文档库 最新最全的文档下载
当前位置:文档库 › 概率论第五章 习题解答

概率论第五章 习题解答

概率论第五章 习题解答
概率论第五章 习题解答

第五章 数理统计的基础知识

I 教学基本要求

1、理解总体、个体、样本、统计量、样本均值和样本方差的概念,会根据样本数据计算样本均值和样本方差;

2、了解经验分布函数的概念,了解直方图、茎叶图的作法;

3、了解2χ分布、t 分布、F 分布的定义,会查表计算分位数;

4、了解正态总体的常用抽样分布.

II 习题解答

A 组

1、某学校学生会进行问卷调查了解大学生使用手机的情况,该项研究中总体和样本各是什么?

解:该项研究中总体是该学校全体大学生;样本是该学校被问卷调查的大学生.

2、为了解经济系管理专业本科毕业生工作后的就业情况,调查了某地区30名2010年毕业的管理专业本科生工作后的月薪情况.该项研究中总体和样本各是什么?样本容量是多少?

解:总体是该地区2010年毕业的经济系管理专业本科生的月薪;样本是被调查的30名2010年毕业的经济系管理专业本科生的月薪;样本容量是30.

3、某厂生产的晶体管的使用寿命服从指数分布,为了解其平均寿命,从中抽出n 件产品检测,什么是总体、样本?样本的分布是什么?

解:总体是该厂生产的晶体管的寿命,其分布是指数分布()E λ;样本是从该厂抽出的

n 个晶体管的寿命;记第i 个晶体管的寿命为i x ,则~()i x E λ(1

,2,,)i n = ,样本的分布为

∑==-=-∏n

i i

i

x n

n

i x e

e

1

1

λ

λλλ.

4、某工厂通过抽样调查得到5名工人一周内生产的产品数为149、156、160、138、149.

求样本均值和样本方差?

解:样本均值

5111

(149156160138149)150.455

i i x x ===++++=∑;

样本方差

52

21

1()51i i s x x ==--∑ 2221

[(149150.4)(156150.4)(149150.4)]70.34

=-+-++-= .

5、假设某地区30名2010年毕业的管理专业本科生工作后的月薪数据如下: 1909 2086 2120 1999 2320 2091 2071 2081 2132 2336 2572 1825 1914 1992 2232 1950 1775 2203 2025 2096 2224 2044 1871 2164 1971 1950 1866 1738 1967 1808 作频率分布表(分6组)以及画出频率直方图?

解:最大值为2572,最小值为1738,组距近似为1406

1738

2572≈-=d ,其频数频

6、设总体2

~(,)X N μσ,假如要以0.9606的概率保证偏差||0.1x μ-<,问当

20.25σ=时,样本容量应取多大?

解:设样本容量为n ,则2

~(,

)x N n

σμ,于是

(||0.1)210.9606x p x p μ-<=<=Φ-=

1735

1875

2015

2155 2295 2435 x

2575

(

0.98035

?Φ= 查正态分布表得

06.25

≈n

,从而106.09n ≈,故n 取106. 7、从一个正态总体),(~2σμN X 中抽取容量为10的样本,且(||4)0.02p x μ->=,求σ?

解:因为2

~(,

)x N n

σμ,故

(||4)|2[10.02

x p x p μ->=>=-Φ=

0.99

?Φ=,查正态分布表得

33.210

4

=σ,解得 5.43σ=.

8、设在总体),(~2σμN X 抽取一个容量为16的样本,这里μ、2

σ均未知,求

2

2

(

1.664)s p σ≤?

解:因为

2

22

(1)~(1)n s n χσ--及16n =,所以

2

2

2

215(

1.664)(24.96)0.95s s p p σσ

≤=≤=.

9、设总体~(,16)X N μ,1x 、2x 、…、10x 为取自该总体的样本,已知2

()0.1p s a >=,

求常数a ?

解:因为

2

22

(1)~(1)n s n χσ--、10n =、4σ=,所以

22

99()1()0.11616s p s a p a >=-≤=,即299()0.91616

s p a ≤=

查自由度为9的2

χ分布表得,

9

14.68416

a =,所以26.105a =. 10、设总体),(~2

σμN X ,1x 、2x 、…、n x 为取自该总体的样本,求:

(1) 2

2

(())p x n

σμ-≤

;(2) 当样本容量很大时,2

2

2(())s p x n μ-≤;(3) 当样本容量

等于6时,2

2

2(())3

s p x μ-≤? 解:(1) 2

22

2()(())(1)x p x p n n σμμσ--≤=≤,易知22

2

()~(1)x n

μχσ-,查自由度为1的2χ分布表,得2

2

(())0.6826p x n

σμ-≤

=;

(2) 当样本容量很大时,22()x s n

μ-近似服从)1(2

χ,所以

22

2

22()(())(2)0.8426s x p x p n s n

μμ--≤=≤=;

(3) 因为当样本容量等于6

~(5)x t ,所以

22

22(())4)(|2)0.93S x x p x p p μ-≤=≤=≤=.

11、设1x 、2x 、…、10x 为取自总体~(0,0.09)X N 的样本,求10

2

1

( 1.44)i

i p x

=>∑?

解:因为

10

2

21(

)~(10)0.3i i x χ=∑,所以

101010

2

222

1111.44( 1.44)(())1(()16)0.10.30.30.3i i i i i i x x p x p p ===>=>=-≤=∑∑∑ 查自由度为10的2

χ分布表得,10

21(()16)0.90.3

i i x p =≤=∑.

12、设1x 、2x 、…、n x 是取自总体2

~(,)X N μσ的样本,x 为样本均值,又记

2

21

1

1()1n i i s x x n ==--∑、22211()n i i s x x n ==-∑、22311()1n i i s x n μ==--∑、2

2411()n i i s x n μ==-∑,则服从分布(1)t n -的随机变量T =__ _____ .

x B

x C

x D

x

解:

~(0,1)x N 、2222~(1)ns n χσ-,又x 与2

2s 独立,故

~(1)x x t n =-.

13、若~()T t n ,则2

T 服从什么分布?

解:

设T =

~(0,1)X N 、2~()Y n χ,且X 和Y 独立,则 22~(1)X χ,且2X 和Y 独立,从而

2

2

~(1,)/X T F n Y n

=.

B 组

1、设1x 、2x 、…、9x 为取自总体~(0,4)X N 的样本,求常数a 、b 、c 使得

222

123456789

()()()Q a x x b x x x c x x x x =++++++++服从2χ分布,并求其自由度? 解:

~(0,1)N

~(0,1)N

~(0,1)N 且三者独立,故

222

2~(3)χ++,从而 18a =、112b =、116

c =.

2、设有k 个正态总体2~(,)i i X N μσ,从第i 个总体中抽取容量为i n 的样本1i x 、

2i x 、…、i

in x ,且各组样本间相互独立,记1

1

i

n i ij

j i

x x

n ==

∑(1,2,,)i k = 、

12k n n n n =+++ ,求22

11

1

()i

n k ij

i i j W x

x σ===

-∑∑的分布?

解:因为2

2

1

2

2

2

()(1)~(1)i

n ij

i j i i i x

x n s W n χσ

σ

=--==

-∑,且

2

2

(1)i i n s σ

-(1,2,,)i k = 相

互独立,故

2

2

11

1

()i

n k ij

i i j W x

x σ===

-∑∑2

2

1

(1)k

i i i n s σ=-=∑

2

1

~((1))k

i i n χ=-∑,而

1

1

(1)k

k

i

i

i i n n k n k ==-=-=-∑∑,故22

2

11

1

()~()i

n k ij i

i j W x

x n k χσ===--∑∑. 3、设随机变量X 、Y 相互独立且都服从标准正态分布,而1x 、2x 、…、9x 和1y 、2y 、…、9y 分别是取自总体X 、

Y 的相互独立的简单随机样本,

求统计量Z =分布?

解:因为129

~(0,9)

x x x N +++ ,故129

~(0,1)3

x x x N +++ ,而

2222129~(9)y y y χ+++ ,又因129x x x +++ 与222129y y y +++ 独立,所

以~(9)

Z t =. 4、设总体2

~(,)X N μσ,从中取出样本1x 、2x 、…、n x 、1n x +,记1

1n

n i i x x n ==∑、

22

11()1n n

i n

i s x x n ==--∑

~(1)t n -. 证明:因为2

1~(,)n x N u σ+,2

11~(,)n n i i x x N n n

σμ==∑,且1n x +与n x 独立,故

2

1(1)~(0,)n n n x x N n σ++-,又因222

(1)~(1)n n s n χσ

--且2n s 与1n n s x +-独立,故

~(1)t n -.

5、设总体~(0,4)X N ,而1x 、2x 、…、15x 为取自该总体的样本,则随机变量

222

1210

222

1112152()

x x x Y x x x +++=+++ 服从的分布? 解:因为~(0,1)2i x N ,故

2

2~(1)4

i x χ(1,2,,15)i = ,再由1x 、2x 、…、15x 独立,故

2222

1210~(10)4x x x χ+++ 、222

2111215~(5)4

x x x χ+++ ,所以 222

1210

222

1210222222

111215*********~(10,5)2()

5

4

x x x x x x Y F x x x x x x ++++++==++++++ . 6、设总体~(0,1)X N ,1x 、2x 、…、n x 为取自该总体的样本,求

5

2126(1)

5

i

i n

i

i x n V x

===-∑∑(5)n >的分布?

解:因为

5

22

1

~(5)i

i x

χ=∑、22

6~(5)n i

i x n χ=-∑,且5

21

i

i x =∑与

26

n

i

i x

=∑独立,故

5

5

221

1226

65

(1)~(5,5)5

(5)

i

i

i i n

n

i

i

i i x

x n V F n x

n x

=====-=--∑∑∑∑.

概率论第一章课后习题答案

《概率论与数理统计》课后习题解答 习题一 3.设A ,B ,C 表示三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件: (1)A 发生,B 与C 不发生; (2)A 与B 都发生,而C 不发生; (3)A ,B ,C 都发生; (4)A ,B ,C 都不发生; (5)A ,B ,C 中至少有一个发生; (6)A ,B ,C 中恰有一个发生; (7)A ,B ,C 中至少有两个发生; (8)A ,B ,C 中最多有一个发生. 解:(1)C B A ; (2)C AB ; (3)ABC ; (4)C B A ; (5)C B A ; (6)C B A C B A C B A ++; (7)BC AC AB ; (8)BC AC AB 或C B C A B A . 5.在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3人记录其纪念章的号码. (1)求最小的号码为5的概率; (2)求最大的号码为5的概率. 解:设事件A 表示“最小的号码为5”,事件B 表示“最大的号码为5”,由概率的古典定义得 (1)12 1)(31025==C C A P ; (2)20 1)(31024==C C B P . 6.一批产品共有200件,其中有6件废品,求: (1)任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2)任取3件产品没有废品的概率; (3)任取3件产品中废品不少于2件的概率. 解:设事件i A 表示“取出的3件产品中恰有i 件废品”)3,2,1,0(=i ,由概率的古典定义得

(1)0855.0)(3200 2194161≈=C C C A P ; (2)9122.0)(3200 31940≈=C C A P ; (3)0023.0)(3200 3611942632≈+=+C C C C A A P . 8.从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字,求下列事件的概率: A 表示“这三个数字中不含0和5” ; B 表示“这三个数字中包含0或5” ; C 表示“这三个数字中含0但不含5”. 解:由概率的古典定义得 157)(31038==C C A P ;158)(1)(=-=A P B P ;30 7)(31028==C C C P 9.已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=A B P ,求)(AB P 和)(B A P . 解:4.08.05.0)|()()(=?==A B P A P AB P )]()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=-== 3.0) 4.06.0 5.0(1=-+-= 10.已知4.0)(=B P ,6.0)(=B A P ,求)(B A P . 解:314.014.06.0)(1)()() ()()(=--=--==B P B P B A P B P B A P B A P 11.某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少? 解:设事件B A ,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”,依题可知 3.0)()(,9.0)(===B P AB P A P ,则所求的概率为 3 19.03.0)()()|(===A P AB P A B P 12.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨最后一个号码.

概率论第五章习题解答(科学出版社)

概率论第五章习题解答(科学出版社) 1、据以往的经验,某种电器元件的寿命服从均值为100h 的指数分布,现随机地取16只,设它们的寿命是相互独立的,求这16只元件的寿命的总和1920h 的概率。 解 设这16只元件的寿命为i X ,1,2, ,16i =,则16 1 i i X X ==∑, 因为()100i E X μθ===,22()10000i D X σθ=== 于是随机变量 16 16 1600 1600 400 i i X n X X Z μ -?--= = = ∑∑近似的服从(0,1)N 160019201600{1920}{ }400400X P X P -->=>1600 {0.8}400X P -=> 1600 1{0.8}400 X P -=-<1(0.8)=-Φ=10.78810.2119=-=. 2\(1)一保险公司有10000个汽车保险投保人,每个投保人索赔金额的数学期望为280美元,标准差为800美元,求索赔总金额不超过2700000美元的概率; (2)一公司有50张签约保险单,每张保险单的索赔金额为i X ,1,2, ,50i =(以千美元 计)服从韦布尔分布,均值()5i E X =,方差()6i D X =求50张保险单索赔的合计总金额大于300的概率。 解 (1)设每个投保人索赔金额为i X ,1,2,,10000i =,则索赔总金额为10000 1 i i X X == ∑ 又 ()280i E X =,2()800i D X =,所以, 索赔总金额不超过2700000美元的概率 {2700000}1`{270000}P X P X >=-≤ 10000 1 28010000 27000002800000 1{ }800100 80000 i i X P =-?-=-≤ ?∑ 10000 1 2800000 101{ }80000 8 i i X P =-=-≤- ∑ 10000 1 2800000 1{ 1.25}80000 i i X P =-=-≤-∑近似的服从(0,1)N

上海工程技术大学概率论第一章答案

习题一 2.设A ,B 为随机事件,且P (A )=0.7,P (A -B )=0.3,求P ( AB 解: P (AB ) =1-P (AB )=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6。 3. 设A ,B ,C 为三事件,且P (A )=P (B )=1/4,P (C )=1/3且P (AB )=P (BC )=0, P (AC )=1/12,求A ,B ,C 至少有一事件发生的概率。 解:因为 A B C A B ?,所以0()()P ABC P AB ≤≤,又 P (AB )=0,则()0P ABC =, P (A ∪B ∪C ) =P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ) =14+14+13-112=34 。 4.将3个不同的球随机地放入4个杯子中去,求所有杯中球的最大个数分别为1,2,3的概率。 解:设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3。 将3个球随机放入4个杯子中,全部可能放法有43种,杯中球的最大个数为1时,每个杯中最多放一球,故 34 13C 3!3()84 P A == 而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中,故1433C 1()164 P A ==,因此 213319()1()()181616 P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()164P A ==. 6.从1,2,3,4,5,6,7,8,9,0这10个数字中任取五个数按先后顺序组成多位数,求下列事件的概率:(1) 这五个数字组成一个五位偶数;(2) 2和3都被抽到且靠在一起. 解(1)5105987648764190 P A ????-???==. (2)145102!876445 C P A ????==. 7.对一个五人学习小组考虑生日问题: (1) 求五个人的生日都在星期日的概率;(2) 求五个人的生日都不在星期日的概率; (3) 求五个人的生日不都在星期日的概率. 解:基本事件总数为57, (1)设A 1={五个人的生日都在星期日},所求事件包含基本事件的个数为1个,故 P (A 1)=517=51()7 ;

第一章概率论习题解答附件

教 案 概率论与数理统计 (Probability Theory and Mathematical Statistics ) Exercise 1.1 向指定目标射三枪,观察射中目标的情况。用1A 、2A 、 3A 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标” ,试用1A 、2A 、3A 表示以下各事件: (1)只击中第一枪; (2)只击中一枪; (3)三枪都没击中; (4)至少击中一枪。 Solution (1)事件“只击中第一枪”,意味着第二枪不中,第三枪也不中。所以,可以表示成 1A 32A A 。 (2)事件“只击中一枪”,并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中,任意一个发生,都意味着事件“只击中一枪”发生。同时,因为上述三个事件互不相容,所以,可以表示成 123A A A +321A A A +321A A A . (3)事件“三枪都没击中”,就是事件“第一、二、三枪都未击中”,所以,可以表示成 123A A A . (4)事件“至少击中一枪”,就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”,所以,可以表示成 321A A A 或 123A A A +321A A A +321A A A +1A 32A A +321A A A +321A A A + 321A A A . Exercise 1.2 设事件B A ,的概率分别为 21,31 .在下列三种情况下分别求)(A B P 的值: (1)A 与B 互斥; (2);B A ? (3)81)(=AB P . Solution 由性质(5),)(A B P =)()(AB P B P -. (1) 因为A 与B 互斥,所以φ=AB ,)(A B P =)()(AB P B P -=P(B)= 21 (2) 因为;B A ?所以)(A B P =)()(AB P B P -=)()(A P B P -= 6 13121=-

概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案 1.写出下列随机试验的样本空间. (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分); (2)一个口袋中有5个外形相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取 出3个球; (3)某人射击一个目标,若击中目标,射击就停止,记录射击的次数; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标. 解:(1)}100,,2,1{ =Ω; (2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω; (3)},2,1{ =Ω; (4)}|),{(22y x y x +=Ω. 2.在}10,,2,1{ =Ω,}432{,,=A ,}5,4,3{=B ,}7,6,5{=C ,具体写出下列各式:(1)B A ;(2)B A ;(3)B A ;(4)BC A ;(5)C B A . 解:(1),9,10}{1,5,6,7,8=A , }5{=B A ;(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ; (3)法1:}10,9,8,7,6,2,1{=B , }10,9,8,7,6,1{=B A , }5,4,3,2{=B A ; 法2:}5,4,3,2{===B A B A B A ; (4)}5{=BC , }10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC , }4,3,2{=BC A , }10,9,8,7,6,5,1{=BC A ;

(5)}7,6,5,4,3,2{=C B A , {1,8,9,10}=C B A . 3.设}20|{≤≤=Ωx x ,}121| {≤<=x x A ,}2 341|{≤≤=x x B ,具体写出下列各式:(1)B A ;(2)B A ;(3)AB ;(4)B A . 解:(1)B B A = , }22 3,410|{≤<<≤==x x x B B A ;(2)=B A ?; (3)A AB =, }21,10|{≤<≤ ≤==x x x A AB ;(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A .4.化简下列各式:(1)))((B A B A ;(2)))((C B B A ;(3)))((B A B A B A .解:(1)A B B A B A B A ==)())(( ; (2)AC B C A B C B B A ==)())((;(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(.5.A ,B ,C 表示3个事件,用文字解释下列事件的概率意义:(1)C B A C A C B A ;(2)BC AC AB ;(3)(C B A ;(4)BC AC AB . 解:(1)A ,B ,C 恰有一个发生; (2)A ,B ,C 中至少有一个发生; (3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生; (4)A ,B ,C 中不多于一个发生. 6.对于任意事件A ,B ,证明:Ω=-A B A AB )(.

第一章 概率论的基本概念习题答案

第三章 多维随机变量及其分布习题答案 3. 220,(1)(1),4,(,),0.5940, x y x y e e c F x y --<<+∞?--==? ? 其它 . 4. 2012.4(2),()0,X x x x f x ≤≤?-=??,其它201 2.4(34),()0,Y y y y y f y ≤≤?-+=? ? 其它. 5. ???=,0,4),(y x f ,),(其它G y x ∈???+=,0,48)(x x f X ,05.0其它<≤-x ?? ?-=, 0,22)(y y f Y 其它10<≤y . 6. (1) (|)(1),0,1,;,m m n m n P Y m X n C p p n m n -===-=≤否则(|)0P Y m X n ===; (2)(,)(1)/!,0,1,;,m m n m n n P Y m X n C p p e n n m n λλ--===-=≤否则(|)0P Y m X n ===. 7. 10. ⑴0y ≥时|0 ,(|)0 0,x X Y x e f x y x -≥?=?

11. ⑴放回抽样 ⑵ 不放回抽样 X 的条件分布律与上相同,再结合联合分布律可以看出: 放回抽样时独立,不放回抽样时不独立。 12. 1c = ; 当10x -<<时,|1/2,||(|)0, Y X x y x f y x -<-?=? ? 其它 ; 当| |1y <时,|1/(1||),1|| (|)0,X Y y x y f x y --<<-?=? ? 其它 . 13. ⑴ (2|2)5/16,(3|0)1/5P X Y P Y X ====== ; ⑶ ⑷ . ;0.375 . 16. ? ? ?<≥-=--00 ,0,)1()(6/3/z z e e z f z z Z . 17. ⑴(2)30 3!,()00,t T t t e f t t ->?=?≤? ;⑵(3)50()00,t T t t e f t t ->?=?≤?.

天津理工大学概率论与数理统计第五章习题答案详解

第 5 章 大数定律与中心极限定理 一、 填空题: 1.设随机变量μξ=)(E ,方差2 σξ=)(D ,则由切比雪夫不等式有≤≥-}|{|σμξ3P 9 1 . 2.设n ξξξ,,, 21是 n 个相互独立同分布的随机变量, ),,,(,)(,)(n i D E i i 218===ξμξ对于∑== n i i n 1ξξ,写出所满足的切彼雪夫不等式 2 28εεξεμξn D P =≤ ≥-)(}|{| ,并估计≥ <-}|{|4μξP n 21 1- . 3. 设随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有1i EX =, 1(1,2,,9)i DX i == , 令9 1 i i X X ==∑, 则对任意给定的0ε>, 由切比雪夫不等式 直接可得{} ≥<-ε9X P 2 9 1ε- . 解:切比雪夫不等式指出:如果随机变量X 满足:()E X μ=与2()D X σ=都存在, 则对任意给定的0ε>, 有 22{||}P X σμεε-≥≤, 或者2 2{||}1.P X σμεε -<≥- 由于随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有 1,1(1,2,9),i i EX DX i === 所以 99 9111()()19,i i i i i E X E X E X μ===??===== ???∑∑∑ 99 9 2 111()()19.i i i i i D X D X D X σ===??===== ???∑∑∑ 4. 设随机变量X 满足:2 (),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}P X μσ-≥ 1 16 ≤ . 解:切比雪夫不等式为:设随机变量X 满足2 (),()E X D X μσ==, 则对任意 的0ε>, 有22{||}.P X σμεε-≥≤由此得 221 {||4}.(4)16 P X σμσσ-≥≤=

同济大学版概率论与数理统计——修改版答案

概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率(一) 一.选择题 1.对掷一粒骰子的试验,在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] (A )不可能事件 (B )必然事件 (C )随机事件 (D )样本事件 2.下面各组事件中,互为对立事件的有 [ B ] (A )1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} (B )1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} (C )1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} (D )1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3.下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] (A )A A B - (B )()A B B ?- (C )A B (D )A B 4.甲、乙两人进行射击,A 、B 分别表示甲、乙射中目标,则A B ?表示 [ C] (A )二人都没射中 (B )二人都射中 (C )二人没有都射着 (D )至少一个射中 5.以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对应事件A 为. [ D] (A )“甲种产品滞销,乙种产品畅销”; (B )“甲、乙两种产品均畅销”; (C )“甲种产品滞销”; (D )“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6.设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<,则A B 表示 [ A] (A ){|01}x x ≤< (B ){|01}x x << (C ){|12}x x ≤< (D ){|0}{|1}x x x x -∞<

概率论第一章习题解答

00第一章 随机事件与概率 I 教学基本要求 1、了解随机现象与随机试验,了解样本空间的概念,理解随机事件的概念,掌握事件之间的关系与运算; 2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义,会计算简单的古典概率和几何概率,理解概率的基本性质; 3、了解条件概率,理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式,会用它们解决较简单的问题; 4、理解事件的独立性概念. II 习题解答 A 组 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 抛掷两颗骰子,观察两次点数之和; (2) 连续抛掷一枚硬币,直至出现正面为止; (3) 某路口一天通过的机动车车辆数; (4) 某城市一天的用电量. 解:(1) {2,3, ,12}Ω=; (2) 记抛掷出现反面为“0”,出现正面为“1”,则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=; (3) {0,1,2, }Ω=; (4) {|0}t t Ω=≥. 2、设A 、B 、C 为三个事件,试表示下列事件: (1) A 、B 、C 都发生或都不发生; (2) A 、B 、C 中至少有一个发生; (3) A 、B 、C 中不多于两个发生. 解:(1) ()()ABC ABC ; (2) A B C ; (3) ABC 或A B C . 3、在一次射击中,记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”,写出下列事件:(1) AB ;(2) A B ;(3) ()A B C ;(4) ABC . 解:(1) AB 为“命中5环”; (2) A B 为“命中0至1环或3至10环”;

(3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”; (4) ABC 为“命中2至4环”. 4、任取两正整数,求它们的和为偶数的概率? 解:记取出偶数为“0”,取出奇数为“1”,则其出现的可能性相同,于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”,则 {(0,0),(1,1)}A =,从而1 ()2 p A = . 5、从一副52张的扑克中任取4张,求下列事件的概率: (1) 全是黑桃;(2) 同花;(3) 没有两张同一花色;(4) 同色? 解:从52张扑克中任取4张,有4 52C 种等可能取法. (1) 设A 为“全是黑桃”,则A 有413 C 种取法,于是413 452 ()C p A C =; (2) 设B 为“同花”,则B 有413 4C 种取法,于是413 452 4()C p B C =; (3) 设C 为“没有两张同一花色”,则C 有4 13种取法,于是4 452 13()p C C =; (4) 设D 为“同色”,则D 有426 2C 种取法,于是426 452 2()C p D C =. 6、把12枚硬币任意投入三个盒中,求第一只盒子中没有硬币的概率? 解:把12枚硬币任意投入三个盒中,有12 3种等可能结果,记A 为“第一个盒中没有硬币”,则A 有12 2种结果,于是12 2()()3 p A =. 7、甲袋中有5个白球和3个黑球,乙袋中有4个白球和6个黑球,从两个袋中各任取一球,求取到的两个球同色的概率? 解:从两个袋中各任取一球,有11 810C C ?种等可能取法,记A 为“取到的两个球同色”,则A 有1 111 5 4 3 6C C C C ?+?种取法,于是 1111543611 81019 ()40 C C C C p A C C ?+?==?. 8、把10本书任意放在书架上,求其中指定的三本书放在一起的概率? 解:把10本书任意放在书架上,有10!种等可能放法,记A 为“指定的三本书放在一起”,则A 有3!8!?种放法,于是3!8!1 ()10!15 p A ?= =. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯,假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始),求5个人在不同楼层走出的概率?

概率论与数理统计(第三版)课后答案习题5

概率论与数理统计(第三版)课后答案习题5

第五章 大数定律与中心极限定理 1. 设随机变量ξ的方差为 2.5。利用契贝雪夫不等式估计: {}5.7||≥-ξξE P 的值。 解:由契贝雪夫不等式:2 }|{|εξ εξξD E P ≤ ≥-,又已知 5.7,5.2==εξD ,故 044 .05.75 .2}5.7|{|2 =≤≥-ξξE P 。 2. 已知某随机变量ξ的方差D ξ=1,但数学期望E ξ=m 未知,为估计m ,对ξ进行n 次独立观测,得样本观察值ξ1,ξ2,…,ξn 。现用 {}∑=≥<-=n i i p m P m n n 1 5.0||1ξξξ多大时才可能使问当估计, 。 解:因∑=== n i i m E n E 1 ,1ξξ又ξ1,ξ2,…,ξn 相互独立, 故 ∑∑=== ==n i n i i i n D n n D D 11 21 )(1)1(ξξξ,根据契贝雪夫不等 式,有 2 5.01}5.0|{|ξξξD E P - ≤<-,即n m P 4 1}5.0|{|- ≤<-ξ, 再由 p n p n -≥≥- 14,41得。 3. 设在由n 个任意开关组成的电路的实验中,每次试验时一个开关开或关的概率各为12 。设m 表示在这n 次试验中遇到的开电次数,欲使开电频率m n 与开电概率p =0.5的绝对误差小于ε =0.01,并且要有99%以上的可靠性来保证它实现。试用德莫佛-拉普拉斯定理来估计,试验的次数n 应该是多少?

从参数为p 的二点分布,且E i ξ=p , D i ξ=p (1-p )≤1/4,而 ∑ === n i i n n 1 ξξ η是n 个独立同分布的 随机变量之和,故由中心极限定理知) 1,0(~N D E η η η-, 因此有 ?? ????<-ξξD p n P 21 122222/-??? ??Φ=???? ??Φ≈?? ???????? <-=n D D D D D E P ηξηξη ηη, 为使 6 ,16.5,99.0122≥>≥-?? ? ??Φn n n 即查表得。 6. 一个养鸡场购进一万只良种鸡蛋,已知每只鸡蛋孵化成雏鸡的概率为0.84,每只雏鸡育成种鸡的概率为0.9,试计算由这些鸡蛋得到种鸡不少于7500只的概率。 解:定义承机变量?? ?=., 0, ,1鸡只鸡蛋不能育成种第鸡只鸡蛋能育成种第k k k ξ) 10000,,2,1(Λ=k 。 则k ξ)10000,,2,1(Λ=k 是独立同分布的,且756.09.084.0}1{=?==k P ξ, 224 .0756.01}0{=-==k P ξ。显然∑==10000 1 k k ξξ表示10000只鸡蛋 中能育成种鸡的个数。此为n =10000,p =0.756的贝努利概型,由隶莫弗——拉普拉斯定理可得 92.0)1(75001)1(7500)1(}7500{=??? ? ??--Φ-=??????????--≥--=≥p np np p np np p np np P P ξξ。 7. 某印刷厂在排版时,每个字符被排错的概率为0.0001,试求在300000个字符中错误不多于50个的概率。 解:令?? ?=. , 0, ,1个字未排错第个字排错第i i i ξ则∑==50000 1 i i ξξ是服从参数n =50000,p =0.0001的贝努利概型,因此由隶莫弗——拉普拉斯定理可得

概率论与数理统计课后习题答案

习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次,事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解:{=Ω(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)} {=A (正,正),(正,反)};{=B (正,正),(反,反)} {=C (正,正),(正,反),(反,正)} 2. 在掷两颗骰子的试验中,事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”,“点数之和小于5”,“点数相等”,“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解:{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω; {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ; {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ; Φ=C A ;{})2,2(),1,1(=BC ; {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件: (1)只订阅日报; (2)只订日报和晚报; (3)只订一种报; (4)正好订两种报; (5)至少订阅一种报; (6)不订阅任何报; (7)至多订阅一种报; (8)三种报纸都订阅; (9)三种报纸不全订阅。 解:(1)C B A ; (2)C AB ; (3)C B A C B A C B A ++; (4)BC A C B A C AB ++; (5)C B A ++; (6)C B A ; (7)C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ (8)ABC ; (9)C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次,事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果:2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解:甲未击中;乙和丙至少一人击中;甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中;甲和乙都未击中;甲和乙击中而丙未击中;甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ,试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和:C B A ++,C AB +,AC B -. 解:如图:

概率论与数理统计复旦大学出版社第一章课后答案

第一章 1.见教材习题参考答案. 2.设A ,B ,C 为三个事件,试用A ,B ,C (1) A 发生,B ,C 都不发生; (2) A ,B ,C 都发生; (3) A ,B ,C (4) A ,B ,C 都不发生; (5) A ,B ,C (6) A ,B ,C 至多有1个不发生; 【解】(1) ABC (2) ABC (3)A B C (4) ABC =A B C (5) ABC (6) ABC ∪ABC ∪ABC ∪ABC =AB BC AC 3. . 4.设A ,B 为随机事件,且P (A )=0.7,P (A -B )=0.3,求P (AB ). 【解】 P (AB )=1-P (AB )=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A ,B 是两事件,且P (A )=0.6,P (B )=0.7, (1) 在什么条件下P (AB (2) 在什么条件下P (AB 【解】(1) 当AB =A 时,()()0.6P AB P A ==,()P AB 取到最大值为0.6. (2) 当A ∪B =Ω时,()()()()0.3P AB P A P B P A B =+-=,()P AB 取到最小值为0.3. 6.设A ,B ,C 为三事件,且P (A )=P (B )=1/4,P (C )=1/3且P (AB )=P (BC )=0, P (AC )=1/12,求A ,B ,C 至少有一事件发生的概率. 【解】 因为P (AB )=P (BC )=0,所以P (ABC )=0, 由加法公式可得 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ = 14+14+13-112=34

概率论课后作业及答案

1. 写出下列随机试验的样本空间及事件中的样本点: 1) 将一枚均匀硬币连续掷两次,记事件 =A {第一次出现正面}, =B {两次出现同一面}, =C {至少有一次正面出现}. 2) 一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取3只球. 记事件 =A {球的最小号码为1}. 3) 10件产品中有一件废品,从中任取两件,记事件=A {得一件废品}. 4) 两个口袋各装一个白球与一个黑球,从第一袋中任取一球记下其颜色后放入第二袋,搅均后再 从第二袋中任取一球.记事件=A {两次取出的球有相同颜色}. 5) 掷两颗骰子,记事件 =A {出现点数之和为奇数,且其中恰好有一个1点}, =B {出现点数之和为偶数,但没有一颗骰子出现1点}. 答案:1) }),(),,(),,(),,({T T H T T H H H =Ω, 其中 :H 正面出现; :T 反面出现. }),(),,({T H H H A =; }),(),,({T T H H B =; }),(),,(),,({H T T H H H C =. 2) 由题意,可只考虑组合,则 ? ?? ?? ?=)5,4,3(),5,4,2(),5,3,2(),4,3,2(),5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3,2,1(Ω; {})5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3,2,1(=A . 3) 用9,,2,1 号表示正品,10号表示废品.则 ??? ? ????? ?????????=)10,9()10,8()10,2(,),4,2(),3,2()10,1(,),4,1(),3,1(),2,1( Ω; {})10,9(,),10,2(),10,1( =A . 4) 记第一袋中的球为),(11b w ,第二袋中的球为),(22b w ,则 {}),(),,(),,(),,(),,(),,(112121112121b b b b w b w w b w w w =Ω; {}),(),,(),,(),,(11211121b b b b w w w w A =.

概率论第一章答案

.1. 解:(正, 正), (正, 反), (反, 正), (反, 反) A (正 ,正) , (正, 反) .B (正,正),(反,反) C (正 ,正) , (正, 反) ,(反,正) 2.解:(1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6);AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1); A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1); AC - BC (1,1),(2,2). A B C D (1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4) 3. 解:(1) ABC ;(2) ABC ;(3) ABC ABC ABC ; (4) ABC ABC ABC ;( 5) A B C ; (6) ABC ;(7) ABC ABC ABC ABC 或AB AC BC (8) ABC ;(9) ABC 4. 解:甲未击中;乙和丙至少一人击中;甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中; 甲和乙都未击中;甲和乙击中而丙未击中;甲、乙、丙三人至少有两人击中c 5. 解:如图: 第一章概率论的基本概念习题答案

每次拿一件,取后放回,拿3次: ABC ABC; AB C ABC C; B A C ABC ABC ABC BA ABC BC ABC 6. 解:不 疋成立 。例如: A 3,4,5 B 那么 A C B C 但A B 0 7. 解:不 疋成立 。例如: A 3,4,5 B 那么 A (B C) 3 , 但是 (A B) C 3,6,7 ABC ABC A B 4,5,6 o 8.解: C ABC ABC ABC 3 C 4,5 6,7 P( BA) P(B AB) P(B) P(AB) (1) 2 ; (2) P( BA) P(B A) P(B) 1 P(A) 6 ; (3) P( BA) P(B AB) P(B) 1 P(AB)- 2 9. 解: P(ABC) P A B C 1 P(A B C)= 1 1 8 P (1 ) 2 982 1003 0.0576 ; 1旦 1003 0.0588 ; 1 P(A) 1 P(B) 1 P(C) 1 P(AB) 1 P(AC) 3 P(BC) P(ABC) 16 16 g 八牛 A)n .(.( (C p( B P (1) C ;8C ; C 100 0.0588 ; P (2) 3 100 1 98 0.0594 ; D P 3 2 2 P c ;c

概率论与数理统计第一章习题解答

《概率论与数量统计》第一章习题解答 1、写出下列随机试验的样本空间: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分)。(2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数。(3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的产品记上“正品”,不合格的记上“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果。 (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标。 解: (1)设该班有n人,则该班总成绩的可能值是0,1,2,……,100n。故随机试验的样本空间S={i/n|i=0,1,2,……,100n}。 (2)随机试验的样本空间S={10,11,12,……}。 (3)以0表示检查到一个次品,1表示检查到一个正品,则随机试验的样本空间S={00,0100,0101,0110,0111,100,1010,1011,1100,1101,1110,1111}。 (4)随机试验的样本空间S={(x,y)|x2+y2<1}。 2、设A,B,C为三个事件,用A,B,C的运算关系表示下列各事件:(1)A发生,B 与C都不发生。 (2)A与B都发生,而C不发生。 (3)A,B,C中至少有一个发生。

(4)A,B,C都发生。 (5)A,B,C都不发生。 (6)A,B,C中不多于一个发生。 (7)A,B,C中不多于两个发生。 (8)A,B,C中至少有两个发生。 解: (1)A B C(2)AB C(3)A∪B∪C (4)ABC (5)A B C(6)A B C∪A B C∪A B C∪A B C (7)S-ABC (8)ABC∪AB C∪A B C∪A BC 3、(1)设A,B,C为三个事件,且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P (AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,求A,B,C至少有一个发生的概率。 (2)已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(C)=1/5,P(AB)=1/10,P(AC)=1/15,P(BC)=1/20,P(ABC)=1/30,求A∪B,A B,A∪B∪C,A B C,A B C,A B∪C的概率。 (3)已知P(A)=1/2,(i)若A,B互不相容,求P(A B),(ii)若P(AB)=1/8,求P(A B)。 解: (1)因为P(AB)=0,所以P(ABC)=0。故P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3/4-1/8=5/8。 (2)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+1/3-1/10=11/15, P(A B)=1-P(A∪B)= 4/15, P(A∪B∪C)=P(A)

概率论~第一章习题参考答案与提示

第一章 随机事件与概率习题参考答案与提示 1. 设为三个事件,试用表示下列事件,并指出其中哪两个事件是互逆事件: C B A 、、C B A 、、(1)仅有一个事件发生; (2)至少有两个事件发生; (3)三个事件都发生; (4)至多有两个事件发生; (5)三个事件都不发生; (6)恰好两个事件发生。 分析:依题意,即利用事件之间的运算关系,将所给事件通过事件表示出来。 C B A 、、 解:(1)仅有一个事件发生相当于事件C B A C B A C B A 、、有一个发生,即可表示成C B A C B A C B A ∪∪; 类似地其余事件可分别表为 (2)或AC BC AB ∪∪ABC B A BC A C AB ∪∪∪;(3);(4)ABC ABC 或C B A ∪∪;(5)C B A ;(6)B A BC A C AB ∪∪或。 ABC AC BC AB ?∪∪ 由上讨论知,(3)与(4)所表示的事件是互逆的。 2.如果表示一个沿着数轴随机运动的质点位置,试说明下列事件的包含、互不相容等关系: x {}20|≤=x x A {}3|>=x x B {}9|<=x x C {}5|?<=x x D {}9|≥=x x E 解:(1)包含关系: 、 A C D ??B E ? 。 (2)互不相容关系:C 与E (也互逆) 、B 与、D E 与。 D 3.写出下列随机事件的样本空间: (1)将一枚硬币掷三次,观察出现H (正面)和T (反面)的情况; (2)连续掷三颗骰子,直到6点出现时停止, 记录掷骰子的次数; (3)连续掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之和; (4)生产产品直到有10件正品时停止,记录生产产品的总数。 提示与答案:(1); {}TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH ,,,,,,,=?(2); { ,2,1=?}(3); {}18,,4,3 =?(4)。 { } ,11,10=?4.设对于事件有C B A 、、=)(A P 4/1)()(==C P B P , , 8/1)(=AC P

概率论与数理统计复旦大学出版社第五章课后答案

概率与数理统计 习题五 答案 1.一颗骰子连续掷4次,点数总和记为X .估计P {10

根据独立同分布的中心极限定理得 0.8n i X n P ??-??≤≤???? ∑ 0.9,=Φ-Φ≥ 整理得 0.95,10?Φ≥ ?? 查表 1.64,≥ n ≥268.96, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部,每部机床开动的概率为0.7,假定各 机床开动与否互不影响,开动时每部机床消耗电能15个单位.问 至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足 而影响生产. 【解】设需要供应车间至少15m ?个单位的电能,这么多电能最多能 同时供给m 部车床工作,我们的问题是求m 。 把观察一部机床是否在工作看成一次试验,在200次试验中, 用X 表示正在工作的机床数目,则~(200,0.7)X B , ()2000.7140, ()(1)2000.70.342,E X np D X np p ==?==-=??= 根据题意,结合棣莫弗—拉普拉斯定理可得 0.95{}P X m P =≤=≤=Φ 查表知 1.64,= ,m =151. 所以供应电能151×15=2265(单位).

相关文档
相关文档 最新文档