当前位置：文档库 › 河南省郑州市2020学年高二数学下学期期末考试试题文(含解析)

河南省郑州市2020学年高二数学下学期期末考试试题文(含解析)

郑州市2020学年高二下学期期末考试

数学（文科）试卷

一、选择题：本大题共4小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60?”时，应假设（） A. 三个内角都不大于60? B. 三个内角都大于60? C. 三个内角至多有一个大于60? D. 三个内角至多有两个大于60?

【答案】B 【解析】【分析】

由“至少有一个”的否定为“一个也没有”即可得解.

【详解】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选：B ．

【点睛】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定

2.设复数z a bi =+（i 为虚数单位），,a b ∈R ，且-3a i

b i i

=+，则复数z 的模等于（）

A. 10

C. 5

【答案】D 【解析】【分析】化简

-3a i

b i i

=+为31a i bi -=-，然后，利用复数的定义求解，即可求出,a b ，进而求出复数z 的模即可【详解】由

-3a i

b i i

=+，得31a i bi -=-，得1,3a b =-=-，

则13z a bi i =+=--，得z ==答案选D

【点睛】本题考查复数相等的概念，考查复数的模及除法运算，属于基础题

3. 《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（） A. 类比推理 B. 归纳推理 C. 演绎推理 D. 一次三段

论【答案】C 【解析】

试题分析：名不正是言不顺的充分条件，所以“名不正则言不顺”是演绎推理。言不顺是事不成的充分条件，所以“言不顺则事不成”是演绎推理。以此类推，所以“故名不正则民无所措手足”是演绎推理考点：推理

点评：演绎推理是前提与结论之间具有充分条件或充分必要条件联系的必然性推理

4.某同学根据一组x ，y 的样本数据，求出线性回归方程y bx a =+$$$和相关系数r ，下列说法正确的是（） A. y 与x 是函数关系 B. $y 与x 是函数关系

C. r 只能大于0

D. ｜r ｜越接近1，两个变量相关关系越

弱【答案】B 【解析】【分析】

根据线性回归方程的定义进行求解即可

【详解】解：由两变量x ，y 具有线性相关关系，可知y 与x 不是函数关系，故A 错误；求出线性回归方程y b =$

x a +$

，其中y $

与x 是函数关系，故B 正确；相关系数可能大于0，也可能小于0，故C 错误； |r |越接近1，两个变量相关关系越强，故D 错误．故选：B ．

【点睛】本题考查两个变量的线性相关性，是基础题．

5.点 M 的直角坐标是(-，则点 M 的极坐标为（） A. π 2,

? ??

B. π2,3??-

C. 2π2,

3?? ???

π2,2π3k ?

?+ ??

? ()k ∈Z

【答案】C 【解析】

分析：利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，222

x y ρ=+，先将点M 的直角坐标是(-，之

后化为极坐标即可.

详解：由于2

x y ρ=+，得2

4,2ρρ==，由cos x ρθ=，得1cos 2

θ=

，结合点在第二象限，可得23

πθ=，则点M 的坐标为2(2,

，故选C. 点睛：该题考查的是有关平面直角坐标与极坐标的转化，需要注意极坐标的形式，以及极径ρ

和极角θ的意义，利用ρ=果.

6.若关于x 的不等式｜ax ﹣3｜＜7的解集为{x ｜﹣5＜x ＜2}，则a 的值为（） A. ﹣4 B. 4

C. ﹣2

D. 2

【答案】C 【解析】【分析】

利用37ax -<，得410ax -<<，然后把选项中的答案依次代入这个不等式，即可判断选项【详解】由37ax -<，得到410ax -<<，分别代入选项中的答案，明显地，当2a =-时，满足37ax -<，且{}

52x x -<<，

【点睛】本题考查绝对值不等式的求解问题，属于基础题

7.雷达图（RadarChart），又可称为戴布拉图，蜘蛛网图（SpiderChart），是财务分析报表的一种，现可用于对研究对象的多维分析，如图为甲、乙两人五个方面的数据雷达图，则下列说法不正确的是（）

A. 甲、乙两人在能力方面的表现基本相同

B. 甲在沟通、服务、销售三个方面的表现优于乙

C. 在培训与销售两个方面甲的综合表现优于乙

D. 甲在这五个方面的综合表现优于乙

【答案】C

【解析】

【分析】

看图分析数据即可判断选项

【详解】C选项中，乙在培训与销售两个方面的综合表现优于甲

【点睛】本题考查看图做出数据分析，属于基础题

8.已知

111

555

b a

????

? ?

????

＜1，则下列不等式中一定成立的是（）

A. log a b+log b a＞﹣2

B. log a b+log b a＞2

C. log a b+log b a≥﹣2

D. log a b+log b a≤﹣2

【解析】【分析】

利用指数函数的单调性得出10b a >>>，然后利用均值不等式即可求出最值，得出正确选项

【详解】由111555b a ????<< ? ?????＜1，得0

11115555b a ??????<<< ? ? ???????

，

利用指数函数的单调性得，10b a >>>，则log 0a b <，log 0b a <，而ln ln log log ln ln a b b a b a a b +=

+ln ln ln ln b a a b ????=--+- ? ????

?≤-

所以，log log 2a b b a +≤-，答案选D

【点睛】本题考查指数函数的单调性问题以及不等式求最值问题，本题的难点在于利用单调关系得出参数之间的大小关系进行求解，属于基础题

9.圆ρ＝5cosθ﹣

的圆心坐标是（） A. （5，

） B. （5，

π） C. （5，

π） D. （5，56

）

【答案】C 【解析】【分析】利用cos sin x y ρθ

ρθ

=??

=?的极坐标定义求解即可

【详解】原式可化为：25cos sin ρρθθ=-，利用极坐标定义可转化为：

5x y x +=-

，配方为2

52522x y ???-++= ? ????

，则圆心坐标为：5,2? ??，

化成极坐标，得出5ρ==，53πθ= 答案选C

【点睛】本题考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程与普通方程的转化，属于基础题

10.函数y ＝4337x x -+-的最大值为（） A. 5 B. 8

C. 10

D. 12

【答案】C 【解析】【分析】

利用向量的关系a b a b ?≤?r r r r ，可设向量()4,3a =r

，(

)

3,7b x x =

--r ，然后进行求解即

可

【详解】由已知得，函数的定义域为37x ≤≤，设向量()4,3a =r

，(

)

3,7b x x =--r ，

则5a =r ，2b =r ，10a b a b ?≤?=r r r r ，当且仅当a b r r P 时，

即47330x x ---=时，等号成立，解得139

x =，属于定义域范围，所以，该函数y 可以取得最大值为10 答案选C

【点睛】本题考查向量中的最值问题，属于中档题

11.执行如图所示的

程序框图，如果输出的a 值大于2020，那么判断框内的条件为（）

A. k ＜10？

B. k ≥10？

C. k ＜9

D. k ≥9？

【答案】A 【解析】【分析】

根据程序框图，列出每一步的程序运算，即可求解【详解】①1,1a k==?条件（是）6,3a k?==；②6,3a k==?条件（是）33,5a k?==；③33,5a k==?条件（是）170,7a k?==；④170,7a k==?条件（是）857,9a k?==；⑤857,9a k==?条件（是）4294,11a k?==；⑥4294,11a k==?条件（否）?输出a（此时2019a>）；

答案选A

【点睛】本题考查程序框图的条件判别，属于基础题

12.某校有A、B、C、D四个社团，其中学生甲、乙、丙、丁四人在不同的四个社团中，在被问及在哪个社团时，甲说：“我没有参加A和B社团”．乙说：“我没有参加A和D社团”．丙说：“我也没有参加A和D社团”．丁说：“如果乙不参加B社团，我就不参加A社团”．则参加B社团的人是（）

A. 甲

B. 乙

C. 丙

D. 丁

【答案】B

【解析】

【分析】

有乙、丙的说法知甲和丁参加了A、D社团，又由甲说知，甲参加了D社团，则丁参加了A社团，根据丁的说法知乙参加了B社团．

【详解】解：有乙、丙的说法知甲和丁参加了A、D社团，

又由甲说知，甲参加了D社团，

则丁参加了A社团，

根据丁的说法知乙参加了B社团．

故选：B．

【点睛】本题考查推理的相关知识，考查分析问题，解决问题的能力以及逻辑思维能力，属于基础题

13.在同一平面直角坐标系中满足由曲线x 2

+y 2

＝1变成曲线22

194

x'y'+=的一个伸缩变换为

（）

A. '3'2x x

y y =??=?

B. 1'31'2x x y y ?

=????=??

C. '9'4x x

y y =??=?

1'9

1'4x x y y ?=???

?=??

【答案】A 【解析】【分析】

由条件可得，把曲线22194x'y'+=方程整理为22

132x'y'????+= ? ?????

，则可得'3x x =，'2y y =，

进而可以求出答案

【详解】由题意得，把x 2

+y 2

＝1经过伸缩变换变成曲线22

194

x'y'+=，

则可令'3x x =，'

2y y =，化简得'3'2x x y y =??=?

，

答案选A

【点睛】本题考查曲线方程间的伸缩变换，属于基础题

14.在矩形ABCD 中，对角线AC 分别与AB ，AD 所成的角为α，β，则sin 2α+sin 2β＝1，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与棱AB ，AD ，AA 1所成的角分别为α1，α2，α3，与平面AC ，平面AB 1，平面AD 1所成的角分别为β1，β2，β3，则下列说法正确的是（）

①sin 2α1+sin 2α2+sin 2α3＝1 ②sin 2α1+sin 2α2+sin 2α3＝2 ③cos 2α1+cos 2α2+cos 2α3＝1 ④sin 2β1+sin 2β2+sin 2β3＝1 A. ①③ B. ②③ C. ①③④ D. ②③④

【答案】D 【解析】【分析】

由已知条件，分别确定各个角的三角函数值，进而判断各个命题的真假，可得答案

【详解】（1）2

123sin sin sin ααα++2221111222111BC DC AC AC AC AC =++=222

1111

1BC DC AC AC ++ 222222111121AC AB AC AD AC AA AC -+-+-=()2222

112

132AC AB AD AA AC -++==，

所以，①错，②对；

（2）2

123cos cos cos ααα++=

221222111A A AB AD AC AC AC ++=22212

11AB AD AA AC ++=，所以，③对

（3）2

123sin sin sin βββ++222

11111222

111

1CC B C D C AC AC AC =++=，所以，④对答案选D

【点睛】本题解题的关键点在于，确定各个角的三角函数值，属于中档题

二、填空题（每题5分，满分20分） 15.已知复数z 1＝

22i

-+在复平面内对应的点为A ，复数z 2在复平面内对应的点为B ，若向量AB u u u r 与虚轴垂直，则z 2的虚部为_____．【答案】45

【解析】【分析】

利用复数的运算法则得到

55 AB a b

=-+

u u u r

，再有向量AB

u u r

与虚轴垂直，可得

z的虚部

【详解】

234

255

z i

==-

，设2z a bi

=+，则

AB a b

=-+

u u u r

，又由向量AB

u u u r

与虚轴垂直，得到

b+=，

b=-，则

z的虚部为

-，答案是

【点睛】本题考查复数与向量的运算法则，属于基础题

16.恩格尔系数（Engel'sCoefficient）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数越小，消费结构越完整，生活水平越高，某学校社会调查小组得到如下数据：

若y与x之间有线性相关关系，某人年个人消费支出总额为2.6万元，据此估计其恩格尔系数为_____．

【答案】0.26.

【解析】

【分析】

利用相关公式，先求出y和x，再代入公式求出?b，最后得到?a的值

【详解】由条件可得，

0.90.70.50.30.1

0.5

++++

==和

1 1.5

2 2.53

++++

==，则代入公式得

4520.5

?0.4

22.554

-??

==-

，则()

0.50.42 1.3

a=--?=，得到

y与x的线性相关关系为()

? 1.30.4

y x

=+-，把 2.6

x=代入，得0.26

y=，

答案为0.26

【点睛】本题考查线性回归方程的求解与应用，考查的核心素养是数学运算与数学分析

17.观察下列几个三角恒等式

①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°＝1 ②tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°＝1

③tan5°tan100°+tan100°tan（﹣15）°+tan（﹣15）°tan5°＝1．一般的，若tanα，tanβ，tanγ均有意义，你可以归纳出结论：_____ 【答案】90,tan tan tan tan tan tan 1αβγαββγγα++=++=o

则. 【解析】【分析】

观察所给的等式，发现左边都是两个角的正切的乘积形式，一共有三项，且三个角的和为定值：直角，右边的值都为常数1，由此推广到一般结论即可

【详解】观察所给等式，若角α，β，γ满足90αβγ++=o

，且tan α，tan β，tan γ都

有意义，

则tan tan tan tan tan tan 1αββγγα++=，

故答案为：90,tan tan tan tan tan tan 1αβγαββγγα++=++=o

则【点睛】本题考查归纳推理的应用，推理过程由特殊再到一般，属于基础题

18.已知函数121

()22

x x f x +-+=+，如果对任意t ∈R ，f （3t 2+2t ）+f （k 2﹣2t 2）＜0恒成立，则满

足条件的k 的取值范围是_____．【答案】k <-1或k >1. 【解析】【分析】

利用定义，先求出函数()f x 为单调减函数与奇函数，然后化简()(

3220

f t t f k t

++-<得到222t t k --<，然后利用不等式得恒成立条件求出答案

【详解】对于函数()f x ，定义域为R ，且()12122x x f x ---+-=+112222

x x

+-+=+()12122x x f x +-=

=-+，所以，()f x 为奇函数，且对()f x 求导可得()'

x <，则()f x 在x ∈R 时为减函数，

()()2223220f t t f k t ++-<，可得()()222322f t t f k t +<--，利用()f x 为奇函数

化简得(

)(

322f t t f t k

+-<，利用()f x 在x ∈R 时为减函数，得

222322t t t k +->，化简得222t t k --<恒成立，令()22g t t t =--，则有()2

max g t k <，

而()()max 11g t g =-=，所以21k <，得到1k >或1k <- 答案：1k >或1k <-

【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性以及不等式的恒成立问题，属于中档题

三、解答题（本大题共1小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.已知i 是虚数单位，且复数z 满足（z +2）（3+i ）＝10．（Ⅰ）求z 及z 2；

（Ⅱ）若z ?（a +2）i 是纯虚数，求实数a 的值．【答案】（Ⅰ）1z i =-,22.z i =-；（Ⅱ）2-. 【解析】【分析】

（Ⅰ）根据复数的代数运算法则进行运算即可

（Ⅱ）根据复数代数运算法则进行化简，再有纯虚数的定义，列出方程求出a 的值【详解】（Ⅰ）1010(3)

2213(3)(3)

i z i i i i -=

-=-=-++-, 22(1)2.z i i =-=-

（Ⅱ）(2)(1)(2)(2)(2)z a i i a i a a i +=-+=++-，令2+a =0，解得a =-2.

【点睛】本题考查复数的代数运算法则以及纯虚数的定义，属于基础题

20.在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝﹣3，圆C 2：（x ﹣2）2

+（y ﹣1）2

＝1，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（Ⅰ）求C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C 3的极坐标方程为θ＝

（ρ∈R ），设C 2，C 3的交点为A ，B ，求△C 2AB 的面积．【答案】（Ⅰ）cos 3ρθ=-；2

4cos 2sin 40ρρθρθ--+=；

（Ⅱ）

. 【解析】【分析】

（Ⅰ）由题意可知，利用cos ,sin x y ρθρθ==，分别代入1C ，2C ，即可求解

（Ⅱ）将直线3C 的极坐标方程代入2C ，即可求出12,ρρ，进而可得弦长，继而求出三角形面积

【详解】（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 3ρθ=-，

2C 的极坐标方程为24cos 2sin 40ρρθρθ--+=.

（Ⅱ）将4

θ=

代入2

4cos 2sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得

12ρρ==.故12ρρ-=AB =

由于2C 的半径为1，所以2C AB ?的面积为

. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及极坐标系的应用，属于基础题

21.已知函数f （x ）＝｜x ﹣2｜．

（Ⅰ）求不等式f （x ）＞6﹣｜2x +1｜的解集；（Ⅱ）设a ，b ∈（2，+∞），若f （a ）+（b ）＝6，求

a b

+的最小值．【答案】（Ⅰ）57.33x x x ??

-????

或

（Ⅱ）

910

. 【解析】【分析】

(1)根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可 (2)利用“1”的代换，结合基本不等式先求出41

a b

+的最小值，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可

【详解】（1）2216x x -++>原不等式等价于，

等价于12,1,2,2

275.3,33x x x x x x ?><-???-≤≤??????>???><-????

或或解得5733

x x <->

或. 所以原不等式的解集为57.3

3x x x ??-???

或

(2),(2,)a b ∈+∞，()()622610f a f b a b a b +=-+-=+=即，，

414111419()()(5)(510101010

b a a b a b a b a b +=++?=++≥+= 当且仅当4,10,b a a b a b ?=???+=? 即 20,3

10.3a b ?

=???

?=??

取等号. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式中“1”的代换，属于基础题

22.2020年4月22日是第50个世界地球日，半个世纪以来，这一呼吁热爱地球环境的运动已经演变为席卷全球的绿色风暴，让越来越多的人认识到保护环境、珍惜自然对人类未来的重要性．今年，自然资源部地球日的主题是“珍爱美丽地球，守护自然资源”．某中学举办了以“珍爱美地球，守护自然资源”为主题的知识竞赛．赛后从该校高一和高二年级的参赛者中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩分为7组：[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如下频率分布表：

现规定，“竞赛成绩≥80分”为“优秀”“竞赛成绩＜80分”为“非优秀”

（Ⅰ）请将下面的2×2列联表补充完整；

优秀非优秀合计高一50

高二15

合计100

（Ⅱ）判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩与年级有关”？

附：独立性检验界值

【答案】（Ⅰ）见解析；

（Ⅱ）没有99％的把握认为“竞赛成绩与年级有关”.

【解析】

【分析】

（1）根据优秀总人数：（0.22+0.13）*100=35人，进而填写列联表即可