第六章习题解答
6-1 有一平面简谐波,在空间以速度u 沿x 轴正向传播,已知波线上某一点S (S 离坐标原点的距离为L )的振幅为0.02m ,圆频率为ω,初始时刻S 点从平衡位置下方0.01m 处向上运动,求此波的波动方程。 解:首先写出S 点的振动方程 若选向上为正方向,则有:
0c o s 02.001.0?=- 2
1
cos 0-
=? ,0s i n 00>-=?ωυA 0sin 0
即 π?320-=或π34
初始相位 π?3
2
0-=
则 m t y s )3
2
cos(02.0πω-
= 再建立如图题6-1(a)所示坐标系,坐标原点选在S 点,沿x 轴正向取任一P 点,该点振动位相将落后于S 点,滞后时间为: u
x t =? 则该波的波动方程为:
m u
x t y ??
???
?-
-=πω32)(cos 02.0 若坐标原点不选在S 点,如习题6-1图(b )所示,P 点仍选在
S 点右方,则P 点振动落后于S 点的时间为:
u
L
x t -=?
则该波的波方程为:
m u L x t y ??
?
???---
=πω32)(cos 02.0 若P 点选在S 点左侧,P 点比S 点超前时间为u
x
L -,如习题6-1图(c)所示,则 ???
???--+
=πω32)(cos 02.0u x L t y ??
???
?
---
=πω32)(cos 02.0u L x t ∴不管P 点在S 点左边还是右边,波动方程为:
习题6-1图
习题6-1图
??
?
???---=πω32)(cos 02.0u L x t y
6-2一平面简谐波沿x 轴正向传播,波速1
100-?=s m u ,t=0时的波形图如习题6-2图所示,根据波形图,求:
(1)波长λ、振幅A 、频率ν、周期T ; (2)任一时刻的波动表达式;
(3)写出x =0.4m 处质点的振动表达式。 解(1)由习题6-2图可知,
波长 m 8.0=λ 振幅 A=0.5m 频率 Hz 125Hz 8
.0100
==
=λ
u
v 周期 s 1081
3-?==
v
T ππυω2502== (2)平面简谐波标准波动方程为:
??
???
?+-=?ω)(cos u
x t A y 由图可知,当t=0,x=0时,y=A=0.5m ,故0=?。 将?πωω、、、u v A )2(=代入波动方程,得:
m )100(250cos 5.0?????
?
-=x t y π
(3) x =0.4m 处质点振动方程.
??
????
-
=)1004.0(250cos 5.0t y π m )250
cos(5.0ππ-=t
6-3 习题6-3图所示为t=0时刻某平面简谐波的波形,求:
(1)O 点的振动方程; (2)该平面简谐波波动方程; (3)P 点的振动方程;
(4)t=0时刻,a ,b 两点处质点的振动方向。 解(1)由习题6-3图可知,对于O 点,t=0时,y=0,故
2
π
?±
=
再由该列波的传播方向可知,
00<υ
取 2
π
?=
由习题6-3图可知,,40.0m OP ==λ且u=0.08m/s ,则
ππ
λ
π
πω5
2
rad/s 40.008.0222====u
v rad/s 可得O 点振动表达式为:
m t y )2
52cos(04.00π
π+=
(2) 已知该波沿x 轴正方向传播,u=0.08m/s,以及O 点振动表达式,波动方程为:
m x t y ??????+-=2)08.0(5
2
cos 04.0ππ
(3) 将40.0==λx 代入上式,即为P 点振动方程:
m t y y p ??????+==ππ215
2
cos 04.00
(4)习题6-3图中虚线为下一时刻波形,由图可知,a 点向下运动,b 点向上运动。
6-4一平面简谐波在T t 4
3
=
时刻的波形曲线如习题6一4图所示,该波以136-?=s m u 的速度沿x 轴的正方向传播。求: (l)t=0时刻O 点与P 点的初相位; (2)写出该平面简谐波的波动方程。 解(1)平面谐波标准波动方程为:
??
?
???+-=?ω)(cos u x t A y
由图可知,A=0.2m
对于图中O 点,有:
T t m y x 4
3
,2.0,0===
代入标准波动方程:
1
)2
3
cos()43(2cos 2.02.0=+?
??
???+=?π?πT T
故 2
π
?=
对于O 点,t=0时的初始相位
2
0π
?=
图中P 点位相始终落后O 点
4T 时间,即相位落后2
π
,故t=0时,P 点初相位0=p ?。 (2)由m 4.0,m/s 36==λu 知,
rad/s 18022πλ
π
πω===u
v
故根据平面谐波的标准波动方程可知,该波的波动方程为:
m x t y ?????
?+-=2)36(180cos 2.0ππ
6-5一平面简谐波在媒质中以速度u 传播,其传播路径上一点P 的振动方程为
t A y p ωcos =,试按照习题6-5图所示的几种坐标分别写出波动方程(P 点到原点的距离为
L)。
解:习题6-5图(a)中,根据波的传播方向知,O 点振动先于P 点,故O 点振动的方程为:
)(cos 0u L
t A y +
=ω 则波动方程为: )(cos u
L
u x t A y +-=ω
习题6-5图(b)中,根据波的传播方向知,O 占振动落后于P 点,故O 点振动的方程为:
)(cos 0u
L
t A y -=ω
则波动方程为:
)(cos u L u x t A y -+
=ω 习题6-5图(c)中,波沿x 轴负方向传播,P 点振动落后于O 点,故O 点振动的方程为:
)cos(0u
L t A y +
= 则波动方程为:
)(cos u
L u x t A y ++
=ω 此时,式中x 与L 自身为负值。
6-6 已知一平面简谐波的波动方程为)24(cos x t A y +=π,y x ,的单位是m ,t 的单位是s 。
(1)求该波的波长、频率和波速;
(2)写出t=4.2s 时刻各波峰位置的坐标表达式,并求出此时离坐标原点最近的那个波峰的位置;
(3)求t=4.2s 时,离坐标原点最近的那个波峰通过坐标原点的时刻。 解: (1) )24(cos x t A y +=π )24cos(x t A ππ+= )2
(4cos x t A +
=π Hz
25.024/2====-=γωπ
π
ωs
T s
m u m 1=λ
(2))2
(4cos x t A y +=π 波峰:1)2
(4cos =+x
t π ,2,1,02)2(4±±==+
k k x
t ππ
t=4.2s 代入(2
22.4k
x =+)
,6.0,4.0,,4.7,4.84.8m m m m x m
k x ---=-=
3.02
6.0===
u x t
6-7一平面简谐波在介质中以1
20-?=s m u 的速度自左向右传播,已知传播路径上的某一点A 的振动方程为m t y )4cos(3ππ-=,t 的单位为s ,另一点B 在A 点右方9m 处。 (1)若取x 轴正方向向左,并以A 点为坐标原点,求波动方程及B 点的振动方程; (2)若取x 轴正方向向右,以A 点左方5m 处的O 点为x 轴原点,重新写出波动方程及B 点的振动方程。 解: )4cos(3ππ-=t y
(1) ??
????
-+
=ππ)(4cos 3u x t y
??????-+
=ππ)20(4cos 3x t ??
???
?
--
=ππ)209(4cos 3t y B ??????
-=??????-=??????--
=πππππππ544cos 35144cos 3594cos 3t t t ??
? ?
?-=ππ544cos 3t (2)
A:)4cos(3ππ-=t y A
任取一点P(如图)5-=x AP ,则P 点落后A 点时间u
x 5
- 故波动方程
???
???---=ππ)5(4cos 3u x t y
??
?
???---=ππ)205(4cos 3x t
??
????
-
=)20(4cos 3x t π ??????
-=)2014(4cos 3t y B π
)
54
4c o s (3)5
144cos(3ππππ-=-
=t t
6-8一空气正弦波沿直径为0.14m 的圆柱形管行进,波的强度为21
3
109---???m s J ,频率
为300Hz ,波速为3001
-?s m 。求: (1)波的平均能量密度和最大能量密度; (2)两相邻的同相面间的波中平均含有的能量。 解:(1)由题可知,垂直于波传播方向的面积为:
习题6.7图
222
221054.1)2
14.0(14.3)2(m m d S -?=?==π
据能量密度??
???
?+-=?ωωρω)(sin 222u
x t A 平均能量密度 222
1ωρωA =
波的强度 u I ω= 得:
)(J/m 103J/m 300
1093533
--?=?==u I ω
最大能量密度为:
)(J/m 10623522-?===ωωρωA m
(2) 两相邻同相面间,波带中包含的能量就是在一个波长的距离中包含的能量,因
能量密度
)(sin )(sin 2222u x t u x t A m -=-=ωωωωρω V
E d d =
ω 故 ?
?-==
λ
λ
λωωωω0
2)(sin dx u
x t S Sdx m
)
(1062.4300
3000154.021********
J J v
u S S m m --?=???===ωλω
6-9一平面简谐波的频率ν=300Hz ,波速1
340-?=s m u ,在截面面积2
2
1000.3m S -?=的管内的空气中传播,若在l0s 内通过截面的能量J W 2
1070.2-?=。求: (1)通过截面的平均能流P ; (2)波的平均能流密度I; (3)波的平均能量密度ω。
解: (1) P 为单位时间通过截面的平均能量,有:
(J/s)102.7J/s 10
107.23-2
?=?==-t W P ?
(2) I 为单位时间通过垂直于波的传播方向单位面积的平均能量,有:
)(1091000.3107.2212212
3-------???=????==m s J m s J s P I
(3) 据平均能量密度和I 与u 的关系,有:
)(1065.2340
1092422
----??=??=
=m J m J u I ω
6-10如习题6-10图所示,S 1,S 2为两个相干波源,相互间距为
4λ,S 1的相位比S 2超前2
π
,若两波在S 1和S 2连线方向上各点强度相同,均为0I ,求S 1、S 2的连线上S 1及S 2外侧各点合成波的强度。
解 设P 点为波源S 1外侧任意一点,相距S 1为r 1,相距S 2为r 2,则S 1、S 2的振动传到P
点的相位差为:
)(221102012r r -+-=-=λ
π
??????
πλ
λπ
π
-=-+
-=)4
(22
或由课本P 213(6-24),知
20101
22??λ
π
??-+-=r r
合振幅 0||21=-=A A A
故 I p =0
设Q 点为S 2外侧的任意一点,同理可求得S 1、S 2的振动传到Q 的相位差为:
,04
22
12=?
+
-
=-=λ
λ
π
π
????
合振动 1212A A A A =+= 合成波的强度与入射波强度之比为:
,4421
2
10==A A I I Q
即 04I I Q =
6-11 两列波在一根很长的细绳上传播,其波动方程为
m t x y m t x y )4(cos 06.0,)4(cos 06.021+=-=ππ,
(1)证明细绳上的振动为驻波式振动; (2)求波节和波腹的位置;
(3)波腹处的振幅有多大?在x=1.2m 处的振幅是多少? 解(1)因合成波方程为: 21y y y +=
tm
x m t x t x t x t x m
t x t x ππππππππ4cos cos 12.02
)
4()4(cos
2
)
4()4(cos
06.02)]4(cos 06.0)4(cos 06.0[?=+--?++-?=++-=
故细绳上的振动为驻波式振动。
(2) 由0cos =x π得: 2
)12(π
π+=k x
故波节位置为: )2,1,0())(12(2
1
±±=+=
k m k x
由1|cos |=x π得: ππk x = 故波腹位置 )2,1,0()
( ±±==k m k x
(3) 由合成波方程可知,波腹处振幅为: m 12.0=A
在x=1.2m 处的振幅为:
097.0|2.1cos 12.0|==m A x π
6-12 如习题6-12图所示,一平面简谐波沿x 轴正方向传播,波速u=401
-?s m 。已知在坐标原点O 引起的振动为)2
10cos(0π
π+
=t A y (国际单位制),M 是垂直于x 轴的波密媒质
反射面,已知OO /
=14m ,设反射波不衰减,求: (1)入射波和反射波的波函数; (2)驻波波方程;
(3)驻波波腹和波节的位置。 解: (1) )2410cos(2)40(10cos πππππ+-=?????
?+-
=x t A x t A y 入 ??
?
??
?
-+--
=πππ2)4028(10cos x t A y 反 )2
3410cos(2)4028(10cos π
ππππ-+=?????
?---
=x t A x t A (2) 驻波方程
)2
3410cos()2
4
10cos(ππ
ππ
π
π-+
++
-
=+=x t A x t A y y y 反入 )4
cos()2
10cos(2x t A π
ππ
π-
-
=
t
x A t
x A ππ
ππ
π10sin 4
cos
210sin )4
cos(2-=-
=
(3) 波节24)12(22
1
24
4
cos +=+-?+=
=k k x k x x ππ
π
波腹k x k x x 44
1
4
cos
===ππ
π
∴ 波节:x =2,6,10,14 波腹:x =0,4,8,12
6-13如习题6-13图所示,设B 点发出的平面横波沿BP 方向传播,它在B 点的振动方程为
t y π2cos 10231-?=;C 点发出的平面横波沿CP 方向传播,它在C 点的振动方程为)2cos(10232ππ+?=-t y ,两式中y 以m 计,t 以s 计。设BP=0.40m ,CP=0.50m ,波速
12.0-?=s m v ,试求:(1)两波传到P 点时的相位差;(2)当这两列波的振动方向相同时,在
P 处合振动的振幅;(3)当这两列波动的振动方向互相垂直时,P 点处合振动的振幅又如何? 解(1)据题意可知,S 点的振动表达式为: t A y ωcos 0= 故平面波的表达式为:
)(cos u
x
t A y -=ωλ
(2) 反射点的振动表达式为:
)(cos u D
t A y P -
='ω 考虑反射面的半波损失,则反射面的振动表达式为:
)cos(πωω--
=u
D
t A y P
故反射波的表达式为:
??
?
??????
??+-??? ??--
=πωωu D u x D t A y cos 反 ???
?????? ??+-??? ??+=πωωu
D u x t A 2cos
(2)另解:设SP 之间有任一点B ,波经过反射后传到B 点,所经过的距离为(2D -x ),则反射波在B 点落后于O 点的时间为u
x
D -2,并考虑半波损失。 ∴ ??
?
???---
=πω)2(cos u x D t A y 反 ??
?
?
?
-+-=πωωu ux u D t A 2cos (3) 合成波的表达式为:
反合y y y +=λ ???
??????
??+-??? ??++????????? ??-
=πωωωu
D u x t A u x t A 2cos cos ????????? ??+-????
??-+=2cos 2cos 2πωωωπωu
D t u x u D A (4) 距O 点为
3
D
处的一点的合振动方程为: ???
?????? ??+-???????+=2cos 232cos 23
πωωπωu D t u D A y D
6-14 P ,Q 为两个振幅相同的同相相干波源,它们相距
2
3λ
,R 为PQ 连线上Q 外侧的任意一点,求自P ,Q 发出的两列波在R 点处引起的振动的相位差和两波在R 处干涉时的合振幅。
解(1)由第一列波在Q 点的振动t A y Q ωcos =和第二列波在O 点振动的相位比,第一列波Q 的相位超前π,得到第二列波在O 点的振动为:
)cos(πω+=t A y o
由两振动方程可得同一坐标下的波动表达式为:
π
λωλυλ
πωω2)(cos )(cos =
==
???
???+-=?
????
?
--=T
u u x t A y u x l t A y O Q
将l =1,x =x p 代入,得到两列波在P 点处的振动表达式为:
习题6-13图
习题6-14图
)
2cos()
22cos(2
1πλ
πωλπλπ
ω+-=+
-=p
P p
P x t A y x t A y 上述两个振动在P 点引起的合振动为:
21p p p y y y +=
)2cos()22cos(πλ
πωλ
πλπ
ω+-
++
-
=p
p
x t A x t A
)1()
2sin(
)sin(2λ
πλ
πλ
πω---=p
x t A
(2) 当波的频率ν=400Hz,波速u=400m/s 时,由u=νλ可知,波长m v u 1==λ。
将m 1=λ代入(1)式,(1)式中的x p 换成变量x ,得驻波方程为: )2sin()sin(2πππω-?--=x t A y x t A πω2sin sin 2-= 为得到干涉静止点位置,使y=0,于是有:
02sin =x π 即 )2,1,0(2 ==k k x ππ
得 2
k x =
在O 与Q 之间(包括O 、Q 两点在内),因干涉而静止的点的位置为:
x =0,
2
1
, m , 1m
6-15两列火车分别以721
-?h km 和541
-?h km 的速度相向而行,第一列火车发出一个600Hz 的汽笛声,若声速为3401
-?s m ,求在第二列火车上的乘客听见该声音的频率在相遇前是多少?在相遇后是多少?
解(1)因为波源的振动方程为:t A y ωcos =
故波源向反射面发出的沿x 轴负方向的行波波动表达式为:
)2cos(x t A y λ
π
ω+
=负
沿x 轴正方向传播的行波表达式为:
)2cos(x t A y λ
π
ω-
=正
(2) 因为沿x 轴负方向的波入射到反射面上引起的振动之表达式为:
)2cos(λ
πωx
t A y +
='
将4
3λ
-
=x 代入上式,得: )2
3cos(πω+
='t A y 因为反射面有半波损失,故作为反射波波源的振动表达式为:
)2
cos()23cos(πωππω-=+-
=t A t A y 故反射波的行波波动方程分别为: 在MN-yO 区域内
?
???
??
---
-
=-)](43[22
cos x t A Y yO MN λλππ
ω ]2
322cos[x
t A --
-
=λππ
ω ]22cos[πλ
πω--
=x
t A 或 )2cos(λ
πωx
t A y yO MN -=-
在x>0区域内
)]43(22cos[0x t A y x +-
-=>λ
λππ
ω )2cos(λ
πωx
t A -
=
由此可见,反射波波源所发生的沿x 轴正方向传播的行波,无论在MN-yO 区域,还是在x>0区域,其波动议程皆可表示为:
)2cos(λ
πωx
t A y -
=反
另解:在0y MN -区域内波从O 点经过MN 传播到P 点所经过的距离为x +?24
3
λ,则P 点落后于O 点的时间
u
x +λ23
(a) (b) 习题6-15图
故])23
(cos[πλω-+-=u
x t A y 反
)
2c o s ()
22c o s (x t A x t A λ
π
ωλ
π
πω-
=-
-=
在x>0区域内
P 点落后于O 点的时间u
x +?243
λ
则同理可证
)2cos(x t A y λ
π
ω-=反
(3) 在MN-yO 区域内,入射波与反射波叠加后的波动表达式为: 反负合y y y += )2cos()2cos(λ
πωλ
πωx
t A x
t A -
++=
t x
A ωλ
πcos 2cos 2?=
这是驻波方程。
干涉极大条件为:A x
A 2|2cos 2|=λ
π (波腹)
即干涉极大的坐标为:
x =0, 2
λ
-
干涉极小条件为:0|2cos 2|=λ
πx
A (波节)
即干涉极的坐标为:
,4λ
-
=x λ4
3- (4) 在x>0区域内,入射波与反射波叠加后的波动表达式为:
反正合y y y +=
)
2cos(2)
2cos()2cos(λ
πωλ
πωλπωx
t A x
t A x
t A -
=-+-
=
这是振幅为2A 的沿x 轴正方向传播的行波。
6-16一驱逐舰停在海面上,它的水下声纳向一驶近的潜艇发射Hz 4
108.1?的超声波。由该潜艇反射回来的超声波的频率和发射频率相差220Hz ,该潜艇航速多大?已知海水中声速为
131054.1-??s m 。
解(1)由波源的振动表达式:
m t y )2
2cos(5.0π
π+
=
知,入射波的波动表达式为:
m x
t y )2
22cos(5.0π
λ
ππλ+
-
=
m x t )2
42cos(5.0π
ππ+
-=
因反射点有半波损失,将x =2m 入射波动表达式,则反射波的振动表达式为:
m t y )2
132cos(5.0π
π-
= 反射波的波动表达式为:
m x t y ??
?
??
?---
=213)2(22cos 5.0πλππ反 m
x t m x t )2
42cos(5.022942cos 5.0π
πππππ-+=??????
-+= 另解:反射波
从O 点经过墙反射到P 点经过的距离为4-x ,则落后的时间为
u
x
-4 ∴
?????
?
+---=2)24(2cos πππx t A y 反
?
?? ?
?
-+=?
?? ?
?
---=242cos 2242cos πππππλπx t A x t A
m x t y )2
42cos(5.0π
ππ-
+=反
(2) 入射波与反射波在叠加区域内叠加形成驻流,波动表达式为:
反合y y y +=λ
习题6-16
x
t m
t x m
x x x t πππππ
ππ
πππππ4sin 2cos )72cos()2
154cos(5.0)22942cos(5.0)242cos(5.0=--=-+++-= 即为驻波的波动表达式。 (3) 因 4
4,
04sin k x k x x =
==πππ则 因波源与反射点之间距离为2m ,故k 只能取k=0,1,2,…,8
则波节为48,47,46,45,44,43,42,41,
0=x m m 2,75.1,5.1,25.1,1,1,75.0,5.0,25.0,02,4
3
1,211,411,1,43,21,41,0==
波腹:14sin =x π
8
122
1
24+=
+=
k x k x ππ
因波源与反射点之间距离为2m ,故k 只能取k=0,1,2, …,7 波腹:m x 8
15,813,811,89,87,85,83,81=
波腹坐标为:
即波腹坐标为x =0.125m,0.375m,0.625m,0.875m,1.125m,1.375m,1.625m,1.625m,1.875m
6-17一报警器发射频率为1000Hz 的声波,离观察者向一悬崖运动,其速度为1
10-?s m ,求: (1)观察者直接从警报器听到的声音频率为多少? (2)从悬崖反射的声音频率为多少?
(3)听到的拍频为多少(空气中声速为3401
-?s m )?
解(1)波源远离观察者运动,故s υ应取负值,观察者听到的声音频率为:
Hz 4.971Hz 10010
340340
=?+=-=
'v u u v s υ (2) 波源向着悬崖运动,s υ应取正值,从悬崖反射的声音频率为:
Hz 3.1030Hz 10010
340340
=?-=-=
''v u u v s υ
(3)拍频Hz 9.58Hz )4.9713.1030
(=-'-''=v v v ? 现论上应有58.9拍,但因为强弱相差太悬殊,事实上可能听不出拍频。