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三重积分习题1

9-3

1. 化三重积分???Ω

=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分, 其中积分区域Ω分别是:

(1)由双曲抛物面xy =z 及平面x +y -1=0, z =0所围成的闭区域; 解积分区域可表示为

Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤xy , 0≤y ≤1-x , 0≤x ≤1}, 于是 ??

?-=xy

x dz z y x f dy dx I 0

101

0),,(.

(2)由曲面z =x 2

+y 2及平面z =1所围成的闭区域; 解积分区域可表示为

}11 ,11 ,1|),,{(2222≤≤--≤≤--≤≤+=Ωx x y x z y x z y x , 于是 ??

?+----=1

111

),,(y x x x

dz z y x f dy dx I .

(3)由曲面z =x 2+2y 2

及z =2-x 2所围成的闭区域; 解曲积分区域可表示为

}11 ,11 ,22|),,{(22222≤≤--≤≤---≤≤+=Ωx x y x x z y x z y x , 于是 ??

?-+----=2

22111

1),,(x y x x x dz z y x f dy dx I .

提示: 曲面z =x 2+2y 2

与z =2-x 2的交线在xOy 面上的投影曲线为x 2+y 2=1.

(4)由曲面cz =xy (c >0), 1

2222=+b

y a x , z =0所围成的在第一卦限内的闭区域.

解曲积分区域可表示为

}0 ,0 ,0|),,{(22a x x a a b y c xy

z z y x ≤≤-≤≤≤≤=Ω,

于是 ?

?-=c xy x a a b a

dz z y x f dy dx I 0

00),,(2

提示: 区域Ω的上边界曲面为曲面c z =xy , 下边界曲面为平面z =0.

2. 设有一物体, 占有空间闭区域Ω={(x , y , z )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 0≤z ≤1}, 在点(x , y , z )处的密度为ρ(x , y , z )=x +y +z , 计算该物体的质量.

解 ??????++==Ω

0)(dz z y x dy dx dxdydz M ρ??++=1

010)21(dy y x dx

??+=++=10101

02)1(]2

121[dx x dx y y xy 23)1(21102=+=x .

3. 如果三重积分???Ω

dxdydz z y x f ),,(的被积函数f (x , y , z )是三个函数f 1(x )、

f 2(y )、f 3(z )的乘积, 即f (x , y , z )= f 1(x )?f 2(y )?f 3(z ), 积分区域Ω={(x , y , z )|a ≤x ≤b , c ≤y ≤d , l ≤z ≤m }, 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积, 即

??????=Ω

d c

b a

dz z f dy y f dx x f dxdydz z f y f x f )()()()()()(321321.

证明

???Ω

dxdydz z f y f x f )()()(321dx dy dz z f y f x f b a d c m

]))()()(([321???=

dx dy dz z f y f x f b a d c m l

]))()()(([321???=???=m l

b a

dx dy y f dz z f x f )])()()()([(231

dx x f dy y f dz z f b

m l

d c

)]())()()([(123???=???=d c

m l

dx x f dy y f dz z f )())()()((123

???=d c

b a

dz z f dy y f dx x f )()()(321.

4. 计算???Ω

dxdydz z xy 32, 其中Ω是由曲面z =xy , 与平面y =x , x =1和z =0所围

成的闭区域.

解积分区域可表示为

Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤xy , 0≤y ≤x , 0≤x ≤1}, 于是

???Ω

dxdydz z xy 3

2???=xy

dz z dy y xdx 0

10?

?=x

xy dy z y xdx 0

042

]4[ ??=x dy y dx x 0510541364

12811

012==?dx x .

5. 计算???

+++3

)1(z y x dxdydz

, 其中Ω为平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的四

面体.

解积分区域可表示为

Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤1-x -y , 0≤y ≤1-x , 0≤x ≤1},

于是 ???Ω

+++3)1(z y x dxdydz ???---+++=y x x dz z y x dy dx 1031010)1(1 ?

?--++=x

dy y x dx 10

1)1(21[

dx x x ?+-+=10]8183)1(21[ )8

52(l n 21

-=.

提示: ???Ω

+++3)1(z y x dxdydz ???---+++=y x x dz z y x dy dx 1031010)1(1 ?

?---+++-=x

x dy z y x dx 10

102

])1(21[

??--++=x dy y x dx 10210]81)1(21[ dx y y x x

-?-++-=101

1)1(21[

dx x x ?+-+=10]8183)1(21[ 102]16183)1ln(21[x x x +-+= )85

2(ln 21-=.

6. 计算???Ω

xyzdxdydz , 其中Ω为球面x 2+y 2+z 2=1及三个坐标面所围成的在

第一卦限内的闭区域.

解积分区域可表示为

}10 ,10 ,10|),,{(222≤≤-≤≤--≤≤=Ωx x y y x z z y x 于是

???Ω

xyzdxdydz ??

?---=2

210

10x y x x y z d z

dy dx ?

?---=2

2210

)1(21x dy y x xy dx ?-=1022)1(81dx x x 48

1=.

7. 计算???Ω

xzdxdydz , 其中Ω是由平面z =0, z =y , y =1以及抛物柱面y =x 2所

围成的闭区域.

解积分区域可表示为

Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤y , x 2≤y ≤1, -1≤x ≤1},

于是

???Ω

xzdxdydz ???-=y

x z d z dy xdx 01

12??-=1

211221x dy y xdx 0)1(611

6=-=?-dx x x . 8. 计算???Ωzdxdydz , 其中Ω是由锥面22y x R h z +=与平面z =h (R >0, h >0)所

围成的闭区域.

解当0≤z ≤h 时, 过(0, 0, z )作平行于xOy 面的平面, 截得立体Ω的截面为圆

D z : 222)(z h R y x =+, 故D z 的半径为z h R , 面积为222

z h R π, 于是

???Ω

z d x d y d z =???z

D h

dxdy zdz 0?==h

h R dz z h R 0

2322

ππ. 9. 利用柱面坐标计算下列三重积分:

(1)???Ω

zdv , 其中Ω是由曲面222y x z --=及z =x 2+y 2所围成的闭区域;

解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1, 222ρρ-≤≤z , 于是

???Ω

zdv ??

?-=102202

ρρπρρθz d z d d ?--=1

042)2(2

12ρρρρπd

πρρρρπ12

7)2(1

053=--=?d .

(2)???Ω

+dv y x )(22, 其中Ω是由曲面x 2+y 2=2z 及平面z =2所围成的闭区域.

解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为

0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2, 22

≤≤z ρ, 于是 dv y x )(22+Ω

???dz d d θρρρ?=Ω

???2???=2

120

3202ρ

πρρθdz d d

??-=2

05320)212(ρρρθπd d ?==π

πθ203

1638d .

10. 利用球面坐标计算下列三重积分:

(1)???Ω

++dv z y x )(222, 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=1所围成的闭区域.

解在球面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤?≤π, 0≤r ≤1, 于是

???Ω

++dv z y x )(2

22???Ω

?=θ??d d r d r s i n 4 ???=1

04020s i n dr r d d ππ??θπ5

4=.

(2)???Ω

zdv , 其中闭区域Ω由不等式x 2+y 2+(z -a )2≤a 2, x 2+y 2≤z 2 所确定.

解在球面坐标下积分区域Ω可表示为 ?π?πθc o s 20 ,40 ,20a r ≤≤≤≤≤≤,

于是 ??????Ω

?=θ???d drd r r zdv sin cos 2

??=404)c o s 2(4

1c o s s i n 2π

????πd a 4405467c o s s i n 8a d a π???ππ

==?. 11. 选用适当的坐标计算下列三重积分:

(1)???Ω

xydv , 其中Ω为柱面x 2+y 2=1及平面z =1, z =0, x =0, y =0所围成的在第

一卦限内的闭区域;

解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 10 ,10 ,20≤≤≤≤≤≤z ρπθ,

于是

???

x y d v ???Ω

??=dz d d θρρθρθρsin cos ???==1

03208

1c o s s i n dz d d ρρθθθπ

. 别解: 用直角坐标计算

???Ω

x y d v ???-=10

102

dz ydy xdx x ??-=2

x y d y x d x

?-=1

2(dx x x 8

1]84[104

2=-=x x . (2)???Ω

++dv z y x 222, 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=z 所围成的闭区域;

解在球面坐标下积分区域Ω可表示为 ?π?πθc o s 0 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤r ,

于是

???

++dv z y x 2

22?

???=?π

??θc o s

220

s i n dr r r d d

cos 41sin 2204π???ππ

=?=?d .

(3)???Ω

+dv y x )(22, 其中Ω是由曲面4z 2=25(x 2+y 2)及平面z =5所围成的闭区

域;

解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 525 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤z ρρπθ,

于是

???Ω

+dv y x )(22???=5

520

320ρ

πρρθdz d d

πρρρπ8)2

55(22

03=-=?d .

(4)???Ω

+dv y x )(22, 其中闭区域Ω由不等式A z y x a ≤++≤<2220, z ≥0所确

定.

解在球面坐标下积分区域Ω可表示为 A r a ≤≤≤≤≤≤ ,20 ,20π?πθ,

于是

???Ω

+dv y x )(2

θ??θ???d d r d r r r s i n )s i n s i n c o s s i n

(2222222???Ω

)(15

4sin 55420320a A dr r d d A

a -==???π??θπ

12. 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积: (1)z =6-x 2-y 2及22y x z +=;

解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为

0≤θ≤2 π, 0≤ρ≤2, ρ≤z ≤6-ρ2, 于是 ??????Ω

==dz d d dv V θρρ?

??-=2

62020ρρ

πρρθdz d d

?=--=2

0323

32)6(2πρρρρπd .

(2)x 2+y 2+z 2=2az (a >0)及x 2+y 2=z 2(含有z 轴的部分); 解在球面坐标下积分区域Ω可表示为

?π?πθc o s 20 ,40 ,20a r ≤≤≤≤≤≤,

于是 ??????Ω

==θ??d d r d r dv V sin 2

???=?π

??θc o s

240

s i n

a dr r d d

34033s i n c o s

382a d a π???ππ

==?. (3)22y x z +=及z =x 2+y 2;

解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1, ρ2≤z ≤ρ,

于是 6

)(21

0321

0202πρρρπρρθρρπ

=-===???????Ω

d dz d d dv V .

(4)225y x z --=及x 2+y 2=4z .

解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为

2254

1 ,20 ,20ρρρπθ-≤≤≤≤≤≤z ,

于是 ???-=2

2020

ρρπρρθdz d d V

)455(3

2)45(22

-=-

-=?πρρρρπd .

13. 球心在原点、半径为R 的球体, 在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比, 求这球体的质量.

解密度函数为222),,(z y x k z y x ++=ρ. 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤?≤π, 0≤r ≤R ,

于是 ???Ω

++=dv z y x k M 2

400

220s i n R k dr r kr d d R

π??θππ=?=???.

不定积分例题及参考答案

第4章不定积分

习题4-1 1.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)2 2x x dx +? （）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?

思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。解：3411 342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。解：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。解： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?

重积分部分练习题

(2分)[1] (3分)[2]二重积分D xydxdy ?? (其中D ：0≤y ≤x 2 ,0≤x ≤1)的值为（A ）16 （B ） 112 （C ）12 （D ）14 答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2D xy dxdy =??= （A ）0；（B ） 323 （C ）64 3 （D ）256 答 ( ) (3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分 22(,)D f x y dxdy =?? __________1 22(,)D f x y dxdy ?? （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）1 2 答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分 (A)11 2 011 1 (,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+?? ? (B)1 1 01(,)y dy f x y dx --?? (C)1 101 1 1 (,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+?? ? (D)201 (,)dy f x y dx -?? 答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)D f x y dxdy ??可化累次积分为 (A)20 1(,)x dx f x y dy -? (B)2 1(,)x dx f x y dy -?? (C)2 1 (,)y dy f x y dx -?? (D)210 (,)y dy f x y dx ? 答 ( )

二重积分及三重积分的计算

第一部分定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限. )0(21lim 1>++++∞→a n n a a a a n . 解原式=?∑=??? ? ??=∞→1011lim a a n i n x n n i dx = a a x a += ++11 11 1. 例2 求极限 ? +∞→10 2 1lim x x n n dx . 解法1 由10≤≤x ，知n n x x x ≤+≤ 2 10，于是? +≤1 2 10x x n ?≤1 n x dx dx . 而?1 0n x ()∞→→+=+= +n n n x dx n 01111 01，由夹逼准则得?+∞→1021lim x x n n dx =0. 解法2 利用广义积分中值定理 ()()x g x f b a ? ()()?=b a x g f dx ξdx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号）， ().101111 2 1 02 ≤≤+= +? ? n n n n dx x dx x x ξξ 由于11102≤+≤ n ξ ，即 211n ξ +有界， ()∞→→+=?n n dx x n 0111 0，故?+∞→1021lim x x n n dx =0. 注（1）当被积函数为( )22,x a x R +或() 22,a x x R -型可作相应变换. 如对积分() ?++3 1 2 2 112x x dx ，可设t x tan =；对积分 ()0220 2>-? a dx x ax x a ，由于 () 2 222a x a x ax --=-，可设 t a a x s i n =-. 对积分dx e x ? --2 ln 0 21，可设.sin t e x =- （2）()0,cos sin cos sin 2 ≠++=?d c dt t d t c t b t a I π 的积分一般方法如下：

2016年专项练习题集-定积分的计算

2016年专项练习题集-定积分的计算一、选择题 1.dx x )5(1 22-?=（） A.233 B. 31 C.3 4 D ．83 【分值】5分【答案】D 【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。【考查方向】求定积分【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。【解析】dx x )5(122-?=123153x x -＝83 ． 2.直线9y x =与曲线3 y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（） A 、 B 、 C 、2 D 、4 【分值】5分【答案】D 【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函

数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数. 【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】由? ??==39x y x y ，得交点为()()()27,3,27,3,0,0--，所以()4 81034129942303 =??? ??-=-=?x x dx x x S ，故选D. 3.2 2-?2412x x -+dx =（） A.π 4 B.π 2 C.π D.π3 【分值】5分【答案】A 【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型. 【考查方向】求定积分【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。【解析】设y =2412x x -+,即(x -2)2+y 2=16(y ≥0).∵2 2-?2412x x -+dx 表示以4为半径的圆的四分之一面积.∴2 2-?2412x x -+dx =π4. 4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A 设定v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B 设定在A 的正前方5 m 处，同时以v

三重积分及其计算和多重积分72254

第四节三重积分及其计算和多重积分在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的n 维空间中去. 类似于第三节,我们先定义一个R 3中集合的可求体积性. 同样可以给出一列类似的结论. 读者自己推广. 这里将不再赘述. 一、引例设一个物体在空间R 3中占领了一个有界可求体积的区域V ，它的点密度为()z y x f ,,，现在要求这个物体的质量．假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域V 分割为若干个可求体积的小区域n V V V ,...,,21，其体积分别是n V V V ???,...,,21，直径分别是n d d d ,...,,21，即},||sup{|i i V Q W WQ d ∈=, (i =1,2,…,n ）, |WQ|表示W, Q 两点的距离．设 },...,,m ax {21n d d d =λ，则当λ很小时，()z y x f ,,在i V 上的变化也很小．可以用这个小区域上的任意一点()i i i z y x ,,的密度()i i i z y x f ,,来近似整个小区域上的密度，这样我们可以求得这个小的立体的质量近似为()i i i i V z y x f ?,,，所有这样的小的立体的质量之和即为这个物体的质量的一个近似值．即 ()i i i i n i V z y x f M ?≈∑=,,1 ．当0→λ时，这个和式的极限存在，就是物体的质量．即 ()i i i i n i V z y x f M ?=∑=→,,lim 1 λ．从上面的讨论可以看出，整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的，都是先分割，再求和，最后取极限．所以我们也可以得到下面一类积分．二、三重积分的定义设()z y x f ,,是空间3 R 中的一个有界可求体积的闭区域V 上的有界函数，将V 任意分割为若干个可求体积的小闭区域n V V V ,...,,21，这个分割也称为V 的分划，记为P : n V V V ,...,,21. Φ=?o o j i V V (空, j i ≠), 其体积分别是n V V V ???,...,,21，直径分别是n d d d ,...,,21．设 },...,,m ax {21n d d d =λ,或记为||P ||. 在每个小区域中任意取一点()i i i i V z y x ∈,,，作和 ()i i i i n i V z y x f ?∑=,,1 (称为Riemann 和)，若当0→λ时，这个和式的极限存在，则称其极

定积分典型例题11198

定积分典型例题例1 求21lim n n →∞L ．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 =?．例2 ? =_________．解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π ．例18 计算2 1 ||x dx -?．分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 2 1||x dx -?＝0 2 10()x dx xdx --+??＝220210[][]22x x --+＝5 2 ．注在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算2 20 max{,}x x dx ?．分析被积函数在积分区间上实际是分段函数 212()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? ．解 232 12 2 2 12010 1 1717max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数，且10 ()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =．分析本题只需要注意到定积分()b a f x dx ?是常数（,a b 为常数）．解因()f x 连续，()f x 必可积，从而10 ()f t dt ?是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且11 (3)()x a dx f t dt a +==??．

重积分_期末复习题_高等数学下册_(上海电机学院)

第九章重积分一、选择题 1.I=222222(),:1x y z dv x y z Ω ++Ω++=???球面部，则I= [ C ] A. ???Ω Ω=dv 的体积 B.???1 42020sin dr r d d θ?θππ C. ???104 020sin dr r d d ??θππ D. ???104 020sin dr r d d θ?θππ 2. Ω是x=0, y=0, z=0, x+2y+z=1所围闭区域，则???Ω =xdxdydz [ B ] A. ???---y x x dz x dy dx 210 21010 B. ???---y x x dz x dy dx 210 21010 C. ???-1 021021 0dz x dx dy y D. ???---y x y dz x dx dy 210 21010 3. 设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =所围闭区域，1D 是D 位于第一象限的部分，则[B ] （A ）()()1 cos d d 2d d D D xy x xy x y xy x y +=???? （B ）()()()1 cos d d 2cos d d D D xy x xy x y x xy x y +=???? （C ）()()1 cos d d 2(cos())d d D D xy x xy x y xy x xy x y +=+???? （D ）()()cos d d 0D xy x xy x y +=?? 4. Ω:12 22≤++z y x ，则??? Ω =++++++dxdydz z y x z y x z 1 )1ln(2 2 2 222 [ C ] A. 1 B. π C. 0 D. 3 4π 5．222{(,),0}D x y x y a y =+≤≥，其中0a >，则D xy d σ=?? D A.2 20 sin cos a d r dr π θθθ?? B. 30 sin cos a d r dr π θθθ? ?

[整理]三重积分的计算方法小结与例题76202

三重积分的计算方法介绍：三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲

定积分典型例题20例答案

定积分典型例题20例答案例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?．例2 2 20 2x x dx -? =_________．解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ．解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___．分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?．解（1）()f x '=42 2x x xe e ---；（2）由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?．例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________．解对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=，

二重积分练习题

二重积分自测题（一）选择题 1．设D 是由直线0=x ，0=y ，3=+y x ，5=+y x 所围成的闭区域，记：??σ+= D d y x I )ln(1，??σ+=D d y x I )(ln 22 ，则（） A ．21I I < B ．21I I > C ．122I I = D ．无法比较 2．设D 是由x 轴和∈=x x y (sin [0，π])所围成，则积分??=σD yd （） A ． 6π B ．4π C ．3π D ．2 π 3．设积分区域D 由2 x y =和2+=x y 围成，则=σ??D d y x f ),(（） A ．? ?-+2 122),(x x dy y x f dx B ．??-212 ),(dy y x f dx C ． ? ?-+1 2 22),(x x dy y x f dx D ．??+1 2 2),(x x dy y x f dx 4．设),(y x f 是连续函数，则累次积分? ? =4 2),(x x dy y x f dx （） A ． ?? 40 412),(y y dx y x f dy B ．?? -4 412),(y y dx y x f dy C ． ? ?4 4 1),(y dx y x f dy D ．??40 2 1 2 ),(y y dx y x f dy 5．累次积分? ?=-2 2 2 x y dy e dx （） A ． )1(212--e B ．)1(314--e C ．)1(214--e D ．)1(3 1 2--e 6．设D 由14122≤+≤y x 确定，若??σ+=D d y x I 2211，??σ+=D d y x I )(2 22， ??σ+=D d y x I )ln(223，则1I ，2I ，3I 之间的大小顺序为（） A ．321I I I << B ．231I I I << C ．132I I I << D ．123I I I << 7．设D 由1||≤x ，1||≤y 确定，则 =??D xy xydxdy xe sin cos （） A ．0 B ．e C ．2 D ．2-e 8．若积分区域D 由1≤+y x ，0≥x ，0≥y 确定，且 ? ?=1 1 )()(x dx x xf dx x f ，则 ??=D dxdy x f )(（）

数学分析21.5三重积分(含习题及参考答案)

第二十一章重积分 5三重积分一、三重积分的概念引例：设一空间立体V 的密度函数为f(x,y,z)，为求V 的质量M ，将V 分割成n 个小块V 1,V 2,…,V n . 每个小块V i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ), 则 M=i n i i i i T V f ?∑=→10 ),,(lim ζηξ, 其中△V i 是小块V i 的体积, T =}{max 1的直径i n i V ≤≤. 概念：设f(x,y,z)是定义在三维空间可求体积有界区域V 上的有界函数. 用若干光滑曲面所组成的曲面网T 来分割V ，把V 分成n 个小区域 V 1,V 2,…,V n .记V i 的体积为△V i (i=1,2,…,n)，T =}{max 1的直径i n i V ≤≤. 在每个V i 中任取一点(ξi ,ηi ,ζi ), 作积分和i n i i i i V f ?∑=1 ),,(ζηξ. 定义1：设f(x,y,z)为定义在三维空间可求体积的有界闭区域V 上的函数，J 是一个确定的数. 若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对于V 的任何分割T ，只要T <δ，属于分割T 的所有积分和都有 J V f i n i i i i -?∑=1 ),,(ζ ηξ<ε，则称f(x,y,z)在V 上可积，数J 称为函数f(x,y,z) 在V 上的三重积分，记作J=???V dV z y x f ),,(或J=???V dxdydz z y x f ),,(，其中 f(x,y,z)称为被积函数，x, y, z 称为积分变量，V 称为积分区域. 注：当f(x,y,z)=1时，???V dV 在几何上表示V 的体积.

二、三重积分的计算技巧

二、三重积分的计算技巧重积分的计算中，对积分区域的熟悉非常重要，以下关于重积分的几种计算技巧均是基于积分区域的特点分析归纳得出。一、积分区域为圆（二重积分）或球（三重积分） 1、在闭区域D 为2 2 2 a y x ≤+的圆，区域关于原点，坐标轴均对称，则有（1） dxdy y dxdy x a y x a y x ????≤+≤+= 2 222222 2 （2）若n m ,中有一个为奇数有 .02 22=??≤+dxdy y x a y x m n 例1．求 dxdy y x a y x ?? ≤++2 22)3(2 2 解：根据对称性，原式=dxdy y x a y x ??≤++2 22)(2 2 2 =.24 200 3a dr r d a πθπ =?? 例2．求 dxdy y x a y x 2 2 22)3(??≤++ 解：原式= .2 5)(5)69(4 2 22 22 22222a dxdy y x dxdy xy y x a y x a y x π=+=++?? ?? ≤+≤+ 例3．求 .)53(2 2222 dxdydz z y x a z y x ??? ≤++++（积分区域为球）解：原式= .)10306259(2 222222dxdydz xz yz xy z y x a z y x ??? ≤+++++++ = .32854.335.)(335552222 22 2a a dxdydz z y x a z y x ππ==++???≤++ 2、在闭区域D 为2 2 2 )(a y a x ≤+-的圆上例4．求 dxdy x a y a x ??≤+-2 22)( 解：原式= .)(3 2 )(2 22a dxdy a a x a y a x π=+-??≤+-

高中数学定积分计算习题

定积分的计算班级姓名一、利用几何意义求下列定积分（1）dx x ? 1 1 -2-1 (2)dx x ? 2 2-4 （3） dx x ? 2 2-2x （4） ()dx x x ? -2 4 二、定积分计算（1）()dx ?1 7-2x （2）( ) d x ?+2 1 x 2x 32 （3）dx ?3 1 x 3 （4）dx x ?π π - sin （5）dx x ?e 1 ln （6）dx ? +1 x 112 （7）() dx x x ?+-10 2 32 （8）()dx 2 31 1-x ? （9）dx ?+1 1 -2x x 2）（（10）( ) d x x ?+21 2x 1x （11）() dx x x ?-+1 1 -352x （12）() dx e e x x ?+ln2 x -e （13）dx x ?+π π --cosx sin ）（（14）dx ? e 1 x 2 （15）dx x ?2 1 -x sin -2e ）（（16）dx ?++2 1-3x 1 x x 2 （17）dx ? 2 1x 13 （18）()dx 2 2 -1x ?+

三、定积分求面积、体积 1求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积。 2．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1 3 x 所围成图形的面积． 3．求由曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积 4.如图求由两条曲线y ＝－x 2 ，y ＝－14 x 2 及直线y ＝－1所围成的图形的面积． 5、求函数f(x)＝???? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。 6．将由曲线y ＝x 2，y ＝x 3所围成平面图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 7．将由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 8.由曲线y ＝x 与直线x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积

三重积分的计算方法与例题

三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分(一重积分)和一个二重积分。从顺序看： Z 2 如果先做定积分f(x, y,z)dz，再做二重积分F(x,y)肚，就是“投 Z i D 影法；也即“先一后二。步骤为：找。及在xoy面投影域D。多D上一点(x,y) “穿线”确定的积分限，完成了“先一”这一步(定积分)；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二” Z 2 这一步。f(x, y,z)dv 二[f(x, y,z)dz]d二 Q D z i C2 如果先做二重积分f(x,y,z)d匚再做定积分F(z)dz，就是“截面 D z c i 法；也即“先二后一。步骤为：确定。位于平面Z = C i与Z = C2之间，即 z?[C i,C2]，过z作平行于xoy面的平面截门，截面D z。区域D z的边界曲面都是z的函数。计算区域D z上的二重积分..f(x,y,z)d二，完成 D z C2 了“先二”这一步(二重积分)；进而计算定积分J F(z)dz，完成“后一” C i C2 这一步。川f(x, y,z)dv = [ f (x, y,z)d；「]dz Q C i D z 当被积函数f (z)仅为z的函数(与x,y无关)，且D z的面积二⑵ 容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域「投影到xoy面，得投影区域D(平

面) (1)D是X型或丫型，可选择直角坐标系计算(当「的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算) (2)D是圆域(或其部分)，且被积函数形如f(x2y2), f(^)时, x 可选择柱面坐标系计算(当「为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算) (3)「是球体或球顶锥体，且被积函数形如f(x2 y2 z2)时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。对-向其它坐标面投影或门不易作出的情形不赘述。三重积分的计算方法小结： 1. 对三重积分，采用“投影法”还是“截面法'要视积分域门及被积函数f(x,y,z)的情况选取。一般地，投影法(先一后二)：较直观易掌握；截面法(先二后一)：D z是门在z处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。特殊地，对D z积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算S°z。因而门中只要z- [a,b],且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。 2. 对坐标系的选取，当「为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含 z或zf(x2 y2)时，可考虑用柱面坐标计算。

高等数学(同济五版)第九章重积分理解练习知识题册

第九章重积分第一节作业一、填空题： . )1(,)1,0(),0,1(),0,0(.4. ),,(,.3. ,4.2. 1),,(),(),,(.122222212121????= --=≤+=+<==D D d y x D y x D xoy d e y x D y x g g g g y x g z y x g z σρρσ可知由二重积分的几何意义为顶点的三角形区域是以设为质量可用二重积分表示则此薄板的其面密度为连续函数面内占有有界闭区域设一薄板在的值等于则是设区域重积分可表示为所围成立体的体积用二与柱面且适合在全平面上连续曲面二、选择题（单选）： {}{}: ,20,10:),(,)(, 22,11:),(,)(13 22 2132212 1 则其中其中设≤≤≤≤=+=≤≤-≤≤-=+=????y x y x D d y x I y x y x D d y x I D D σσ （A ）I 1=2I 2；（B ）I 1〈I 2；（C ）I 1=I 2；（D ）I 1=4I 2。答：（）三、估计下列积分的值： ??≤+++=D y x D d y x I .4:,)94(2222为闭区域其中σ

第二节作业一、填空题： 1. 设??=≤≤-≤≤D yd x y x D ..11,10:2σ则

?? ??-+-+=≤+a y ay D y x dx y x f dy d e y x D 20 20 22) (222 22 )(.3. ,1:.2分是为极坐标系下的二次积化则设σ 二、选择题（单选）： ? ? ? ? ?????? +----=1 10 221 102 2 101 02210 102210 10 2222 . 3) (; 3) (; 3)(;3)(: ,3.1x x y x y dy y x dx D dy y x dx C dy y x dx B dy y x dx A I dx y x dy I 等于则交换积分次序后设答：（） ). (2)();()(); (2)(); ()(: ),0(,.22 22 2 2 22222a b a b a b a b D y x e e D e e C e e B e e A I b a b y x a D d e I ----<<≤+≤=??+ππππσ等于是则为其中设答：（）三、试解下列各题： ????-≥-≤>==+==+D D dxdy y x f x y x y D y x f a a y a y a x y x y D dxdy y x . ),(,1,1:),(.2. )0(3,,,,)(.12222化为二次积分试将上连续在设平行四边形区域所围成的由直线其中求

习题课11--三重积分部分

宁波工程学院高等数学AI 教案习题课11（三重积分部分） 1.利用二重积分、三重积分求下列立体Ω的体积： ⑵ Ω是由平面0,0,1x y x y ==+=所围成的柱面被平面0z =及抛物面226x y z +=-所截得的立体. 2.化三重积分dv z y x f ???Ω ).,(为三次积分，其中积分区域Ω是：由曲面z x y =及平面 1,0,0,0x y z x y +====围成的位于第一卦限的闭区域. 3.dv z ???Ω 2其中Ω为两个球体2222R z y x =++与2222x y z Rz ++=的公共部分(0)R >. 提示：用坐标轴投影法. 4.利用柱面坐标计算下列三重积分：（1）v d y x ???+Ω22，其中Ω是由曲面22 9z x y =--及平面0z =所围成的闭区域；（2）v d y ???Ω ，其中Ω是由曲面22z x y =+及平面2z y =所围成的闭区域. （3）??? Ω++1 22y x dxdydz ，其中Ω为锥面222z y x =+及平面1=z 所围成的闭区域；（4）dxdydz y x z ???Ω+22，其中Ω由曲面22x x y -= ，0=z ，)0(>=a a z ， 0=y 所围成的闭区域。 5.利用球面坐标计算下列三重积分：（1）dv y ??? Ω2，其中Ω为介于两球面2222 x y z a ++=与2222b z y x =++之间的部分(0)a b ≤<. （2）v d y x ???Ω+)(22，其中Ω是由曲面z = 与z =所围成的闭区域. （3）计算???Ω ++dv z y x f )(2 22，Ω： 1222≤++z y x （4）计算 dv e z y x Z ???≤++1 222 6.选用适当的坐标系计算下列三重积分。

(初稿)三重积分计算方法小结

江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文三重积分的计算方法小结Methods of Calculation of Triple Integral 姓名：蒋晓颖学号： 1007012048 学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：蒋新荣（副教授）完成时间：2014年1月23日

三重积分的计算方法小结蒋晓颖【摘要】三重积分的计算是数学分析中的难点，本文结合教材以及相关资料较全面地给出了三重积分计算中的四种处理方法。第一，利用降低三重积分重数的思想，将其化为累次积分；第二，采用坐标变换的方法，将积分体表示成适当的形式；第三，充分运用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，简化计算；第四，利用高斯公式将三重积分的计算转化成曲面积分计算。希望这几种方法能对学习者具有一定的指导意义。【关键词】三重积分累次积分坐标变换对称性高斯公式

Methods of Calculation of Triple Integral Jiang Xiaoying 【Abstract】The calculation of triple integral is the difficulty in Mathematics analysis．In this paper，unifying the teaching and related materials ，we give four instructive methods of the calculation of triple integral for learner．The four methods are as follows：the first，lower the multiplicity of triple integral and replace it with iterated integral；the second，with the method of coordinate alternate，we can transform the integral volume into appropriate form；the third，fully use the parity of integrand and symmetry of integral area to simplify calculation；finally，we can calculate the triple integral with the Gauss formula that could transform triple integral into a surface integral．【Key words】triple integral iterated integral coordinate alternate symmetry Gauss formula

三重积分概念及其计算

§5 三重积分教学目的掌握三重积分的定义和性质．教学内容三重积分的定义和性质；三重积分的积分换元法；柱面坐标变换；球面坐标变换．基本要求掌握三重积分的定义和性质，熟练掌握化三重积分为累次积分，及用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分的方法．教学建议 (1) 要求学生必须掌握三重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可积．由于三重积分的定义与性质及充要条件与二重积分类似，可作扼要叙述与比较． (2) 对较好学生可布置这节的广义极坐标的习题．一、三重积分的概念背景：求某非均匀密度的曲顶柱体的质量时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤，利用求柱体的质量方法来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义．定义1 设()z y x f ,,是定义在三维空间可求体积的有界闭区域V 上的函数，J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于V 的任何分割T ，当它的细度δ

则()z y x f ,,必在V 上可积. 二、化三重积分为累次积分定理21.15 若函数()z y x f ,,在长方体V =[][][]f e d c b a ,,,??上的三重积分存在，且对任何x ∈[]b a ,，二重积分 ()x I =()dydz z y x f D ??,, 存在，其中D =[][]f e d c ,,?，则积分 ?b a dx ()??D d z y x f σ ,, 也存在，且 ()???V dxdydz z y x f ,,=?b a dx ()??D d z y x f σ ,,. (1) 为了方便有时也可采用其他的计算顺序．若简单区域V 由集合 ()()()()(){} b x a x y y x y y x z z y x z z y x V ≤≤≤≤≤≤=,,,,,,2121 所确定，V 在xy 平面上的投影区域为 D =()()(){ }b x a x y y x y y x ≤≤≤≤,,21 是一个x 型区域，设()z y x f ,,在上连续， ()y x z ,1，()y x z ,2在D 上连续，()x y 1，()x y 2上[]b a ,连续，则 ()???V dxdydz z y x f ,,= ()()???D z y x z dz z y x f dxdy 21,,,=()()()() ???b a x y x y z y x z dz z y x f dy dx 212 1,,,，其他简单区域类似．一般区域V 上的三重积分，常将区域分解为有限个简单区域上的积分的和来计算．例1 计算 ???+V dxdydz y x 221 ，其中V 为由

定积分计算例题

第5章定积分及其应用（一）、单项选择题 1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（）。 A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（）。 A ． ()()x f dx x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C. ()()x f dx x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 3．? ?→x x x tdt tdt sin lim 的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4．设x x x f +=3 )(，则 ? -2 2 )(dx x f 的值等于（）。 A ．0 B.8 C. ? 2 )(dx x f D. ?2 )(2dx x f 5．设广义积分 ? +∞ 1 dx x α收敛，则必定有（）。 A.1-<α B. 1->α C. 1<α D. 1>α 6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（）。 A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（）。 A.dy y ? 2 1 ln B. dy e e x ? 2 C.dy y ? 2 ln 1ln D. ()d x e x ?-2 1 2 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（）。 A. ()[]dy y y ?--1 1 B. ()[]dx x x ? -+-21 1 C. ()[]dy y y ? --210 1 D.()[]dx x x ? +--1 1 9．由e x x y x y e ===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为（）。 A.dx x x e ???? ? ? +1 log ln B.dy x x e ???? ? ?+1log ln C.dx x x e ???? ? ?-1log ln D.dy x x e ??? ? ? ?-1log ln 10．由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为（）。 A. ? -1 1 2dx x B. ? 1 2dx x C. ? 1 dy y D.? 1 2 dy y