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直角三角形全等导学案

班级：姓名：

科目：数学年级： 7主备人：

课题7．探索直角三角形全等的条件

一、导学目标:经历探索直角三角形全等的条件的过程，掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。2．通过尺规作图，获得判断直角三角形全等的特殊条件，感受三角形全等在实际生活中的应用。个案调整栏（可根据各班学生实际作以调整）

二、导学重点、难点

重点：掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。

难点：通过自己的探索和与同伴的交流发现三角形的有关结论，解决一些实际问题三、导学提纲第一环节情境引入

首先提出“舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量。你能帮他想个办法吗？”方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS)

方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角. (ASA)或(AAS)

第二环节探索验证

“如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？

工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？演示工作人员的测量方法及下面结论

已知线段a，c(a﹤c)和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C= ∠α，CB=a，AB=c.

（1）学生用自己的语言表述作图的过程。

（2）如何判断你所作的三角形和其他同学所作的三角形是否全等？

剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，完全重合说明这两个三角

形全等。（全等三角形定义）；测量AC的长度，若相等，说明这两个三角形全等。（SSS）；测量∠CBA的大小，若相等，说明这两个三角形全等。（SAS或ASA或AAS）。从而得出画的这个三角形全班是全等的。进而得出“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”的结论。

第三环节巩固复习

问题（1）你现在能够用几种方法说明两个直角三角形全等？

问题（2）其他方法都需要三个条件，而“HL”只有两个条件，你怎么看？

（1）三边对应相等（SSS）；一锐角和它的邻边对应相等（ASA）；一锐角和它的对边对应相等（AAS）；两直角边对应相等（SAS）；斜边和一条直角边对应相等（HL）。（2）“HL”的前提是直角三角形，所以也需要三个条件。因此，“HL” 只适合判定直角三角形全等。

把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整. (1) _______,∠A=∠D ( ASA ) (2) AC=DF,________ (SAS) (3) AB=DE,BC=EF ( ) (4) AC=DF, ______ ( HL ) (5) ∠A=∠D, BC=EF ( ) (6) ________,AC=DF ( AAS )

第五环节拓展提高如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，

(1)△ABC≌△DEF吗?(2)两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE 的大小有什么关系？

第六环节课堂小结

师生互相交流探索直角三角形全等条件的体会，及学生的一些困惑。

判定直角三角形全等的5个条件：SSS，SAS，AAS，ASA，HL（仅适用直角三角形）。

个案调整：

新人教版第12章全等三角形导学案汇总

12.1全等三角形学习目标 1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．学习重点全等三角形的性质．学习难点找全等三角形的对应边、对应角．学习方法：自主学习与小组合作探究学习过程：一．获取概念：阅读教材P31页内容，完成下列问题：（1）能够完全重合的两个图形叫做全等形，则_______ 叫做全等三角形。（2）全等三角形的对应顶点：、对应角：、对应边：。（3）“全等”符号：读作“全等于” （4）全等三角形的性质：（5）如下图：这两个三角形是完全重合的，则△ABC △ A 1B 1C 1..点A 与 A 点是对应顶点; 点B 与点是对应顶点;点C 与点是对应顶点. 对应边：对应角：。 C 1 1A B A 1 二观察与思考： 1.将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ；将△ABC 沿BC 翻折180°得到△DBC ；将△ABC 旋转180°得△AED ．甲 D C A B F E 乙 D C A B 丙 D C A B E 议一议：各图中的两个三角形全等吗？即 ≌△DEF ，△ABC ≌ ，△ABC ≌ ．（书写时对应顶点字母写在对应的位置上）启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但、都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略． 2 . 说出乙、丙图中两个全等三角形的对应元素。三、自学检测 1、如图1，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，?则这两个三角形中相等的

解直角三角形的应用导学案

桃溪中学师生共用导学案内容：解直角三角形（1）执笔：【学习目标】 ⑴：使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会使用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 ⑵：通过综合使用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的水平． ⑶：渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．【学习重点】直角三角形的解法．【学习难点】三角函数在解直角三角形中的灵活使用【导学过程】一、自学提纲：知识回顾：在Rt △ABC 中，∠C ＝900，a ，b ，c ，分别为∠A,∠B,∠C 所对的边，则边之间的关系为，角之间的关系为，角与边之间的关系为，自主预习： 1．在三角形中共有几个元素？ 2、解直角三角的概念：有直角三角形中求出元素的过程，叫做解直角三角形。 3、解直角三角形的两种情况。（1）已知，求第三边及两锐角。（2）已知和一个，求其它两边及另一锐角。导学探究： 1、在Rr △ABC 中，共有六个量，三条边a ，b ，c ，三个角∠A ，∠B ，∠C ，其中∠C 是已知的，其它的五个量都是未知的。（1）已知∠A ，∠B ，能求出其它的三个量a ，b ，c 吗？（2）已知两条边的长，能求出其它的三个量吗？（3）已知一角和一边，能求出其它的三个量吗？你有什么发现？ 2、直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就能够写成. (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据．二、合作交流：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m 的梯子，问： (1)使用这个梯子最高能够安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m) (2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o ) 这时人是否能够安全使用这个梯子 b a A c b A c a A = = = ; tan ; cos ; sin a b B c a B c b B = = = ; tan ; cos ; sin ；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边 α α α α α α α ∠ ∠ = ∠ = ∠ = tan cos sin

《解直角三角形复习一》学案

《解直角三角形（一）》学案学习目标： 1、理解三角函数的有关概念，掌握特殊角的三角函数值； 2、弄清解直角三角形的含义，掌握直角三角形中的边角关系，会应用这些关系解直角三角形； 3、能够利用构造直角三角形的方法解决求角度和线段长度的问题； 4、在弄清基本概念、基础知识、基本题型的同时，不断归纳数学思想和方法，进一步深刻理解数形结合、转化在数学学习中的作用。一、知识点归纳 1、锐角α的三角函数定义: ∠α的正弦：sin α= ∠α的余弦：cos α= ∠α的正切：tan α= 思考：根据三角函数的定义，你能正确填空吗你是怎样得到的 ① ＜sin α＜ ② ＜cos α＜ “ ③ ＜tan α＜ ④sin α+ cos α 1 ⑤tan α sin α（填“＜”或“＞”） ②观察表格，猜想：随着∠α的增大，sin α ；cos α ； tan α 。（填增大或减小） 3、由直角三角形中的已知元素（边和角），求出其它所有未知元素的过程，叫做。其主要依据如下： ⑴边的关系：； ⑵角的关系：； ⑶边角之间的三角函数关系： SinA= cosA= tanA= SinB= cosB= tanB= 思考：解直角三角形有哪几种基本类型在练习本上列举出来，并进行口头解答。二、热点示例与题组练习目标1、特殊角三角函数值题组一 1、已知∠A 为锐角，且sinA= 23，则sin 2 A = . 2、计算：0 030 60sin cos -tan450 的值是。 3、若tan α= 3 1 tan600,则α的度数是。 4、在△ABC 中，若-+A B cos 21 -（sin 2 3)2=0，则∠C 的度数是。目标2、解直角三角形题组二在Rt △ABC 中，∠C=90° ①已知 a=23,b=2,则∠A= ； ②已知a=10, ∠B=600，则C = 。 ③已知BC=6cm,sinA=5 3 ,则AB 的长是 cm 。 ④已知cosB=5 3 ,则tanA= ; 题组三 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°，BD 是∠ABC 的平分线，BD=63，BC=9，求 AC 的长。 c b a C B A c a C B A D A B C

全等三角形全章教案集

C 1 B 1 C A B A 1 课题：§11．1 全等三角形课型：新授教学目标 (一) 知识技能: 1、了解全等形及全等三角形的概念。 2、理解掌握全等三角形的性质。 3、能够准确辩认全等三角形的对应元素。 (二) 过程与方法： 1、在图形变换以用操作的过程中发展空间观念，培养几何直觉。 2、在观察发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验。 (三) 情感态度与价值观：在探究和运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣。教学重点: 全等三角形的性质．教学难点：找全等三角形的对应边、对应角．教学方法：讲授法，讨论法，情景导入法教学准备：多媒体，三角板预习导航:什么是全等三角形？如何找全等三角形的对应边和对应角？全等三角形有哪些性质？教学过程 (一) 提出问题，创设情境出示投影片：1.问题：你能发现这两个图形有什么美妙的关系吗？这两个图形是完全重合的． 2.那同学们能举出现实生活中能够完全重合的图形的例子吗003F 生：同一张底片洗出的同大小照片是能够完全重合的。形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形． 3．学生自己动手（同桌两名同学配合）取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样． 4．获取概念让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号．记作：△ABC ≌ △ A ’B ’C ’ 符号“ ≌ ”读作“全等于” D A

（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）（二）．新知探究利用投影片演示 1.活动：将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ；将△ABC 沿BC 翻折180 得到△DBC ；将△ABC 旋转180°得△AED ． 2. 议一议：各图中的两个三角形全等吗？启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略． 3. 观察与思考：寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．全等三角形的对应角相等．（三）例题讲解 [例1]如图，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，?说出这两个三角形中相等的边和角． 1. 分析：△OCA ≌△OBD ，说明这两个三角形可以重合，?思考通过怎样变换可以使两三角形重合？将△OCA 翻折可以使△OCA 与△OBD 重合．因为C 和B 、A 和D 是对应顶点，?所以C 和B 重合，A 和D 重合． ∠C=∠B ；∠A=∠D ；∠AOC=∠DOB ．AC=DB ；OA=OD ；OC=OB ． 2. 总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法． [例2]如图，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，?指出其他的对应边和对应角． 1. 分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABE 和△ACD 从复杂的图形中分离出来． 2小结：找对应边和对应角的常用方法有： D C A B O D C A B E 乙 D C A B 丙 D C A B E

全等三角形复习导学案

E D C B A N M O 八年级数学上册第十二章全等三角形导学案全等三角形（复习课）备课人：陈军营审核人：余国霞张金锋备课时间：9.17 上课时间：学习目标： 1、掌握全等三角形的性质. 2、掌握三角形全等的判定方法。 2、熟练运用三角形全等的性质和判定方法解决线段相等及平行、角相等的相关问题。一、课前知识回顾： 1、（1）全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角。（2）全等三角形的判定（用字母表示）：判断三角形全等的方法有：、、、。判断直角三角形全等的方法有：、、、、。 2、如图，AM=AN ， BM=BN 说明△AMB ≌△ANB 的理由。解：在△AMB 和△ANB 中 ?? ? ??===)_________(_______) (___________)_______(__ 公共边已知BN AM ∴ △AMB ≌ （） 3、如图，∠B=∠DEF, BC= EF, 补充条件，使得ΔABC ≌ ΔDEF 。 (1) 若要以“SAS ”为依据，可补充条件； (2) 若要以“ASA ”为依据，可补充条件 (3) 若要以“AAS ”为依据，可补充条件； (4) 若补充条件AC=DF ，则 ΔABC 与 ΔDEF 一定全等吗？二、自主练习与合作探究： 1、如图，线段AB 、CD 相交于O 点，AO=CO ，BO=DO ，试证明：AD=BC 。 2、24. 如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ． 4.如图，AD 、A ′D ′分别是锐角△ABC 和△A ′B ′C ′中BC 、B ′C ′边上的高，且AB ＝A ′B ′，AD ＝A ′D ′，若使△ABC ≌△A ′B ′C ′，请你补充条件________(只需填写一个你认为适当的条件)．并证明三、当堂检测： 1、如图，D 点在AB 上，E 点在AC 上，且∠B =∠C ，AB = AC,那么△ABE ≌△ACD 吗?为什么？ 2、如图，∠ACB ＝∠FDE ，AC ＝DF ，BD ＝EC ，请判断AB 与EF 是否平行，并说明理由。四、拓展思维： 1、如图所示,已知点C 为线段AB 上一点,△ACM 、△BCN 是等边三角形.试说明: （1）AN = BM; （2） CD = CE （3）连接DE ，猜想：①△CDE 的形状 ②DE 与AB 的位置关系。

全等三角形导学案

鸡西市第十九中学学案

一、填空题 1．_____ 的两个图形叫做全等形. 2．把两个全等的三角形重合到一起，_____叫做对应顶点；叫做对应边；_____叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示_____的字母写在_____ 上． 3．全等三角形的对应边_____，对应角_____，这是全等三角形的重要性质． 4．如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，∠DEF的对应角是_____．图1－1 图1－2 图1－3 5．如图1－1所示，ΔABC≌ΔDCB．（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC ＝_____ （2）如果AC＝DB，请指出其他的对应边_____；（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，请指出所有的对应边_____，对应角_____． 6．如图1－2，已知△ABE≌△DCE，AE＝2 cm，BE＝1.5 cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°． 7．一个图形经过平移、翻折、旋转后，_____变化了，但__________都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形二、选择题 8．已知：如图1－3，ΔABD≌CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（）A．DB B．BC C．CD D．AD 9．下列命题中，真命题的个数是（） ①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等 ③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等 A．4 B．3 C．2 D．1 10．如图1－4，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于（） A．6 B．5 C．4 D．无法确定图1-4 图1-5 图1-6 11．如图1－5，△ABC≌△AEF，若∠ABC和∠AEF是对应角，则∠EAC等于（）A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC

人教版初三数学下册28.2.2解直角三角形的应用举例(1)导学案

28.2.2 解直角三角形的应用举例（1）【学习目标】 1.了解仰角、俯角概念，提高计算能力，能应用解直角三角形解决观测中的实际问题. 2.学会把实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）. 3.经历用解直角三角形解决实际问题的过程，体会数学与生活的密切联系. 【重点难点】重点：应用解直角三角形的有关知识解决观测中的实际问题. 难点：能够准确分析问题并将实际问题转化为数学模型．预习案 (一)温故知新 1.如图1，在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？（1）锐角之间的关系：边之间的关系：角与边之间的关系(以∠A为例)： (2)至少知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？图1 2.请写出30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值：（二）问题导学 1.如图2，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为________. 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称_________. 图2 2.如图3，2016年10月19日，“神舟”十一号载人航天飞船与“天宫”二号目标飞行器成功实现交会对接. “神舟”十一号与“天宫”二号的组合体在离地球表面393km的圆形轨道上运行.如图,当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数,参考数据：cos18.16°≈0.9502,cos19.59°≈0.9421，cos21.35°≈0.9314)？图3 探究案

探究：利用视角解直角三角形例: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为100m ，这栋高楼有多高（结果取整数）？变式：直升飞机在高为63米的郑州二七纪念塔AB 斜上方P 点处，从塔的顶部和底部测得飞机的仰角为31°和42°，求飞机的高度PO (参考数据sin31°≈0.52，cos31°≈0.86,tan31°≈0.60, sin42°≈0.67，cos42°≈0.74,tan42°≈0.90) 训练案（C 级做1～4题，B 级、A 级全做） 1.如图1所示，已知楼房AB 高为50m ，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD ? O B

全等三角形全章教案(华东师大版)

19.1 命题与定理一.教学目标： 1. 知识与技能：了解命题、定义的含义；对命题的概念有正确的理解。会区分命题的条件和结论。知道判断一个命题是假命题的方法。 2.过程与方法：结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识。 3、、情感、态度与价值观：初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值。二.教学要点：找出命题的条件（题设）和结论。三.教学重点：找出命题的条件（题设）和结论。四.教学难点及突破措施：命题概念的理解。让学生多说，多讲，多练习。五.教学时间：第九周第3节六.教法设计：讲练结合七.教学过程一、复习引入教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180度”，“等腰三角形两底角相等”等。根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确。1、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；2、两直线平行，同位角相等；3、同旁内角相等，两直线平行；4、平行四边形的对角线相等；5、直角都相等。二、探究新知（一）命题、真命题与假命题学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子1、2、5是正确的，句子3、4水错误的。像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。教师：在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果.......，那么.......”的形式。用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论。例如，在命题1中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论。有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果.........，那么...........”的形式，就可以分清它的题设和结论了。例如，命题5可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等。” （二）实例讲解 1、教师提出问题1（例1）：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果.......，那么.......”的形式，并分别指出命题的题设和结论。学生回答后，教师总结：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”。这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”。 2、教师提出问题2：把下列命题写成“如果.....，那么......”的形式，并说出它们的条件和结论，再判断它是真命题，还是假命题。（1）对顶角相等；（2）如果a＞ b,b＞ c, 那么a=c；（3）菱形的四条边都相等；（4）全等三角形的面积相等。学生小组交流后回答，学生回答后，教师给出答案。

解直角三角形及其应用导学案

解直角三角形及其应用导学案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

九年级（上）数学导学案课题：23.2 解直角三角形及其应用（2）编号9S046 教学思路（纠错栏）教学思路（纠错栏）学习目标： 1.知道仰角、俯角等有关概念； 2.能把实际问题转化为数学问题来解决. 学习重点：利用三角函数解决实际问题；学习难点：把实际问题转化为数学问题. ☆预习导航☆ 一、链接：什么叫解直角三角形在解直角三角形时用到的边、角数量关系有哪些二、导读： 1.阅读课本126页，重点思考如何把实际问题转化为数学问题来解答，边角之间的关系有： sinA = ______ , cosA = ________ , tanA = _______ . 2.仰角、俯角的定义：从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角；从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角． ☆合作探究☆ 1. 上海东方明珠塔于1994 年10 月1 日建成，在各国广播电视塔的排名榜中，当时其高度列亚洲第一、世界第三．与外滩的“万国建筑博览群”隔江相望．在塔顶俯瞰上海风景，美不胜收．运用本章所学过的知识，能测出东方明珠塔的高度来吗？为了测量东方明珠塔的高度，小亮和同学们在距离东方明珠塔200 米处的地面上，用高1.20 米的测角仪测得东方明珠塔顶的仰角为60°48 ′． A B E C D

根据测量的结果，小亮画了一张示意图，其中AB表示东方明珠塔，DC为测角仪的支架，DC=1.20米，CB=200米，∠ADE=60°48 ′ 根据在前一学段学过的长方形对边相等的有关知识，你能求出AB 的长吗？ 2. 如图，厂房屋顶人字架的跨度为10 米，上弦AB＝BD，∠A = 260 ．求中柱BC 和上弦AB 的长（精确到0 . 01 米）. ☆归纳反思☆ ☆达标检测☆ 1 ．如图，在电线杆上离地面6 米处用拉线固定电线杆，拉线和地面之间的夹角为60° , 求拉线AC 的长和拉线下端点A 与线杆底部D 的距离（精确到 0 . 1 米）. 2．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的距离BC = 3.2 米，底端到墙根的距离AC = 2.4 米． (1)求梯子的长度和梯子与地面所成角的大小(精确到1 ' ) ; (2) 如果把梯子的底端到墙角的距离减少0 . 4 米，那么梯子与地面所成的角是多少？ 6 米 A B C D A C B

人教版数学八年级上册导学案：12 章全等三角形单元复习与巩固

全等三角形单元复习与巩固一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标： ●了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素； ●探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式； ●掌握尺规作图作角平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质和判定，并会利用角的平分线的性质和判定进行证明； ●能用三角形的全等和角平分线性质解决实际问题。重点难点： ●重点：理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式；三角形全等的性质和条件以及角平分线的性质。 ●难点：掌握用综合法证明的格式；选用合适的条件证明两个三角形全等。学习策略： ●通过观察、拼图以及三角形的平移、旋转和翻折等活动，来感知两个三角形全等，以及全等三角形的性质。在三角形全等知识的基础上，探究理解角平分线的性质和判定，并通过练习加深本章知识的理解及灵活运用。二、学习与应用 “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补知识点一：全等形能够完全的两个图形叫做全等形．知识点二：全等三角形能够完全的两个三角形叫做全等三角形．要点诠释：（1）互相重合的顶点叫做，互相重合的边叫做，互相重合的角叫做．

（2）在写两个三角形全等时，通常把的字母写在对应位置上，这样容易写出对应边、对应角．例如，△ABC与△DFE全等，点A与点，点B与点，点C与点是对应顶点，记作△ABC≌△DFE，而不写作△ABC≌△EFD等其他形式．知识点三：全等三角形的性质全等三角形的对应边、对应角．知识点四：两个三角形全等的条件（一）边角边：有和它们的对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）．注：运用边角边公理判定两个三角形全等时要抓住角是两边的夹角，边是夹这个角的两边，不要错误认为：两个三角形只要有两条边和一个角对应相等，这两个三角形就一定全等．（二）角边角：有和它们的对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．（三）边边边：对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．（四）角角边：两个和其中一个角的对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）（五）斜边、直角边（HL）：在两个直角三角形中，和一条对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。注：（1）HL定理是三角形所独有的，对于一般三角形不成立．（2）判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件，只需找另个条件即可，而这两个条件中必须有对应相等，与一般三角

全等三角形全章学案

课题:12.1．1全等三角形班级姓名时间学习目标: 1、能说出怎样的两个图形是全等形，并会用符号语言表示两个三角形全等。 2、能在全等三角形中正确地找出对应顶点、对应边、对应角。 3、能说出全等三角形的对应边、对应角相等的性质。学习重点:探究全等三角形的性质。学习难点: 掌握两个全等三角形的对应边、对应角。学习过程：一、课前研学(预习教材31页-32页的内容，完成下面的问题) （约3-5分钟） (一)、全等形、全等三角形的概念 1、能够完全重合的两个图形叫做．全等图形的特征：全等图形的和都相同． 2、全等三角形．两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。（二）、全等三角形的对应元素及表示阅读课本P31第一个思考及下面两段内容，完成下面填空： 1、平移翻折旋转甲 D C A B F E 乙 D C A B 丙 D C A B E 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，变化了，?但、都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形，这也是我们通过运动的方法寻全等的一种策略． 2、全等三角形的对应元素（说一说）（1）对应顶点（三个）——重合的（2）对应边（三条） ——重合的（3）对应角（三个） ——重合的 3、寻找对应元素的规律（1）有公共边的，公共边是；（2）有公共角的，公共角是；

第（4）题图 E B A E 第（1 ）题图E C B F C 第（2）题图D A C B （4）在两个全等三角形中，最长边对应最长边，最短边对应最短边；最大角对应最大角，最小角对应最小角．简单记为：（1）大边对应大角，大角对应 ; (2) 公共边是对应边，公共角是，对顶角也是 ; 4、“全等”用“ ”表示，读作“ ” 如图甲记作：△ABC ≌△DEF 读作：△ABC 全等于△DEF 如图乙记作：读作：如图丙记作：读作：注意：两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．二、课堂探究（约15-20分钟）知识点1：全等三角形的性质阅读课本P32第二个思考及下面内容，完成下面填空：活动一：观察下列各组的两个全等三角形，并回答问题：（1）如图（1）△ABC ≌△DEF ，BC 的对应边是，即可记为BC= 。 ∠A 对应角是即可记为∠A = 。。（2）如图（2）△ABC ≌△DEF ，△ABC 的边AC 的对应边是，即可记为AC= 。（3）如图（3）△ABC ≌△ ，∠ABC 对应角是即可记为∠ = ∠ 。（4）如图（4）△ABC ≌△ ，△ABC 的∠BAC 的对应角是即可记为∠ = ∠ 。（5） △ABC ≌与△DEF ，AB=DE,AC=DF,BC=EF,写出所有对应角相等的式子。小结1：规律总结： 1、全等三角形的对应边，对应角。 2、两个三角形全等，与它们所在的位置关系。(填有或无) 知识点2：全等三角形的性质例解例1：如图1，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，说出这两个三角形中的对应边和对应角． D C A B O D C A B E 图1 图2

28.2.1 解直角三角形(导学案)

28.2 解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形一、新课导入 1.课题导入如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的交点为A ，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2米，AB=54.5米，你能根据上述条件求出图中∠A的度数吗？这就是我们这节课要研究的问题. 2.学习目标（1）知道解直角三角形的概念，理解直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系. （2）能综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 3.学习重、难点重点：直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系，解直角三角形. 难点：合理选用三角函数关系式解直角三角形. 二、分层学习 1.自学指导（1）自学内容：教材P72~P73例1上面的内容. （2）自学时间：8分钟. （3）自学要求：完成探究提纲. （4）探究提纲： ①在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把由直角三角形中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. ②在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： a.两锐角互余,即∠A＋∠B＝90 °. b.三边关系满足勾股定理，即a2+b2=c2 . c.边角关系：sinA＝a c ，sinB＝ b c ； cosA＝b c , cosB＝ a c ； tanA＝a b , tanB＝ b a .

③已知直角三角形中除直角外的五个元素中的几个元素，才能求出其余所有未知元素？（提示：可从“确定一个直角三角形，至少需要哪些条件？”来思考）已知其中两个元素（其中至少有一个是边）. 2.自学：学生可结合自学指导进行自学. 3.助学（1）师助生： ①明了学情：了解学生自学提纲的答题情况（特别是第②、③题）. ②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导. （2）生助生：小组内相互交流、研讨、纠正错误. 4.强化（1）直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系（要板书出来）. （2）解直角三角形的条件：必须已知除直角外的两个元素（其中至少有一个是边）. ①已知两边：a.两直角边；b.一直角边和斜边. ②已知一边和一锐角：a.一直角边和一锐角；b.斜边和一锐角. 1.自学指导（1）自学内容：教材P73例1、例2. （2）自学时间：8分钟. （3）自学方法：先独立解答，再同桌之间互评互纠. （4）自学参考提纲： ①在教材P73例1中，已知的元素是两条直角边AC 、BC ，需求出的未知元素是：斜边AB 、锐角A 、锐角B. 方法一：∵tanA = BC AC ∴∠A= 60 °,∠B=90°- ∠A = 30 °. ∵，,∴AB = 方法二：∵，,∴由勾股定理可得AB= sinA= BC AB A= 60 °,∴∠B=90°-∠A = 30 °. 这里∠B 的度数也可用三角函数来求，你会吗？ ②比较上述解法，体会其优劣. ③在教材P73例2中，已知的元素是一直角边b 和一锐角B ，则要求的未知元素有直角边a 、斜边c 、锐角A. ④例2还有别的解法吗？请试一试，并留意你的答案与例题的答案是否存在误差.

全等三角形导学案(共16课时)

课题： 11.1 全等三角形第1课时累计1课时编写人：备课组长：审查人授课时间教学目标：1、知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素。 2、知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等 3、能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。教学重点：全等三角形的性质。教学难点：找全等三角形的对应边、对应角。教学过程：一、创设情境，引入新课（课前检测）二、课前预习 1、阅读教材2——3页 2、填空（1）叫做全等形（2）叫做全等三角形（3）把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做，重合的边叫做重合的角叫做。（4）“全等”用表示，读作。（5）全等三角形的性质：，。3.思考（1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角（2）将ABC ?沿直线BC 平移，得到DEF ?，说出你得到的结论，说明理由？（3）如图，,ACD ABE ???AB 与AC ，AD 与AE 是对应边，已知： οο30,43=∠=∠B A ，求ADC ∠的大小。三．合作探究 D D B D B E B C

例1.已知如图（1），ABC ?≌DCB ?,其中的对应边:____与____,____与____,____与____, 对应角:______与_______,______与_______,______与_______. 例2.如图（2），若BOD ?≌C B COE ∠=∠?,.指出这两个全等三角形的对应边；若ADO ?≌AEO ?,指出这两个三角形的对应角。（图1）（图2）（图3）例3．如图（3）, ABC ?≌ADE ?，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G, ο105=∠=∠AED ACB ,οο25,10=∠=∠=∠D B CAD ,求DFB ∠、DGB ∠的度数. 三、疑难点拨 1、如图，已知△ABE ≌△ACD , ∠ADE=∠AED,∠B=∠C,指出其它的对应边和对应角。五、当堂训练教材4页的1、2题六、小结提升 1、你学到了什么？还存在哪些困惑？ 2,、教师补充。展示点评题号题号题号题号题号七、课堂作业 1、教材4页1、 2、3 课后反思：课外练习p4 4 课辅p1 变式练习

《解直角三角形》导学案

28．2．1 解直角三角形【学习目标】 ⑴ 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 ⑵ 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． ⑶ 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．【学习重点】直角三角形的解法．【学习难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用【导学过程】一、自学提纲： 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 a b A b a A c b A c a A ==== cot ;tan ;cos ;sin b a B a b B c a B c b B ====cot ;tan ;cos ;sin 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=∠∠=∠=∠= cot tan cos sin (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据．二、合作交流：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m 的梯子，问: (1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m) (2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o ) 这时人是否能够安全使用这个梯子三、教师点拨：例1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且例2在Rt △ABC 中， ∠B =35o ，b=20，解这个三角形．

第十二章全等三角形全章导学案(2020人教版)

第十二章全等三角形《12．1 全等三角形》导学案 N0.1 一、学习目标 1.了解全等形及全等三角形的概念． 2.理解全等三角形的性质．二、教学重、难点 1.重点：探究全等三角形的性质． 2.难点：掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素. 三、自主学习 1.自学课本P31－32页“探究、思考1、思考2”，理解“全等形”“全等三角形”的概念及其对应元素，掌握全等三角形的性质及应用，完成填空： (1)形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，_________的两个图形叫做全等形．_________的两个三角形叫做全等三角形． (2)全等三角形的_________相等，全等三角形的_________相等．四、合作探究知识点一：全等三角形的概念观察△ABC与△A′B′C′重合的情况．总结：对应顶点、对应角、对应边．全等的符号：“≌”，读作：“全等于”．如：△ABC≌△A′B′C′. 归纳：能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．知识点二：全等三角形的性质把△ABC沿直线BC平移、翻折，绕定点旋转，观察图形的大小形状是否变化．结论：平移、翻折、旋转只能改变图形的位置，而不能改变图形的大小和形状．归纳：全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角、周长分别对应相等。找对应元素的常用方法有两种： (一)从运动角度看 1．翻折法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素． 2．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一个三角形重合，从而发现对应元素．3．平移法：沿某一方向平移使两个三角形重合来找对应元素． (二)根据位置元素来推理 1．全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．

解直角三角形导学案

课题：24．2解直角三角形（1）【学习目标】 ⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 ⑵: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． ⑶: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．【学习重点】直角三角形的解法．【学习难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用【导学过程】一、自学提纲： 1．在三角形中共有几个元素 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢 (1)边角之间关系 a b A b a A c b A c a A ==== cot ;tan ;cos ;sin b a B a b B c a B c b B = ===cot ;tan ;cos ;sin 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠= ∠∠=∠=∠= cot tan cos sin (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据．二、合作交流：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m 的梯子，问: (1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m) (2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o ) 这时人是否能够安全使用这个梯子三、教师点拨：例1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2， a=6，解这个三角形．例2在Rt △ABC 中， ∠B =35o ，b=20，解这个三角形．

全等三角形判定HL导学案

全等三角形判定(HL)导学案温馨寄语：愿知识之泉，经书籍而奔流，流进你的心田. 一．学习目标： 1、理解直角三角形全等的判定方法“HL”，并能灵活选择方法判定三角形全等； 2．通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程，发展合情推理能力； 3. 极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。二．重点与难点： 1.运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。 2.熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。三、学习过程知识链接 1.判定两个三角形全等的方法：、、、 2.如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E， ①若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法） ②若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法） ③若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法） ④若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）自主探究如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗 (1)动手试一试。已知线段a ，c (a

(2)把△ABC 剪下来和同学比较是否能够完全重合 (3)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形（可以简写成“ ”或“ ”） (4)用数学语言表述上面的判定方法在Rt △ABC 和Rt '''A B C ?中, ∵''BC B C AB =??=? ∴Rt △ABC ≌Rt △ （5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、 “ ”、 “ ”、 “ ”、还有直角三角形特殊的判定方法 “ ” 四、学以致用 1．如图1，△ABC 中，AB=AC ，AD 是高，则△ADB 与 △ADC （填“全等”或“不全等” ）, 2．判断两个直角三角形全等的条件不正确的是（） A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一锐角对应相等 C. 斜边和一条直角边对应相等 D. 两个锐角对应相等 3．如图2，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ， AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗说说你的理由. 五、检测反馈 1．判断题：（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等.（）（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等.（）（3）两直角边对应相等的两个直角三角形全等.（）（4）两边对应相等的两个直角三角形全等..（）（5）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等.（） A B C A 1 B 1 C 1