第九章 定 积 分 ( 2 2 时 )

第九章定积分（2 2 时）

§ 1 定积分的定义（2 时）

教学内容：1) 定积分概念的引入

2）“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立

3) 定积分的数学定义

重点：定积分的数学定义

难点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立

定积分概念的引入

背景：

曲边梯形的面积: 2. 变力所作的功:

函数的平均值: 4. 原函数的构造型定义: ( [1]P274—277 )

1 曲边梯形的面积

中学里我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算，这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢？我们通常用一些小矩形面积的和来近似它。

上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情况精度高，但这样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。如何求取曲边图形的准确面积呢？

比如举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力学原理设计的，如图1所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直线，下面部分是圆弧。建造这样的大坝自然要根据它的体积备料，计算它的体积就需要尽可能准确的计算出它的断面面积。该断面最上面抛物线所围的那

一块面积该怎样计算呢？在介绍微分定义

时我们已经知道，直与曲虽然是一对矛盾，但它们可以相互转化，早在三国时代，我代数学家刘徽就提出了“割圆术”，以“直”代“曲”把圆的面积近似看成多边形面积来计算。现在我们我们来计算一下溢流坝上部断面面积。

假设抛物线方程为

[0

x

,

x

1

y2∈

-

=a b

a b

（四个小矩形）（九个小矩形）

图1 长江三峡溢流坝断面

将]1,0[ 等分成n 等份，抛物线下面部分分割成n 个小曲边梯形第i 个小曲边

梯形用宽为n 1，高为 2

n i 1??

?

??- 的矩形代替，

它的面积 n 1)2n

2i (1i ΔS ?-≈

所求的总面积

32

2

6n 13n 22n 1n 1i 2i

3n 11n 1n 1i )2n 2i (1n S →

+--=∑=-=?∑=-≈

我们分别取n=10, 50, 100用计算机把它的图象画出来，并计算出面积的近

似值：

S(10)= 0.7150; S(50)= 0.6766; S(100)=0.6717

由此可知，分割越细，越接近面积准确值 6666.0 。

再看一个变力做功的问题。

设 质点 m 受力)(x F 的作用，沿直线由A 点运动到B 点，求变力)(x F 作的功

F 虽然是变力，但在很短一段间隔内x ?，F 的变化不大，可近似看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想，

1） 对],[b a 作分割

b x x x x a n i i =<<<<<<- 11

当每个小区间的长度都很小时，小区间 ],[1i i x x -上的力

],[,)(1i i i i x x F F -∈≈ξξ

在 ],[1i i x x -上，力F 作的功

i i i x F W ?≈?)(ξ 2）求 和

力F 在 ],[b a 上作的功

∑∑==?≈?=n

i n

i i i i x F W W 1

1

)(ξ

分割越细，近似程度，分割无限细时，即分割细度 0}max{||||→?=i x T ， 3）取极限 对上面和式取极限，极限值,就是力在 ],[b a 上作的功。

从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归结为形如

∑=?n

i i

i

x

f 1

)(ξ

的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义

定义 设 )(x f 是定义在区间],[b a 上的一个函数，在闭区间],[b a 上任取n-1个分点

b x x x x a n i i =<<<<<<- 11

把 [a,b] 分成 n 个小闭区间，我们称这些分点和小区间构成的一个分割，用T 表示, 分割的细度用}max{||||i x T ?=表示，在分割T 所属的各个小区间内各取一点],[1i i i x x -∈ξ称为介点，作和式

∑=?n

i i

i

x

f 1

)(ξ 以后简记为

∑

)(T f

此和式称为)(x f 在],[b a 上属于分割T 的积分和（或黎曼和，设J 是一个确定的数，若对任意0>ε总存在某个0>δ，使得 ],[b a 上的任何分割T ，只要它的细度δ<||||T ，属于分割T 的所有积分和

∑

)(T f

都有

ε<-∑|)(|J T f

则称)(x f 在],[b a 上可积，称J 为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分(或黎曼积分)，记作

?b

a f (x )d

x 其中)(x f 称为积分函数，x 称为积分变量，],[b a 称为积分区间，b a ,分别称为积分 的上限和下限。

利用积分的定义，前面提到曲边梯形面积可简洁的表示为

?=b

a

dx x f S )(

变力作功问题可表示为

?=b

a

dx x F W )(

例 用定义求积分

?+1

21x dx

. 解 分法与介点集选法如例1 , 有

?+1

021x

dx

∞

→=n lim ∑=???

? ??+n

i n n i 12

1

11

∞

→=n lim ∑=+n

i i

n n

12

2 . 上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分 ?+1

2

1x dx

. 三．理解定积分定义要注意以下三点：

1）定积分定义与我们前面讲的函数极限的“δε-”定义形式上非常相似，但是两者之间还是有很大差别的。对于定积分来说，给定了细度||||T 以后，积分和并不唯一确定，同一细度分割由无穷多种，即使分割确定，介点i ξ仍可以任意选取，所以积分和的极限比前面讲的函数极限要复杂的多。

2）定积分是积分和的极限，积分值与积分变量的符号无关

???==b

a

b

a

b

a

du u f dx x f dt t f )()()(

3) 0||||→T 表示分割越来越细的过程，0||||→T 分点个数∞→n ，但反过来∞→n 并不能保证 0||||→T ， 所以 ∑=→?=n

i i

i

T x

f J 1

||||)(lim

ξ不能写成

∑=∞

→?=n

i i i n x f J 1

)(lim ξ

四．小结：学习定积分，不仅要理解、记住定积分的定义，还要学习建立定

积分概念的基本思想，我们以后的学习中还会遇到其它类型的积分，比如勒贝格积分、斯蒂疌斯积分等，只要理解了定积分的思想，其他类型的积分就很容易理解了。现在我们再来总结一下定积分建立的的思想和方法：从定积分的实例和概念中看到定积分的基本思想是：首先作分割然后用“直”的长方形去近似代替小曲边梯形，以“直” 代“曲”；然后把所有长方形加起来，近似求和，得到曲边梯形面积的一个近似值；当分割无限加细时，就得到曲边梯形的准确值，即

?b

a

dx x f )(，这时又从“直”回到了“曲”。“分割、近似求和、取极限”是定积

分的核心思想。

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牛顿（I.Newton 1642.12.25—1727.3.3）

英国数学家和物理学家出生在一个农民家庭，出生前父亲就

去世了，三岁时母亲改嫁，由外祖母抚养。1661年入剑桥大学，

1665年获学士学位，1668年获硕士学位。由于他出色的成就，1669

年巴鲁（Barrow）把数学教授的职位让给年仅26岁的牛顿。1703

年被选为英国皇家学会会长。牛顿一生成就辉煌，堪称科学巨匠。

最突出的有四项重大贡献：创立微积分，为近代数学奠定了基础，

推动了整个科学技术的发展。他发现了力学三大定律，为经典力

学奠定了基础；他发现了万有引力为近代天文学奠定了基础；他

对光谱分析的实验，为近代光学奠定了基础。他的巨著《自然哲

学的数学原理》影响深远，他被公认为历史上伟大的科学家。可惜他晚年研究神学，走了弯路。

黎曼（B.Riemann 1826.9.17-1866.7.20）

德国数学家，出生在德国一个乡村牧师家庭，在哥廷根大学和

柏林大学学习，1851年获博士学位1859年任教授，1886年因肺结

核去世。他四十年的生涯中，在数学许多分支，都作出了划时代贡

献。他在1851年的博士论文“复变函数论的基础”给出了保角影

射的基本定理，是几何函数论的基础，1854年定义了黎曼积分，又

提出了关于三角级数收敛的黎曼条件。同年在他的另一篇论文中引

入n维流形和黎曼空间的概念，并定义了黎曼空间的曲率，开辟了几何学的新领域。1857年他在关于阿贝尔函数的论文中，引入了黎曼面概念，奠定了复变函数的几何理论基础，1858年他关于素数分布的论文，用黎曼函数论述了素数的分布，开辟了解吸函数论。在此论文中还提出了柯西函数零点分布的黎曼猜想，至尽还未解决。他在非欧几何、偏微分方程、理论物理、椭圆函数论等方面都有杰出贡献，不愧是一位具有开拓精神的伟大数学家。

小知识：中国古代数学对微积分创立的贡献

微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的。公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积，求得圆周率约等于3 .1416，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现。微积分思想虽然可追朔古希腊，但它的概念和法则却是16世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的。而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了

对高阶等差级数求和的研究。特别是13世纪40年代到14世纪初，在主要领域都达到了中国古代数学的高峰，出现了现通称贾宪三角形的“开方作法本源图”和增乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”（一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶等差级数求和）、“招差术”（高次差内差法）、“天元术”（数字高次方程一般解法）、“四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果，中国古代数学有了微积分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键。中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条件，已经接近了微积分的大门。可惜中国元朝以后，八股取士制造成了学术上的大倒退，封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落，在微积分创立的最关键一步落伍了。

习题71定积分的概念和可积条

第七章 定积分 习 题 7.1 定积分的概念和可积条件 1. 用定义计算下列定积分： ⑴ ()ax b dx +?01 ; ⑵ a dx x 01 ? (a >0). 解 （1）取划分：11210<-<<<< n n n n ，及 ),,2,1(n i n i i ==ξ，则 n x i 1 =?，于是 )(2)11(21)(1 ∞→+→++=+∑=n b a b n a n b n i a n i ，即 b a dx b ax += +? 2 )(1 。 （2）取划分：11210<-<<<< n n n n ，及 ),,2,1(n i n i i ==ξ，则 n x i 1=?， 于是 ) 1() 1(1111n n n i n i a n a a n a --=∑=。因为 )(ln 111 ∞→→-n a n a n ，)(11 ∞→→n a n ，所以a a a n a a n a n n n i n i ln 1 ) 1()1(11 11 -→--=∑=， 即 a a dx a x ln 1 1 0-= ?。 ⒉ 证明，若对[,]a b 的任意划分和任意∈i ξ[,]x x i i -1，极限∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ都存 在，则f x ()必是[,]a b 上的有界函数。 证 用反证法。设∑=→?n i i i x f 10 )(lim ξλI =，则取0,1>?=δε，对任意的划分P 与任意 1[,]i i i x x ξ-∈，只要δλ

高等数学第七章定积分的应用

第七章 定积分的应用 一、本章提要 1. 基本概念 微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2． 基本公式 平面曲线弧微元分式． 3. 基本方法 (1) 用定积分的微元法求平面图形的面积， (2) 求平行截面面积已知的立体的体积， (3) 求曲线的弧长， (4) 求变力所作的功， (5) 求液体的侧压力， (6) 求转动惯量， (7) 求连续函数f (x )在[]b a ,区间上的平均值， (8) 求平面薄片的质心，也称重心． 二、要点解析 问题1 什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？ 解析 具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q 必须满足条件： （1）Q 与变量x 和x 的变化区间[]b a ,以及定义在该区间上某一函数f (x )有关；（2） Q 在[]b a ,上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下： （1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如x ），并确定积分变量的变化区间[]b a ,； （2）取近似找微分：在[]b a ,内任取一代表性区间[]x x x d ,+，当x d 很小时运用“以 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式d =()d Q f x x ≈Q ?（Q ?为量Q 在小区间[]x x x d ,+上所分布的部分量的近似值）；

（3）对微元进行积分得 =d ()d b b a a Q Q f x x =??． 下面举例说明． 例1 用定积分求半径为R 的圆的面积． 解一 选取如图所示的坐标系，取x 为积分变量，其变化区间为[]R R ,-，分割区间 []R R ,-成若干个小区间，其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元 x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=， 于是 ? ?---==R R R R x x R A A d 2d 22=2πR ． 解二 选取如图所示的坐标系， 取θ 为积分变量，其变化区间为[]π2,0．分割区间[]π2,0成若干个小区间，其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2 1d 2 R A = ，于是 22π 20 2π 20 ππ22 1 d 21d R R R A A =?===? ?θ． 解三 选取r 为积分变量， 其变化区间为[]R ,0，如图，分割[]R ,0成若干个小区间，

高等数学 第七章 定积分的应用

第七章定积分的应用 一、本章提要 1.基本概念 微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2．基本公式 平面曲线弧微元分式． 3.基本方法 (1)用定积分的微元法求平面图形的面积， (2)求平行截面面积已知的立体的体积， (3)求曲线的弧长， (4)求变力所作的功， (5)求液体的侧压力， (6)求转动惯量， (7)求连续函数f(x)在[]b a,区间上的平均值， (8)求平面薄片的质心，也称重心． 二、要点解析 问题1什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？ 解析具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q必须满足条件：（1）Q与变量x和x的变化区间[]b a,以及定义在该区间上某一函数f(x)有关；（2）Q在[]b a, 上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下： （1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如x），并确定积分变量的变化区间[]b a,； （2）取近似找微分：在[]b x d ,+，当x d很小时运用“以 x a,内任取一代表性区间[]x 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式d=()d Q f x x≈Q ?为量Q在小 ?（Q 区间[]x ,+上所分布的部分量的近似值）； x x d

（3）对微元进行积分得 =d ()d b b a a Q Q f x x = ?? ． 下面举例说明． 例1 用定积分求半径为R 的圆的面积． 解一 选取如图所示的坐标系，取x 为积分变量，其变化区间为[]R R ,-，分割区间 []R R ,-成若干个小区间，其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元 x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=， 于是 ? ? ---== R R R R x x R A A d 2d 2 2=2 πR ． 解二 选取如图所示的坐标系， 取θ 为积分变量，其变化区间为[]π2,0．分割区间[]π2,0成若干个小区间，其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2 1d 2 R A = ，于是 2 2π20 2 π20 ππ22 1d 2 1d R R R A A =?= = = ? ? θ． 解三 选取r 为积分变量， 其变化区间为[]R ,0，如图，分割[]R ,0成若干个小区间，

09数学分析教案_(华东师大版)第九章_定积分 第三节可积条件

§3可积条件 教学要求： 理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题. 教学重点：掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题； 一、必要条件: Th 9.2 若函数f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上有界. 证明 反证法 若f(x)在[a,b]上无界，则对于[a,b]的任意分割T ，必存在属于T 的某个小区间?k ，f(x)在?k 上无界，在i ≠k 的各个小区间上任意取定ξi ，并记| ()|i i i k G f x ξ≠=?∑，现在对任意大的正数M ，由 于f(x)在?k 上无界，故存在ξk ∈?k ，使得|()|k k M G f x ξ+> ?，于是有1 |||()|()|()|n i i k k i i k i i k k M G f x f x f x x G M x ξξξ=≠-+???> ??-=?∑∑≥由此可见，对于无论多小的||T||,按上述方法选取点集{ξi }时，总能使积分和的绝对值大于任何事先给出的正数，这与f(x)在[a,b]上可积相矛盾。这个定理指出，任何可积函数一定是有界的，但要注意，有界函数不一定可积。 例1 证明狄利克雷函数D(x)在[0,1]上有界但不可积 证明 显然|D(x)|≤1，x ∈[0,1]. 对于[0,1]的任一分割T ，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于T 的任一小区间?i 上，当取ξi 全为有理数时， 1 1 ()1n n i i i i i D x x ξ==?=?=∑∑，当取ξi 全为无理数时，1 ()0n i i i D x ξ=?=∑，所以不论||T||有多 小，只要点集{ξi }取法不同（全取有理数或全取无理数），积分和有不同的极限，即D(x)在[0,1]上不可积。由此可见，有界是可积的必要条件，所以在讨论函数的可积性时，总是假设函数是有界的。 二、可积的充要条件 要判断一个函数是否可积，固然根据定义，直接考察积分和是否能无限接近于某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不易预知，因此这是极其困难的。下面给出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值。 设T={?i |i=1,2,…,n},为对[a,b]的任意一个分割，由于f(x)在[a,b]上有界，它在每个?i 上存在上下确界，，记sup (),inf (),i i i x x M f x m f x ∈?∈?==，i=1,2,…,n,作和1 1 (),()n n i i i i i i S T M x s T m x === ?=?∑∑分别为f(x)关于分割 T 的上和与下和，或称达布上和与达布下和，统称为达布和，任给ξi ∈?i ，i=1,2,…,n,显然有 1 ()()n i i i s T f x ξ=?∑≤≤S(T),与积分和相比较，达布和只与分割T 有关，而与点集{ξi }无关，由不等式就能通 过讨论上和与下和当||T||→0时的极限来揭示f(x)在[a,b]上是否可积。所以，可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的。 定理9.3（可积准则）函数f(x)在[a,b]上可积的充要条件是：任给ε>0，总存在相应的一个分割，使得S(T)-s(T)<ε。 本定理的证明依赖于对上和与下和性质的详尽讨论，这里从略（完整证明补述于§6） 设ωi =M i -m i ,称为f(x)在?i 上的振幅，有必要时记为f i ω，由于1()()n i i i S T s T x ω=-=?∑或记为i i T x ω?∑， 因此可积准则又可改述如下： 定理9.3'函数f(x)在[a,b]上可积的充要条件是：任给ε>0，总存在相应的一个分割，使得 i i T x ωε?<∑。 几何意义是：若函数f(x)在[a,b]上可积，则图中包围曲线y=f(x)的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分细，反之亦然。

第六章定积分空间解析几何

姓名______________ 学号__________________ 2012级信息计算科学 《高等数学选讲》练习题(5) 第六章 定积分及应用 1.抛物线22y x =把圆22 8x y +≤分成两部分，求这两部分面积之比 2. 求两椭圆22221x y a b +≤，22 221x y b a +≤的公共部分的面积. 3.求三叶玫瑰线sin3r a θ=（a>0）所围成的图形的面积. 4.设由y 轴，2,y x y a ==（01a <<）所围成的平面图形，由y a =，2y x =，1x =所围的平面图形都绕y 轴旋转，所得旋转体的体积相等，则a =_________ 5.一圆锥形水池，池口直径30m ，深20m ，池中盛满了水.试求将全部池水抽出池外需做的功. 6. 求函数1tan ()1tan x f x x -= +在区间[0,]4 π上平均值. 7.计算定积分 221x x e dx e π π-+?. 8.讨论下列反常积分的收敛性： （1） 01m x dx x +∞+? （,0n m ≥） （2）0arctan n x dx x +∞? （3）1201(ln )dx x x ?

第七章 空间解析几何与向量代数 1.设一平面通过原点及（6，-3，2），且与平面420x y z -+=垂直，则此平面方程为_________ 2.设直线L ：321021030 x y z x y z +++=??--+=?，及平面π：420x y z -+-=，则直线L （ ） （A ）平行于平面π. （B ）在平面π上. （C ）垂直于平面π. （D ）与平面π斜交. 3. 已知A 点和B 点的直角坐标分别为（1,0,0）与（0,1,1）.线段AB 绕z 轴一周所成的旋转曲面为S ，求由S 及两平面z=0,z=1所围成立体的体积. 第八章 多元函数微分法及其应用 1.设2(,)u xf x y xy =-，其中f 具有连续的二阶偏导数，求2,u u x x y ?????. 2.设x z xy y =+ ，其中()y y x =是由方程221x y +=所确定的函数，则dz dx = _________ 3.设函数(,)f x y 可微，(0,0)0f =，'(0,0)x f m =，'(0,0)y f n =，()[,(,)]t f t f t t ?=，则 '(0)?=_________. 4.设方程33 3z xyz a -=，求隐函数的偏导数2z x y ???. 5.设(,)z f x y =是二次连续可微函数，又有关系式u x ay =+，v x ay =- （a 是不为零的常数），求2z u v ???

最新定积分应用题附答案

《定积分的应用》复习题 一．填空： 1．曲线ln ,ln ,ln (0)y x y a y b a b y ===<<及轴所围成的平面图形的面积为A = ln ln b y a e dy ?=b-a______ 2. 2y x y ==曲线和 ____13 ____ 二．计算题： 1．求由抛物线 y 2 = 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。 解：（1）确定积分变量为y ，解方程组 2222 y x y x ?=?=-+? 得12121/22,12x x y y ==????==-?? 即抛物线与直线的交点为（2 1，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线y = 1和y = - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。 （2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近似于高为［(１－21y ）-2 1y 2 ］,底为dy 的矩形面积，从而得到面积元素 dA = [(１－21y)- 2 1y 2 ]dy (3)所求图形面积 A = ?-1 2[（1- 21y ）-21y 2 ]dy = [y - 41y 2 – 61y 3]12-= 94 2．求抛物线 y = - x 2 + 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。 解：由y = - x 2 + 4x – 3 得 '24,'(0)4,'(3)2y x y y =-+==-。 抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （ 32 ，3 ）。 故 面积A =

(完整版)高中数学定积分知识点

数学选修2-2知识点总结 一、导数 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；

6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，() 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格， f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如检查/()

专升本高等数学 第五章定积分及其应用

第五章 定积分 【考试要求】 1．理解定积分的概念和几何意义，了解可积的条件． 2．掌握定积分的基本性质． 3．理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法． 4．掌握牛顿——莱布尼茨公式． 5．掌握定积分的换元积分法与分部积分法． 6．理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法． 7．掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积． 【考试内容】 一、定积分的相关概念 1．定积分的定义 设函数 ()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=， 把区间[,]a b 分成n 个小区间01[,]x x ，12[,]x x ，，1[,]n n x x -， 各个小区间的长度依次为1 10x x x ?=-，221x x x ?=-，，1n n n x x x -?=-．在 每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ （1i i i x x ξ-≤≤） ，作函数值()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积()i i f x ξ? （1,2, ,i n =），并作出和1 ()n i i i S f x ξ==?∑． 记 12max{,,,}n x x x λ=???，如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间 1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称这个极 限I 为函数 ()f x 在区间[,]a b 上的定积分（简称积分），记作 ()b a f x dx ?，即

1 ()lim ()n b i i a i f x dx I f x λξ→===?∑? ， 其中 ()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限， b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间． 说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说 ()()()b b b a a a f x dx f t dt f u du ==? ??． 2．定积分存在的充分条件（可积的条件） （1）设 ()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积． （2）设 ()f x 在区间[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在区间[,]a b 上可积． 说明：由以上两个充分条件可知，函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上 一定可积；若 ()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在区间[,]a b 上不一定连续，故函数() f x 在区间[,]a b 上连续是 ()f x 在[,]a b 上可积的充分非必要条件． 3．定积分的几何意义 在区间[,]a b 上函数 ()0f x ≥时，定积分()b a f x dx ?在几何上表示由曲线 ()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积． 在区间[,]a b 上 ()0f x ≤时，由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴 所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分()b a f x dx ? 在几何上表示上述曲边梯形面积的 负值． 在区间[,]a b 上 ()f x 既取得正值又取得负值时，函数()f x 的图形某些部分在x 轴 的上方，而其他部分在x 轴的下方，此时定积分 ()b a f x dx ? 表示x 轴上方图形的面积减去 x 轴下方面积所得之差． 二、定积分的性质

(完整版)高等数学第七章微分方程试题及答案

第七章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程， 通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α -=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性 非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。

定积分的基本概念与可积函数类

定积分的基本概念与可 积函数类 黎曼积分 一，摘要：本文先是从微积分的发展史开始讨论，从开普特第二定律到牛顿的变化量累积量再到莱布尼茨的特征三角，研究微积分思想的形成过程包括牛顿和莱布尼茨的积分思想与方法进而引出完整的以柯西，威尔斯特拉斯的极限ε-δ语言定义的定积分基本概念。再着重分析了在黎曼积分定义前提下的可积函数类。在讨论可积函数类的过程中主要分析了原函数（不定积分）与可积的关系，两类间断点与可积函数的关系以及间断点的个数与可积的关系。在讨论的过程中我主要是通过举例说明,比如前者是通过证明连续函数有原函数，再证明教材中的牛顿莱布尼茨公式，引出了原函数存在是个比连续还强的条件。即原函数存在一定可积，但可积不一定有原函数，比如黎曼函数。再通过单调函数的（第一类间断点）可积性与黎曼函数（第一类间断点）的可积性与的函数f(x)=sin(1/x)（第二类间断点）的比较得出可积性对间断点的类别提出的要求。即第一类间断点和第二类有穷间断点可能可积，对于无限间断点，无界肯定不可积。再通过狄利克函数说明间断点的个数与可积性的关系，有限个间断点可积无限个间断点不可积。当然上面说的所有的前提是在有界这个必要条件下的最后再补述了勒贝克积分与黎曼积分的关系，扩充可积条件。

在此处键入公式。二，关于牛顿和莱姆尼茨的积分思想 讲到定积分的基本概念就不得不说到微积分的发展历程，淡到微积分大家一定会想到两位数学界的伟人--------他们是英国的牛顿和德国的莱姆尼茨。他们两分别独立从不同的角度思考终于发明了微积分，牛顿是从力学的运动的角度（物理学方面的求变化过程中的积累量。例如，变速运动在一段时间【α,b】内行进的路程,变力使物体运动一段路程【α,b】所作的功等等。），而莱姆尼茨则是从几何图形的角度着入研究的（主要是利用“特征三角形”从作曲线上任一点的切线进而求面积）。虽然他们的积分思想有所差别，但他们的最终问题的根源却殊途同归回到了同一个问题上来了即蕴含在定积分概念中的基本思想----------有限逼近无限，以致促进了以后的极限方法的发展。所以极限方法就成为建立积分学严格理论的基本方法。下面我们来分别介绍他们的积分思想 1牛顿与他的微积分 （艾萨克·牛顿（Isaac Newton）是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家，其研究领域包括了物理学、数学、天文学、神学、自然哲学和炼金术。牛顿的主要贡献有发明了微积分，发现了万有引力定律和经典力学，设计并实际制造了第一架反射式望远镜等等，被誉为人类历史上最伟大，最有影响力的科学家。为了纪念牛顿在经典力学方面的杰出成就，“牛顿”后来成为衡量力的大小的物理单位。） 说到牛顿人们可能会想到他的三大发明：微积分，万有引力，和光的分析。他不仅是个伟大的数学家而且还是物理学家，这就是为什么他的微积分思想的起源于力学的原因，牛顿对物理学的深刻思考而导致了他在数学方面的成就，他都嫌思考的是开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 由于万有引力的作用，在离太阳不同距离的地方受力不一样，所以加速度也在在变化，也就是说速度V（t）是个变化的，求这个变化过程的积累量即面积。牛顿让速度这个变化过程量为一个连续的函数，行驶的路程就是该函数下面的面

定积分论文

§ 1 定积分概念 教学要求： 知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题； 教学重点：深刻理解并掌握定积分的思想. 一、问题背景： 1. 曲边梯形的面积； 2. 变力所作的功 二、定积分的定义 从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归结为形如 ∑=?n i i i x f 1 )(ξ 的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义 定义 设 )(x f 是定义在区间],[b a 上的一个函数，在闭区间],[b a 上任取 n-1个分b x x x x a n i i =<<<<<<-ΛΛ11 把 [a,b] 分成 n 个小闭区间，我们称这些分点和小区间构成的一个分割，用T 表示, 分割的细度用}max {||||i x T ?=表示，在分割T 所属的各个小区间内各取一点],[1i i i x x -∈ξ称为介点，作和式 ∑=?n i i i x f 1 )(ξ 以后简记为 ∑)(T f

此和式称为)(x f 在],[b a 上属于分割T 的积分和（或黎曼和，设J 是一个确定的数，若对任意0>ε总存在某个0>δ，使得 ],[b a 上的任何分割T ，只要它的细度δ<||||T ，属于分割T 的所有积分和 ∑)(T f 都有 ε<-∑|)(|J T f 则称)(x f 在],[b a 上可积，称J 为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分(或黎曼积 分)，记作 ?b a f(x)dx 其中)(x f 称为积分函数，x 称为积分变量，],[b a 称为积分区间，b a ,分别称为积分 的上限和下限。 利用积分的定义，前面提到曲边梯形面积可简洁的表示为 ?=b a dx x f S )( 变力作功问题可表示为 ?=b a dx x F W )( 三．理解定积分定义要注意以下三点： 1）定积分定义与我们前面讲的函数极限的“δε-”定义形式上非常相似，但是两者之间还是有很大差别的。对于定积分来说，给定了细度||||T 以后，积分和并不唯一确定，同一细度分割由无穷多种，即使分割确定，介点i ξ仍可以任意选取，所以积分和的极限比前面讲的函数极限要复杂的多。 2）定积分是积分和的极限，积分值与积分变量的符号无关 ???==b a b a b a du u f dx x f dt t f )()()(

第6章定积分的应用习题集及答案

第六章 习题 定积分的应用 一．选择题 1．曲线x y ln =、a y ln =、b y ln =（b a <<0）和y 轴所围图形的面积为（ C ） （A ）?b a xdx ln ln ln ； （B ）?b e a e x dx e ； （C ）?b a y dy e ln ln ； （D ）?a e b e xdx ln ． 2．曲线x e y =下方与该曲线过原点的切线左方和y 轴右方所围图形的面积为 （a ） （A ）?-10)(dx ex e x ； （B ）?-e dy y y y 1)ln (ln ； （C ）?-e x x dx x e e 1)(； （D ）?-1 0)ln (ln dy y y y ． 3．摆线)sin (t t a x -=、)cos 1(t a y -=（0>a ）的一拱（π20≤≤t ）与x 轴所围图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积为（ D ） （A ）?-ππ2022)cos 1(dt t a ； （B ）?--a t t a d t a ππ2022)]sin ([)cos 1(； （C ）?-a dt t a ππ2022)cos 1(； （D ）?--π π2022)]sin ([)cos 1(t t a d t a ． 4．曲线θρcos 2a =(0>a )所围图形的面积为（ D ） （A ）?2 2 )cos 2(21π θθd a ； （B ）?-ππθθd a 2)cos 2(2 1； （C ）?πθθ202 )cos 2(2 1d a ； （D ）?202)cos 2(212π θθd a ． 5．连续曲线)(x f y =与直线a x =、b x =（b a <≤0）及x 轴围成的图形绕y 轴旋转一周生成的旋转体体积为（ B ） （A ）?b a dx x xf )(2π；（B ）?b a dx x f x )(2π；（C ）?b a dx x xf )(22π；（D ）?b a dx x f x )(22π． 6．半径为R 的半球形水池已装满水．要将水全部吸出水池，需做功的为 （ C ） （A ）?-R dy y R 022)(π；（B ）?R dy y 02π；（C ）?-R dy y R y 022)(π；（D ）?R dy y 03π．

定积分存在的条件

§7.2定积分存在的条件 一 定积分存在的充分必要条件 定义1 设函数()f x 在[],a b 有界，在[],a b 插入分点 b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 把[],a b 分成n 个小区间[]1,i i x x -()1,2,...,i n =，记 ()[]{ }()[]{}111 sup ,inf ,i i i i i i i i i M f x x x x m f x x x x x x x ---=∈=∈?=- 作和式 1 n i i i S M x -==?∑ 1 n i i i S m x -==?∑ 分别成为对于这一分法的达布上和达布下和。 要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难的。下面即将出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值。 定理1（定积分存在的第一充分必要条件） 函数)(x f 在],[b a 上可积的充分必要条件是00lim lim S S λλ- →→- =。 注：定理1也可叙述为函数)(x f 在],[b a 上可积的充分必要条件是0lim 0S S λ-→-??-= ???。 例：证明 ()1,1x f x x ?=?-?为有理数，，为无理数 在[]11-，不可积，但()f x 可积。 定义2 记i i i m M -=ω，称之为)(x f 在i x ?上的幅度，则有 1n i i i S S x ω--=-=?∑。

注：定理1也可叙述为函数)(x f 在],[b a 上可积的充分必要条件是01lim 0n i i i x λω→=?=∑。 定理2 （定积分存在的第二充分必要条件） 函数)(x f 在],[b a 上可积的充分必要条件是对任意的两个正数ε及0σ>，可找到0δ>，使当任一分法满足{}max i x λδ=?<时，对应于幅度'i ωε≥的那些区间的 长度'i x ε?≥之和''i i x σ?<∑。 注：定理揭示了可积函数的本质，表明可积函数不连续的范围不能太广。 二 可积函数类 定理3 若函数)(x f 为],[b a 上的连续函数，则)(x f 在],[b a 上可积。 定理4 若)(x f 是区间],[b a 上只有有限个第一类不连续点的有界函数，则)(x f 在],[b a 上可积。 定理5 若)(x f 是区间],[b a 上的单调函数，则)(x f 在],[b a 上可积。 注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。 例：试用两种方法证明函数?????=≤<+== ,2,1,11 1,10,0)(n n x n n x x f 在区间]1,0[上可积。

第六章 定积分及应用答案

第六章 定积分及应用 一、填空题 1、 16 ； 2、1； 3、0； 4、0； 5、2； 6、1-x ； 7、－1； 8、21I I >，34I I <； 9、 ,43ππ?? ? ??? ； 10、6； 11、2-； 12、1； 13、0； 14、2()2 y x π π =- ； 15、42 2x x xe e --； 16、2 2x x xe e ---； 17、x cos ； 18、 2 1； 19、π 二、选择题 1、B ； 2、B ； 3、C ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、B ； 8、D ； 9、D ； 10、B ； 11、C ； 12、D 三、基本计算题 （一）定积分计算 1．0； 2. 45 ； 3. 2π-； 4. 12ln 2-；5. 16ln 2 5 ； 6. 42ln 3 ； 7. 112 2 π + ； 8. )1(22 +e ； 9. 2 14 - π ; 10. 6 31π- ; 11. 12ln 2- （二）分段函数积分 1. 22; 2．24; 3. 4 1; 4. 112 ; 5. e 11- ; 6. 6 11; 7. )1ln(11-++e （三）含变限积分的极限 1. 2; 2. 3 1; 3. 2; 4. 110 ; 5. 3 1; 6. 6 1- （四）广义积分 1. 12 π ; 2. 2ln ; 3. π （五）平面图形面积 1. 3 32； 2. 3 64； 3. 2 9； 4. 6 7 （六）旋转体的体积 1.π5 72； 2. 5 2π 四、综合计算 （一）各类计算 1. =S 2; 2. =S 3 14; 3、e 4. ) sin ()cos 1(t t t -- 5. 2 12ln t t

1.7定积分的简单应用

高一年级内部讲义 1.7定积分的简单应用 一、学习目标 1.进一步深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2.了解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3.初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4.体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 二、重点难点 学习重点：应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力做功等问题，并体会定积分在解决实际问题过程中的价值. 学习难点：将实际问题化归为定积分的问题. 三、知识链接 1、定积分的几何意义； 2、微积分基本定理； 四、学习过程 （一）复习回顾 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ （二）利用定积分求平面图形的面积 学习教材56~57页，例1、例2，思考并解决下列问题 问题1：当[]b a x ,∈且()0f x ≥时,由直线,,x a x b x ==轴和曲线()x f y =围成的 曲边梯形的面积S= ，当()0f x ≤时，曲边梯形的面积会有什么变化？ 问题2：当[]b a x ,∈且()()f x g x ≥时,由直线,,x a x b x ==轴和曲线()x f y =， )(x g y =围成的曲边梯形的面积S= 3、总结求曲边梯形面积的方法与步骤： (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形； (2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数； (4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。 练习1：教材58页练习（1）、（2） （三）定积分在物理中的应用 自学教材58—59页例3，例4,思考并解决下列问题 问题3、变速直线运动的路程公式：做变速直线运动的物体所经过的路程S 等于其速度函数 ()v v t =（()0v t ≥）在时间区间[,]a b 上的定积分，即 问题4、变力作功公式：物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方 向从x a =移动到()x b a b =<，那么变力()F x 所作的功为 练习2：教材59页练习1、2 （四）课堂小结

《数学分析简明》答案 第7章

第七章 定积分 第一节 定积分的概念 0121.(1) (0); [,], , .b a n i xdx a b a b n a x x x x b b a x a n <<=<<<<=-=+ ?已知下列函数在指定区间上可积,用定义求下列积分：解：注意到函数已经可积,我们只需要找到一种满足条件的分法求和求极限就可以啦。 将区间等分为份分点为 其中小区间长度为 11 1 1.(),lim i i i n n i i i i n b a n i b a x x x n b a b a x x a n n b a b a xdx I a n n σ-==→∞=-?=-=--=?=+ --? ?==+ ?? ?∑∑∑? 那么 则 ()()222212 lim 2 . 2 n n i b a ab a n n n n b a →∞=?? --+=+??????-= ∑

0121.(1) (0); [,], , .b a n i xdx a b a b n a x x x x b b a x a n <<=<<<<=-=+ ?已知下列函数在指定区间上可积,用定义求下列积分：解：注意到函数已经可积,我们只需要找到一种满足条件的分法求和求极限就可以啦。 将区间等分为份分点为 其中小区间长度为 11 1 1.(),lim i i i n n i i i i n b a n i b a x x x n b a b a x x a n n b a b a xdx I a n n σ-==→∞=-?=-=--=?=+ --? ?==+ ?? ?∑∑∑? 那么 则 ()()2 22212 lim 2 . 2 n n i b a ab a n n n n b a →∞=?? --+=+?????? -= ∑0121(2) (0) (;[,], , ..b a n i i i i kdx a b k a b n a x x x x b b a x a n b a x x x n -<<=<<<<=-=+ -?=-=?为任意常数)解：将区间等分为份分点为 其中小区间长度为 那么 1 11 ,lim lim () n n i i i n b a n i n b a k x k n b a xdx I k n k b a σ==→∞ =→∞ -=?=-===-∑∑∑? 则 (). k b a =-

第七章 定积分 - 云南大学数学分析精品课程

第七章 定积分 §1. 定积分的概念 1． 已知下列函数在指定区间上可积，用定义求下列积分： (1) (0)b a xdx a b <? . 2． 设 1,,(,), ()0,[,)(,], x c c a b f x x a c c b =∈?=? ∈?? 求证 ()0b a f x dx =? . §2. 定积分存在的条件 1. 设()f x 在[,]a c b c + +可积，证明()f x c +在[,]a b 上可积，且 ()()b b c a a c f x c dx f x dx +++=? ? . 2. 若函数()f x 在[,]a b 上可积，其积分是I ，今在[,]a b 内有限个点上改变()f x 的 值使它成为另一函数*()f x ，证明*()f x 也在[,]a b 上可积，并且积分仍为I . 3. 举例说明2 ()f x 在[,]a b 可积，但()f x 在[,]a b 不可积. 4. 判断下列函数在区间[0,1]上的可积性： (1) ()f x 在[0,1]上有界，不连续点为1(1,2,)x n n = = ； (2) sgn(sin ),(0,1], ()0,0; x f x x x π? ∈?=?? =?

(3) 11,(0,1], ()0,0;x f x x x x ??? - ∈???=?? ?? =? (4) 1 ,(0,1],1()0,0. x f x x x ? ∈??? ?=??????? =? 5. 讨论2(),(),|()|f x f x f x 三者间可积性的关系． 6. 设(),()f x g x 都在[,]a b 上可积，证明： ()max((),()),()min((),())M x f x g x m x f x g x = = 在[,]a b 上也是可积的． 7. 设()f x 在[,]a b 上可积，且()0f x r ≥>，求证： (1) 1 () f x 在[,]a b 可积； (2) ln ()f x 在[,]a b 可积． 8. 设()f x 在[,]a b 可积，求证：任给0ε>，存在逐段为常数的函数()x ?，使 |()()|. b a f x x dx ?ε-