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波动习题集

第六章习题解答

6-1 有一平面简谐波,在空间以速度u 沿x 轴正向传播,已知波线上某一点S (S 离坐标原点的距离为L )的振幅为0.02m ,圆频率为ω,初始时刻S 点从平衡位置下方0.01m 处向上运动,求此波的波动方程。 解:首先写出S 点的振动方程 若选向上为正方向,则有:

0c o s 02.001.0?=- 2

1

cos 0-

=? ,0s i n 00>-=?ωυA 0sin 0

即 π?320-=或π34

初始相位 π?3

2

0-=

则 m t y s )3

2

cos(02.0πω-

= 再建立如图题6-1(a)所示坐标系,坐标原点选在S 点,沿x 轴正向取任一P 点,该点振动位相将落后于S 点,滞后时间为: u

x t =? 则该波的波动方程为:

m u

x t y ??

???

?-

-=πω32)(cos 02.0 若坐标原点不选在S 点,如习题6-1图(b )所示,P 点仍选在

S 点右方,则P 点振动落后于S 点的时间为:

u

L

x t -=?

则该波的波方程为:

m u L x t y ??

?

???---

=πω32)(cos 02.0 若P 点选在S 点左侧,P 点比S 点超前时间为u

x

L -,如习题6-1图(c)所示,则 ???

???--+

=πω32)(cos 02.0u x L t y ??

???

?

---

=πω32)(cos 02.0u L x t ∴不管P 点在S 点左边还是右边,波动方程为:

习题6-1图

习题6-1图

??

?

???---=πω32)(cos 02.0u L x t y

6-2一平面简谐波沿x 轴正向传播,波速1

100-?=s m u ,t=0时的波形图如习题6-2图所示,根据波形图,求:

(1)波长λ、振幅A 、频率ν、周期T ; (2)任一时刻的波动表达式;

(3)写出x =0.4m 处质点的振动表达式。 解(1)由习题6-2图可知,

波长 m 8.0=λ 振幅 A=0.5m 频率 Hz 125Hz 8

.0100

==

u

v 周期 s 1081

3-?==

v

T ππυω2502== (2)平面简谐波标准波动方程为:

??

???

?+-=?ω)(cos u

x t A y 由图可知,当t=0,x=0时,y=A=0.5m ,故0=?。 将?πωω、、、u v A )2(=代入波动方程,得:

m )100(250cos 5.0?????

?

-=x t y π

(3) x =0.4m 处质点振动方程.

??

????

-

=)1004.0(250cos 5.0t y π m )250

cos(5.0ππ-=t

6-3 习题6-3图所示为t=0时刻某平面简谐波的波形,求:

(1)O 点的振动方程; (2)该平面简谐波波动方程; (3)P 点的振动方程;

(4)t=0时刻,a ,b 两点处质点的振动方向。 解(1)由习题6-3图可知,对于O 点,t=0时,y=0,故

2

π

=

再由该列波的传播方向可知,

00<υ

取 2

π

?=

由习题6-3图可知,,40.0m OP ==λ且u=0.08m/s ,则

ππ

λ

π

πω5

2

rad/s 40.008.0222====u

v rad/s 可得O 点振动表达式为:

m t y )2

52cos(04.00π

π+=

(2) 已知该波沿x 轴正方向传播,u=0.08m/s,以及O 点振动表达式,波动方程为:

m x t y ??????+-=2)08.0(5

2

cos 04.0ππ

(3) 将40.0==λx 代入上式,即为P 点振动方程:

m t y y p ??????+==ππ215

2

cos 04.00

(4)习题6-3图中虚线为下一时刻波形,由图可知,a 点向下运动,b 点向上运动。

6-4一平面简谐波在T t 4

3

=

时刻的波形曲线如习题6一4图所示,该波以136-?=s m u 的速度沿x 轴的正方向传播。求: (l)t=0时刻O 点与P 点的初相位; (2)写出该平面简谐波的波动方程。 解(1)平面谐波标准波动方程为:

??

?

???+-=?ω)(cos u x t A y

由图可知,A=0.2m

对于图中O 点,有:

T t m y x 4

3

,2.0,0===

代入标准波动方程:

1

)2

3

cos()43(2cos 2.02.0=+?

??

???+=?π?πT T

故 2

π

?=

对于O 点,t=0时的初始相位

2

?=

图中P 点位相始终落后O 点

4T 时间,即相位落后2

π

,故t=0时,P 点初相位0=p ?。 (2)由m 4.0,m/s 36==λu 知,

rad/s 18022πλ

π

πω===u

v

故根据平面谐波的标准波动方程可知,该波的波动方程为:

m x t y ?????

?+-=2)36(180cos 2.0ππ

6-5一平面简谐波在媒质中以速度u 传播,其传播路径上一点P 的振动方程为

t A y p ωcos =,试按照习题6-5图所示的几种坐标分别写出波动方程(P 点到原点的距离为

L)。

解:习题6-5图(a)中,根据波的传播方向知,O 点振动先于P 点,故O 点振动的方程为:

)(cos 0u L

t A y +

=ω 则波动方程为: )(cos u

L

u x t A y +-=ω

习题6-5图(b)中,根据波的传播方向知,O 占振动落后于P 点,故O 点振动的方程为:

)(cos 0u

L

t A y -=ω

则波动方程为:

)(cos u L u x t A y -+

=ω 习题6-5图(c)中,波沿x 轴负方向传播,P 点振动落后于O 点,故O 点振动的方程为:

)cos(0u

L t A y +

= 则波动方程为:

)(cos u

L u x t A y ++

=ω 此时,式中x 与L 自身为负值。

6-6 已知一平面简谐波的波动方程为)24(cos x t A y +=π,y x ,的单位是m ,t 的单位是s 。

(1)求该波的波长、频率和波速;

(2)写出t=4.2s 时刻各波峰位置的坐标表达式,并求出此时离坐标原点最近的那个波峰的位置;

(3)求t=4.2s 时,离坐标原点最近的那个波峰通过坐标原点的时刻。 解: (1) )24(cos x t A y +=π )24cos(x t A ππ+= )2

(4cos x t A +

=π Hz

25.024/2====-=γωπ

π

ωs

T s

m u m 1=λ

(2))2

(4cos x t A y +=π 波峰:1)2

(4cos =+x

t π ,2,1,02)2(4±±==+

k k x

t ππ

t=4.2s 代入(2

22.4k

x =+)

,6.0,4.0,,4.7,4.84.8m m m m x m

k x ---=-=

3.02

6.0===

u x t

6-7一平面简谐波在介质中以1

20-?=s m u 的速度自左向右传播,已知传播路径上的某一点A 的振动方程为m t y )4cos(3ππ-=,t 的单位为s ,另一点B 在A 点右方9m 处。 (1)若取x 轴正方向向左,并以A 点为坐标原点,求波动方程及B 点的振动方程; (2)若取x 轴正方向向右,以A 点左方5m 处的O 点为x 轴原点,重新写出波动方程及B 点的振动方程。 解: )4cos(3ππ-=t y

(1) ??

????

-+

=ππ)(4cos 3u x t y

??????-+

=ππ)20(4cos 3x t ??

???

?

--

=ππ)209(4cos 3t y B ??????

-=??????-=??????--

=πππππππ544cos 35144cos 3594cos 3t t t ??

? ?

?-=ππ544cos 3t (2)

A:)4cos(3ππ-=t y A

任取一点P(如图)5-=x AP ,则P 点落后A 点时间u

x 5

- 故波动方程

???

???---=ππ)5(4cos 3u x t y

??

?

???---=ππ)205(4cos 3x t

??

????

-

=)20(4cos 3x t π ??????

-=)2014(4cos 3t y B π

)

54

4c o s (3)5

144cos(3ππππ-=-

=t t

6-8一空气正弦波沿直径为0.14m 的圆柱形管行进,波的强度为21

3

109---???m s J ,频率

为300Hz ,波速为3001

-?s m 。求: (1)波的平均能量密度和最大能量密度; (2)两相邻的同相面间的波中平均含有的能量。 解:(1)由题可知,垂直于波传播方向的面积为:

习题6.7图

222

221054.1)2

14.0(14.3)2(m m d S -?=?==π

据能量密度??

???

?+-=?ωωρω)(sin 222u

x t A 平均能量密度 222

1ωρωA =

波的强度 u I ω= 得:

)(J/m 103J/m 300

1093533

--?=?==u I ω

最大能量密度为:

)(J/m 10623522-?===ωωρωA m

(2) 两相邻同相面间,波带中包含的能量就是在一个波长的距离中包含的能量,因

能量密度

)(sin )(sin 2222u x t u x t A m -=-=ωωωωρω V

E d d =

ω 故 ?

?-==

λ

λ

λωωωω0

2)(sin dx u

x t S Sdx m

)

(1062.4300

3000154.021********

J J v

u S S m m --?=???===ωλω

6-9一平面简谐波的频率ν=300Hz ,波速1

340-?=s m u ,在截面面积2

2

1000.3m S -?=的管内的空气中传播,若在l0s 内通过截面的能量J W 2

1070.2-?=。求: (1)通过截面的平均能流P ; (2)波的平均能流密度I; (3)波的平均能量密度ω。

解: (1) P 为单位时间通过截面的平均能量,有:

(J/s)102.7J/s 10

107.23-2

?=?==-t W P ?

(2) I 为单位时间通过垂直于波的传播方向单位面积的平均能量,有:

)(1091000.3107.2212212

3-------???=????==m s J m s J s P I

(3) 据平均能量密度和I 与u 的关系,有:

)(1065.2340

1092422

----??=??=

=m J m J u I ω

6-10如习题6-10图所示,S 1,S 2为两个相干波源,相互间距为

4λ,S 1的相位比S 2超前2

π

,若两波在S 1和S 2连线方向上各点强度相同,均为0I ,求S 1、S 2的连线上S 1及S 2外侧各点合成波的强度。

解 设P 点为波源S 1外侧任意一点,相距S 1为r 1,相距S 2为r 2,则S 1、S 2的振动传到P

点的相位差为:

)(221102012r r -+-=-=λ

π

??????

πλ

λπ

π

-=-+

-=)4

(22

或由课本P 213(6-24),知

20101

22??λ

π

??-+-=r r

合振幅 0||21=-=A A A

故 I p =0

设Q 点为S 2外侧的任意一点,同理可求得S 1、S 2的振动传到Q 的相位差为:

,04

22

12=?

+

-

=-=λ

λ

π

π

????

合振动 1212A A A A =+= 合成波的强度与入射波强度之比为:

,4421

2

10==A A I I Q

即 04I I Q =

6-11 两列波在一根很长的细绳上传播,其波动方程为

m t x y m t x y )4(cos 06.0,)4(cos 06.021+=-=ππ,

(1)证明细绳上的振动为驻波式振动; (2)求波节和波腹的位置;

(3)波腹处的振幅有多大?在x=1.2m 处的振幅是多少? 解(1)因合成波方程为: 21y y y +=

tm

x m t x t x t x t x m

t x t x ππππππππ4cos cos 12.02

)

4()4(cos

2

)

4()4(cos

06.02)]4(cos 06.0)4(cos 06.0[?=+--?++-?=++-=

故细绳上的振动为驻波式振动。

(2) 由0cos =x π得: 2

)12(π

π+=k x

故波节位置为: )2,1,0())(12(2

1

±±=+=

k m k x

由1|cos |=x π得: ππk x = 故波腹位置 )2,1,0()

( ±±==k m k x

(3) 由合成波方程可知,波腹处振幅为: m 12.0=A

在x=1.2m 处的振幅为:

097.0|2.1cos 12.0|==m A x π

6-12 如习题6-12图所示,一平面简谐波沿x 轴正方向传播,波速u=401

-?s m 。已知在坐标原点O 引起的振动为)2

10cos(0π

π+

=t A y (国际单位制),M 是垂直于x 轴的波密媒质

反射面,已知OO /

=14m ,设反射波不衰减,求: (1)入射波和反射波的波函数; (2)驻波波方程;

(3)驻波波腹和波节的位置。 解: (1) )2410cos(2)40(10cos πππππ+-=?????

?+-

=x t A x t A y 入 ??

?

??

?

-+--

=πππ2)4028(10cos x t A y 反 )2

3410cos(2)4028(10cos π

ππππ-+=?????

?---

=x t A x t A (2) 驻波方程

)2

3410cos()2

4

10cos(ππ

ππ

π

π-+

++

-

=+=x t A x t A y y y 反入 )4

cos()2

10cos(2x t A π

ππ

π-

-

=

t

x A t

x A ππ

ππ

π10sin 4

cos

210sin )4

cos(2-=-

=

(3) 波节24)12(22

1

24

4

cos +=+-?+=

=k k x k x x ππ

π

波腹k x k x x 44

1

4

cos

===ππ

π

∴ 波节:x =2,6,10,14 波腹:x =0,4,8,12

6-13如习题6-13图所示,设B 点发出的平面横波沿BP 方向传播,它在B 点的振动方程为

t y π2cos 10231-?=;C 点发出的平面横波沿CP 方向传播,它在C 点的振动方程为)2cos(10232ππ+?=-t y ,两式中y 以m 计,t 以s 计。设BP=0.40m ,CP=0.50m ,波速

12.0-?=s m v ,试求:(1)两波传到P 点时的相位差;(2)当这两列波的振动方向相同时,在

P 处合振动的振幅;(3)当这两列波动的振动方向互相垂直时,P 点处合振动的振幅又如何? 解(1)据题意可知,S 点的振动表达式为: t A y ωcos 0= 故平面波的表达式为:

)(cos u

x

t A y -=ωλ

(2) 反射点的振动表达式为:

)(cos u D

t A y P -

='ω 考虑反射面的半波损失,则反射面的振动表达式为:

)cos(πωω--

=u

D

t A y P

故反射波的表达式为:

??

?

??????

??+-??? ??--

=πωωu D u x D t A y cos 反 ???

?????? ??+-??? ??+=πωωu

D u x t A 2cos

(2)另解:设SP 之间有任一点B ,波经过反射后传到B 点,所经过的距离为(2D -x ),则反射波在B 点落后于O 点的时间为u

x

D -2,并考虑半波损失。 ∴ ??

?

???---

=πω)2(cos u x D t A y 反 ??

?

?

?

-+-=πωωu ux u D t A 2cos (3) 合成波的表达式为:

反合y y y +=λ ???

??????

??+-??? ??++????????? ??-

=πωωωu

D u x t A u x t A 2cos cos ????????? ??+-????

??-+=2cos 2cos 2πωωωπωu

D t u x u D A (4) 距O 点为

3

D

处的一点的合振动方程为: ???

?????? ??+-???????+=2cos 232cos 23

πωωπωu D t u D A y D

6-14 P ,Q 为两个振幅相同的同相相干波源,它们相距

2

,R 为PQ 连线上Q 外侧的任意一点,求自P ,Q 发出的两列波在R 点处引起的振动的相位差和两波在R 处干涉时的合振幅。

解(1)由第一列波在Q 点的振动t A y Q ωcos =和第二列波在O 点振动的相位比,第一列波Q 的相位超前π,得到第二列波在O 点的振动为:

)cos(πω+=t A y o

由两振动方程可得同一坐标下的波动表达式为:

π

λωλυλ

πωω2)(cos )(cos =

==

???

???+-=?

????

?

--=T

u u x t A y u x l t A y O Q

将l =1,x =x p 代入,得到两列波在P 点处的振动表达式为:

习题6-13图

习题6-14图

)

2cos()

22cos(2

1πλ

πωλπλπ

ω+-=+

-=p

P p

P x t A y x t A y 上述两个振动在P 点引起的合振动为:

21p p p y y y +=

)2cos()22cos(πλ

πωλ

πλπ

ω+-

++

-

=p

p

x t A x t A

)1()

2sin(

)sin(2λ

πλ

πλ

πω---=p

x t A

(2) 当波的频率ν=400Hz,波速u=400m/s 时,由u=νλ可知,波长m v u 1==λ。

将m 1=λ代入(1)式,(1)式中的x p 换成变量x ,得驻波方程为: )2sin()sin(2πππω-?--=x t A y x t A πω2sin sin 2-= 为得到干涉静止点位置,使y=0,于是有:

02sin =x π 即 )2,1,0(2 ==k k x ππ

得 2

k x =

在O 与Q 之间(包括O 、Q 两点在内),因干涉而静止的点的位置为:

x =0,

2

1

, m , 1m

6-15两列火车分别以721

-?h km 和541

-?h km 的速度相向而行,第一列火车发出一个600Hz 的汽笛声,若声速为3401

-?s m ,求在第二列火车上的乘客听见该声音的频率在相遇前是多少?在相遇后是多少?

解(1)因为波源的振动方程为:t A y ωcos =

故波源向反射面发出的沿x 轴负方向的行波波动表达式为:

)2cos(x t A y λ

π

ω+

=负

沿x 轴正方向传播的行波表达式为:

)2cos(x t A y λ

π

ω-

=正

(2) 因为沿x 轴负方向的波入射到反射面上引起的振动之表达式为:

)2cos(λ

πωx

t A y +

='

将4

-

=x 代入上式,得: )2

3cos(πω+

='t A y 因为反射面有半波损失,故作为反射波波源的振动表达式为:

)2

cos()23cos(πωππω-=+-

=t A t A y 故反射波的行波波动方程分别为: 在MN-yO 区域内

?

???

??

---

-

=-)](43[22

cos x t A Y yO MN λλππ

ω ]2

322cos[x

t A --

-

=λππ

ω ]22cos[πλ

πω--

=x

t A 或 )2cos(λ

πωx

t A y yO MN -=-

在x>0区域内

)]43(22cos[0x t A y x +-

-=>λ

λππ

ω )2cos(λ

πωx

t A -

=

由此可见,反射波波源所发生的沿x 轴正方向传播的行波,无论在MN-yO 区域,还是在x>0区域,其波动议程皆可表示为:

)2cos(λ

πωx

t A y -

=反

另解:在0y MN -区域内波从O 点经过MN 传播到P 点所经过的距离为x +?24

3

λ,则P 点落后于O 点的时间

u

x +λ23

(a) (b) 习题6-15图

故])23

(cos[πλω-+-=u

x t A y 反

)

2c o s ()

22c o s (x t A x t A λ

π

ωλ

π

πω-

=-

-=

在x>0区域内

P 点落后于O 点的时间u

x +?243

λ

则同理可证

)2cos(x t A y λ

π

ω-=反

(3) 在MN-yO 区域内,入射波与反射波叠加后的波动表达式为: 反负合y y y += )2cos()2cos(λ

πωλ

πωx

t A x

t A -

++=

t x

A ωλ

πcos 2cos 2?=

这是驻波方程。

干涉极大条件为:A x

A 2|2cos 2|=λ

π (波腹)

即干涉极大的坐标为:

x =0, 2

λ

-

干涉极小条件为:0|2cos 2|=λ

πx

A (波节)

即干涉极的坐标为:

,4λ

-

=x λ4

3- (4) 在x>0区域内,入射波与反射波叠加后的波动表达式为:

反正合y y y +=

)

2cos(2)

2cos()2cos(λ

πωλ

πωλπωx

t A x

t A x

t A -

=-+-

=

这是振幅为2A 的沿x 轴正方向传播的行波。

6-16一驱逐舰停在海面上,它的水下声纳向一驶近的潜艇发射Hz 4

108.1?的超声波。由该潜艇反射回来的超声波的频率和发射频率相差220Hz ,该潜艇航速多大?已知海水中声速为

131054.1-??s m 。

解(1)由波源的振动表达式:

m t y )2

2cos(5.0π

π+

=

知,入射波的波动表达式为:

m x

t y )2

22cos(5.0π

λ

ππλ+

-

=

m x t )2

42cos(5.0π

ππ+

-=

因反射点有半波损失,将x =2m 入射波动表达式,则反射波的振动表达式为:

m t y )2

132cos(5.0π

π-

= 反射波的波动表达式为:

m x t y ??

?

??

?---

=213)2(22cos 5.0πλππ反 m

x t m x t )2

42cos(5.022942cos 5.0π

πππππ-+=??????

-+= 另解:反射波

从O 点经过墙反射到P 点经过的距离为4-x ,则落后的时间为

u

x

-4 ∴

?????

?

+---=2)24(2cos πππx t A y 反

?

?? ?

?

-+=?

?? ?

?

---=242cos 2242cos πππππλπx t A x t A

m x t y )2

42cos(5.0π

ππ-

+=反

(2) 入射波与反射波在叠加区域内叠加形成驻流,波动表达式为:

反合y y y +=λ

习题6-16

x

t m

t x m

x x x t πππππ

ππ

πππππ4sin 2cos )72cos()2

154cos(5.0)22942cos(5.0)242cos(5.0=--=-+++-= 即为驻波的波动表达式。 (3) 因 4

4,

04sin k x k x x =

==πππ则 因波源与反射点之间距离为2m ,故k 只能取k=0,1,2,…,8

则波节为48,47,46,45,44,43,42,41,

0=x m m 2,75.1,5.1,25.1,1,1,75.0,5.0,25.0,02,4

3

1,211,411,1,43,21,41,0==

波腹:14sin =x π

8

122

1

24+=

+=

k x k x ππ

因波源与反射点之间距离为2m ,故k 只能取k=0,1,2, …,7 波腹:m x 8

15,813,811,89,87,85,83,81=

波腹坐标为:

即波腹坐标为x =0.125m,0.375m,0.625m,0.875m,1.125m,1.375m,1.625m,1.625m,1.875m

6-17一报警器发射频率为1000Hz 的声波,离观察者向一悬崖运动,其速度为1

10-?s m ,求: (1)观察者直接从警报器听到的声音频率为多少? (2)从悬崖反射的声音频率为多少?

(3)听到的拍频为多少(空气中声速为3401

-?s m )?

解(1)波源远离观察者运动,故s υ应取负值,观察者听到的声音频率为:

Hz 4.971Hz 10010

340340

=?+=-=

'v u u v s υ (2) 波源向着悬崖运动,s υ应取正值,从悬崖反射的声音频率为:

Hz 3.1030Hz 10010

340340

=?-=-=

''v u u v s υ

(3)拍频Hz 9.58Hz )4.9713.1030

(=-'-''=v v v ? 现论上应有58.9拍,但因为强弱相差太悬殊,事实上可能听不出拍频。

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