(精校版)大纲全国II数学(理)卷文档版(含答案)-2010年普通高等学校招生统一考试

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2010年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修II)

第I 卷

注意事项：

1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：

如果事件A B 、互斥，那么 球的表面积公式

()()()P A B P A P B +=+ 2

4S R π=

如果事件A B 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()

()P A B P A P B

=

球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3

43

V R π=

n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径

()(1)

(0,1,2,)k

k

n k

n n P k C p p k n -=-=…

一．选择题

（1）复数2

31i i -??

= ?+??

（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + （2）函数1ln(1)

(1)2

x y x +-=>的反函数是

（A ）21

1(0)x y e x +=-> （B ）21

1(0)x y e x +=+> （C ）211(R )x y e

x +=-∈ （D ）21

1(R )x y e

x +=+∈

（3）若变量,x y 满足约束条件1,

,325x y x x y -??

??+?

≥≥≤，则2z x y =+的最大值为

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （4）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=

（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 （5）不等式

2

601

x x x ---＞的解集为

（A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜ （C ）{}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜

（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种

（7）为了得到函数sin(2)3

y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6

y x π

=+的图像

（A ）向左平移个长度单位 （B ）向右平移个长度单位 （C ）向左平移

个长度单位 （D ）向右平移

个长度单位

（8）A B C V 中，点D 在A B 上，C D 平方A C B ∠．若C B a =uur ，C A b =uur

，1a =，2b =，则C D =uuu r

（A ）

123

3

a b +

（B ）

21

3

3a b +

（C ）3455a b +

（D ）43

55

a b + （9）已知正四棱锥S A B C D -中，SA =

（A ）1 （B ）

（C ）2 （D ）3

（10）若曲线1

2y x -=在点1

2,a a -?

? ???

处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =

（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8

（11）与正方体1111ABC D A B C D -的三条棱A B 、1C C 、11A D 所在直线的距离相等的点 （A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D

）有无数个 （12）已知椭圆222

2

:

1(0)x y C a b a

b

+

=＞＞的离心率为

2

，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的

直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =

，则k =

（A ）1 （B

） （C

（D ）2

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。 2．本卷共10小题，共90分。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． （13）已知a 是第二象限的角，4tan(2)3

a π+=-，则tan a = ．

（14）若9

()a x x

-

的展开式中3

x 的系数是84-，则a = ．

（15）已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)M

的直线与l 相交

于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM MB =

，则p = ．

（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，A B 为圆M 与圆N 的公共弦，4A B =．若3O M O N ==，则两圆圆心的距离M N = ．

三．6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）

A B C ?中，D 为边B C 上的一点，33B D =，5sin 13

B =

，

3cos 5

A D C ∠=，求A D ．

（18）（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和2()3n

n S n n =+ ．

（Ⅰ）求lim

n n n a S →∞

；

（Ⅱ）证明：122

2

2

31

2

n

n a a a n

+++

…＞．

（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱111ABC A B C -中，A C B C =，1

AA AB =，D 为1B B 的中点，E 为

1A B 上的一点，13AE EB =．

（Ⅰ）证明：D E 为异面直线1A B 与C D 的公垂线；

（Ⅱ）设异面直线1A B 与C D 的夹角为45°，求二面角111A AC B --的大小． （20）（本小题满分12分）

如图，由M 到N 的电路中有4个组件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9．电流能否通过各组件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999． （Ⅰ）求p ； （Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率；

（Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的组件个数，求ξ的期望．

（21）（本小题满分12分）

己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()222

2

100x y a b a

b

-

=＞，＞相交于B 、D 两点，且

BD 的中点为()1,3M ．

（Ⅰ）求C 的离心率；

（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．

（22）（本小题满分12分） 设函数()1x

f x e

-=-．

（Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1

x f x x ≥+；

（Ⅱ）设当0x ≥时，()1

x f x ax ≤

+，求a 的取值范围．

参考答案

（18）解：

（Ⅰ）1

lim

lim

n n n n n n

n

a S S S S -→∞→∞

-=1lim (1)n n n

S S -→∞

=-

11lim

n n n

S S -→∞

-，

1111

lim

lim

133n n n n

S n S n -→∞

→∞

-=?=+， 所以2lim

3

n n n

a S →∞

=.

（Ⅱ）当1n =时，112

631

a S ==>；

当1n >时，

122

2

2

1

2

n a a a n

+

++ 1

121

2

2

2

1

2

n n S S a S S n

---=+

++

（19）解法一：

（Ⅰ）连接1A B ，记1A B 与1A B 的交点为F.

因为面11AA B B 为正方形，故11A B AB ⊥，且1

A F F

B =.又13AE EB =，所以1

F E E B =，又D 为1B B 的中点，故//D E B F ，1DE AB ⊥. 作C

G AB ⊥，G 为垂足，由A C B C =知，G 为AB 中点.

又由底面A B C ⊥面11AA B B ，得C G ⊥面11AA B B .连接

DG ，则1//DG AB ，故D

E D G ⊥，由三垂线定理，得D E C D ⊥.

所以DE 为异面直线1A B 与CD 的公垂线.

（Ⅱ）因为1//DG AB ，故C D G ∠为异面直线1A B 与CD 的夹角，45CDG ∠= .

设2A B =

，则1AB DG CG AC ==

=

=

作111B H A C ⊥，H 为垂足.因为底面111A B C ⊥面11AA C C ，故1B H ⊥面11AA C C ，又作1H K AC ⊥，K 为垂足，连接1B K ，由三垂线定理，得11B K AC ⊥，因此1B K H ∠为二面角111A AC B --的平面角

.

111

B H A

C =

=

13

H C ==

，

1AC =

=

11

1

AA H C H K AC ?=

=

（Ⅱ）因为1,B A D C

等于异面直线1A B 与CD 的夹角，

故11cos 45B A D C B A D C ?=?

，即42

=，

解得(1,A C =-

.又11(0,2,0)AA BB ==

，

所以1(1,AA =-

.

设平面11A A C 的法向量为(,,)m x y z =，则110,0m AC m AA ?=?=

，

即20x y -++=且20y =.令x =，则

1,0z y ==，故0,1)m =.

设平面11AB C 的法向量为(,,)n p q r =，则110,0n AC n B A ?=?=

，

即20,220p q p q -++=-=.

令p =

，则1q r ==-，故1)n =-.

所以cos ,

m n m n m n

?=

=

由于,m n 等于二面角111A AC B --的平面角，

所以二面角111A AC B --的大小为arccos

15

.

（Ⅲ）由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能否通过各元件相互独立， 故~(4,0.9)B ξ，40.9 3.6E ξ=?=. （21）解：

（Ⅰ）由题设知，l 的方程为：2y x =+.

代入C 的方程，并化简，得2

2

2

2

2

2

2

()440b a x a x a a b ----=.

设11(,)B x y 、22(,)D x y ，则2222

12122

2

22

44,a

a a

b x x x x b a b a

++=

?=-

--，①

由(1,3)M 为BD 的中点知

12

12

x x +=，故22

2

1412

a

b a

?

=-，即2

2

3b a =，②

故2c a ==，所以C 的离心率2c e a

==.

（Ⅱ）由①、②知，C 的方程为：22233x y a -=，

2

121243(,0),(2,0),2,02

a A a F a x x x x ++==-

<，

故不妨设12,x a x a ≤-≥.

12BF a x ===-，

22FD x a

=

=

=-，

12(2)(2)

BF FD a x x a ?=--2

121242()x x a x x a

=-++-2

548a a =++.

又17BF FD ?=，故254817a a ++=

，解得1,a =或

95

a =-

（舍去）.

故连接M B M D =，且MA x ⊥轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点Ａ处于x 轴相切．

所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.

于是()g x 在0x =处达到最小值，因而当x R ∈时，()(0)g x g ≥，即1x

e x ≥+.

所以当1x >-时，()1

x f x x ≥

+.

（Ⅱ）由题设0x ≥，此时()0f x ≥. 当0a <时，若1x a

>-

，则

01

x ax <+，()1

x f x ax ≤

+不成立；