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高二数学(下)复习讲义(1) 2003

高二数学（下）复习讲义（1）

线面角与面面角

一．知识与方法要点：

1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。

2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。

3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

二．例题

例1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为C 1D 1中点．

(1)求证：AC 1⊥平面A 1BD ．

(2)求BM 与平面A 1BD 成的角的正切值．

解： (1)连AC ，

∵C 1C ⊥平面ABCD ， ∴C 1C ⊥BD ．

又AC ⊥BD ， ∴AC 1⊥BD ．

同理AC 1⊥A 1B

∵A 1B∩BD=B．∴AC 1⊥平面A 1BD ．

(2)设正方体的棱长为a ，连AD 1，AD 1交A 1D 于E ，连结ME ，在△D 1AC 1中，ME ∥AC 1，

∵AC 1⊥平面A 1BD ．∴ME ⊥平面A 1BD ．

连结BE ，则∠MBE 为BM 与平面A 1BD 成的角．在Rt MEB ?中，1322

AC ME a ==， 2

22626BE a a a ??=+= ? ???，∴2tan 2ME MBE BE ∠==。

例2．如图，把等腰直角三角形ABC 以斜边AB 为轴旋转，使C

点移动的距离等于AC 时停止，并记为点P ．

（1）求证：面ABP ⊥面ABC ；

（2）求二面角C-BP-A 的余弦值．

证明（1）由题设知AP ＝CP ＝BP ．

∴点P 在面ABC 的射影D 应是△ABC 的外心，

即D ∈AB ．∵PD ⊥AB ，PD ?面ABP ，

由面面垂直的判定定理知，面ABP ⊥面ABC ．

（2）解法1 取PB 中点E ，连结CE 、DE 、CD ．

∵△BCP 为正三角形，∴CE ⊥BD ．

△BOD 为等腰直角三角形，∴DE ⊥PB ．∴∠CED 为二面角C-BP-A 的平面角．

又由（1）知，面ABP ⊥面ABC ，DC ⊥AB ，AB ＝面ABP ∩面ABC ，

由面面垂直性质定理，得DC ⊥面ABP ．∴DC ⊥DE ．因此△CDE 为直角三角形．

设1BC =，则32CE =，12DE =，1

32cos 33

DE CED CE ∠===。

例3．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，1E BB ∈，截面1A EC ⊥侧面1AC ．

(1)求证：1BE EB =；

(2)若111AA A B =，求平面1A EC 与平面111A B C

所成二面角(锐角)的度数．

证明：在截面A1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足，如图，

∵面A 1EC ⊥面AC 1，∴EG ⊥侧面AC 1．

取AC 的中点F ，分别连结BF 和FC ，由AB ＝BC 得BF ⊥AC ．

∵面ABC ⊥侧面AC 1，∴BF ⊥侧面AC 1，

得BF ∥EG ．BF 和EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG ．

∵BE ∥侧面AC 1，∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是

，BE ＝FG ．

∴BE ∥AA 1，∴FG ∥AA 1，△AA 1C ∽△FGC ．

解：(2)分别延长CE 和C1B1交于点D ，连结A 1D ．

∵∠B 1A 1C 1＝∠B 1C 1A 1＝60°

∴∠DA 1C 1＝∠DA 1B 1＋∠B 1A 1C 1＝90°，即 DA 1⊥A 1C 1．

∵CC 1⊥面A 1C 1B 1，

由三垂线定理得DA 1⊥A 1C ，所以∠CA 1C 1是所求二面角的平面角．且∠A 1C 1C ＝90°． ∵CC 1＝AA 1＝A 1B 1＝A 1C 1，

∴∠CA 1C 1＝45°，即所求二面角为45°．

说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法．

三、作业：班级姓名

1．已知平面α的一条斜线a 与平面α成θ角，直线b ?α，且a,b 异面，则a 与b 所成的角为

（ A ）

A 、有最小值θ，有最大值2

π。 B 、无最小值，有最大值2π。 C 、有最小值θ，无最大值。 D 、有最小值θ，有最大值π-θ。

2．下列命题中正确的是（ D ）

A ．过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个

B ．过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个

C ．过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条

D ．过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个

3．一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为 45°和30°，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是（ A ）

A ．30

B ．20

C ．15

D ．12

4．设正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成的角是

（ C ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°

5．正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为arctan 22，则它的侧棱与底面所成的角为2

6．A 是△BCD 所在平面外的点，∠BAC=∠CAB=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2. （Ⅰ）求证：AB ⊥CD ；（Ⅱ）求AB 与平面BCD 所成角的余弦值.

7．正四面体ABCD 中，E 是AD 边的中点，求：CE 与底面BCD 所成角的正弦值．

解过A ，E 分别作AH ⊥面BCD ，EO ⊥面BCD ，H ，O 为垂足，

∴AH 2OE ，AH ，OE 确定平面AHD ，连结OC ，

∠ECO 即为所求．∵AB=AC=AD ，∴HB=HC=HD

∵△BCD 是正三角形，∴H 是△BCD 的中心，

连结DH 并延长交BC 于F ，F 为BC 的中点，

22333323

D H D F a a ==?=，在Rt △ADH 中，

8．在四面体ABCD 中，DA ⊥面ABC ，∠ABC ＝90°，AE ⊥CD ，AF ⊥DB ．

求证：（1）EF ⊥DC ；（2）平面DBC ⊥平面AEF ．

证明如图1-83．（1）∵AD⊥面ABC．∴AD⊥BC．又∵∠ABC＝90°．∴BC⊥AB．∴BC⊥面DAB．∴DB是DC在面ABD内的射影．∵AF⊥DB．∴AF⊥CD（三垂线定理）．∵AE⊥CD．∴CD⊥平面AEF．∴CD⊥EF．

（2）∵CD⊥AE，CD⊥EF．∴CD⊥面AEF．∵CD面BCD．∴面AEF⊥面BCD．

（3）由EF⊥CD，AE⊥CD ∴ AEF为二面角B-DC-A的平面

又∵AF⊥DB，AF⊥CD，BD∩CD＝D ∴AF⊥平面DBC，

新人教版高二数学下学期期中考试试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数 =（） A．B．C．D． 2. 下列有关命题的说法正确的是（） A．命题“若 =1,则x=1的否命题为” 若“ =1,则x 1 ” B．若为真命题，则，均为真命题 C．命题“ 使得+x+1 ”的否定是：“ 均有+x+1 ” D．命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题 3. 曲线在点处的切线方程是( ) A. B．C．D． 4. 下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是( ) A. B. C. D. 5. 已知抛物线的准线与圆相切，则的值为( ) A． B．1 C．2 D．4 6. 设是函数的导函数, 的图象如右图所示，则的图象最有可能的是( ) 7. 执行下面的程序框图，输出的S 值为（） A． B． C． D ． 8. 右侧茎叶图表示的是甲、乙两人在5次

综合测评中的成绩，其中一个数字被污损. 则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（） A．B． C． D． 9. 若，则的单调递增区间为（） A．B．C．D． 10.椭圆的两顶点为，且左焦点为，是以角为直角的直角三角形，则椭圆的离心率为（） A. B． C. D． 11. 已知R上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（） A．B． C． D． 12. 已知点是椭圆上的动点，为椭圆的两个焦点，是坐标原点，若是的角平分线上一点，且，则的取值范围是（） A．B．C． D．第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所学校. 14. 以F1（-3，0）、F2（3，0）为焦点，渐近线方程为的双曲线的标准方程是 __________________; 15. 已知函数在处的切线与直线平行，则 =_____； 16. 已知函数在区间上恰有一个极值点，则实数的取值范围是__________________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）设互为共轭复数，满足，且在复平面内对应的点在第一象限，求 . 18.（本小题满分12分）直线过抛物线的焦点F，是与抛物线的交点，若 , 求直线的方程. 19 .（本小题满分12分）已知p：，q：x2－2x＋1－m2 0(m>0)，若 p是 q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围． 20.（本小题满分12分）有两枚大小相同、质地均匀的正四面体玩具，每个玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，5. 同时投掷这两枚玩具一次，记为两个朝上的面上的数字之和. （1）求事件“m不小于6”的概率；（2）“m为奇数”的概率和“m为偶数”的概率是不是相等？证明你作出的结论.

高二数学下册期末测试题答案及解析

2019年高二数学下册期末测试题答案及解析 2019年高二数学下册期末测试题答案及解析【】多了解一些考试资讯信息，对于学生和家长来讲非常重要，查字典数学网为大家整理了2019年高二数学下册期末测试题答案及解析一文，希望对大家有帮助。一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，合计50分) 1、若，其中、，是虚数单位，则( ) A、-4 B、4 C、0 D、数值不定试题原创命题意图：基础题。考核复数相等这一重要概念答案：A 2、函数，则( ) A、B、3 C、1 D、试题原创命题意图：基础题。考核常数的导数为零。答案：C 3、某校高二年级文科共303名学生，为了调查情况，学校决定随机抽取50人参加抽测，采取先简单随机抽样去掉3人然后系统抽样抽取出50人的方式进行。则在此抽样方式下，某学生甲被抽中的概率为( ) A、B、C、D、

试题原创命题意图：基础题。本题属于1-2第一章的相关内容，为了形成体系。等概率性是抽样的根本。答案：D 4、下列函数中，导函数是奇函数的是( ) A、B、C、D、试题原创命题意图：基础题。考核求导公式的记忆答案：A 5、若可导函数f(x)图像过原点，且满足，则=( ) A、-2 B、-1 C、1 D、2 试题原创命题意图：基础题。考核对导数的概念理解。答案：B 6、下列说法正确的有( )个 ①、在对分类变量X和Y进行独立性检验时，随机变量的观测值越大，则X与Y相关可信程度越小; ②、进行回归分析过程中，可以通过对残差的分析，发现原始数据中的可疑数据，以便及时纠正; ③、线性回归方程由n组观察值计算而得，且其图像一定经过数据中心点; ④、若相关指数越大，则残差平方和越小。

高二下学期数学期末考试试卷(理科)

高二下学期数学期末考试试卷(理科) (时间：120分钟，分值：150分) 一、单选题?每小题分，共 ?分? ．平面内有两个定点? ?－ ???和? ?????，动点满足 ? － ? ＝，则动点的轨迹方程是?? ??? ?－? ＝ ???－ ? ? ? － ? ?＝ ???－ ? ?? ?－ ? ＝ ????? ? ? － ? ?＝ ????? ．用秦九韶算法计算??????? ?? ?? ?? ?? ????当?????时的值需要进行乘法运算和加法运算的次数分别为???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ．下列存在性命题中，假命题是?? ?? ? ?，? ??? ? 至少有一个? ?，?能被和整除 ? 存在两个相交平面垂直于同一条直线 ? ? ｛?是无理数｝，? 是有理数页脚内容

页脚内容．将甲、乙两枚骰子先后各抛一次，?、?分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数．若点 ??，??落在直线?＋?＝???为常数?上，且使此事件的概率最大，则此时?的值为 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ．已知点P 在抛物线2 4x y =上，则当点P 到点()1,2Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为? ? ?? ()2,1 ? ()2,1- ? 11, 4??- ??? ? 11,4?? ??? ．按右图所示的程序框图，若输入81a =，则输出的 i ? ? ?? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ．若函数()[)∞+- =，在12x k x x h 在上是增函数，则实数的取值范围是? ? ?? ? ? ? ．空气质量指数???? ?◆?●??? ?????，简称????是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照???大小分为六

高二数学复习讲义三

高二数学复习讲义（3） ——《导数及其应用》 <知识点> 1、导数的背景：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。如一物体的运动方程是2 1s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒） 2、导函数的概念：如果函数()f x 在开区间（a,b ）内可导，对于开区间（a,b ）内的每一个0x ，都对应着一个导数 ()0f x ' ，这样()f x 在开区间（a,b ）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做()f x 在开区间（a,b ）内的导函数，记作 ()0 lim x y f x y x ?→?'='=? ()() lim x f x x f x x ?→+?-=?，导函数也简称为导数。 3、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率()() 00f x x f x y x x +?-?= ? ；（3）取极限，得导数()00lim x y f x x →?'=? 。 4、导数的几何意义：函数()f x 在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点 ()()0,0P x f x 处的切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率是 ()0f x '，相应地切线的方程是()()000y y f x x x -='-。特别提醒：（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是0()f x '。 5、导数的运算法则：（1）常数函数的导数为0，即0C '=（C 为常数）；（2） ()()1n n x nx n Q -'=∈，与此有关的如下：( ) 112 2 11,x x x x ' ' -????='=-'== ? ?????；（3）若(),()f x g x 有导数，则①[()()]()()f x g x f x g x '''±=±；②[()]()C f x Cf x ''= 。 6、多项式函数的单调性：（1）多项式函数的导数与函数的单调性： ①若()0f x '>,则()f x 为增函数；若()0f x '<,则()f x 为减函数；若()0f x '=恒成立,则()f x 为常数函数；若()f x '的符号不确定,则()f x 不是单调函数。 ②若函数()y f x =在区间（,a b ）上单调递增，则()0f x '≥，反之等号不成立；若函数()y f x =在区间（,a b ）上单调递减，则()0f x '≤，反之等号不成立。（2）利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求()f x '；（2）求方程()0f x '=的根，设根为12,,n x x x ；（3）12,,n x x x 将给定区间分成n+1个子区间，再在每一个子区间内判断()f x '的符号，由此确定每一子区间的单调性。如设函数cx bx ax x f ++=2 3 )(在1,1-=x 处有极值，且2)2(=-f ，求)(x f 的单调区间。（答：递增区间（－1,1），递减区间(),1,(1,)-∞-+∞） 7、函数的极值：

高二数学-高二下学期期中考试数学(理)试卷

2014-2015学年高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．若命题P：“?x∈Q，x2+2x﹣3≥0”，则命题P的否定：． 2．抛物线y=x2的准线方程是． 3．已知复数（i为虚数单位），则复数z的虚部为． 4．已知双曲线的渐近线方程为，则m=． 5．已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此三棱锥的体积为． 6．用反证法证明命题：“如果a，b∈N，ab可被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为． 7．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+（a+1）y+4=0平行”的条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 8．某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：①题目：“在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆x2+2y2=1的左顶点为A，过点A作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B，C，…” ②解：设AB的斜率为k，…点B（，），D（﹣，0），…据此，请你写出直线CD的斜率为．（用k表示） 9．已知A（3，1）、B（﹣1，2），若∠ACB的平分线在y=x+1上，则AC所在直线方程是． 10．设α，β为两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β； ②若n?α，m?β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直； ③若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥β； ④若m∥n，n⊥α，α∥β，则m⊥β．其中所有真命题的序号是．

11．如图所示，已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点恰好是椭圆的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，则该椭圆的离心率为． 12．函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是． 13．若实数a，b，c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，点N 坐标为（3，3），则线段 MN长度的最小值是． 14．已知函数f（x）=x﹣1﹣（e﹣1）lnx，其中e为自然对数的底，则满足f（e x）＜0的x 的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）（2015春?淮安校级期中）已知命题P：函数y=log a（2x+1）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立，若P、Q都是真命题，求实数a的取值范围． 16．（14分）（2013?越秀区校级模拟）如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．求证：（1）PB∥平面AEC；（2）平面PCD⊥平面PAD． 17．（15分）（2015春?淮安校级期中）已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD=时，求直线CD的方程；（3）经过A，P，M三点的圆是否经过异于点M的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由．

高二下学期期末考试数学试卷(含答案)

高中二年级学业水平考试数学（测试时间120分钟，满分150分）注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效. 4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知i 是虚数单位，若复数))((R a i a i ∈+-的实部与虚部相等，则=a （A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）2 （2）若集合{}0,1,2A =，{} 2 4,B x x x N =≤∈，则A B I = （A ）{} 20≤≤x x （B ）{} 22≤≤-x x （C ）{0,1,2} （D ）{1,2} （3）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 没有公共点”是“平面α和平面β平行”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）若()1sin 3πα-= ，且2 π απ≤≤，则sin 2α的值为（A ）9- （B ）9- （C ）9 （D ）9 （5）在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1≤x 的概率为（A ） 23 （B ）15 （C ）52 （D ）14

图2 俯视图侧视图主视图（6）已知抛物线2 y x =的焦点是椭圆22 21 3 x y a +=的一个焦点，则椭圆的离心率为（A ） 37 （B ）13 （C ）14 （D ）17 （7）以下函数，在区间[3,5]内存在零点的是（A ）3()35f x x x =--+ （B ）()24x f x =- （C ）()2ln(2)3f x x x =-- （D ）1 ()2f x x =-+ （8）已知(2,1),(1,1)a b ==r r ，a r 与b r 的夹角为θ，则cos θ= （A （B （C （D （9）在图1的程序框图中，若输入的x 值为2，则输出的y 值为（A ）0 （B ）12 （C ）1- （D ）32 - （10）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的侧面积是（A ）76 （B ）70 （C ）64 （D ）62 （11）设2()3,()ln(3)x f x e g x x =-=+，则不等式 (())(())11f g x g f x -≤的解集为（A ）[5,1]- （B ）(3,1]- （C ）[1,5]- （D ）(3,5]- (12) 已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围为（A ）∞（-,-2）（B ）1∞（-,-) （C ）(1,+)∞ （D ）(2,)+∞ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题( 本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）函数()cos f x x x =+的最小正周期为．

高二年级数学排列组合复习讲义

排列、组合 1．排列、组合的定义排列的定义从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义合成一组 2．排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n 个不同元素中取出 m (m ≤n )个元素的所有排列的个数从n 个不同元素中取出 m (m ≤n )个元素的所有组合的个数公式 A m n ＝n (n －1)(n －2)·…·(n －m ＋1)＝n ！(n －m )！ C m n ＝A m n A m m ＝ n (n －1)(n －2)·…·(n －m ＋1) m ！＝ n ！ m ！(n －m )！性质 A n n ＝n ！，0！＝1 C m n n ＝C n －m n ， C m n ＋C m － 1n ＝C m n ＋1， C n n ＝1，C 0n ＝1 概念方法微思考 1．排列问题和组合问题的区别是什么？提示元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合． 2．排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有两种形式，如何选择使用？提示 (1)排列数与组合数之间的联系为C m n A m m ＝A m n . (2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式．前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．

题组二教材改编 2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为() A．144 B．120 C．72 D．24 3．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为() A．8 B．24 C．48 D．120 4．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是________．题组三易错自纠 5．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有() A．192种B．216种C．240种D．288种 6．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________．排列问题 1．用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有() A．96个B．78个C．72个D．64个 2．(2020·惠州调研)七人并排站成一行，如果甲乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是() A．3 600 B．1 440 C．4 820 D．4 800 3．3名女生和5名男生站成一排，其中女生排在一起的排法种数有________．思维升华(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法和元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． (2)常见排列数的求法为：①相邻问题采用“捆绑法”．②不相邻问题采用“插空法”．③有限制元素采用

高二数学讲义四点共圆

高二数学竞赛班二试平面几何讲义第五讲四点共圆（一）班级姓名一、知识要点： 1. 判定“四点共圆”的方法: （1)若对角互补，则四点共圆；（2）若线段同一侧的两点对线段的张角相等，则四点共圆；（3）圆的割线定理成立，则四点共圆；（4）圆的相交弦定理成立，则四点共圆； 2. “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路. 二、例题精析：例1. 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK. 求证：∠DMA ＝∠CKB. （第二届袓冲之杯初中竞赛） A B C D K M ··

例2.给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q 四点共圆. (第19届美国数学奥林匹克) 例3．A、B、C三点共线，O点在直线外，O1，O2，O3分别为△OAB，△OBC， △OCA的外心.求证：O，O1，O2， O3四点共圆. (第27届莫斯科数学奥林匹克) A B C K M N P Q B′ C′ A B C O O O O 1 2 3 ？？

三、精选习题： 1．⊙O1交⊙O2于A，B两点，射线O1A交⊙O2于C点，射线O2A 交⊙O1于D点.求证：点A是△BCD的内心. 2．△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.

2017-2018学年高二下学期期末考试数学试卷

一、选择题(12×5=60) 1．已知复数34,z i i =+为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则 i z =（） A. 4355i -+ B. 4355i -- C. 432525i - + D. 43 2525 i -- 2．对于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体（） A. 各正三角形内的点 B. 各正三角形某高线上的点 C. 各正三角形的中心 D. 各正三角形各边的中点 3．用反证法证明命题“若220a b +=，则,a b 全为()0,a b R ∈”，其反设正确的是（） A. ,a b 至少有一个不为0 B. ,a b 至少有一个为0 C. ,a b 全不为0 D. ,a b 中只有一个为0 4．函数()()21e x f x x =-的递增区间为（） A. (),-∞+∞ B. 1,2?? +∞ ??? C. 1,2? ?-∞- ??? D. 1,2??-+∞ ??? 5.若函数y=f(x)的导函数错误！未找到引用源。的图像如下图所示，则y=f(x)的图像可能为（） 6.函数y=f(x)的图像在x=5处的切线方程是y=-2x+8,则f(5)-f’(5)等于（） A.1 B.0 C.2 D. 7.先后投掷同一枚骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x 、y,设事件A 为“x+y 为偶数”，事件B 为“x ≠y ”,则P(B|A)=( ) A. B. C. D. 8.如图所示，阴影部分的面积（） A. 12 B. 23 C. 1 D. 76 9.某班有的学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生人