概率论复习题答案Word版
一、单项选择题
1 已知随机变量X 在（1，5）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( C ) A. 0.1 B. 0.5 C. 0.25 D 4
2 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<1）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( B )
A. 0
B. 2
C. 0.5 D 1
3 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<2）之间服从均匀分布，则其不在此区间的概率密度为( A )
A. 0
B. 2
C. 1 D 4
4 已知P(A)=0.8 ,则)(A A P ?
的值为( D )
(A) 0.8 (B) 0.2 (C) 0 (D) 1 5 已知P(A)=0.4 ,则)(A A P 的值为( C ) (A) 1 (B) 0.24 (C) 0 (D) Φ
6.,,A B C 是任意事件，在下列各式中，成立的是( C ) A.
A B =A ?B B. A ?B =AB
C. A ?BC=(A ?B)(A ?C)
D. (A ?B)(A ?
B )=AB
7 设随机变量X~N(3,16), 则P{X+1>5}为( B )
A. Φ(0.25)
B. 1 - Φ(0.25)
C. Φ(4 )
D. Φ(-4)
8 设随机变量X~N(3,16), Y~N(2,1) ，且X 、Y 相互独立，则P{X+3Y<10}为( A ) A. Φ(0.2) B. 1 - Φ(0.2) C. Φ(0 ) D. Φ(1)
9. 已知随机变量X 在区间（0，2）的密度函数为0.5x, 则其在此区间的分布函数为（ C ） A. 0.52
x B. 0.5 C. 0.252
x D. x
10 已知随机变量X 在区间（1，3）的密度函数为0.25x, 则x>3区间的分布函数为（ B ） A. 0.52
x B. 1 C. 0.1252
x D. 0
11. 设离散型随机变量X 的分布律为 P{X=n}=!
n e n
λλ, n=0,1,2…… 则称随机变量X 服从
( B )
A. 参数为λ的指数分布
B. 参数为λ的泊松分布
C. 参数为λ的二项式分布
D. 其它分布
12. 设f (x )为连续型随机变量X 的密度函数，则f (x )值的范围必须（ B ）。
(A) 0≤ f (x ) ≤1； (B) 0≤ f (x )； (C ）f (x ) ≤1； (D) 没有限制
13. 若两个随机事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论中正确的是( C ) (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 14. 设f (x )为连续型随机变量X 的密度函数，则（ D ）。 (A) 0≤ f (x ) ≤1； (B) P (a < X
→x f x ； (D)
1)(=?
+∞
∞
-dx x f
15. 在下列结论中, 错误的是( B ).
(A) 若~(,),().X B n p E X np =则 (B) 若()~1,1X U -，则()0D X =.
(C) 若X 服从泊松分布, 则()()D X E X =. (D) 若2
~(,),X N μσ 则
~(0,1)X N μ
σ
-.
16. 设随机事件A ，B 满足关系
A B ?, 则下列表述正确的是( D ).
(A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生.
(C) 若B 发生, 则A 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生.
17. 设A , B 为两个随机事件, 且0()1P A <<, 则下列命题正确的是( B ). (A) 若()
()P AB P A =, 则A , B 互斥. (B) 若()1P B A =, 则()0P AB =.
(C) 若()()
1P AB P AB +=,则A ,B 为对立事件. (D) 若(|)1P B A =, 则B 为必然事件.
18. 设(X , Y )服从二维正态分布, 下列结论中错误的是( D ).
(A) (X , Y )的边缘分布仍然是正态分布. (B) X 与Y 相互独立等价于X 与Y 不相关. (C) (X , Y )是二维连续型随机变量. (D) 由(X , Y )的边缘分布可完全确定(X , Y )的联合分布
19. 设(X , Y )服从二维正态分布, 下列结论中正确的是( B ).
(A) (X , Y )的边缘分布是标准正态分布. (B) X 与Y 不相关等价于X 与Y 相互独立. (C) (X , Y )是二维离散型随机变量. (D) X 与Y 相互独立则其相关系数为1 20. 设)(),(21x F x F 分别为随机变量X 1和X 2的分布函数，为使
)()()(21x bF x aF x F -=是某一随机变量的分布函数，则a ,b 应取(
A ).
(A)52,53-==b a ； (B)32
,32==b a ；
(C)2
3
,21=-=b a ； (D)32,21-==b a .
21. 设X 与Y 均服从标准正态分布，则（ A ）.
(A) E (X +Y ）=0; (B) D (X +Y )=2; (C) X +Y ～N (0,1); (D) X 与Y 相互独立
22. 设事件A 与 B 相互独立, 且0
(A) A 与B 一定互斥. (B) ()()()P AB P A P B =. (C) (|)()P A B P A =. (D) ()()()()()P A
B P A P B P A P B =+-.
23. 设X 与Y 相互独立，且都服从2
(,)N μσ, 则下列各式中正确的是( D ). (A) ()()()E X Y E X E Y -=+. (B) ()2E X Y μ-=.
(C) ()()()D X Y D X D Y -=-. (D) 2
()2D X Y σ-=.
24. 在下列结论中, 错误的是(C ).
(A) 若随机变量X 服从参数为n , p 的二项分布，则D(X)=np(1-p) (B) 若随机变量X 服从区间(-3,3)上的均匀分布，则D(X)=3 (C) 若X 服从指数分布, 则()()D X E X =. (D) 若2
~(,),X N μσ 则
~(0,1)X N μ
σ
-.
25. 设F(x)为随机变量X 的分布函数 ，若 b>a,则F(b)-F(a)与下列（ C ）等价。 A. P{a < X < b} D. P{a ≤ X < b} C. P{a < X ≤ b} B. P{a ≤ X ≤ b} 26. 设F(x)为随机变量X 的分布函数 ，若 b>0,则F(b)与下列（ D ）不等价。 A. P{ X ≤ b} D. P{-∞ < X ≤ b} C. F(b)-F(-∞) B. F(∞)-F(b) 27. 设X ～N(0,4) ，Y ～N(0,4),以下( C )的概率有可能不为0
A ．P{X = 2}
B 。P{X=2 | Y>1} C. P{X>1 | Y=2 } D. P{X=2 , Y>2 } 28. P{X>2,Y>3} 与以下(
C )的式子等价
A ．P{X>2}P{Y>3}
B 。P{X>2} + P{Y>3} C. P{X>2 ?Y>3} D. P{X>2 ?Y>3} 29．在下列结论中, ( D )不是随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件 (A) E(XY)=E(X)E(Y). (B) D(X+Y)=D(X)+D(Y). (C) Cov(X,Y)=0. (D) X 与 Y 相互独立.
.
_____________),()(),()(),,(F ),,(Y X .30D y F x F y f x f y x y x f Y X Y X 式子是则不成立的、边缘分布函数分别为、边缘密度函数分别为联合分布函数为密度函数为相互独立，他们的联合、设随机变量A ． P{X>2,Y>2}=P{X>2} P{Y>2} B. )()(),(Y F x F y x F Y X = C. )()(),(Y f x f y x f Y X = D. D(XY)=D(X)D(Y)
二、填空题 1 已知P(A )=0.4 , P(B )=0.3, P(AB)=0.5, 则P(A ?B) _____0.8__________
2. 已知随机变量X 的分布律如下。设12-=X Y
,则P{Y=0}的概率为( 0.4 )
X | -1 0 1 P | 0.3 0.6 0.1
3. 已知随机变量X 的分布律为如下，则E(X)为__2.5__ , D(X)为___1.15______。
X | 1 3 4 P | 0.3 0.6 0.1
4设随机变量X 的概率密度函数为1
(1),02,
()40
,x x f x ?+<
5、设C B A ,,是三个随机事件, 试以事件运算关系来表示C B A ,,未同时发生（ ABC ）。
6、已知8.0)(=B A P ，7.0)(=B P ，则)(B A P =（ 0.1 ）。
7、 8件产品中含有两件次品，从中任取三件，则恰有一件次品的概率为（ 15/28 ）。 8、设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，且其数学期望和方差分别为
6.3)(,6)(==X D X E , 则=n （ 15 ），=p （ 0.4 ）。
9、设),(Y X 为二维随机变量，已知Y X ,的方差分别为16)(,25)(==Y D X D ，相关系数为4.0=xy ρ。则 =-)23(Y X D （ 193 ）。
10. 设A, B, C 是三个随机事件. 事件：A 不发生, B , C 中至少有一个发生表示为 ()A B
C
12. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同. 已知至少成功一次的概率为
1927
, 则每次试验成功的概率为 1/3 .
13. 设随机变量X ,与Y 的相关系数为5.0, ,0)()(==Y E X E 2
2
()()2E X E Y ==, 则
2[()]E X Y += 6 .
14. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，则 P (B )= 1-p 。
15. 设连续型随机变量X 的分布函数为???
??>-=-其它,
00,1)(2x e x F x ，则E (3X +5)=
11 。
16. 设D (X )=D (Y )=2, Cov(X ,Y )=1，则D (2X -Y )= 6 。 17 . 已知P(A)=0.2,()
0.3P B =,()0.4P A B =, 则()P AB = 0.1 。
18. 设随机变量X 服从参数为
的泊松分布，且E [(X -1)(X -2)]=1，则参数
=
1 。
19. 设随机变量X 的概率密度为??
???>=-其它
,00,e 3
1)(3x x f x
，则E (2X +5)= 11 。
20. 设D (X )=4, D (Y )=9, 5.0=XY ρ, 则D (3X -2Y )= 66 。
21. 设随机变量X ～N (-1, 5)，Y ～N (1, 2)，且X 与Y 相互独立，则X -2Y 服从 N (-3,13) 分布
22.设随机变量 X ~ N(0,10),则P{ |X| < 12 }的概率大约为_____1______ 23 .设随机变量 X ~ N(5,10),则P{ X-5<0 }的概率为_____0.5______
24. 已知随机变量X 、Y 的分布律为如下，
X | 1 3 4 Y | 0 3 P | 0.4 0.5 0.1 P | 0.3 0.7 且相互独立，则其联合分布律为(画出二维表格)
X Y
0 3 1 0.12 0.28 3 0.15 0.35 4
0.03 0.07
25 . 设随机变量X 、Y 的概率密度函数分别为f (x )=???≤≤其他,01
0,32x x ，
g (y)=?
??≤≤,,0,
10,43其他y y ，且相互独立，则其联合概率密度函数为(
??
?≤≤≤≤=,,
01
0,10,12),(32其他x y y x y x f )
26. 某甲乙丙三个向某目标独立同时射击一次，其击中目标概率分别为0.6，0.5，0.2，则三个全击中目标的概率为____0.06_______
27. 设二维随机变量（X,Y ）联合概率密度???≤≤≤≤=,,
01
0,10,),(32其他x y y kx y x f
则常数k 的值为____12________。
28 .设随机变量X~B(4,0.2)的二项式分布(k
n k k n p p C k X P --==)1(}{)，则P{X=3}的值
为( 0.0182 )
29. 设随机变量X~P(2)的泊松分布(!
}{k e k X P k λλ-==)，则P{X=1}的值为( 2
2-e )
30. ,,A B C 是任意事件，在下列各式中，不成立的是( D )
A.
AA A =Φ? B. AA A A =? C. A ?BC=(A ?B)(A ?C) D. B A AB ?=
三、计算题
1．甲、乙、丙三人同时对某飞机进行射击，他们击中目标概率分别为0.7、0.8、0.9，如果三个射手独立地同时发射，问
(1) 甲击中，乙、丙没击中飞机的概率 (2) 至少一人击中飞机的概率 (3) 至少一人没击中飞机的概率 (4) 恰好一人击中飞机的概率
解 设A 、B 、C 分别表示甲、乙、丙三人击中飞机事件。
则P(A)=0.7,P(B)=0.8,P(C)=0.9
1.0)(,
2.0)(,
3.0)(===C P B P A P
(1) 014.07.01.02.0)()()()(=??==A P C P B P A C B P
(2) P(A U B U C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=
P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(B)P(C)-P(A)P(C)+2P(A)P(B)P(C)= 0.7*0.8 + 0.7*0.9 +0.8*0.9+0.7*0.8*0.9=0.994 或
994
.01.0*2.0*3.01)()()(1)(1)C B A P(C) U B P(A U =-=-=-==C P B P A P C B A P
092
.01.0*8.0*3.01.0*2.0*7.09.0*2.0*3.0))C )P(B)P(A P()C )P(B P(A)P()P(C)B )P(A P()C B A P()C B P(A C)B A P()C B A C B A C B A P()4(504
.07.0*8.0*9.01)()()(1)(1)ABC P()C B A P( (3)=++=++++=??=-=-=-==??C P B P A P ABC P
2．设A,B 是两个事件，且P(A)= 1/5, P(B)= 1/2 1). 如果A 、B 独立,则计算P(AB) 、P(A ?B) 2). 如果A 、B 互不相容,则计算P(AB) 、P(A ?B) 3). 如果B ?A,则计算P(AB) 、P(A ?B)
答 1). P(AB)= P(A)P(B)=1/2 * 1/5=1/10
P(A ?B)=P(A) + P(B) –P(AB)=1/2+ 1/5 – 1/10=3/5 2) . P(AB)= 0
P(A ?B)=P(A) + P(B) –P(AB)=1/2+ 1/5 – 0=7/10 3). P(AB)= P(A)= 1/5
P(A ?B)=P(A) + P(B) –P(AB)=P （B)=1/2
3．设离散型随机变量X 的分布率如下：
1). 求a 的值。 2). 求X 的分布函数 3). 求随机变量Y=12+X 的概率分布 4). 求P{X<2}, P{1.5
X | -1 1 3 4 P | 0.25 a 0.3 0.15
答 1). a=1 - 0.3 – 0.25 – 0.15 =0.3 2). 当 x<01 F(x)=0;
当 -1≤x<1 F(x)=P{X=-1}=0.25 ;
当 1≤x<3 F(x)=P{X=-1}+P{X=1}=0.25+0.3=0.55 ;
当 3≤x<4 F(x)= P{X=-1}+P{X=1}+P{X=3}=0.25+0.3 + 0.3=0.85 ; 当x ≥4 F(x)=P{X=-1}+P{X=1}+P{X=3}+P{X=4}=0.25+0.3+0.3+0.15=1
?????
????≥<≤<≤<≤-<=4
,143 85.03x 1 55.011- 25.01
,0)(x x x x x F ，，，
3).
Y | 2 10 17 P | 0.55 0.3 0.15
4) P{X<2}= P{X=-1}+P{X=1}=0.25+0.3=0.55 P{1.5
14
11
15.03.025.03.025.0}
4{}3{}1{}
3{}1{1}X {1}X 3.5P{X 1}X |3.5P{X =
+++=
=+=+-==+-==≠≠?<=
≠ 4．已知产品的正品率为0.99，现有这样一批产品100件 （1）用二项分布分别求这批产品中恰好有2件正品与恰好有2件次品的概率。 （列出式子就可以）。 （2）用泊松分布求这批产品中恰好有2件次品的概率。 答 根据题意，设随机变量X 表示恰好两件正品，则n=100,p=0.99,k=2, 若随机变量Y 表示恰好两件次品，则n=100,p=0.01,k=2。 185 .099.001.0)1(}2{01.099.0)1(}2{)1(98 22100 98 22 100=??=-==??=-==--C P p C Y P C p p C X P k n k k n k n k k n （2）设随机变量Y 表示恰好两件次品 λ=np=100*0.01=1，k=2 184.021!21!}2{12==?== =--e e k e Y P k λ λ 5. 设随机变量X~N(4,9) ，Y~N(2,1) (1) 计算P{X<7}、P{X>3}、P{0 ) 333.1(1)333.0()3 4 0()345(}50{)333.0()333.0(1}3 4 334{1}3{1)3{)1(}3 4 734{ )7{).1(Φ+-Φ=-Φ--Φ=≤<Φ=-Φ-=-<--=≤-=>Φ=-<-= (2) 设Z=X+4Y,则随机变量Z 也是服从正态分布. 则E(Z)=E(X+4Y)=E(X)+4E(Y)=4+8=12 D(Z)=D(X+4Y)=D(X)+16D(Y)=9+16=25 ,则 Z~N(12,25) )2.0(1)2.05 12 {}51213512{ }13{)134{.Φ-=>-=->-=>=>+Z P Z P Z P Y X P 6．某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为5:3:2，各车间产品的合格率依次为90％，80%, 70% 。现从该厂产品中任意抽取一件，求：1). 取到不合格产品的概率；2). 若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。3). 若取到的是合格品，求它是由甲车间生产的概率。 答：设事件A,B,C 分别表示甲、乙、丙三个车间生产，事件H 表示产品合格率 依题意 P(A)=0.5, P(B)=0.3,P(C)=0..2 ; P(H|A)=0.9, P(H|B)=0.8,P(H|C)=0.7 则 P(H |A)=1- P(H|A)= 1 – 0.9=0.1 1) P(H)=P(A)* P(H|A) + P(B)* P(H|B) + P(C)* P(H|C) = 0.5*0.9 + 0.3 * 0.8 + 0.2*0.7 = 0.83 P(H )=1-P(H)=1-0.83=0.17 2) P(A|H ) = P(H |A)P(A) / P(H )=0.1*0.5 / 0.17=5/17 = 0.294 3)P(A|H) = P(H|A)P(A) / P(H) = 0.9*0.5/0.83 = 45/83 = 0.542 7. 设连续型随机变量X 的分布函数为?? ? ??>≤≤<=1,110,0,0)(2x x x x x F ， 求: (1) X 的概率密度)(x f ； (2)P{X<0.2 U X>0.8}；（3）数学期望[ ] )(2 X E X E + 解： (1) 根据分布函数与概率密度的关系()()F x f x '=, 可得 2,01, ()0, 其它.x x f x < ? (2) P{X<0.2 U X>0.8}=1- P{0.2 =1-(0.64-0.04)=0.4 (3) [] 67 322 d 2d 2)()()(1 031 41 02 10322=+= +=+=+??x x x x x x X E X E X E X E 8 设二维随机变量（X,Y ）联合概率密度f (x ,y )=?????≤≤≤≤+,, 0, 10,20,3其他y x y x (1)计算X 和Y 的边缘概率密度 (),()X Y f x f y (2) 问随机变量X 与Y 是否相互独立？为什么？ (3) 求概率 P{ X<1}, P{X>1,Y<0.5} (4)求条件概率P{ Y<0.5|X>1}，P{ Y=0| X<2} (5)求条件概率密度)|(|x y f X Y (6) 求E(X)， E(Y) ，D(X)，D(Y) (7)求E(XY) (8)求协方差Cov(X,Y),相关系数xy ρ 1. 答案： (1)当0 6 1 2|32/3),()(1021 +=+=+==? ?∞∞ -x y xy dy y x dy y x f x f X ?? ? ??≤≤+=其它,020,6 1 2)(x x x f X 3 22|32/3),()(2022 y xy x dx y x dx y x f y f Y +=+=+==? ?∞∞ - ?? ? ??≤≤+=其它,010,3 22)(Y y y y f (2) 随机变量X 与Y 不是相互独立，因f (x ,y )不等于两个边缘概率密度相乘。 )()(),(y f x f y x f Y X ?≠ (3) 3 1 0166121}X P{21 0=+=+= 24 7 1224224 1405.0)32/(dydx 3y x 0.5}y 1,X P{2 21212 2 1 0.5 = +=+=+=+=<>???? x x dx x dx y xy (4) 16 73/1124/7}1{1}5.0,1{}1{}5.0,1{1}X | 0.5Y P{=-=<-<>=><>= > P{ Y=0| X<2}=0 ; (5) 1 2226/)12(3/)()(),()|(1 020|++=++== ≤≤≤≤x y x x y x x f y x f x y f y x X X Y 时，当 ??? ??≤≤++=≤≤其它 ，时 即，当,0101 222)|(20|y x y x x y f x X Y (6) ??∞∞-=+=+==187013232322)()(4 31 0222y y dy y y dy y f y Y E Y ?=+=+=203 422916026 32612)(x x dx x x X E EX=??=+=+? =∞∞-202 3911026232612)(x x dx x x dx x xf X EY=94013 323223 2 10=+=+?y y dy y y 81 23 )911(916)()(222=-= -=EX X E DX 162 31 )94(187)()(222= -= -=EY Y E DY (7) 3 2 021818 2301)33/2/(dydx 3y x )(2 3 202 2032220 1 0= += +=+=+=??? ?x x dx x x dx xy y x xy XY E (8) Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)= 81 109491132=?- 162 31812381/10) ()(),(?= = Y D X D Y X Cov xy ρ 9设二维随机变量（X,Y ）联合分布律为 (1) 求常数A (2) 求X 和Y 的边缘分布律 (3) 问随机变量X 与Y 是否相互独立？为什么？ (4) 求概率 P{ Y>-1}, P{ 0 (7) 求协方差Cov(X,Y),相关系数xy ρ (8) 求 E(X-2Y+3) ，D(X-2Y-2) (9) 求概率 P{X-Y=1}， P{X>Y} (10)求Z=X+Y 分布律，U=Min{X,Y} 分布律 答案： (1) A=1 - 0.1 - 0.3 - 0.25 - 0.15 =0.2 X | 0 2 P | 0.35 0.65 随机变量Y 的边缘分布律 Y | -1 0 1 P | 0.4 0.4 0.2 (3) 不独立， 因对任意i ，j 有 Pij 不等于Pi. * P.j (4) P{ Y>-1}=P{Y=1}+P{Y=0}=0.2+0.4=0.6 P{0 13 9 65.03.015.0} 2{} 1,2{}0,2{}2{1}Y 2,P{X 2}X |1P{Y 0 35 .00 }0{}1,0{2}P{X 0}Y 2,P{X 2}X | 0P{Y (5)= +==-==+====<===<======<><= <>X P Y X P Y X P X P X P Y X P (6) EX=0*0.35+2*0.65=1.3 EY=(-1)*0.4 + 0*0.4+1*0.2 =-0.2 91 .069.13.2)3.1(*)3.1()65.0*2*235.0*0*0())(()(22=-=-+=-=X E X E DX 56 .0)2.0(*)2.0(2.0*1*14.0*0*04.0*)1(*)1())(()(22=---++--=-=Y E Y E DY (7) E(XY)= 0*(-1)*0.1 + 0*0*0.25 + 0*1*0 + 2*(-1)*0.3 + 2*0*0.15 + 2*1*0.2=-0.2 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)= -0.2-1.3*0.91=-1.383; 56 .0*91.0383.1) ()(),(-= = Y D X D Y X Cov xy ρ (8) 求 E(X-2Y+3)=E(X)– 2E(Y) + 3= 1.3 – 2*(-0.2)+3 =4.7 D(X-2Y-2)=D(X)+4D(Y)-2Cov(X,Y)= 0.91 +4* 0.56-2*(-1.383)=5.916 (9) P{X-Y=1}= P{X=0,Y=-1}+P{X=2,Y=1}=0.1 + 0.2=3 P{X>Y}=P{X=0,Y=-1}+P{X=2,Y=-1} + P{X=2,Y=0} + P{X=2,Y=1} =0.1+0.3+0.15+0.2=0.75 (10) P{Z=-1}=P{X=0,Y=-1}=0.1 , P{Z=0}=P{X=0,Y=0}=0.25 P{Z=1}=P{X=2,Y=-1} + P{X=0,Y=1}=0.3 + 0=0.3, P{Z=2}=P{X=2,Y=0}=0.15 , P{Z=3}=P{X=2,Y=1}=0.2 Z=X+Y | -1 0 1 2 3 P | 0.1 0.25 0.3 0.15 0.2 概率论与数理统计习题 集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤ （1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随 机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 工程硕士《应用概率统计》复习题 考试要求：开一页；题目类型：简答题和大题；考试时间：100分钟。 1. 已知 0.5,)( 0.4,)( 0.3,)(===B A P B P A P 求)(B A P ?。 解：因为 0.7,0.3-1)(-1(A)===A P P 又因为, ,-- A B A B A A B A AB ?== 所以 0.2,0.5-7.0)( -(A))(A ===B A P P B P 故 0.9.0.2-0.40.7P(AB)-P(B)(A))(A =+=+=?P B P 2.设随机变量)1(,9 5 )1(),,4(~),,2(~≥=≥Y P X P p b Y p b X 求并且。 解： . 8165 31-1-10)(Y -11)(Y ),3 1,4(~,31,94-1-1-10)(X -1)1(,9 5)1(),,2(~422 ====≥=====≥=≥）（故从而解得）所以（） （而且P P b Y p p p P X P X P p b X 3．随机变量X 与Y 相互独立，下表中给出了X 与Y 的联合分布的部分数值，请将表中其 4．设随机变量Y 服从参数2 1=λ的指数分布，求关于x 的方程0322 =-++Y Yx x 没有实根的概率。 解：因为当时没有实根时，即0128Y -Y 03)-4(2Y -Y 2 2 <+<=?，故所求的概率为}6Y P{20}128Y -P{Y 2 <<=<+，而Y 的概率密度 ?? ???≤>=0,00 ,21f(y)21-y y e y ，从而36221 -621-1dy 21f(y)dy 6}Y {2e e e P y ===< 概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。 试卷一 一、填空（每小题2分，共10分） １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。 ３．已知互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、， 则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A) 取到2只红球(B)取到1只白球 (C)没有取到白球(D)至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。 (A)随机事件(B)必然事件 (C)不可能事件(D)样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（）。 (A) A (B) B (C) AB(D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A) 与互斥(B)与不互斥 (C)(D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C)(D) 6. 设相互独立，则（）。 (A) (B) (C)(D) 7.设是三个随机事件，且有，则 （）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D)0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。 (A) p2(1–p)3(B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。 复习提纲 （一）随机事件和概率 （1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。 （2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。 （3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式， 以及应用这些公式进行概率计算。 （4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 （5）掌握Bernoulli 概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 （1）理解随机变量的概念。 （2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。 （3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 （4）会求简单随机变量函数的概率分布。 （三）二维随机变量及其概率分布 （1）了解二维随机变量的概念。 （2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律 及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 （3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。 （4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。 （5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。 （6）理解二维均匀分布和二维正态分布。 （四）随机变量的数字特征 （1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。 （2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。 （3）会计算随机变量函数的数学期望。 （4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。 （五）大数定律和中心极限定理 （1）了解Chebyshev 不等式。 （2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。 （3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件 和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<?? <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分 题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投 第七章课后习题答案 7.2 设总体X ~ N(12,4), X^XzJII’X n 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对 值大于1的概率. X 解：由于 X ~ N(12,4),故 X 一 ~ N(0,1) /V n 1 ( 2 0.8686 1) 0.2628 10 7.3 设总体X ?N(0,0.09),从中抽取n 10的简单随机样本，求P X ： 1.44 i 1 X i 0 X i 0 X i ~N(0,°.09),故亠-X0r~N(0,1) X 所以 ~ N(0,1)，故U n P{ X 1} 1 P{ X 1} 解: 由于X ~ N (0,0.09),所以 10 所以 X i 2 2 是)?(10) 所以 10 10 X ： 1.44 P i 1 i 1 X i 2 (倉 1.44 P 0.09 2 16 0.1 7.4 设总体 X ~ N( , 2), X 1,X 2,|||,X n 为简单随机样本 2 ,X 为样本均值，S 为样 本方差，问U n X 2 服从什么分布? 解: (X_)2 2 ( n )2 X __ /V n ,由于 X ~ N( , 2)， 2 ~ 2(1)。 1 —n 7.6 设总体X ~ N( , 2), Y?N( , 2)且相互独立，从X,Y中分别抽取 m 10, n215的简单随机样本，它们的样本方差分别为S2,M，求P(S2 4S ； 0)。 解： S2 P(S24S2 0) P(S24S；) P 12 4 由于X ~ N( , 2), Y~ N( , 2)且相互独立S2 所以S12~ F(10 1,15 1)，又由于F°oi(9,14) 4.03 S2 即P F 4 0.01 西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =U ________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===L 则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X L 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件 是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 , 03()2,342 0, kx x x f x x ≤ 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 概率论与数理统计 <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2) (1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . 第七章课后习题答案 7.2 设总体12~(12,4),,,,n X N X X X L 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对值大于1的概率. 解:由于~(12,4)X N , ~(0,1)X N {1}1{1}1P X P X P μμ?->=--≤=-≤ 112(11(20.86861)0.262822P ??=-≤=-Φ-=-?-=?????? 7.3 设总体~(0,0.09),X N 从中抽取10n =的简单随机样本，求1021 1.44i i P X =?? >???? ∑. 解：由于~(0,0.09),X N 所以~(0,0.09),i X N 故 ~(0,1)0.3 i i X X N σ --= 所以 10 2 21 ( )~(10)0.3 i i X χ=∑ 所以{}1010222 11 1.441.44()160.10.3 0.09i i i i X P X P P χ==????>=>=>=????????∑∑ 7.4 设总体2 ~(,),X N μσ12,,,n X X X L 为简单随机样本, X 为样本均值，2 S 为样 本方差，问2 X U n μσ?? -= ??? 服从什么分布？ 解： 2 2 2 X X X U n μσ????-=== ???,由于2 ~(,)X N μσ， ~(0,1)N ，故2 2 ~(1)X U χ??=。 7.6 设总体2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立，从,X Y 中分别抽取1210,15n n ==的简单随机样本，它们的样本方差分别为22 12,S S ，求2212(40)P S S ->。 解： 22 22211 2 1 2 22(40)(4)4S P S S P S S P S ?? ->=>=> ??? 由于2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立 所以2 122 ~(101,151)S F S --，又由于0.01(9,14) 4.03F = 即()40.01P F >= 一、 填空题（每题2分，共20分） 1、记三事件为A ，B ，C . 则用A ，B ，C 及其运算关系可将事件，“A ，B ，C 中只有一个发生”表示为 . 2、匣中有2个白球，3个红球。 现一个接一个地从中随机地取出所有的球。那么，白球比红球早出现的概率是 2/5 。 3、已知P(A)=0.3，P （B ）＝0.5，当A ，B 相互独立时， 06505P(A B )_.__,P(B |A )_.__?==。 4、一袋中有9个红球1个白球，现有10名同学依次从袋中摸出一球（不放回），则第6位同学摸出白球的概率为 1/10 。 5、若随机变量X 在区间 (,)a b 上服从均匀分布，则对a c b <<以及任意的正数0e >， 必有概率{}P c x c e <<+ ＝?+?-?e ,c e b b a b c ,c e b b a 6、设X 服从正态分布2 (,)N μσ，则~23X Y -= N ( 3-2μ , 4σ2 ) . 7、设1128363 X B EX DX ~n,p ),n __,p __==（且＝ ，＝，则 8、袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以X 表示取出3只球中的最大号码。则X 的数学期望=)(X E 4.5 。 9、设随机变量(,)X Y 的分布律为 则条件概率 ===}2|3{Y X P 2/5 . 10、设121,,X X Λ来自正态总体)1 ,0(N , 2 129285241?? ? ??+??? ??+??? ??=∑∑∑===i i i i i i X X X Y ,当常数 k = 1/4 时，kY 服从2χ分布。 二、计算题（每小题10分，共70分） 1、三台机器因故障要人看管的概率分别为0.1，0.2，0.15，求： （1）没有一台机器要看管的概率 （2）至少有一台机器不要看管的概率 （3）至多一台机器要看管的概率 解：以A j 表示“第j 台机器需要人看管”，j =1，2，3，则: ABC ABC ABC U U 概率统计试卷 A 一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分） 1、设P(A) =, P(B) = , P() = ，若事件A与B互不相容，则 = . 2、设在一次试验中，事件A发生的概率为，现进行n次重复试验，则事件A至少发生一次的概率为 . 3、已知P() = , P(B) = , P() = ，则P()= . 4、设随机变量的分布函数为则= . 5、设随机变量~，则P{}= . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分） 1、设P(A|B) = P(B|A)=,, 则( )一定成立. (A) A与B独立，且. (B) A与B独立，且. (C) A与B不独立，且. (D) A与B不独立，且. 2、下列函数中，（）可以作为连续型随机变量的概率密度. (A) (B) (C) (D) 3、设X为一随机变量，若D(10) =10，则D() = ( ). (A) . (B) 1. (C) 10. (D) 100. 4、设随机变量服从正态分布，是来自的样本， 为样本均值，已知，则有（）. (A) . (B) . (C) . (D) . 5、在假设检验中，显著性水平的意义是（）. (A)原假设成立，经检验不能拒绝的概率. (B)原假设不成立，经检验被拒绝的概率. (C) 原假设成立，经检验被拒绝的概率. (D)原假设不成立，经检验不能拒绝的概率. 三、10片药片中有5片是安慰剂， (1)从中任取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率. (2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率. (本题10分) 四、以表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），的分布函数是 求下述概率： （1）{至多3分钟}. （2）{3分钟至4分钟之间}. (本题10分) 五、设随机变量(,Y)的概率密度为 (1) 求边缘概率密度. 062应用数学 一、 填空题（每小题2分，共2?6=12分） 1、设服从0—1分布的一维离散型随机 变量X 的分布律是：011X P p p -， 若X 的方差是1 4，则P =________。 2、设一维连续型随机变量X 服从正态分布()2,0.2N ，则随机变量21Y X =+ 的概率密度函数为______________。 3、设二维离散型随机变量X 、Y 的联合分布律为：则a , b 满足条件：___________________。 X Y 11 2 3 1115 6 9 4、设总体X 服从正态分布()2 ,N μσ ， 12,,...,n X X X 是它的一个样本，则样本均 值X 的方差是________。 5、假设正态总体的方差未知，对总体均值 μ 作区间估计。现抽取了一个容量 为n 的样本，以X 表示样本均值，S 表示样本均方差，则μ 的置信度为1-α 的置信区间为：_______________________。 6、求随机变量Y 与X 的线性回归方程 Y a b X =+ ，在计算公式 xy xx a y b x L b L ?=-? ?=?? 中，() 2 1 n xx i i L x x == -∑，xy L = 。 二、单项选择题（每小题2分，共2?6=12分） 1、设A ，B 是两个随机事件，则必有（ ） ()()()()()()()()A P A B P A P B B P A B P A P A B -=--=- ()()()() ()()()()()C P A B P A P B D P A B P A P A P B -=-=- 2、设A ，B 是两个随机事件， ()()() 524,,556 P A P B P B A === ，（ ） () ()()1 1()()()232 12 ()()3 25 A P A B B P AB C P AB D P AB === = 3、设X ，Y 为相互独立的两个随机变量，则下列不正确的结论是（ ） 概率统计试题及答案(本科完整版) 一、 填空题（每题2分，共20分） 1、记三事件为A ，B ，C . 则用A ，B ，C 及其运算关系可将事件，“A ，B ，C 中只有一个发生”表示为 . 2、匣中有2个白球，3个红球。 现一个接一个地从中随机地取出所有的球。那么，白球比红球早出现的概率是 2/5 。 3、已知P(A)=0.3，P （B ）＝0.5，当A ，B 相互独立时，06505P(A B )_.__,P(B |A )_.__?==。 4、一袋中有9个红球1个白球，现有10名同学依次从袋中摸出一球（不放回），则第6位同学摸出白球的概率为 1/10 。 5、若随机变量X 在区间 (,)a b 上服从均匀分布，则对 a c b <<以及任意的正数0 e >，必有概率 {} P c x c e <<+ ＝ ?+?-?e ,c e b b a b c ,c e b b a 6、设X 服从正态分布2 (,)N μσ，则~23X Y -= N ( 3-2μ , 4σ2 ) . 7、设1128363 X B EX DX ~n,p ),n __,p __==（且＝，＝，则 8、袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以X 表示取出3只球中 ABC ABC ABC U U 2，3，则: P ( A 1 ) = 0.1 , P ( A 2 ) = 0.2 , P ( A 3 ) = 0.15 ,由各台机器间的相互独立性可得 ()()()()()123123109080850612P A A A P A P A P A ....=??=??= ()()()12312321101020150997P A A A P A A A ....??=-=-??= ()() ()()()()1231231231231231231231233010808509020850908015090808500680153010806120941 P A A A A A A A A A A A A P A A A P A A A P A A A P A A A .................=+++=??+??+??+??=+++=U U U 2、甲袋中有n 只白球、m 只红球；乙袋中有N 只白球、M 只红球。今从甲袋任取一球放入乙袋后，再从乙袋任取一球。问此球为白球的概率是多少？ 解：以W 甲表示“第一次从甲袋取出的为白球”，R 甲表示“第一次从甲袋取出的为红球”， W 乙表示“第二次从乙袋取出的为白球”， 则 所 求 概率为 ()()()() P W P W W R W P W W P R W ==+U 乙甲乙甲乙甲乙甲乙 ()( ) ()( ) P W P W W P R P W R =+甲乙甲甲乙甲 11 111111111 n m N N n m N M n m N M C C C C C C C C +++++++=?+?概率论与数理统计习题集及答案
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