1- 专题一：基本初等函数图像及其性质

2.对数函数

对数的定义

①若

(0,1)

x

a N a a

=>≠

且

，则x叫做以a为底N的对数，记作

log

a

x N

=

，其中a叫做底数，

N叫做真数．

②负数和零没有对数．

③常用对数与自然对数

常用对数：lg N，即

10

log N

；自然对数：ln N，即

log

e

N

（其中 2.71828

e=…）．

4.幂函数

（1）幂函数的定义：一般地，函数y xα

=叫做幂函数，其中x为自变量，α是常数．

（2

（3）幂函数的性质

①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象

分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限 (图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．

③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则 幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当

q

p α=

（其

中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q p

y x =是奇函数，若p 为 奇数q 为偶数时，则q p

y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q p

y x =是非奇 非偶函数．

⑤图象特征：幂函数

,(0,)y x x α

=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，

若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x = 上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．

5.二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式

①一般式：

2

()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：

2

()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)

f x a x x x x a =--≠

（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．

③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质

①二次函数2

()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，

对称轴方程为,2b x a =-顶点坐标是2

4(,)

24b ac b a a --．

6.

7.一元二次函数表达式形式

顶点式：f(x)＝a(x －h)2＋k ，定点坐标（h,k ）

分解式：f(x)＝a(x －x1)(x －x2), 一元二次方程的两根为x1，x2 一般式：f(x)＝ax2＋bx ＋c ，(a ≠0)．

8.反函数

互为反函数的两个图像关于y=x 成轴对称关系；

原函数的定义域是其反函数的值域，原函数的值域是其反函数的定义域

专题一 基本初等函数图像及其性质 练习一

一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项填在答题卡上．

1．(新课标全国卷)下列函数中，既是偶函数，又是在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )

A ．y ＝x 3

B ．y ＝|x |＋1

C ．y ＝－x 2＋1

D ．y ＝2－|x |

2．(广东卷)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )

A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数

B ．f (x )－|g (x )|是奇函数

C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数

D ．|f (x )|－g (x )是奇函数

3．(湖北卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足下列关系

f (x )＋

g (x )＝a x －a －x

＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝( )

A ．2 B.154 C.174

D ．a

2

4．(山东卷)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的(B)

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．(全国卷)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ? ??

??－52＝( ) A ．－12 B ．－14 C.14 D.12

6．在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意给定的a ，b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：

(1)对任意a ，b ∈R ，a *b ＝b *a ； (2)对任意a ∈R ，a *0＝a ；

(3)对任意a ，b ∈R ，(a *b )*c ＝c *(ab )＋(a *c )＋(c *b )－2c .关于函数f (x )＝(3x )*1

3x

的性质，有如下

说法：①函数f (x )的最小值为3；②函数f (x )为奇函数；

③函数f (x )的单调递增区间为? ????－∞，－13，? ??

??13，＋∞.其中所有正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 7．已知函数f (x )=????

?

－x 2

＋2x x >00 x ＝0

x 2＋mx x <0

为奇函数，若函数f (x )在区间[－1，|a |－2]上单调递增，

则a 的取值范围是 ．

8．(上海卷)设g (x )是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f (x )＝x ＋g (x )在区间[3,4]上的值域为

[－2,5]，则f (x )在区间[－10,10]上的值域为 ．

9．对方程lg(x ＋4)＝10x

根的情况，有以下四种说法：①仅有一根；②有一正根和一负根；③有两个负根； ④没有实数根．其中你认为正确说法的序号是 ．

三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

10．(12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，x∈[0,6]的图象经过(0,0)和(6,0)两点，如图所示，且函数f(x) 的值域为[0,9]．过动点P(t，f(t))作x轴的垂线，垂足为A，连接OP.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)记△OAP的面积为S，求S的最大值．

12．(13分)(上海卷)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足a·b≠0.

(1)若a·b>0，判断函数f(x)的单调性；

(2)若a·b<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．

专题一 基本初等函数图像及其性质 练习二

一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1．函数是偶函数，则函数的对称轴是 （ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 2．已知，则函数的图象不经过 （ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ． 第三象限

D ． 第四象限

3．函数的零点必定位于区间 （ ）

A ．(1,2)

B ．(2,3)

C ．(3,4)

D ．(4,5) 4．给出四个命题：

（1）当时，的图象是一条直线； （2）幂函数图象都经过（0，1）、（1，1）两点； （3）幂函数图象不可能出现在第四象限；

（4）幂函数在第一象限为减函数，则。

其中正确的命题个数是 （ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

5．函数在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则的值为 （ ）

A ．

B ．2

C ．4

D ． 6．设是奇函数，当时，则当时， ( )

A ．

B ．

C ．

D ．

7．若方程2（）+4的两根同号，则的取值范围为 （ ）

A ．

B ．或

C ．或

D ．或

8．已知是周期为2的奇函数，当时，设

则

A ．

B ．

C ．

D ．

9．已知0，则有 （ ） A ． B ． C ．1< D ．

10．已知，则 （ ） A ． B ． C ． D ．

11．设则的定义域为 （ ） A ．( B ． C ．( D ．(

12．已知是R 上的减函数，那么的取值范围是 （ ）

A ．(0,1)

B ．(0,

C ．

D ．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。

)12(-=x f y )2(x f y =0=x 1-=x 21=

x 2

1-=x 1,10-<<

+=62ln -+=x x y 0=n n

x y =n

x y =n 0

a y =a 214

1)(x f 0>x ,log )(2x x f =0

x 023=-+m mx m 12-<<-m 12-<≤-m 13

2

≤m 12-<<-m 13

2

<

(f c =c b a <xy a 10<

)(x x x f -+=??

?

??+??? ??x f x f 22)4,0()0,4?-)4,1()1,4(?--)2,1()1,2?--)4,2()2,4?--?

??≥<+-=1,log 1

,4)13()(x x x a x a x f a a )31??????31,71??

?

???1,71

14．函数若的值有正有负，则实数的取值范围为 ． 16．给出下列命题：

①函数与函数的定义域相同；

②函数与的值域相同；

③函数与函数均是奇函数； ④函数与在上都是增函数。

其中正确命题的序号是

三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

设，是R 上的偶函数。 ⑴求的值；

⑵证明：在上是增函数。

18．（本小题满分12分）

设函数)(x f y =是定义在R +

上的减函数，并且满足)()()(y f x f xy f +=，131=??

? ??f ， （1）求)1(f 的值， （2）如果2)2()(<-+x f x f ，求x 的取值范围。 ],1,1[,122)(-∈++=x a ax x f )(x f a )1,0(≠>=a a a y x

x a a y log =)1,0(≠>a a 3x y =x

y 3=12121-+=x y x

x x y 2

)21(2

?+=2

)1(-=x y 12-=x y +R 0>a x

x e a

a e x f +=)(a )(x f ()+∞,0

19．（本小题满分14分）

已知函数

⑴求函数的定义域； ⑵判断函数的奇偶性，并予以证明； ⑶求使<0成立的的集合。

20．（本小题满分12分）

函数对任意都有并且当时。

求证：函数是R 上的增函数。

)1,0)(1(log )(),1(log )(≠>-=+=a a x x g x x f a a 且其中)()(x g x f +)()(x g x f -)()(x g x f +x )(x f R b a ∈,,1)()()(-+=+b f a f b a f 0>x 1)(>x f )(x f