2008年广州一模文科数学试题(含答案)纯word版

秘密★启用前

2008年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数 学（文科）

2008．3

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再将答案填写在对应题号的横线上。漏涂、错涂、多涂的，答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：

锥体的体积公式1

3

V Sh =

，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U =R ，集合{}

22A x x =-<<，{}

2

20B x x x =-≤，则A B =

A ．()0,2

B ．(]0,2

C ．[]0,2

D ．[)0,2

2．已知3

cos 5α=，则cos 2α的值为

A ．2425-

B ．725-

C ．725

D ．2425

3．一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图与左视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为

A

B ．2π

C ．3π

D ．4π

图1

正(主)视图 左(侧)视图

俯视图

4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11

赛得分的情况用如图2所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员 得分的中位数分别为

A ．19、13

B ．13、19

C ．20、18

D ．18、20

5．已知函数2log ,0,()2,

0.x x x f x x >?=?≤?若1

()2f a =，则a =

A ．1-

B

C ．1-

D ．1或

6．已知a ∈R ，则“2a >”是“2

2a a >”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

7．设()f x 、()g x 是R 上的可导函数，()f x '、()g x '分别为()f x 、()g x 的导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''+<，则当a x b <<时，有

A ．()()()()f x g b f b g x >

B ．()()()()f x g a f a g x >

C ．()()()()f x g x f b g b >

D ．()()()()f x g x f a g a >

8．直线20ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是

A ．相离

B ．相交

C ．相切

D ．不确定

9．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%，则至少要抽（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）

A ．14次

B ．13次

C ．9次

D ．8次

10．在ABC ?所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=

，则PBC ?与ABC ?的

面积之比是 A ．

13 B ．12 C ．23 D ．34

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部

分.

（一）必做题：第11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答．

11．若复数()

()2

563i z m m m =-++-是实数，则实数m = ．

图2

12．在空间直角坐标系中O xyz -，点()1,2,3-关于坐标平面yOz 的

对称点的坐标为 ．

13．按如图3所示的程序框图运算． 若输入8x =，则输出k = ；

若输出2k =，则输入x 的取值范围是 ． （注:“1=A ”也可写成“1:=A ”或“1←A ”，均表示 赋值语句）

（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全

答的，只计算第一题的得分．

14．（坐标系与参数方程选做题

）在极坐标系中，过点4π?

? ??

?作

圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是 ． 15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB

上，且:1:2AE EB =，DE 与AC 交于点F ，若AEF ?的面

积为62

cm ，则ABC ?的面积为 2

cm ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y ．

（1）求事件“3x y +≤”的概率； （2）求事件“2x y -=”的概率． 17．（本小题满分12分）

已知函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点,03π??

???和,12π?? ???

． （1）求实数a 和b 的值；

（2）当x 为何值时，()f x 取得最大值． 18．（本小题满分14分）

如图4所示，在边长为12的正方形

11AA A A ''中，点,B C 在线段AA '上，

且3AB =，4BC =，作1BB

1AA ，

分别交11

A A '、1AA '于点1

B 、P ，作1C

C 1AA ，分别交11A A '、1AA '于

点1C 、Q ，将该正方形沿1BB 、1CC 折叠，使得1A A ''与1AA 重合，构成如图5所示的三棱柱111ABC A B C -．

（1）在三棱柱111ABC A B C -中，求证：AB ⊥平面11BCC B ；

（2）求平面APQ 将三棱柱111ABC A B C -分成上、下两部分几何体的体积之比． 19．（本小题满分14分）

已知数列}{n a 中，51=a 且1221n n n a a -=+-（2n ≥且*

n ∈N ）． （1）求2a ，3a 的值；

（2）是否存在实数λ，使得数列2n n

a λ+??

????

为等差数列，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分14分）

已知过点()0,1P -的直线l 与抛物线24x y =相交于11()A x y ，、22()B x y ，两点，1l 、

2l 分别是抛物线24x y =在A 、B 两点处的切线，M 、N 分别是1l 、2l 与直线1

y =-的交点．

（1）求直线l 的斜率的取值范围；

（2）试比较PM 与PN 的大小，并说明理由． 21．（本小题满分14分）

已知函数()x

f x e x =-（e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的最小值；

（2）若*

n ∈N ，证明：1211n n n n

n n e n n n n e -????????

++++< ? ? ? ?

-????????

．

2008年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（文科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几

种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答

未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．

10．由PA PB PC AB ++= ，得PA PB BA PC +++=0，

即2PC AP =

，所以点P 是CA 边上的第二个三等分

点，如图所示．故

2

3

PBC ABC S BC PC S BC AC ???==?． 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，每小题5分，满分

30分．其中第13题第一个空2分，第二个空3分． 11．3 12．()1,2,3-- 13．4；(]28,57 14．cos 2ρθ= 15．72

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．

（本小题满分12分）

（本小题主要考查古典概率等基础知识，考查运算求解能力）

解：设(),x y 表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，

()1,6，()2,1，()2,2，……，()6,5，()6,6，共36个基本事件．

（1）用A 表示事件“3x y +≤”，

则A 的结果有()1,1，()1,2，()2,1，共3个基本事件． ∴()31

3612

P A =

=．

答：事件“3x y +≤”的概率为1

12

． （2）用B 表示事件“2x y -=”，

则B 的结果有()1,3，()2,4，()3,5，()4,6，()6,4，()5,3，()4,2，()3,1，共8个基本事件． ∴()82369

P B =

=． 答：事件“2x y -=”的概率为

29

． 17．（本小题满分12分）

（本小题主要考查特殊角的三角函数、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力） 解：（1）∵函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点,03π??

???和,12π??

???

， ∴sin cos 0,33sin cos 1.22

a b a b ππππ?

+=????+=??

即10,22

1.

b a +=???=?

解得1,

a b =???

=??

（2）由（1

）得()sin f x x x =

12sin 2x x ??= ? ???

2sin 3x π?

?=- ??

?．

∴当sin 13x π?

?

-= ??

?

，即232x k πππ-=+， 即526

x k π

π=+

()k ∈Z 时，()f x 取得最大值2． 18．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间几何体中线、面的位置关系，考查空间想象能力和运算求解能力）

（1）证明：在正方形11AA A A

''中，∵5A C AA AB BC ''=--=， ∴三棱柱111ABC A B C -的底面三角形ABC 的边5AC =．

∵3AB =，4BC =，∴222

AB BC AC +=，则AB BC ⊥．

∵四边形11AA A A ''为正方形，11AA BB ，

∴1AB BB ⊥，而1BC BB B = ， ∴AB ⊥平面11BCC B ． （2）解：∵AB ⊥平面11BCC B ，

∴AB 为四棱锥A BCQP -的高．

∵四边形BCQP 为直角梯形，且3BP AB ==，7CQ AB BC =+=，

∴梯形BCQP 的面积为()1

202

BCQP S BP CQ BC =

+?=， ∴四棱锥A BCQP -的体积1

203

A BCQP BCPQ V S A

B -=?=，

由（1）知1B B AB ⊥，1B B BC ⊥，且AB BC B = ， ∴1B B ⊥平面ABC ．

∴三棱柱111ABC A B C -为直棱柱，

∴三棱柱111ABC A B C -的体积为111172ABC A B C ABC V S BB -?=?=． 故平面APQ 将三棱柱111ABC A B C -分成上、下两部分的体积之比为

722013

205

-=．

19．（本小题满分14分）

（本小题主要考查等比数列、递推数列等基础知识，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力） 解：（1）∵51=a ，

∴22122113a a =+-=，33222133a a =+-=． （2）方法1：假设存在实数λ，使得数列2n n

a λ+??

?

???

为等差数列， 设2

n n n

a b λ

+=，由}{n b 为等差数列，则有3122b b b +=． ∴32123

2222a a a λ

λλ+++?=+．

∴13533228λλλ

+++=+． 解得，1λ=-．

事实上，1111122n n n n n n a a b b +++---=-()111

212

n n n a a ++=-+????

()111

2112

n n ++??=

-+??1=． 综上可知，存在实数1λ=-，使得数列2n n

a λ+??

?

???

为首项是2、公差是1的等差数列． 方法2：假设存在实数λ，使得2n n

a λ+??

????

为等差数列， 设2

n n n

a b λ+=

，由}{n b 为等差数列，则有122n n n b b b ++=+（*

n ∈N ）． ∴1212

2222

n n n n n n a a a λλλ+++++++?=+． ∴1244n n n a a a λ++=--()()121222n n n n a a a a +++=---

()()12221211n n ++=---=-．

综上可知，存在实数1λ=-，使得数列2n n

a λ+??

?

???

为首项是2、公差是1的等差数列． 20．（本小题满分14分）

（本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力）

解：（1）依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =-．

由方程214.y kx x y =-??=?

，消去y 得2

440x kx -+=． ············· ①

∵直线l 与抛物线24x y =相交于A ，B 两点，

∴2

16160k ?=->，解得1k >或1k <-．

故直线l 斜率的取值范围为()(),11,-∞-+∞ ． （2）解法1：∵1x ，2x 是方程①的两实根，

∴12124,

4.

x x k x x +=??

=? ∴10x ≠，20x ≠．

∵214y x =

，∴1

2y x '=． ∵2

1114

y x =，

∴切线1l 的方程为2

11111()24

y x x x x =-+．

令1y =-，得点M 的坐标为2114,12x x ??

-- ???． ∴211

4

2x PM x -=．

同理，可得222

4

2x PN x -=．

∵221212212

22

1212121

42444124444PM

x x x x x x x PN x x x x x x x ---=?===---（12x x ≠）． 故PM PN =．

解法2：可以断定PM PN =． ∵1x ，2x 是方程①的两实根，

∴1212

4,4.x x k x x +=??=? ∴10x ≠，20x ≠．

∵214y x =

，∴1

2y x '=． ∵2

1114

y x =，

∴切线1l 的方程为2

11111()24

y x x x x =-+．

令1y =-，得点M 的坐标为2114,12x x ??-- ???．

同理可得点N 的坐标为2224,12x x ??--

???

． ∵()()221212121212

4440222x x x x x x x x x x +---+==．

∴点P 是线段MN 的中点． 故PM PN =．

21．（本小题满分14分）

（本小题主要考查函数的导数、最值、等比数列等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力、以及创新意识）

（1）解：∵()1x

f x e '=-，令()0f x '=，得0x =．

∴当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<．

∴函数()x f x e x =-在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增． ∴当0x =时，()f x 有最小值1．

（2）证明：由（1）知，对任意实数x 均有1x

e x -≥，即1x

x e +≤．

令k x n =-（*

,1,2,,1n k n ∈=-N ），则01k n k e n

-<-≤，

∴1(1,2,,1)n

n

k

k

n k e e k n n --????-≤==- ? ?????

． 即(1,2,,1)n

k n k e k n n --??≤=- ??? ． ∵1,n

n n ??

= ???

∴(1)(2)211211n n n n

n n n n e e e e n n n n -------????????++++≤+++++ ? ? ? ?????????

． ∵(1)

(2)

2

1

11111111

n n n e e

e

e

e e e e e ----------+++++=<=--- ，

∴ 1211n n n n

n n e n n n n e -????????

++++< ? ? ? ?

-????????

．