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讲义_直线与圆的位置关系

讲义_直线与圆的位置关系
讲义_直线与圆的位置关系

一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定

1、设O

⊙的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则直线和圆的位置关系如下表:

从另一个角度,直线和圆的位置关系还可以如下表示:

二、切线的性质及判定

1.切线的性质:

定理:圆的切线垂直于过切点的半径.

推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

2.切线的判定:

定义法:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;

距离法:到圆心距离等于半径的直线是圆的切线;

定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

3.切线长和切线长定理:

⑴切线长:在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.

⑵切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条

切线的夹角.

①切线的判定定理

设OA为⊙O的半径,过半径外端A作l⊥OA,则O到l的距离d=r,∴l与⊙O相切.因此,我们得到:切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

注:定理的题设①“经过半径外端”,②“垂直于半径”,两个条件缺一不可.结论是“直线是圆的切线”.举例说明:只满足题设的一个条件不是⊙O的切线.

1)连接半径,证直线与此半径垂直;(2)作垂线,证垂足在圆上

②切线的性质定理及其推论

切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.

我们分析:

三、三角形内切圆

1. 定义:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.

2. 多边形内切圆:和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形.

3.直角三角形的内切圆半径与三边关系

_A

_

l _ O

_F _E

_ D _ C _ B

_ A

_ C

_ B _ A _ C

_ B

_ A

_c

_ b _a

_c

_ b

_a

_ l _A

_T _A

(1) (2)

图(1)中,设a b c ,,分别为ABC ?中A B C ∠∠∠,,的对边,面积为S 则内切圆半径(1)s r p =,其中()12p a b c =++; 图(2)中,90C ∠=?,则()1

2

r a b c =+-

四、典例分析:切线的性质及判定

【例1】 如图,AB 是O 的直径,点D 在AB 的延长线上,过点D 作O 的切线,切点为C ,若

25A =?∠,则D =∠

例1

例2 巩固

【例2】 如图,直线AB 与O ⊙相切于点A ,O ⊙的半径为2,若30OBA ∠=?,则OB 的长为( )

A .

B .4

C .

D .2

【巩固】如图,AB 与O ⊙相切于点B ,线段OA 与弦BC 垂直于点D ,60AOB ∠=?,4cm BC =,则切线

AB = cm .

【例3】 如图,若O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30?,切线CD 与AB 的延长线交于点D ,且O 的半

径为2,则CD 的长为( ) A .B .C .2 D .4

A

D

_ A

例2 巩固

【巩固】如图,EB 为半圆O 的直径,点A 在EB 的延长线上,AD 切半圆O 于点D ,BC AD ⊥于点C ,

2AB =,半圆O 的半径为2,则BC 的长为_______________.

【例4】 如图,已知以直角梯形ABCD 的腰CD 为直径的半圆O 与梯形上底AD 、下底BC 以及腰AB 均

相切,切点分别是D C E ,,.求证:以AB 为直径的圆与CD 相切.

例4 巩固

【巩固】如图,已知以直角梯形ABCD 中,以AB 为直径的圆与CD 相切,求证:以CD 为直径的圆与AB

相切.

【例5】 已知:如图,在ABC ?中,AB AC =,以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ,切线

DE AC ⊥,垂足为点E . 求证:(1)ABC ?是等边三角形;(2)

【巩固

】如图,MP 切O ⊙于点M ,直线OP 交O ⊙于点A B 、,弦AC MP ∥,求证:MO BC ∥.

【例6】 如图,ABC ?中,AB AC =,O 是BC 的中点,以O 为圆心的圆与AB 相切于点求证:AC 是O 的切线。

_ O _ C _B

_ C

B

A

M O

A

D

C

B

【例7】 如图,已知AB 是O 的直径,BC 为O 的切线,切点为B ,OC 平行于弦AD , OA r =。

(1)求证:CD 是O 的切线;

(2)求AD OC ?的值;

(3)若9

2AD OC r +=,求CD 的长。

【巩固】 如图,已知AB 是

O 的直径,BC 是和O 相切于点B 的切线,过O 上A 点的直线

AD OC

∥,若2OA =且6AD OC +=,则CD = 。

【巩固】 如图,AB 是半圆(圆心为O )的直径,OD 是半径,BM 切半圆于B ,OC 与弦

AD 平行且交BM 于C 。

(1)求证:CD 是半圆的切线;

(2)若AB 长为4,点D 在半圆上运动,设AD 长为x ,点A 到直线CD 的距离为y ,试求出y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围。

【例8】 如图,AC 为O 的直径,B 是O 外一点,AB 交O 于E 点,过E 点作O 的切线,交BC

于D 点,DE DC =,作EF AC ⊥于F 点,交AD 于M 点。 (1)求证:BC 是O 的切线;

(2)EM FM =。

O

D

C

B

A

C

B

D C

B

A

【例9】 如图,割线ABC 与O 相交于B 、C 两点,D 为O 上一点,E 为BC 的中点,OE 交BC 于

F ,DE 交AC 于

G ,ADG AGD ∠=∠。

(1)求证:AD 是O 的切线;

(2)如果242AB AD EG ===,,,求O 的半径。

【例10】 如图,已知点E 在ABC ?的边AB 上,以AE 为直径的O ⊙与BC 相切于点D ,且AD 平分

BAC ∠.求证:AC BC ⊥.

【巩固】AB 是圆的直径,BC 是它的弦,过C 作圆的切线CD ,过B 作BE

⊥ABC EBC ∠=∠.

【例11】 如图,已知Rt ABC ?中,90ABC ∠=?,以AB 为直径作O ⊙

交AC 于D ,过D 作O ⊙的切线

DE 交BC 于E .求证:BE CE =.

【巩固】如图,已知O ⊙的弦AB 垂直于直径CD ,垂足为F ,点E 在AB 上,且EA EC =,延长EC 到点P ,连结PB ,若PB PE =,试判断PB 与O ⊙的位置关系,

E

_ A

_ O

_ B

_ C _ D

_E

【例12】 如图,点P 在O 的直径BA 的延长线上,2AB PA =,PC 切O 于点C ,连结BC .

(1)求P ∠的正弦值;

(2)若O 的半径2cm r =,求BC 的长度.

【巩固】在Rt ABC △中,90ACB ?∠=,D 是AB 边上一点,以BD 为直径的O ⊙与边AC 相切于点E ,

连结DE 并延长,与BC 的延长线交于点F . (1)求证:BD BF =;

(2)若64BC AD ==,,求O ⊙的面积.

【例13】 如图所示,AB 是O ⊙直径,OD ⊥弦BC 于点F ,且交O ⊙于点E ,若AEC ODB ∠=∠.

(1)判断直线BD 和O ⊙的位置关系,并给出证明;

(2)当108AB BC ==,时,求BD 的长.

【巩固】已知:如图,⊙O 的直径AB =8cm ,P 是AB 延长线上的一点,过点P 作⊙O 的切线,切点为

C ,连接AC .

(1)若120ACP ∠=?,求阴影部分的面积;

(2)若点P 在AB 的延长线上运动,CPA ∠的平分线交AC

于点4tan 60PC =??=

,∠

83OPC S S S π?=-=阴影扇形BOC 的大小是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,求出∠1

2

的度数.

_

P

B

A

【例14】 在平行四边形ABCD 中,1060AB AD m D ==∠=?,,,以AB 为直径作O ⊙,

(1)求圆心O 到CD 的距离(用含m 的代数式来表示); (2)当m 取何值时,CD 与O ⊙相切.

【例15】 已知:如图,O ⊙的直径AB 与弦CD 相交于E ,BC BD =,O ⊙的切线BF 与弦AD 的延长线

相交于点F .

(1)求证:CD BF ∥.

(2)连结BC ,若O ⊙的半径为4,3

cos 4

BCD ∠=

,求线段AD CD 、的长.

【巩固】如图,在ABC ?中,90C ∠

=?,34AC BC ==,.O 为BC 边上一点,以O 为圆心,OB 为半径作

半圆与BC 边和AB 边分别交于点D E ,,连结DE . (1)当3BD =时,求线段DE 的长;

(2)过点E 作半圆O 的切线,当切线与AC 边相交时,设交点为F .形.

_C

典例分析:切线长定理及切线性质的应用

【例16】 在Rt ABC ?中,90A ∠=?,点O 在BC 上,以O 为圆心的O 分别与AB 、AC 若AB a =, AC b =,则O 的半径为( ) A B 、

a b ab + C 、ab a b + D 、2

a b

+ 【例17】 如图,AB BC ⊥,DC BC ⊥,BC 与以AD 为直径的O 相切于点E ,9AB =,4CD =,则四

边形ABCD 的面积为 。

【例18】 如图,过O 外一点P 作O 的两条切线PA 、PB ,切点分别为A 、B ,连结AB ,在AB 、

PB 、PA 上分别取一点D 、E 、F ,使AD BE =,BD AF =,连结DE 、DF 、EF ,则EDF ∠=( )

A 、90P ?∠-

B 、1902P ?-∠

C 、180P ?-∠

D 、1

452

P ?∠-

【例19】 如图,已知ABC ?中,AC BC =, CAB α∠=(定值),O 的圆心O 在AB 上,并分别与

AC 、BC 相切于点P 、Q 。

(1)求POQ ∠;

(2)设D 是CA 延长线上的一个动点,DE 与O 相切于点M ,点E 在CB 的延长线上,试判断DOE ∠的大小是否保持不变,并说明理由。

【例20】 如图,O 为Rt ABC ?的内切圆,点D 、E 、F 为切点,若6AD =,4BD =,则ABC ?的面积

为 。

C

E F

B

A C

E B

N

Q

P

O

D

C B

A

F

B

A

【例21】 正方形ABCD 中,AE 切以BC 为直径的半圆于E ,交CD 于F ,则:CF FD =( )

A 、1∶2

B 、1∶3

C 、1∶4

D 、2∶5

【巩固】 如图,以正方形ABCD 的边AB 为直径,在正方形内部作半圆,圆心为O ,CG 切半圆于E ,交

AD 于F ,交BA 的延长线于G ,8GA =。

(1) 求G ∠的余弦值;(2)求AE 的长。

【例22】 如图,AB 是半O 的直径,点M 是半径OA 的中点,点P 在线段AM 上运动(不与点M 重

合),点Q 在半O 上运动,且总保持PQ PO =,过点Q 作O 的切线交BA 的延长线于点C 。 (1)当60QPA ∠=?时,请你对QCP ?的形状做出猜想,并给予证明; (2)当QP AB ⊥时,QCP ?的形状是 三角形;

(3)则(1)(2)得出的结论,请进一步猜想,当点P 在线段AM 上运动到任何位置时,QCP ? 一定是 三角形。

【巩固】 如图,AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 的半径AO 上运动, PC ⊥AB 交⊙O 于E ,PT 切⊙O 于T ,

PC =2.5。

(1)当CE 正好是⊙O 的半径时,PT =2,求⊙O 的半径;

D

C

(2)设2

=,AC x

PT y

=,求出y与x之间的函数关系式;

(3)△PTC能不能变为以PC为斜边的等腰直角三角形?若能,请求出

△PTC的面积;若不能,请说明理由。

A B

九年级圆基础知识点,(圆讲义)

一对一授课教案 学员姓名:____何锦莹____ 年级:_____9_____ 所授科目:___数学__________ 上课时间:____ 年月日_ ___时分至__ __时_ __分共 ___小时 一、圆的定义: 1. 描述性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随 之旋转所形成的图形叫做圆,其中固定端点O叫做圆心,OA叫做半径. 2 圆的表示方法:通常用符号⊙表示圆,定义中以O为圆心,OA为半径的圆记作“O ⊙”,读作“圆O”. 3 同圆、同心圆、等圆: 圆心相同且半径相等的圆叫同圆;圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆;能够重合的两个圆叫做等圆. 注意:同圆或等圆的半径相等. 1. 弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦. 2. 直径:经过圆心的弦叫做圆的直径,直径等于半径的2倍. 3. 弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距. 4. 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.以A B 、为端点的圆弧记作AB,读作弧AB. 5. 等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧. 6. 半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆. 7. 优弧、劣弧:大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.

8. 弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 1. 圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.将整个圆分为360等份,每一份的弧对应1?的圆心 角,我们也称这样的弧为1?的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 2. 圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 3. 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90?的圆周角所对的弦是直径. 推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等. 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分别相等. 一、圆的对称性 1. 圆的轴对称性:圆是轴对称图形,对称轴是经过圆心的任意一条直线. 2. 圆的中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是圆心. 3. 圆的旋转对称性:圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少角度,都能与其自身重合. 二、垂径定理 1. 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 2. 推论1:⑴平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; ⑵弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; ⑶平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 3. 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等. 练习题;

初中一对一精品辅导讲义:圆与圆的位置关系.docx

教学目标 重点、难点考点及考试要求1、了解圆与圆的五种位置关系; 2、经历探索两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系间的内在联系的过程,并运用相关结论解决问题; 1、位置关系与对应数量关系的运用 2、两圆的位置关系对应数量关系的探索 1、圆与圆的五种位置关系 2、两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系 教学内容 第一课时圆与圆的位置关系知识点梳理 课前检测 1、⊙ O的半径是 6,圆心到直线l的距离为 3,则直线l与⊙ O的位置关系是() A.相交B.相切C.相离D.无法确定 2、如图 1,AB与⊙ O切于点 B, AO=6 ㎝, AB= 4 ㎝,则⊙ O的半径为() A、4 5 ㎝ B、25 ㎝ C、2 13㎝ D、13 ㎝ 3、如图 2,已知⊙ 0 的直径 AB与弦 AC的夹角为 35°,过 C点的切线 PC与 AB的 延长线交于点 P,则么∠ P 等于() A.150B.200C.250D.300 图 1图2图3 4、如图 3,AB与⊙ O切于点 C, OA=OB,若⊙ O的直径为 8cm,AB=10cm,那么 OA的长是() A.41B.40 C. 14 D. 60 5、已知:如图,△ ABC中, AC=BC,以 BC为直径的⊙ O交 AB于点 D,过点 D 作 DE⊥ AC于点 E,交 BC的延长线于点 F. 求证:( 1) AD=BD;(2)DF是⊙ O的切线.

知识梳理 (一)两圆位置关系的定义 注:( 1)找到分类的标准: ①公共点的个数; ②一个圆上的点是在另一个圆的内部还是外部 (2)两圆相切是指两圆外切与内切 (3)两圆同心是内含的一种特殊情况 (二)两圆位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系之间的联系:两圆的半径分别为R、r ,圆心距为 d,那么 两圆外离 d > R+r 两圆外切 d =R+r 两圆相交R- r< d < R+ r ( R≥ r ) 两圆内切 d =R-r (R > r ) 两圆内含 d < R-r (R > r ) (三) . 借助数轴进一步理解两圆位置关系与量关系之间的联系

直线与圆的位置关系(教案)

《直线与圆的位置关系》的教学设计 一、教学课题:人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书A版数学②第四章第二节“直 线与圆的位置关系”第一课时。 二、设计要点:学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系,在前面几节课学习了直线与圆的方程,因此,本节课主要以问题为载体,通过教师几个环节的设问,让学生利用已有的知识,自己去探究用坐标法研究直线与圆的位置关系的方法。用过学生的参与和一个个问题的解决,让学生体验有关的数学思想,提高学生自主学习、分析问题和解决问题的能力,培养学生“用数学”及合作学习的意识。 三、教学目标: 1.知识目标:能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系,并解决相关的问题;2.能力目标:通过理论联系实际培养学生建模能力,培养学生数形结合思想与方程的思想;3.情感目标:通过学生的自主探究,培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。 四、教学重点、难点、关键: (1)重点:用坐标法判断直线与圆的位置关系 (2)难点:学生对用方程组的解来判断直线与圆的位置关系方法的理解 (3)关键:展现数与形的关系,启发学生思考、探索。 五、教学方法与手段: 1.教学方法:探究式教学法 2。教学手段:多媒体、实物投影仪 六、教学过程: 1.创设情境,提出问题 教师利用多媒体展示如下问题: 问题:一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西50km 处,受到影响的范围是半径长为30km的圆形区域,已知港口位于台风中心正北50km处,如果 这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响? 教师提出:利用初中所学的平面几何知识,你能解决这个问题吗?请同学们动手试一下。 设计意图:让学生从数学角度看日常生活中的问题,体验数学与生活的密切联系,激发学生的探索热情。 2.切入主题,提出课题 (1)由学生将问题数学建模,展示平面几何解决方法,得出结论。教师带领学生一起回顾初中所学直线与圆的三种位置关系及判断方法。

点直线和圆的位置关系教案

教学过程 一、课堂导入 问题:观察上面太阳升起的图片,思考直线和圆有怎样的位置关系?

二、复习预习 1、圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半 2、圆周角定理的推论: (1)同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等. (2)半圆(或直径)所对圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径 3、其它推论:①圆周角度数定理,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半. ②同圆或等圆中,圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半. ③同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等圆周角所对的弧也相等. ④圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角. 三、知识讲解 考点1 点与圆的位置三种位置关系 如图1所示,设⊙O 的半径为r , A 点在圆内,OA <r B 点在圆上,OB = r 图 1

C点在圆外,OC>r 反之,在同一平面上,已知的半径为r⊙O,和A,B,C三点: 若OA<r,则A点在圆内 若OB= r,则B点在圆上 若OC>r,则C点在圆外 考点2 直线和圆的位置关系(设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.) 1、当d>r时,直线与圆相离(如图所示) 2、当d<r时,直线与圆相交(如图所示) 3、当d=r时,直线与圆相切(如图所示),此时直线即为圆的切线. 考点3 切线的判定和性质 1、切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径 2、推论:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点,经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 3、切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 考点4切线长定理1、切线长定义:从圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段长,叫做这点到圆的切线长(如图AB长度即为切线长).

高中数学讲义 第八章 直线和圆的方程(超级详细)

高中数学复习讲义第八章直线和圆的方程

【方法点拨】 1.掌握直线的倾斜角,斜率以及直线方程的各种形式,能正确地判断两直线位置关系,并能熟练地利用距离公式解决有关问题.注意直线方程各种形式应用的条件.了解二元一次不等式表示的平面区域,能解决一些简单的线性规划问题. 2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题. 3.熟练运用待定系数法求圆的方程. 4.处理解析几何问题时,主要表现在两个方面:(1)根据图形的性质,建立与之等价的代数结构;(2)根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质.5.要重视坐标法,学会如何借助于坐标系,用代数方法研究几何问题,体会这种方法所体现的数形结合思想. 6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题;还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识. 第1课直线的方程 【考点导读】 理解直线倾斜角、斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的几种形式,能根据条件,求出直线的方程. 高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程,属中、低档题,多以填空题和选择题出现,每年必考.

【基础练习】 1. 直线x cos α+ 3y +2=0 的倾斜角范围是50,,66πππ????????????? 2. 过点)3,2(P ,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 10320-+=-=或x y x y 3.直线l 经过点(3,-1),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,则直线l 的方程为42=-=-+或y x y x 4.无论k 取任何实数,直线()()()14232140k x k y k +--+-=必经过一定点P ,则P 的坐标为(2,2) 【范例导析】 例1.已知两点A (-1,2)、B (m ,3) (1)求直线AB 的斜率k ; (2)求直线AB 的方程; (3)已知实数m 1? ?∈???? ,求直线AB 的倾斜角α的取值范围. 分析:运用两点连线的子斜率公式解决,要注意斜率不存在的情况. 解:(1)当m =-1时,直线AB 的斜率不存在. 当m ≠-1时,1 1 k m = +, (2)当m =-1时,AB :x =-1, 当m ≠1时,AB :()1 211 y x m -= ++. (3)①当m =-1时,2 π α=; ②当m ≠-1时, ∵( 1,1k m ?=∈-∞?+∞??+??

与圆有关的位置关系(讲义)

与圆有关的位置关系(讲义)?知识点睛 1.点与圆的位置关系 d表示__________的距离,r表示___________. ①点在圆外?_____________; ②点在圆上?_____________; ③点在圆内?_____________. 三点定圆定理:_________________________________. 注:三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心. 2.直线与圆的位置关系 d表示__________________的距离,r表示__________. ①直线与圆相交?____________; ②直线与圆相切?____________; ③直线与圆相离?____________. 切线的判定定理:__________________________________ __________________________________________________; 切线的性质定理:__________________________________.*切线长定理:______________________________________ __________________________________________________.注:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆 的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.*3. 圆与圆的位置关系 d表示__________的距离,R表示________,r表示 _________. ①圆与圆外离?_________________; ②圆与圆外切?_________________; ③圆与圆内切?_________________; ④圆与圆内含?_________________; ⑤圆与圆相交?_________________. 4.圆内接正多边形 _______________________________叫做圆内接正多边形,这个圆叫做该正多边形的_________. 正多边形的中心:___________________________________; 正多边形的半径:___________________________________; A

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系(同步练习题)( 含答案)资料

24.2点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1点和圆的位置关系 1.如图,⊙O的半径为r. (1)点A在⊙O外,则OA__>___r;点B在⊙O上,则OB__=___r;点C在⊙O内,则OC__<___r. (2)若OA>r,则点A在⊙O__外___;若OB=r,则点B在⊙O__上___;若OC<r,则点C在⊙O__内___. 2.在同一平面内,经过一个点能作__无数___个圆;经过两个点可作__无数___个圆;经过__不在同一直线上___的三个点只能作一个圆. 3.三角形的外心是三角形外接圆的圆心,此点是__三边垂直平分线的交点___. 4.反证法首先假设命题的__结论___不成立,经过推理得出矛盾,由此判定假设__错误___,从而得到原命题成立. 知识点1:点与圆的位置关系 1.已知点A在直径为8 cm的⊙O内,则OA的长可能是( D) A.8 cm B.6 cm C.4 cm D.2 cm 2.已知圆的半径为6 cm,点P在圆外,则线段OP的长度的取值范围是__OP>6_cm___.3.已知⊙O的半径为7 cm,点A为线段OP的中点,当OP满足下列条件时,分别指出点A与⊙O的位置关系: (1)OP=8 cm;(2)OP=14 cm;(3)OP=16 cm. 解:(1)在圆内(2)在圆上(3)在圆外 知识点2:三角形的外接圆 4.如图,点O是△ABC的外心,∠BAC=55°,则∠BOC=__110°___. 5.直角三角形外接圆的圆心在__斜边的中点___上.若直角三角形两直角边长为6和8,则该直角三角形外接圆的面积为__25π___. 6.一个三角形的外心在其内部,则这个三角形是( C) A.任意三角形B.直角三角形

人教版九年级数学与圆有关的位置关系讲义(含解析)(2020年最新)

第11讲与圆有关的位置关系 知识定位 讲解用时:3分钟 A、适用范围:人教版初三,基础偏上 B、知识点概述:本讲义主要用于人教版初三新课,本节课我们首先学习与圆有 关的三类位置关系:点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系,重点掌握各种与圆位置关系的判断方法,其次学习切线的有关性质与判定以及切线长定理及应用,能够结合已知题意证明相关切线,最后掌握圆的外接三角形与三角形内切圆概念。本节课的重点是三类位置关系的判断方法以及切线的性质与判定定理,属于中考重点内容,也是难点之一,希望同学们能够好好学习,扎实基础。 知识梳理 讲解用时:25分钟 与圆有关的位置关系 (1)点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有3种,设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有: ⊙点P在圆外⊙d>r ⊙点P在圆上⊙d=r ⊙点P在圆内⊙d<r 注意: 点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系,反过来已知点到圆 心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系。

(2)直线与圆的位置关系 直线和圆的3种位置关系: ⊙相离:一条直线和圆没有公共点; ⊙相切:一条直线和圆只有一个公共点,这条直线叫圆的切线,唯一的公共点叫切点; ⊙相交:一条直线和圆有两个公共点,这条直线叫圆的割线; 判断直线和圆的位置关系: ⊙直线l和⊙O相交⊙d<r ⊙直线l和⊙O相切⊙d=r ⊙直线l和⊙O相离⊙d>r (3)圆与圆的位置关系 ⊙外离:两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部; ⊙外切:两个圆有唯一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部; ⊙相交:两个圆有两个公共点; ⊙内切:两个圆有唯一公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的点都在另一个圆的内部; ⊙内含:两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部。 判断圆和圆的位置关系: ⊙两圆外离⊙d>R+r; ⊙两圆外切⊙d=R+r; ⊙两圆相交⊙R﹣r<d<R+r(R≥r); ⊙两圆内切⊙d=R﹣r(R>r); ⊙两圆内含⊙d<R﹣r(R>r).

讲义_直线与圆的位置关系

一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定 1、设O ⊙的半径为r ,圆心O 到直线l 的距离为d ,则直线和圆的位置关系如下表: 从另一个角度,直线和圆的位置关系还可以如下表示:

二、切线的性质及判定 1. 切线的性质: 定理:圆的切线垂直于过切点的半径. 推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 2. 切线的判定: 定义法:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线; 距离法:到圆心距离等于半径的直线是圆的切线; 定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3. 切线长和切线长定理: ⑴ 切线长:在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长. ⑵ 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. ①切线的判定定理 设OA 为⊙O 的半径,过半径外端A 作l ⊥OA ,则O 到l 的距离d=r ,∴l 与⊙O 相切.因此,我们得到:切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 注:定理的题设①“经过半径外端”,②“垂直于半径”,两个条件缺一不可.结论是“直线是圆的切线”.举例说明:只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线. _A _ l _ l _A _ l

上 ②切线的性质定理及其推论 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径. 三、三角形内切圆 1. 定义:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形. 2. 多边形内切圆:和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形. 3.直角三角形的内切圆半径与三边关系 (1) (2) 图(1)中,设a b c ,,分别为ABC ?中A B C ∠∠∠,,的对边,面积为S 则内切圆半径(1)s r p =,其中()12p a b c =++; 图(2)中,90C ∠=?,则()1 2 r a b c =+- 四、典例分析:切线的性质及判定 _ O _F _E _ D _ C _ B _ A _ C _ B _ A _ C _ B _ A _c _ b _a _c _ b _a _T _A

点、直线与圆的位置关系(中考复习教案)

点、直线与圆的位置关系(中考复习教案) 一、复习目标: 1、探索并了解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系; 2、理解不在同一直线上的三点确定一个圆; 3、掌握切线的判定定理及切线的性质定理,熟练运用它们解决一些具体的问题; 二、复习重点和难点: 复习重点: 1、熟练运用切线的判定定理和切线的性质定理解决一些具体的问题; 2、掌握点、直线与圆的位置关系及其性质和判定方法。 复习难点: 1、利用切线的判定定理和切线的性质定理解决一些具体的问题; 2、利用切线的性质和判定进行证明或计算时如何正确添加辅助线。 三、复习过程: (一)知识梳理: 1.点与圆的位置关系: 有三种:点在圆外,点在圆上,点在圆内. 设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则 点在圆外?d>r.点在圆上?d=r.点在圆内?d<r. 2.直线和圆的位置关系有三种:相交、相切、相离. 设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则 直线与圆相交?d<r;直线与圆相切?d=r;直线与圆相离?d>r 3.切线的性质和判定 (1)切线的定义:直线和圆有唯一公共点时,这条直线叫做圆的切线. (2)切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径. (3)切线的判定方法一:经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (4)切线的判定方法二:到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。 注意:证明一条直线是圆的切线的方法有两种:(1)当直线与圆有一个公共点时,把圆心和这个公共点连结起来,然后证明直线垂直于这条半径,简称“作半径,证垂直”;(2)当直线和圆的公共点没有明确时,可过圆心作直线的垂线,?再证圆心到直线的距离等于半径,简称“作垂线,证半径.”

直线与圆的位置关系(解析版)

直线与圆的位置关系 班级:____________ 姓名:__________________ 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.如果a2+b2=c2,那么直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 2.设直线过点(a,0),其斜率为-1,且与圆x2+y2=2相切,则a的值为() A.± B.±2 C.±2 D.±4 3.直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为() A.1 B.2 C.4 D.4 4.过点P(-2,4)作圆O:(x-2)2+(y-1)2=25的切线l,直线m:ax-3y=0与直线l平行,则直线l与m间的距离为() A.4 B.2 C. D. 5.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是() A.y=x B.y=-x C.y=x D.y=-x 6.已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为2时,a 等于() A. B.2- C.-1 D.+1 7.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为() A.1 B.2 C. D.3 8.过点P(-,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角α的取值范围是() A.0°<α<30° B.0°<α≤60° C.0°≤α≤30° D.0°≤α≤60° 二、填空题(每小题5分,共10分) 9.过点A(1,)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l 的斜率k=________.

初中数学《圆》全章讲义有例题培训讲学

《圆》 内容简介:1、圆的相关概念;2、垂径定理;3、圆心角、圆周角定理;4、与圆有关的位置关系; 5、切线及切线长定理; 6、弧长及扇形面积。 【知识要点1】 圆的概念 集合形式的概念: 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念: 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; (补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线); 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 例1 已知:如图,OA、OB为⊙O的半径,C、D分别为OA、OB上的点,且AC=BD.求证:AD=BC. 例2 如图,在⊙O中,AB,CD为⊙O的两条直径,AE=BF,求证四边形CEDF 是平行四边形.

点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外; 【知识要点3】 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点; 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点; 3、直线与圆相交?d r +; 外切(图2)?有一个交点?d R r =+; 相交(图3)?有两个交点?R r d R r -<<+; 内切(图4)?有一个交点?d R r =-; 内含(图5)?无交点?d R r <-; r R d 图3r R d r R d 图4 r R d 图5 r R d

新人教版九年级数学点直线和圆的位置关系》测试题

点、直线、圆与圆的位置关系测试题 一、选择题:(每小题3分,共30分) 1.已知⊙O的半径为10cm,如果一条直线和圆心O的距离为10cm,那么这条直线和这个圆的 位置关系为() A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或 相离 2.如图,A、B是⊙O上的两点,AC是⊙O的切线,∠B=70°,则∠BAC 等于() A. 70° B. 35° C. 20° D. 10° 3.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=∠90°,以CD为直径的半圆O 切AB于点E,这个

(第4题图)梯形的面积为21,周长为20.那么半圆O 的半径为( ) A 、3 B 、7 C 、3或7 D 、2 ·O A D E B C 4.如图,已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°,过C 点的切线PC 与 AB 的延长线交于P ,PC=5,则⊙O 的半径为( ) A. 33 5 B. 63 5 C. 10 D. 5 5.直线a上有一点到圆心O 的距离等于⊙O 的半径,则直线a与⊙O 的位 置关系是( ) A、相离 B、相切 C、相切或相交 D、相交 6.A 、B 、C 是⊙O 上三点,AB ⌒的度数是50°,∠OBC=40°,则∠OAC 等于 A C 第2题图 第6题图 第3题图

( ) A. 15° B. 25° C. 30° D. 40° 7.AB 为⊙O 的一条固定直径,它把⊙O 分成上、下两个半圆,自上半圆上 一点C ,作弦CD ⊥AB ,∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ,当C 点在半圆(不包括A 、B 两点)上移动时,点P ( ) A. 到CD 的距离不变 B. 位置不变 C. 等分DB ⌒ D. 随C 点的移动而移动 8.AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ,如果AD=20,则△ABC 的周长为( ) A. 20 B. 30 C. 40 D. 2 1 35 9.如图,已知∠BAC=45°,一动点O 在射线AB 上运动(点O?与点A 不重 合),设OA=x ,如果半径为1的圆O 与射线AC 有公共点,那么x 的取值范围是( )

直线与圆的位置关系教案

【课题】4.2.1直线与圆的位置关系 【教材】人民教育出版社(A版)高中数学必修2第126页至128页【课时安排】 1个课时 【教学对象】高中一年级 【授课教师】 【教学重点】掌握直线和圆的几种位置关系,学会判定直线与圆的位置关系的两种方法: (1)直线到圆心距离与圆半径的大小关系,写出判定直线与圆的位置关系。 (2)通过解直线与圆方程组成的方程,根据解的个数,写出判定直线与圆的位置关系。 【教学难点】由位置关系得出大小关系式从而判断解的个数 【教学目标】 知识与技能 掌握直线和圆的几种位置关系,熟练掌握判断位置关系的两种方法。判断直线到圆心距离与圆半径的大小关系法和求解个数法 过程与方法 1、理解直线和圆的三种位置关系,感受直线和圆的位置与它们的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系; 2、体验通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小判断直线与圆的位置关系; 3、领会数形结合的数学思想方法,提高发现问题、分析问题、

解决问题的能力。 情感态度与价值观 让学生亲身经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,增强学习数学的兴趣,感受“方程思想”、“坐标法”等数学思想的内涵,养成良好的思维习惯。 【教学方法】教师启发讲授、学生探究学习 【教学手段】PowerPoint,动画演示 【教学过程设计】 1、回顾旧知(3分钟) 平面几何中,直线与圆有哪几种位置关 系?在初中,我们怎样判断直线与圆的位 置关系? 一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预 报:台风中心位于轮船正西70km处,受影响的范围是半径 教师 运用 边提 问边 回答 的形 式引 导学 生回 忆知 识点 老师 引导 学生 思考 学生 回忆 并回 答问 题 学生 观察 动画 并思 考如 何解 决 回顾知识点 的益处在于 不仅复习了 以前学习的 知识,又为 今后的学习 作铺垫 与学生进行 互动交流, 学生更积极 思考,并可 活跃课堂氛 围

点、直线和圆的位置关系测试题

(第4题图) 点、直线、圆与圆的位置关系测试题 一、选择题:(每小题3分,共30分) 1.已知⊙O 的半径为10cm ,如果一条直线和圆心O 的距离为10cm ,那么这条直线和这个圆的位置关系为( ) A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相离 2.如图,A 、B 是⊙O 上的两点,AC 是⊙O 的切线,∠B=70°,则∠BAC 等于( ) A. 70° B. 35° C. 20° D. 10° 3.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BCD=∠90°,以CD 为直径的半圆O 切AB 于点E ,这个梯形的面积为21,周长为20.那么半圆O 的半径为( ) A 、3 B 、7 C 、3或7 D 、2 ·O A D E B C 4.如图,已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°,过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ,PC=5,则⊙O 的半径为( ) A. 335 B. 6 3 5 C. 10 D. 5 5.直线a上有一点到圆心O 的距离等于⊙O 的半径,则直线a与⊙O 的位置关系是( ) A、相离 B、相切 C、相切或相交 D、相交 6.A 、B 、C 是⊙O 上三点,AB ⌒的度数是50°,∠OBC=40°,则∠OAC 等于( ) A. 15° B. 25° C. 30° D. 40° 7.AB 为⊙O 的一条固定直径,它把⊙O 分成上、下两个半圆,自上半圆上一点C ,作弦CD ⊥AB ,∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ,当C 点在半圆(不包括A 、B 两点)上移动时,点P ( ) A. 到CD 的距离不变 B. 位置不变 C. 等分DB ⌒ D. 随C 点的移动而移动 8.AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ,如果AD =20,则△ABC 的周长为( ) A. 20 B. 30 C. 40 D. 2 135 9.如图,已知∠BAC=45°,一动点O 在射线AB 上运动(点O?与点A 不重合),设OA=x ,如果半径为1的圆O 与射线AC 有公共点,那么x 的取值范围是( ) A .0

数学必修直线与圆的位置关系教案

直线与圆的位置关系 教学目标 1、知识与能力目标 A.知道直线和圆相交,相切,相离的定义并会根据定义来判断直线和圆的位置关系; B.能根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系来揭示直线和圆的位置关系;也能根据联立方程组的解的个数来判断直线与圆的位置关系。 C.掌握直线和圆的位置关系的应用,能解决弦长、切线以及最值问题。 2、过程与方法目标 让学生通过观察,看图,分析,能找出圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系,揭示直线和圆的位置关系。此外,通过直线和圆的相对运动,培养学生运动变化的辨证唯物主义观点,通过对研究过程的反思,进一步强化对分类和把几何形成的结论转化为代数方程的形式的思想。培养学生借助直观解决抽象问题的能力,也就是由数到形,有形到数;有直观到抽象、由抽象到直观的转化能力(数形结合的思想)。 3、情感态度与价值观目标 通过师生互动,生生互动的教学活动过程,形成学生的体验性认识,体会成功的愉悦,提高数学学习的兴趣,树立学好数学的信心,培养锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。 教学重点与难点 教学重点:直线和圆位置关系的判断和应用 教学难点:通过解方程组来研究直线和圆的位置关系。 教学准备

制作多媒体课件,学生准备计算器,直尺,量角器。 教学过程: 一、复习 1.直线方程的形式 2.圆的方程形式 3.点与圆的位置关系 4直线与圆的位置关系: (1)直线与圆相交,有两个公共点; (2)直线与圆相切,只有一个公共点; (3)直线与圆相离,没有公共点; 二、新课讲解 1.问题情境 问题1.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西70km处,受影响的范围是半径长为50km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北70km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响? 师生活动:让学生进行讨论、交流,启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知,引入新课. 师:你怎么判断轮船受不受影响? 生:台风所在的圆与轮船航线所在直线是否相交. 师:(板书标题)这个问题,其实可以归结为直线与圆的位置关系. 学生解决方法一:设O为台风中心,A为轮船开始位置,B为

直线和圆的三种位置关系知识点

(1)直线和圆的三种位置关系: ①相离:一条直线和圆没有公共点. ②相切:一条直线和圆只有一个公共点,叫做这条直线和圆相切,这条直线叫圆的切线,唯一的公共点叫切点. ③相交:一条直线和圆有两个公共点,此时叫做这条直线和圆相交,这条直线叫圆的割线. (2)判断直线和圆的位置关系:设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d. ①直线l和⊙O相交?d<r ②直线l和⊙O相切?d=r ③直线l和⊙O相离?d>r. (2)(1)切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径. ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. (2)切线的性质可总结如下: 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个,那么它一定满足第三个条件,这三个条件是:①直线过圆心; ②直线过切点;③直线与圆的切线垂直. (3)切线性质的运用 由定理可知,若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.简记作:见切点,连半径,见垂直. (3)(1)切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (2)在应用判定定理时注意: ①切线必须满足两个条件:a、经过半径的外端;b、垂直于这条半径,否则就不是圆的切线. ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时,直线和圆相切“这个结论直接得出来的. ③在判定一条直线为圆的切线时,当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂 线段,证明该线段的长等于半径,可简单的说成“无交点,作垂线段,证半径”;当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线,可简单地说成“有交点,作半径,证垂直”. (4)(1)内切圆的有关概念: 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点. (2)任何一个三角形有且仅有一个内切圆,而任一个圆都有无数个外切三角形. (3)三角形内心的性质: 三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角. (5)(1)圆与圆的五种位置关系:①外离;②外切;③相交;④内切;⑤内含. 如果两个圆没有公共点,叫两圆相离.当每个圆上的点在另一个圆的外部时,叫两个圆外离,当一个圆上的点都在另一圆的内部时,叫两个圆内含,两圆同心是内含的一个特例;如果两个圆有一个公共点,叫两个圆相切,相切分为内切、外切两种;如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交. (2)圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系:①两圆外离?d>R+r; ②两圆外切?d=R+r; ③两圆相交?R-r<d<R+r(R≥r); ④两圆内切?d=R-r(R>r); ⑤两圆内含?d<R-r(R>r).

高考数学圆与圆的位置关系讲义

高三第一轮复习数学---点与圆、直线与圆、 圆与圆的位置关系 一、教学目标:通过练习掌握基本知识,并能综合运用所学知识正确解题 二、教学重点:综合运用所学知识正确解题 三、教学过程: (一)主要知识: 1、 若圆(x-a)2+(y-b) 2=r 2,那么点(x 0,y 0)在 ()()()()()()?? ???>-+-?<-+-?=-+-?2 2020220202 2020r b y a x r b y a x r b y a x 圆外圆内圆上 2、直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系:相离、相切和相交。有两种判断方法: (1) 代数法(判别式法)?? ?????相离相切相交000 (2) 几何法,圆心到直线的距离?? ????>?=?<相离相切相交r d r d r d 一般宜用几何法。 3、弦长与切线方程,切线长的求法 (1)弦长求法一般采用几何法:弦心距d ,圆半径r ,弦长l ,则2222r l d =?? ? ??+ (2)改写圆方程写出圆的切线方程:(x 0,y 0)为切点的圆的切线方程,分别以x 0x, y 0y,2 ,200y y x x ++改写圆方程中的x 2,y 2,x,y (3) 切线长()()22020002020r b y a x F Ey Dx y x d --+-=++++= 4、圆与圆的位置关系 相离?+>2121r r O O 外切?+=2121r r O O 相交?+<<-212121r r O O r r 内切?-=2121r r O O 内含?-<2121r r O O

5、圆系方程 (1)以(a,b)为圆心的圆系方程:()()()022 2≠=-+-r r b y a x 。 (2)过两圆0:111221=++++F y E x D y x C 和0:222222=++++F y E x D y x C 的交点的圆系方程:()022********=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ但不含C 2 1-=λ时,()()()0:212121=-+-+-F F y E E x D D l 为两圆公共弦所在直线方程 其中当两圆相切时,L 为过两圆公共切点所在直线的方程。 (二)例题分析: 例1、已知圆x 2+y 2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P,Q 两点,O 为原点,且OP ⊥OQ ,求实数m 的值。 解法一设P(x 1,y 1), Q(x 2,y 2),由OP ⊥OQ, 得: k OP k OQ = -1即y 1x 1 y 2x 2 = -1即x 1x 2+y 1y 2=0 ① 另一方面(x 1,y 1),(x 2,y 2)是方程组??? x+2y-3=0 x 2+y 2+x-6y+m=0 的实数解, 即x 1,x 2是5x 2+10x+4m-27=0 ② 的两个实数根,∴x 1+x 2=-2,x 1x 2=4m-275 ③ 又P,Q 在直线x+2y-3=0上,∴y 1y 2=14 (3-x 1)(3-x 2)= 14 [9-3(x 1+x 2)+x 1x 2] 将③代入得y 1y 2= m+125 ④ 将③④代入①知:m=3. 代入方程②检验?>0成立. ∴m=3 解法二将3=x+2y 代入圆的方程知:x 2+y 2+13 (x+2y)(x-6y)+ m 9 (x+2y)2=0, 整理得:(12+m)x 2+4(m-3)x y+(4m-27)y 2=0由于x ≠0可得(4m-27)( y x )2+4(m-3) y x +12+m=0,∴k OP , k OQ 是上方程的两根, 由k OP k OQ = -1知: m+124m-27 =-1, 解得:m=3. 检验知m=3为所求. 【思维点拨】这是用韦达定理解题的典型题,在以后的圆锥曲线中也有同类型题,注意?>0的检验 练习(变式1):若直线ax+by=1与圆x 2+y 2=1相交,则点P(a,b)的位置是( ) A 、在圆上 B 、在圆外 C 、在圆内 D 、都有可能 变式2、过点(2,1)的直线中,被x 2+y 2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程是( A ) A 、3x-y-5=0 B 、 3x+y-7=0 C 、 x+3y-5=0 D 、x-3y+1=0 例2、已知圆C :,25)2()1(22=-+-y x 直线 )(047)1()12(:R m m y m x m l ∈=--+++. (1) 证明不论m 取什么实数,直线与圆恒交于两点; (2) 求直线被圆C 截得的弦最小时的方程. 解 (1)l 的方程为(x+y-4)+m(2x+y-7)=0 ∵m ∈R ∴x+y-4=0,且2x+y-7=0,得x=3, y=1

考点26 圆的方程,直线和圆的位置关系学生版(2021年高考艺体生基础生考点培优讲义

考点26 圆的方程 [玩前必备] 1.圆的定义 在平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径. 2. 圆的标准方程 (1) 以(a ,b )为圆心,r (r >0)为半径的圆的标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2. (2) 特殊的,以(0,0)为圆心,r (r >0)为半径的圆的标准方程为x 2+y 2=r 2. 3. 圆的一般方程 方程 x 2+y 2+Dx +Ey +F =0可变形为????x +D 22 +????y +E 22 =D 2+E 2 -4F 4 . (1) 当 D 2+ E 2-4 F >0 时,方程表示以????-D 2,-E 2为圆心,D 2+E 2-4F 2 为半径的圆; (2) 当D 2+E 2-4F =0时,该方程表示一个点????-D 2,-E 2; (3) 当D 2+E 2-4F <0时,该方程不表示任何图形. 4. 直线与圆的位置关系的判断方法 设直线l :Ax +By +C =0(A ,B 不全为0),圆为(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0),d 为圆心(a ,b )到直线l 的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. 5. (1) 圆与圆的位置关系有五种,分别为外离、外切、相交、内切、内含. (2) 判断两圆位置关系的方法 设圆O 1:(x -a 1)2+(y -b 1)2=r 21(r 1>0),圆O 2:(x -a 2)2+(y -b 2)2=r 2 2(r 2>0).圆心距O 1O 2=d ,则

6.(1)几何法:设圆的半径为r ,弦心距为d ,弦长为l ,则(l 2)2=r 2-d 2. (2)代数方法:运用根与系数的关系及弦长公式: 设直线与圆的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则|AB |=1+k 2|x 1-x 2|=(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]. 注意:常用几何法研究圆的弦的有关问题. [玩转典例] 题型一 求圆的方程 例1 (2020·河南濮阳.高三期末)若圆C 经过(1,0),(3,0)两点,且与y 轴相切,则圆C 的方程为( ) A .(x -2)2+(y ±2)2=3 B .(x -2)2+(y ±3)2=3 C .(x -2)2+(y ±2)2=4 D .(x -2)2+(y ±3)2=4 [玩转跟踪] 1. (1)圆心在y 轴上且经过点(3,1)的圆与x 轴相切,则该圆的方程是( ) A .x 2+y 2+10y =0 B .x 2+y 2-10y =0 C .x 2+y 2+10x =0 D .x 2+y 2-10x =0 (2) 已知圆C 经过A (5,1),B (1,3)两点,圆心在x 轴上,则圆C 的方程为______________. 题型二 判断直线与圆的位置关系 例2 (2020·福建高三期末)若直线 :1(0)l y kx k =+<与圆2 2:4230C x x y y ++-+=相切,则直线l 与圆2 2:(2)3D x y -+=的位置关系是( ) A .相交 B .相切 C .相离 D .不确定 [玩转跟踪] 1.(2020·包头市田家炳中学高三期中)直线y =x ﹣1与圆x 2+y 2=1的位置关系为( ) A .相切 B .相离 C .直线过圆心 D .相交但直线不过圆心 题型三 直线与圆相交弦长问题 例3 在平面直角坐标系xOy 中,直线x +2y -3=0被圆(x -2)2+(y +1)2=4截得的弦长为________. [玩转跟踪] 1.(2020·河南濮阳)斜率为1的直线l 被圆x 2+y 2=4x 截得的弦长为4,则l 的方程为( ) A .y =x ﹣3 B .y =x +3 C .y =x ﹣2 D .y =x +2

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