y y x t x 4d d d d 得分 评卷人 三、证明题(每小题15分,本题共30分)

12.设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解,求证:它们的朗斯基行列式C x W ≡)(,其中C 为常数. 13.设)(x ?在区间),(∞+-∞上连续.试证明方程 y x x y sin )(d d ?= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞.

常微分方程试题库

常微分方程试题库 二、计算题(每题6分) 1. 解方程:0cot tan =-xdy ydx ; 2. 解方程:x y x y e 2d d =+; 3. 解方程:; 4. 解方程: t e x dt dx 23=+; 5. 解方程:0)2(=+---dy xe y dx e y y ; 6. 解方程:0)ln (3=++dy x y dx x y ; 7. 解方程:0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ; 8. 解方程:0485=-'+''-'''x x x x ; 9. 解方程:02)3()5()7(=+-x x x ; 10. 解方程:02=-''+'''x x x ; 11. 解方程:1,0='-'='+'y x y x ; 12. 解方程: y y dx dy ln =; 13. 解方程:y x e dx dy -=; 14. 解方程:02)1(22=+'-xy y x ; 15. 解方程:x y dx dy cos 2=; 16. 解方程:dy yx x dx xy y )()(2222+=+; 17. 解方程:x xy dx dy 42=+; 18. 解方程:23=+ρθ ρ d d ; 19. 解方程:22x y xe dx dy +=; 20. 解方程:422x y y x =-'; 选题说明:每份试卷选2道题为宜。

二、计算题参考答案与评分标准:(每题6分) 1. 解方程:0cot tan =-xdy ydx 解: ,2,1,0,2 ,±±=+==k k x k y π ππ是原方程的常数解, (2分) 当2 ,π ππ+ ≠≠k x k y 时,原方程可化为: 0cos sin sin cos =-dx x x dy y y , (2分) 积分得原方程的通解为: C x y =cos sin . (2分) 2. 解方程: x y x y e 2d d =+ 解:由一阶线性方程的通解公式 ? ? +? =-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p (2分) x x x x dx x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3 1 )() (23222+=+=?+?=---?? 分) (分) (22 3. 解方程: 解:由一阶线性方程的通解公式 ??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p (2分) =??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx xdx (2分) ?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. (2分) 4. 解方程: t e x dt dx 23=+ 解:由一阶线性方程的通解公式 ??+? =-))(()()(dt e t f C e x dt t p dt t p (2分) =??+?-)(323dt e e C e dt t dt (2分) ?+=-)(53dt e C e t t

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 (线性、非线性)微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______,可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++,则此方程的系数α= ,β= ,γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的,则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 . 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2.求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4.用比较系数法解方程. . 5.求方程 sin y y x '=+的通解. 6.验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程,并求出它的通解.

常微分方程试题(卷)

一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.

4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则(). A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,

其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程 的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).

A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则 和 的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,

常微分方程期末考试题大全东北师大

证明题: 设()x f 在[)+∞,0上连续,且()b x f x =+∞ →lim ,又0>a ,求证:对于方程 ()x f ay dx dy =+的一切解()x y ,均有()a b x y x =+∞→lim 。 证明 由一阶线性方程通解公式,方程的任一解可表示为 ()()?? ????+=?-x at ax dt e t f C e x y 0, 即 ()()ax x at e dt e t f C x y ?+= 。 由于b x f x =+∞ →)(lim ,则存在X ,当X x >时,M x f >)(。因而 ()dt e M dt e t f dt e t f x X at X at x at ??? +≥0 )( ())(0 aX ax X at e e a M dt e t f -+ = ? , 由0>a ,从而有()∞=?? ????+?+∞→x at x dt e t f C 0lim ,显然+∞=+∞ →ax x e lim 。 应用洛比达法则得 ()()ax x at x x e dt e t f C x y ?+=+∞ →+∞ →0 lim lim ()ax ax x ae e x f +∞→=lim ()a b a x f x ==+∞ →lim 。 证明题:线性齐次微分方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解,其中)(t A 是定义在区间b t a ≤≤上的n n ?的连续矩阵函数。 证 要证明方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解,首先要证明它有n 个线性无关的解,然后再证明任意1+n 个解都线性相关。

常微分方程期末试题B答案

2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷(B) 一、填空题(每空2 分,共16分)。 1.李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件. 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线. 3.线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个,其中R ∈ x,n R Y∈. 4.二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关. 5.方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6.变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7.性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W. 8.方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题(每小题3 分,共15分)。 9.两个不同的线性齐次微分方程组( D )的基本解组. (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10.方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是(D ). (A)稳定焦点(B)不稳定焦点(C)鞍点(D)不稳定结点11.方程x(y2-1)d x+y(x2-1)d y=0的所有常数解是( C ). (A) 1± = x(B)1± = y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12.n 阶线性非齐次微分方程的所有解( D ). (A )构成一个线性空间 (B )构成一个1-n 维线性空间 (C )构成一个1+n 维线性空间 (D )不能构成一个线性空间 13.方程4d d +-=x y x y ( A )奇解. (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题(每小题8分,共48分) 。 14.求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解:令x y u =,则u x u y '+=', u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时,等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15.求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解:积分因子21)(x x =μ, 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程.取10=x ,00=y ,于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16.求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y =',得到2 2 2x xp p y +-= (*) ,两端同时关于求导,

《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题(每个空格4分,共80分) 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C (C 为任意常数) ,方程与通过点(2,3)的特解为 2 1=-y x ,与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ,满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ,可将其化为变量可分离方程,其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有 无数 个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ,满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程 无 奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程 的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ,该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d

(整理)常微分方程试题及参考答案

常微分方程试题 一、填空题(每小题3分,共39分) 1.常微分方程中的自变量个数是________. 2.路程函数S(t)的加速度是常数a,则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数,作变量变换________,方程可化为变 量分离方程. 4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式 为x= (t),P=ψ(t),t为参数,则方程参数形式的通解为________. 5.方程=(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续,y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上,满 足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解. 7.方程=x2+xy,满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0 中a i(t) i=1,2,…,n是〔a,b〕上的连续函数,又x1(t),x2(t),…,x n(t)为方程n 个线性无关的解,则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是:________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________. 10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵,x1(t),x2(t),…,x n(t)是方程组 x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为:x(t)=________的形式. 11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之 等价的一阶方程组________. 12.如果A是3×3的常数矩阵,-2为A的三重特征值,则方程组x′=Ax的基 解矩阵exp A t=________. 13.方程组 的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = . 2.(6分)解方程 x″(t)+ =0. 3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程

常微分方程试题

常微分方程试题

一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.

4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则(). A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,

其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程 的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).

A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则 和 的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,

常微分方程习题及答案.[1]

第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1.任意微分方程都有通解。( ) 2.微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3.函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4.函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5.微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6.y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7.xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8.052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9. 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1.在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2.x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3.x e y 2-=''的通解是 。 4.x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5.124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6.微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。

7.x y 1 =所满足的微分方程是 。 8.x y y 2='的通解为 。 9. 0=+ x dy y dx 的通解为 。 10. ()25 11 2+=+- x x y dx dy ,其对应的齐次方程的通解为 。 11.方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12.3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1.微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A .3 B .4 C .5 D . 2 2.微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A .3 B .5 C .4 D . 2 3.下列函数中,哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A .x y 2= B .2x y = C .x y 2-= D . x y -= 4.微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A .13+=x y B .()3 2+=x y C .()2 C x y += D . ()3 1x C y += 5.函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A .0=+'y y B .02=+'y y C .0=+y y n D . x y y cos =+'' 6.x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( ),其中1C ,2C 为任意常数。 A .通解 B .特解 C .是方程所有的解 D . 上述都不对 7.y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A .1+=x e y B .x e y 2= C .22x e y ?= D . x e y ?=3 8.微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A .x a y sin *= B .x a y cos *?=

2012常微分方程试题B及答案

南京农业大学试题纸 2011-2012学年第2 学期课程类型:必修试卷类型:B Array 装 订 线 装 订 线

常微分方程模拟试题(B)参考答案 2012.7 一、填空题(每小题3分,本题共30分) 1.二 2. )()]()([1211x y x y x y C +- 3. ()0W t ≡或00()=0,W t t I ∈ 4. )(x N x N y M ?=??-?? 5.1y =± 6. n 7. 充分 8. 0 0(,)x x y y f x y dx =+ ? 9. 1 ,Re s a s a >- 10. ()+∞∞-, 二、计算题(每小题5分,本题共20分) 11. 解: 齐次方程的通解为 x C y 3e -= (3分) 令非齐次方程的特解为 x x C y 3e )(-= 代入原方程,确定出 C x C x +=5e 5 1)( 原方程的通解为 x C y 3e -=+ x 2e 5 1 (5分) 12. 解: 对应的特征方程为:012 =++λλ, 解得i i 2 3,2321221 1--=+ -=λλ (3分) 所以方程的通解为:)2 3sin 23cos (212 1 t c t c e x t +=- (5分) 13. 1=??y M ,x N ??=1 , x N y M ??=?? 所以此方程是恰当方程. (3分) 凑微分,0)(22 =++-xdy ydx ydy dx x 得 C y xy x =-+23 3 1 (5分) 14. 5,1,dy dt x y t dx dx -===-令则 1,(7)77dt t t dt dx dx t -=---原方程化为:变量分离 (3分) 2 1772 t x c t -=-+两边积分 21 7(5)7.(5)x y x c x y --+=-+-+代回变量 (5分)

常微分方程期末考试练习题及答案

一,常微分方程的基本概念 常微分方程: 含一个自变量x,未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为:F(x,y,y,.....y(n))=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如:f(x)(3)+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f(x)使常微分方程两端恒等,则f(x)称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数(个数等于方程的阶数)的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F(t,x(3))=0的通解的形式为:x(t)=c1x(t)+c2x(t)+c3x(t)。 4.满足初值条件的解称为它的特解(特解不唯一,亦可能不存在)。 5.常微分方程之线性及非线性:对于F(x,y,y,......y(n))=0而言,如果方程之左端是y,y,......y(n)的一次有理式,则次方程为n阶线性微分方程。(方程线性与否与自变量无关)。如:xy(2)-5y,+3xy=sinx 为2阶线性微分方程;y(2)+siny=0为非线性微分方程。 注:a.这里主要介绍几个主要的,常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解,初值条件,初值问题等概念这里予以略去。另外,有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义:形如 dx dy =f (x)φ(y)的方程,称为分离变量方程。这里f (x ),φ(x )分别是x ,y 的连续函数。 2.解法:分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. (*) 说明: a 由于(*)是建立在φ(y )≠0的基础上,故而可能漏解。需视情况补上φ(y )=0的特解。(有时候特解也可以和通解统一于一式中) b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。 例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解:由题意分离变量得:04 2=+-y dy x dx 即: 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之,得:c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为:cx y x =-4)4( (c 为任意常数),特 解y=0包含在通解中(即两者统一于一式中)。 *例2.若连续函数f (x )满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ,则f (x )是? 解:对给定的积分方程两边关于x 求导,得: )(2)('x f x f = (变上限求积分求导) 分离变量,解之得:x Ce x f 2)(= 由原方程知: f (0)=ln2, 代入上解析式得: C=ln2, B.可化为分离变量方程的类型。 解决数学题目有一个显而易见的思想:即把遇到的新问题,结合已知

2018常微分方程考研复试真题及答案

常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数,是线性方程还是非线性方程,并说明理由; (1) t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 (2) dx dy =x 2+y 2 ; (3)dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4.验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解,进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程 7.什么是求解常微分方程的初等积分法 8.分离变量一阶方程的特征是什么 9.求下列方程的通解 (1) y ` =sinx (2) x 2 y 2 y ` +1=y (3) tgx dx dy =1+y (4) dx dy =exp(2x-y) (5) dx dy =21y 2- (6) x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx (7)( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11.试给出一阶方程y ` =f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二

个方程的关系。 12.求解齐次方程通常用什么初等变换,新旧函数导数关系如何 13.求解下列方程 dx dy =2 22y x xy - 14.求解下列方程 (1)(x+2y )dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27

常微分方程期末历年考试(B)

广西师范大学漓江学院试卷 课程名称:常微分方程课程序号:开课院系:理学系 任课教师: 年级、专业:07数学考试时间:120分钟 考核方式:闭卷 ■ 开卷 □试卷类型:A 卷□B 卷■ 一、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) (请在每小题地空格中填上正确答案,错填、不填均无分). 1、当_______________时,方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=称为恰当方程. 2、求(,)dy f x y dx =满足00()y x y =地解等价于求积分方程地连续解. 3、函数组t t t e e e 2,,-地朗斯基行列式值为. 4、二阶齐次线性微分方程地两个解)(),(21x y x y 为方程地基本解组充分必要条件是. 5、若矩阵A 具有n 个线性无关地特征向量n v v v ,,,21Λ,它们对应地特征值分别为n λλλΛ,,21,那么常系数线性方程组Ax x ='地一个基解矩阵)(t Φ=. 6、方程tan dy x y dx =地所有常数解是. 7、如果存在常数0L >,使得不等式对于所有12,),(,)x y x y R ∈(都成立,称函数),(y x f 在R 上关于y 满足利普希茨条件,其中L 为利普希茨常数. 8、)()(x Q y x P dx dy += 称为一阶线性方程,它有积分因子 ?-dx x P e )( ,其通解为 _________ . 9、方程22y x dx dy +=定义在矩形域R:-222,2≤≤-≤≤y x 上,则经过点(0,0)地解地存在区间是. 10、若(),()t t Φψ是齐次线性方程组()X A t X '=地基解矩阵,则()t Φ与()t ψ具有关系. 年 级 : 专 业: 装订密封线 考 生 答 题 不 得 出 现 红 色字 迹 , 除 画 图 外 , 不 能 使用 铅笔答 题;答题 留 空 不 足 时 , 可 写到 试卷 背面 ;请 注意 保 持试 卷完 整.

常微分方程试题库.

常微分方程 一、填空题 1 .微分方程(立)n +业—VEX? = 0的阶数是 dx dx 答:1 2 .若M (x, V)和N (x, V)在矩形区域R内是(x, V)的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则 方程M (x,y)dx + N(x, y)dy =0有只与V有关的积分因子的充要条件是 血 f N -1 答:(亏一寸M)= (V) 3. ^为齐次方程. 答:形如dV =g(V)的方程 dx x 4 .如果f (x, V) ___________________________________________ M ,业=f (x, V)存在 dx 唯一的解y = %x),定义丁区问x-x o

8. 若X i (t)(i =1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组,x(t)为非齐次线性方程的一个 特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 答:X =' c i x i - X i 4 9. 若中(X)为毕卡逼近序列虬(X)}的极限,则有|%x)M n(x)W 答:MLh n1 (n 1)! 10. 为黎卡提方程,若它有一个特解y(x),则经过变换 ____________________ ,可化为伯努利方程. 答:形如—=p(x)y2+q(x)y + r (x)的方程y = z + y dx 11. 一个不可延展解的存在区间一定是区间. 答:开 12. ______________________________________________________________ 方程业=后〔满足解的存在唯一性定理条件的区域是_______________________________ . dx ' 答:D ={(x,y)在R2y >0},(或不含x轴的上半平■面) 13 .方程华=x2sin y的所有常数解是. dx 答:y =k二,k =0, —1, —2, 14. 函数组明(x)*2(x),…,气(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗 斯基行列式在区间I上不包等丁零. 答:充分 15. 二阶线性齐次微分方程的两个解y〔(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件 是. 答:线性无关(或:它们的朗斯基行列式不等丁零) 16. 方程广-2y'+y=0的基本解组是 答:e x, xe X 17. 若y =%x)在(s,十8)上连续,则方程d^=

常微分方程应用题和答案

应 用 题(每题10分) 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零,又()f x '存在并对任意,x y 恒有 ()()()f x y f x f y +=,求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =,其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= (1)求()F x 所满足的一阶微分方程; (2)求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?,求()f x 。 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导,()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=,且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ,求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续,5 (1)2 f =,且对所有,(0,)x t ∈+∞,满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??,求()f x 。 6、求连续函数()f x ,使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?,试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=, 其中21 ()01x x x ?? 。试求在(,)-∞∞内的连续函 数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程,且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ,其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ,且线段PQ 被x 轴平分。 (1)求曲线()y f x =的方程; (2)已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ,试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =,使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为

常微分方程习题集

《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程,称为变量分离方程, 这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程,称为伯努利方程, 这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上 关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程,称为 欧拉方程,这里 5、设的某一解,则它的任一解 - 。 二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程 三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ,在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax(A为nn常数矩阵)的标准基解矩阵(即(0)=E),证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2

一、填空题:(30%) 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项,则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解,则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解:(40%) 1、 2、 3、 4、 5、求解方程. 三、求初值问题的解的存在区间,并求第二次近似解,给出在解的存在区间的误差估计. (10分)

四、求解微分方程组 满足初始条件的解. (10%) 五、证明题:(10%) 设,是方程 的解,且满足==0,,这里在上连续,.试证明:存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1.辨别题 指出下列方程的阶数,是否是线性方程:(12%) (1)(2)(3) (4)(5)(6) 2、填空题(8%) (1).方程的所有常数解是___________. (2).若y=y1(x),y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解,则用这两个解可把其通解表示为________________. (3).若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程,同它的通积分是 ________________. (4).设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点,过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) (1).方程是().

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常微分方程试题库试 卷库

常微分方程期终考试试卷(1) 一、 填空题(30%) 1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是( )。有只含y 的积分因子的充要条件是______________。 2、_____________称为黎卡提方程,它有积分因子______________。 3、__________________称为伯努利方程,它有积分因子_________。 4、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解,则它们线性无关的充要条件是__________________________。 5、形如___________________的方程称为欧拉方程。 6、若()t φ和()t ψ都是' ()x A t x =的基解矩阵,则()t φ和()t ψ具有的关系是 _____________________________。 7、当方程的特征根为两个共轭虚根是,则当其实部为_________时,零解是稳定的,对应的奇点称为___________。 二、计算题(60%) 1、 3 ()0ydx x y dy -+= 2、sin cos2x x t t ''+=- 3、若 2114A ?? =?? -??试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t η??ηη??==????并求expAt 4、32( )480 dy dy xy y dx dx -+= 5、求方程2 dy x y dx =+经过(0,0)的第三次近似解 6.求1,5 dx dy x y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性. 三、证明题(10%) 1、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。 试卷答案 一填空题 1、()M N y x x N ???-??= ()M N y x y M ???-??=-

常微分方程练习题及答案(复习题)

常微分方程练习题及答案(复习题)

常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 (线性、非线性)微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______,可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++,则此方程的系数α= ,β= ,γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的,则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 . 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2.求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4.用比较系数法解方程. . 5.求方程 sin y y x '=+的通解. 6.验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程,并求出它的通解.

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