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圆锥曲线中有关过定点及定值问题

圆锥曲线中有关过定点及定值问题

江苏高考中近几年常考的一类题型为圆锥曲线题,常常涉及到过定点与定值问题,属于解析几何的范畴。解析几何是用代数的手段解决几何问题,在教学中我发现了许多圆锥曲线中过定点或比值为定值问题,想讲清楚这类问题不难,教者只要讲清这类问题的原理为等式恒成立,方法为待定系数法即可。后来发现如果只讲方法与原理,不少学生的掌握仅限于模仿,处于知其然不知其所以然的境况;而在几何中过定点问题可以依据的几何方法找到直观的解释。如果教者能潜心研究,发现其几何解释,这样不仅很好地解释过定点或定值问题,而且能让学生易于接受结果,学生学习积极性的会有更好提高、对解几的运算更能接受。 下面通过几个例子能说明问题:

例1:已知t ∈R ,圆 C :x 2+y 2-2tx -2t 2y +4t -4=0.

(1)若圆C 圆心在直线x -y +2=0上,求圆C 的方程;

(2)圆C 是否过定点?如果过定点,求出定点的坐标;如果不过定点,说明理由.

【解析】

(1)圆C 的方程可化为(x -t)2+(y -t 2)2=t 4+t 2-4t +4,其圆心为(t ,t 2),

则由题意有t - t 2+2=0,所以t =-1或t =2,

故圆C 的方程为(x +1)2+(y -1)2=10

或(x -2)2+(y -4)2=16.

例2:(2009年高考江苏卷)

如图在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 1:(x +3)2+(y -1)2=4和圆C 2:(x -4)2+(y -5)2=4.

(1)若直线l 过点A (4,0),且被圆C 1截得的弦长为23,求直线l 的方程;

(2)设P 为平面上的点,满足:存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2,它们分别与圆C 1和C 2相交,且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P 的坐标.

解:(1)由于直线x =4与圆C 1不相交,所以直线l 的斜率

存在.设直线l 的方程为y =k (x -4),圆C 1的圆心到直线l 的

距离为d ,因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23,所以d =22-(3)2

=1.由点到直线的距离公式得d =|1-k (-3-4)|1+k 2,()()222222222041220.402,2022004402

2002201,t C x y t C x y x y x y x x y y x y x y x C t t y x C y C ?+===??????==+--=????=??=?=??=?当=时,圆:+=;当=时,圆:+--=解方程组解得或将代入圆的方程,左边=-+不恒等于;将代入圆的方程,左边==右边,故圆过定点方法:.()22222(4)(24)(2)0.402240,.0202,02C x y x t y t x y x x y y C ?+-==??-+=??=??-=?将圆的方程整理为+-+-++-=令解得故圆过定点方法:.

从而k (24k +7)=0,即k =0或k =-724

,所以直线l 的方程为y =0或7x +24y -28=0.

(2)设点P (a ,b )满足条件,不妨设直线l 1的方程为y -b =k (x -a ),k ≠0,则直线l 2的方

程为y -b =-1k

(x -a ).因为圆C 1和圆C 2的半径相等,且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等,所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等,即

|1-k (-3-a )-b |1+k 2=|5+1k (4-a )-b |1+1k

2, 整理得|1+3k +ak -b |=|5k +4-a -bk |,从而1+3k +ak -b =5k +4-a -bk 或1+3k +ak -b =-5k -4+a +bk ,

即(a +b -2)·k =b -a +3或(a -b +8)k =a +b -5,因为k 的取值有无穷多个,所以

????? a +b -2=0,b -a +3=0,或????? a -b +8=0,a +b -5=0,解得??? a =52,b =-12,或??? a =-32,b =132. 这样点P 只可能是点P 1(52,-12)或点P 2(-32,132

). 经检验点P 1和P 2满足题目条件.

分析:此两点实际为以C 1、C 2为直径的圆与C 1C 2为线段的中垂线的交点,可以借助两三角形全等来解释。

例3:学科网]

(江苏省苏北四市2011届高三第一次调研) 已知椭圆E :22

184

x y +=的左焦点为F ,左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心,圆C 恰好经过坐标原点O ,设G 是圆C 上任意一点.

(1)求圆C 的方程;

(2)若直线FG 与直线l 交于点T ,且G 为线段FT 的中点,求直线FG 被圆C 所截得的

弦长;

(3)在平面上是否存在一点P ,使得12

GF GP =?若存在,求出点P 坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】第(1)问先求出圆心坐标,再直接写出圆的方程;第(2)问先用中点坐标公式求出点G 的横坐标,再代入所求圆的方程求出纵坐标,注意有两解,则FG 的方程可写出;第

(3)问是存在性问题,一般解法是先假设存在,再结合已知条件求之,若能求出,则存在,若求之无解,则不存在。

(1)由椭圆E :22

184

x y +=,得l :4x =-,(4,0)C -,(2,0)F -,

又圆C 过原点,所以圆C 的方程为22(4)16x y ++=.

(2)由题意,得(3,)G G y -,代入22(4)16x y ++=,得15G y =±,

所以FG 的斜率为15k =±,FG 的方程为15(2)y x =±+,

(注意:若点G 或FG 方程只写一种情况扣1分)

所以(4,0)C -到FG 的距离为152d =

,直线FG 被圆C 截得弦长为215216()72

-=. 故直线FG 被圆C 截得弦长为7.

(3)设(,)P s t ,00(,)G x y ,则由12GF GP =,得22002200(2)12

()()x y x s y t ++=-+-, 整理得222200003()(162)2160x y s x ty s t +++++--=①,

又00(,)G x y 在圆C :22(4)16x y ++=上,所以2200080x y x ++=②, ②代入①得2200(28)2160s x ty s t -++--=, 又由00(,)G x y 为圆C 上任意一点可知,22280,20,160,s t s t -=??=??--=?

解得4,0s t ==.

所以在平面上存在一点P ,其坐标为(4,0). 分析:由

12

GF GP =得点P 的轨迹为圆,所以点(4,0)实际为两圆的交点。 例4:已知椭圆E :22221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为22,且过点(2,2)P ,设椭圆的右准线l 与x 轴的交点为A ,椭圆的上顶点为B ,直线AB 被以原点为圆心的圆O 所截得的弦长为455

. ⑴求椭圆E 的方程及圆O 的方程;

⑵若M 是准线l 上纵坐标为t 的点,求证:存在一个异于M 的点Q ,对于圆O 上任意一点N ,有MN NQ

为定值;且当M 在直线l 上运动时,点Q 在一个定圆上. 解:⑴2,22e a c =∴=,又222,a b c a b =+∴=

22221x y a b +=过点()

2,2P ,22421a b ∴+=解得2228,4,a b c ===∴椭圆方程:22

184x y +=()()4,0,0,2,A B

∴直线AB 的方程为240x y +--,则圆心O 到直线AB 的距离45d =∴圆O 的半径224142255r ????=+?= ? ????

?∴圆的方程:224x y +=. ⑵右准线的方程为4x =,由题可设()()004,,,M t N x y 定点(),Q x y [来源:学.科.网]

MN 与NQ 的比值是常数并且Q 不同于M ,

22,NQ NM λλ∴=是正常数并且不等于1, 即()()()()222200004x x y y x y t λλ-+-=-+-

将22004x y +=代入有()22200002248220xx yy x y x ty t λλλ--+++=--++,

有无数组()00,x y ,从而()2224420x y t x y t λλλ?=??=??++=+??

解得:1λ=(舍去)或2416t λ=+ 于是定值为:2

162

NM t NQ +=,又2416,t λ+=代入得224,x y λ+=于是22x y x +=,故Q 在圆心1(,0)2,半径为12

的定圆上.

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