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高等数学 重积分 (9.2.3)--二重积分的计算-作业答案

高等数学 重积分  (9.2.3)--二重积分的计算-作业答案
高等数学 重积分  (9.2.3)--二重积分的计算-作业答案

习题 9.2答案与提示

1.

(1) 2 ln ln2 2 1 0

0 e d (,)d d (,)d y x x f x y y y f x y x =????.

(2) 213219(3)/2

301d (,)d d (,)d d (,)d x y x x f x y y y f x y x y f x y x ---=+??????. (3) πsin 1πarcsin 00

0arcsin d (,)d d (,)d x y y x f x y y y f x y x -=????.

(4) 3111111d (,)d d (,)d x x f x y y y f x y x ---=????. 2.

(1) 83. (2) 22

(e 1)2e

-. (3) e 12

-. (4) 2

π16

. (5) 94

. (6) 3π2

-. (7)

458. (8)

3cos1sin1sin 42

+-. 3. 略

4. (1) 2 1 0 d (,)d x x x f x y y ??.

(2) 1 2

0d (,)d y y f x y x -?.

(3) 142

01d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y -+????.

(4) 11 1 2 00

0 10d (,)d d (,)d d (,)d y f x y x y f x y x y f x y x ++??????.

5.

(1) 16. (2) 2.

(3) 9e 16

-. (4) 4sin 4-.

(5)

(6) 1. 6. (1) 4

2

R . (2) 16π.

(3) 0.

(4) 43. 7.

(1) π

cos 2π02

d (cos ,sin )d a f r r r r θθθθ-??. (2) 2π201d (cos ,sin )d f r r r r θθθ??.

(3) π12cos sin 00d (cos ,sin )d f r r r r θθθθθ+??

. (4) 3π

2(cos sin )4π04d (cos ,sin )d f r r r r θθθθθ+-??.

(5) π3π22

22ππ2cos 022d (cos ,sin )d d (cos ,sin )d f r r r r f r r r r θθθθθθθ-+????. 8. (1) 34π33R ??- ???. (2) 2

3π64

. (3) 4

π8

a . (4) π(π2)8

-. (5)

916.

(6) 15(2π8

. 9. (1) arccos 220 -arccos 2d (,)d r

a a r a r f r θθ??.

(2) 2

2

22

π1arcsin 2201arcsin 2d (,)d r a a r a r f r θθ-??.

(3) 0d (,)d a a

r r f r θθ??.

10.

(1) π(e 1)

4-.

(2) 2

π64.

(3) 4π

3.

(4) 16

9.

(5) 15

16.

(6)

1). 11. (1) π

(1cos1)24-. (2) 7

ln 23. (3) 1

π2ab .

(4) 1e e --.

(5) 578π. 12. 21

(e 1)8-.

高数重积分测试题

高数测试题七(重积分部分)答案 一、 选择题(每小题5分,共25分) 1、交换积分0 (,)(a y dy f x y dx a ? ?为常数)的次序后得( B ) A 00 (,)y a dx f x y dy ?? B 0 (,)a a x dx f x y dy ?? C (,)a x dx f x y dy ? ? C 0 (,)a y dx f x y dy ?? 2、设2222 222()()x y z t F t f x y z dv ++≤= ++??? ,其中 f 为连续函数,(0)f '存 在,而(0)0,(0)1f f '==,则5 0() lim t F t t →=( B ) A π B 45π C 35π D 2 5 π 3、球面2 2 2 2 4x y z a ++=与柱面2 2 2x y ax +=所围成立体体积(含在柱内部分)为( C ) A 2cos 2 04a d π θ θ? ? B 2cos 20 8a d π θ θ?? C 2cos 20 4 a d πθ θ? ? D 2cos 20 2 a d π θ πθ-?? 4、设D 是xy 平面上以点(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )D xy x y d σ+??=( A ) A 1 2 cos sin D x yd σ?? B 1 2D xyd σ?? C 1 (cos sin )D xy x y d σ+?? D 0 5、设22222222 22sin()1 arctan 0 (,)0 2 x y x y x y x y f x y x y π?++≠??++=? ?+=?? ,

高等数学积分公式大全

常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1.d x ax b +? =1 ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ+?=11 ()(1) ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3.d x x ax b +? =21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +? =22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5.d () x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6.2 d () x x ax b +?=21ln a ax b C bx b x +-++ 7.2d ()x x ax b +? =21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8.22 d ()x x ax b +?=2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9.2 d ()x x ax b +? = 211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10.x C + 11.x ?=2 2(3215ax b C a -+ 12.x x ?=2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13.x =22 (23ax b C a - 14.2x =2223 2(34815a x abx b C a -+

15 . =(0) (0) C b C b ?+>< 16 . 2a b - 17 .x =b +18 .x =2a x -+ (三)含有22x a ±的积分 19.22d x x a +?=1arctan x C a a + 20.22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21.22 d x x a -? =1ln 2x a C a x a -++ (四)含有2(0)ax b a +>的积分 22.2d x ax b +? =(0) (0) C b C b ?+>+< 23.2 d x x ax b +? =2 1ln 2ax b C a ++ 24.22d x x ax b +?=2d x b x a a ax b -+? 25.2d ()x x ax b +?=2 2 1ln 2x C b ax b ++ 26.22d ()x x ax b +? =21d a x bx b ax b --+?

二重积分学习总结

高等数学论文 《二重积分学习总结》 姓名:徐琛豪 班级:安全工程02班 学号:1201050221 完成时间:2013年6月2日

二重积分 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质,了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系,会用性质比较二重积分的大小,估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限,如何改换二次积分的积分次序,并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法,会求由曲面围成的空间区域的体积。 1 二重积分的概念与性质 1.二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义,必须首先引入二重积分的两个“原型”,一个是几何的“原型”-曲顶柱体的体积如何计算,另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发,对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中,必须要特别注意其中的两个“任意”,一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ??? 的分法要任意,二是在每个小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”,如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限,才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2.明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0,则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底,以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地,当(,)f x y =1时,(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。

高等数学二重积分总结

第九章二重积分 【本章逻辑框架】 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质,了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系,会用性质比较二重积分的大小,估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限,如何改换二次积分的积分次序,并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法,会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1.二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义,必须首先引入二重积分的两个“原型”,一个是几何的“原型”-曲顶柱体的体积如何计算,另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发,对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。

在二重积分的定义中,必须要特别注意其中的两个“任意”,一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ??? 的分法要任意,二是在每个小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”,如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限,才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2.明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0,则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底,以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地,当(,)f x y =1时,(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0,则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方,二重积分(,)d D f x y σ??的值是负的,其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的,在D 的另一些子区域上为负的,则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3.二重积分的性质,即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小,估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围,在用估值不等式对一个二重积分估值的时候,一般情形须按求函数 (,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小 值,再应用估值不等式得到取值范围。

高等数学公式总结(绝对完整版).

高等数学公式大全 导数公式: 基本积分表: a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

高数重积分测试题

重积分测试题 一、填空题 1. 222x y R σ+≤=?? ; 2. 1(1)x y x y d σ+≤++=?? ; 3. 将二重积分 (,)D f x y d σ??化为二次积分 (两种次序都写出来) ,其中D 为,0,y x y y ===在第一象限所围成的封闭区域; 4. 改变积分次序 2120(,)y y dy f x y dx -=?? ; 5. 将二重积分(,)D f x y d σ ??转化为极坐标系下的两次单积分 ,其中D 为0,y y == 6. 将三重积分(,,)f x y z d v Ω???化 为三次积分 ,其中Ω为22z x y =+, 1,0,0,0x y y x z +====所围成的封闭区域; 7. 将三重积分(,,)f x y z dv Ω???化为柱面坐标系下的三次积分 ,其中Ω为22z x y =+ , z =所围成的封闭区域. 二、计算题 1. 计算二重积分 D xydxdy ??,其中D 是由,1,3y x xy x ===所围成的区域; 2. 计算二重积分D x ydxdy -??,其中D :221,0,0x y x y +≤≥≥; 3. 计算二次积分 1 10x y dx dy ?; 4. 计算三重积分 3z dv Ω???,其中Ω :2221,x y z z ++≤≥ 5. 计算三重积分 Ω ???,其中Ω 是由柱面y =及平面0, (0),0z z a a y ==>=所围成的区域. 三、应用题 求旋转抛物面22z x y =+ 与上半球面z = 所围成的立体体积及表面积.

一、填空题 1.32 3R π; 2. 2 ; 3.1000(,)(,)x f x y dy f x y dy +? 及0(,)y f x y dx ; 4. 122001 0(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy -+???; 5. 2cos 200(cos ,sin )d f d πθ θρθρθρρ??; 6. 2211000(,,)x x y dx dy f x y z dz -+???; 7. 22100(cos ,sin ,)d d f z dz π ρθρρρθρθ?? 二、计算题 1. 110ln 32- ; 2. 21)3 ; 3. 12 ; 4. 116 π ; 5. 289a 三、应用题 V = ; 121)1)6A A A π=+=+

高数 常用积分公式

常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1.d x ax b +?=1 ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ +?=1 1()(1)ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3.d x x ax b +?=21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +?=22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5.d ()x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6.2d ()x x ax b +?=2 1ln a ax b C bx b x +-++ 7.2d ()x x ax b +?=21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8.22d ()x x ax b +?=231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9.2d ()x x ax b +?=2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 .x ? C 11 .x ? =2 2 (3215ax b C a -+

12 .x x ? =2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13 . x =2 2(23ax b C a - 14 . 2x =22232(34815a x abx b C a -++ 15 . =(0) (0) C b C b ?+>< 16 .? 2a bx b -- 17 . x =b 18 . x = 2a + (三)含有22 x a ±的积分 19.22d x x a +?=1arctan x C a a + 20.22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21.22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ (四)含有 2 (0)ax b a +>的积分 22.2 d x ax b +? =(0) (0) x C b C b ?+>+<

高等数学习题详解-第8章二重积分

习题8-1 1. 设有一平面薄片,在xOy 平面上形成闭区域D ,它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y ),且μ(x ,y )在D 连续,试用二重积分表示该薄片的质量. 解:(,)D m x y d μσ=??. 2. 试比较下列二重积分的大小: (1) 2()D x y d σ+??与3()D x y d σ+??,其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1 围成; (2) ln()D x y d σ+??与2 ln()D x y d σ+??????,其中D 是以A (1,0),B (1,1), C (2,0)为顶点的三角形闭区域. 解:(1)在D 内,()()2301x y x y x y ≤+≤+≥+,故,23()()D D x y d x y d σσ+≥+????. (2) 在D 内,212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+,故0从而, 2 ln()[ln()]D D x y d x y d σσ+≥+???? 习题8-2 1. 画出积分区域,并计算下列二重积分: (1) ()D x y d σ+??,其中D 为矩形闭区域:1,1x y ≤≤; (2) (32)D x y d σ+??,其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭

区域; (3) 22()D x y x d σ+-??,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区 域; (4) 2 D x y d σ??,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0; (5) ln D x y d σ??,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ; (6) 22D x d σy ??其中D 是由曲线11,,2 xy x y x ===所围成的闭区域. 解:(1) 111 111()()20.D x y d dx x y dy xdx σ---+=+==????? (2) 222 200 (32)(32)[3(2)(2)]x D x y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-????? 2232022 20[224]4.33 0x x dx x x x =-++=-++=? (3) 32 2 2 2 2 2 2 002193()()()248y y D y x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-????? 43219113 .9686 0y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数,且D 关于x 轴对称, 所以20.D x yd σ=?? (5) 44 201041ln ln (ln ln )2(1)2110 e D e e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-==-?????.

高数下册之重积分

第九章 重积分 以前我们学过一元函数的积分字,若f(x)在(a ,b)上可积,到积分? b a dx x f )(其中)(x f 为 被积函数,(a ,b )为积分区间。我们若把 )(x f 推广到多元函数。(a ,b)推广到区域。曲线, 曲面等危围上去,便得到重积分,曲线积分,曲面积分等,本章只讲二重积分。〖补充〗:这章的所有图形请老师自己为学生画出,并讲述画图的经过! 第一节 二重积分的概念和性质 一、二重积分的概念 先讲二个具体的问题:(1)、求曲顶柱体体积。(二)求平方薄片的质量。 (一) 求曲顶柱体体体积: 设z=f(x.,y)是定义在有界区域性D 上的非负连续函数。我们称曲面z=f(x ,y),xoy 平面上的区域D 和准线为D 的边界,母线平行于z 轴的柱体所围成的立体为曲顶柱体。现在的问题是求这个曲顶柱体的体积V 。 首先用一组曲线T 把区域D 划分为n 个小区域i σ?(i=1,2,…,n )这样就把原柱体分为n 个小曲顶柱体V i 。又记i σ?为T i 的面积,λi 为i σ?的直径,对于i σ?来说,由于f(x ,y)在i σ?连续。故当λi 很小时,f(x ,y)在i σ?上各点的函数值近似相等,从而可视i σ?上的曲顶柱体为平顶柱体,为此在i σ?中任放一点以 ),(i i f ηξ为高的小平顶柱体的体积为 i i i f σηξ?),(。并用它来代替这个小曲顶柱体的体积V i 把所有这些小平顶柱体的体积加起 来便得曲顶柱体的体积的近似值: ∑∑==??≈∨=N i N i i i i i f V 1 1 )(σηξ 最后,当分割T 的细度 O Max T i →=λ时有: ∑=→??N i i i i V f 1 )(σ ηξ

高等数学积分公式大全

常 用 高 数 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1.d x ax b +? = 1ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ +?=1 1() (1) ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3.d x x ax b +?= 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2 d x x ax b +? = 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5.d () x x ax b +? =1ln ax b C b x +-+ 6.2 d () x x ax b +? =2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7.2 d () x x ax b +? =2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8.2 2 d () x x ax b +? = 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9.2 d () x x ax b +? = 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10.x ? C 11.x ?=2 2 (3215ax b C a -+ 12.x x ?= 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13.x ? = 2 2(23ax b C a -+

14 .2 x ? = 222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 .? (0) (0) C b C b ?+>?的积分 22.2d x ax b +? =(0) (0) C b C b ? +>? ? ? +< 23.2 d x x ax b +? = 2 1ln 2ax b C a ++

高等数学积分公式大全

创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1. d x ax b +?=1 ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ +? = 11 ()(1) ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3. d x x ax b +?=21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +? =22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5. d ()x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6. 2 d () x x ax b +? =21ln a ax b C bx b x +-++ 7. 2 d ()x x ax b +?=21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8.22 d ()x x ax b +?=2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++

9. 2 d () x x ax b +? =211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 . x ? C + 11 .x ? =2 2 (3215ax b C a - 12 .x x ? =2223 2(15128105a x abx b C a -++ 13 . x ? =22 (23ax b C a - 14 . 2x ? =222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 .? (0) (0) C b C b ?+>< 16 . ? =2a bx b -- 17 . x ? =b ?18. 2d x x ? =2a + (三)含有2 2 x a ±的积分 19. 22d x x a +?=1arctan x C a a +

高数教案第十章重积分

高等数学教案

第十章重积分 §10-1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 (一)引例 1. 曲顶柱体的体积 设有一空间立体 ,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准

线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面(.) z f x y =。 当(,) x y D ∈时,(,) f x y在D上连续且(,)0 f x y≥,以后称这种立体为曲顶柱体。 曲顶柱体的体积V可以这样来计算: (1) 用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域1σ ?, 2 σ ?,, n σ ?,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n个小曲 顶柱体 1 ?Ω, 2 ?Ω,, n ?Ω。 (假设 i σ ?所对应的小曲顶柱体为 i ?Ω,这里 i σ ?既代表第i个小区域,又表示它的面积值, i ?Ω既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。) 图10-1-1 从而 1 n i i V = =?Ω ∑ (将Ω化整为零) (2) 由于(,) f x y连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是 ?Ω?? i i i i i i i f ≈?∈ ()() () ξησξησ (以不变之高代替变高, 求 i ?Ω的近似值) (3) 整个曲顶柱体的体积近似值为 V f i i i i n ≈ = ∑() ξησ ? 1 (4) 为得到V的精确值,只需让这n个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我

们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。 设n个小区域直径中的最大者为λ, 则 V f n i i i i = →= ∑ lim() , λ ξησ 01 ? 2.平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xoy面上的区域D, 它在() ,x y处的面密度为() ,x y ρ,这里(),0 x y ρ≥,而且(),x y ρ在D上连续,现计算该平面薄片的质量M。 图10-1-2 将D分成n个小区域1σ ?, 2 σ ?,, n σ ?,用 i λ记 i σ ?的直径, i σ ?既代表第i个小区域又代表它的面积。 当{} 1 max i i n λλ ≤≤ =很小时, 由于(),x y ρ连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀的, 那么第i小块区域的近似质量可取为 ρξησξησ (,)(,) i i i i i i ?? ?∈ 于是∑ = ? ≈ n i i i i M 1 ) , (σ η ξ ρ M i i i i n = →= ∑ lim(,) λ ρξησ 01 ? 两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。 (二)二重积分的定义

高等数学曲面积分与曲线积分重点难点

第十二章曲线积分与曲面积分 一.基本要求 1.正确理解两类曲线积分与两类曲面积分的概念和性质及几何意义和物理意义。 2.熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算方法,了解两类曲线积分和两 类曲面积分之间相互关系。 3.掌握格林公式及应用,熟悉和会应用平面曲线积分与路经无关的条件。掌握 二元函数全微分方程的求解方法。 4.掌握高斯公式及应用,了解斯托克斯公式,知道通量与散度,环流量与旋度。 5.会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量(弧长、曲面面积、质量、 重心、转动惯量、功及流量等)。 二.主要内容(见第二页至第十三页) 1.主要内容联系(框图) 2.曲线积分和曲面积分(表格) 3.曲线和曲面积分的解题步骤(框图) 4.格林公式、高斯公式及斯托克斯公式(表格) 5.在平面区域G上曲线积分与路径无关的(四个等价)条件(框图) 6.全微分方程(框图) 7.注解(注一至注十)(表格) 三.考点与难点 考点: 1.两类曲线积分化为定积分的计算方法及两类曲面积分化为二重积分的计算

方法。 2.格林公式和高斯公式成立的条件和结论,正确灵活地应用格林公式和高斯 公式。 3.应用平面曲线积分与路径无关的四个条件。 4.曲线积分和曲面积分的几何意义和物理意义,将几何问题和物理问题化为曲线积分问题和曲面积分问题求解。 难点: 应用各类型的积分之间关系,选择合适的(可计算的,更方便的)积分计算。 四.例题及题解(见第十四页至第二十一页) 例1至例15 五.部分习题题解(见第二十二页至第三十页) 习题(一)至习题(十五) 六.试卷(见第三十一页至第三十八页) 试卷)(A 、试卷)(B 、试卷)(C 七.试卷答案及题解(见第三十九页至第四十六页) 试卷)(A 、试卷)(B 、试卷)(C 答案及题解 二.主要內容 1。主要内容联系(框图)

高等数学重积分总结

高等数学重积分总结文件编码(GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968)

第九章二重积分【本章逻辑框架】 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质,了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系,会用性质比较二重积分的大小,估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限,如何改换二次积分的积分次序,并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法,会求由曲面围成的空间区域的体积。 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1.二重积分定义

为了更好地理解二重积分的定义,必须首先引入二重积分的两个“原型”,一个是几何的“原型”-曲顶柱体的体积如何计算,另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发,对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中,必须要特别注意其中的两个“任意”,一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ???的分法要任意,二是在每个小区域 i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”,如果所对 应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限,才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2.明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0,则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底,以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地,当(,)f x y =1时,(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0,则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方,二重积分(,)d D f x y σ??的值是负的,其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的,在D 的另一些子区域上为负的,则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在 Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3.二重积分的性质,即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小,估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围,在用估值不等式对一个二重积分估值的时候,一般情形须按求函数(,)f x y 在闭区域

高数 重积分 (1)

高数资料 第十章重积分 重积分 积分类型计算方法典型例题 二重积分 ()σd , ??= D y x f I 平面薄片的质 量 质量=面密度 ?面积 (1)利用直角坐标系 X—型???? = D b a x x dy y x f dx dxdy y x f)( ) ( 2 1 ) , ( ) , (φ φ Y—型?? ??=d c y y D dx y x f dy dxdy y x f)( ) ( 2 1 ) , ( ) , (? ? P141—例1、例3 (2)利用极坐标系 使用原则 (1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段); (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含22 () x yα +, α为实数) 2 1 () () (cos,sin) (cos,sin) D f d d d f d β?θ α?θ ρθρθρρθ θρθρθρρ = ?? ?? 02 θπ ≤≤0θπ ≤≤2 πθπ ≤≤ P147—例5 (3)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 当D关于y轴对称时,(关于x轴对称时,有类似结论) P141—例2 应用该性质更方便

110(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)D f x y x f x y f x y I f x y dxdy f x y x f x y f x y D D ???-=-?? =???-=??? ??对于是奇函数,即对于是偶函数,即是的右半部分 计算步骤及注意事项 1. 画出积分区域 2. 选择坐标系 标准:域边界应尽量多为坐标轴,被积函数 关于坐标变量易分离 3. 确定积分次序 原则:积分区域分块少,累次积分好算为妙 4. 确定积分限 方法:图示法 先积一条线,后扫积分域 5. 计算要简便 注意:充分利用对称性,奇偶性 三重积分 ???Ω = dv z y x f I ),,( 空间立体物的质量 (1) 利用直角坐标? ??截面法投影法 投影 ????? ?=Ω b a y x z y x z x y x y z z y x f y x V z y x f ) ,() ,()() (2121d ),,(d d d ),,( P159—例1 P160—例2 (2) 利用柱面坐标 cos sin x r y r z z θ θ=?? =??=? 相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标 适用范围: ○ 1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单;如 旋转体 ○ 2被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如2 2 2 2 ()()f x y f x z ++ 21() () (,,)d d d (cos ,sin ,)d b r a r f x y z V z f z β θα θθρθρθρρΩ =??? ??? P161—例3 (3)利用球面坐标 cos sin cos sin sin sin cos x r y r z r ρθ?θρθ?θ?==?? ==??=? dv r drd d =2sin ??θ 适用范围: ○ 1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如,球体,锥体. P165—10-(1)

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高等数学教案 §9 重积分 第九章 重积分 教学目的: 1. 理解二重积分、 三重积分的概念, 了解重积分的性质, 知道二重积分的中值定理。 2. 掌握二重积分的(直角坐标、极坐标)计算方法。 3. 掌握计算三重积分的(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)计算方法。 8、会用重积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等)。 教学重点: 1、 二重积分的计算(直角坐标、极坐标) ; 2、 三重积分的(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)计算。 3、二、三重积分的几何应用及物理应用。 教学难点: 1、 利用极坐标计算二重积分; 2、 利用球坐标计算三重积分; 3、 物理应用中的引力问题。 §9 1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1 曲顶柱体的体积 设有一立体 它的底是 xOy 面上的闭区域 D 它的侧面是以 D 的边界曲线为准线而母 线平行于 z 轴的柱面 它的顶是曲面 z f(x y) 这里 f(x y) 0 且在 D 上连续 这种立体叫做 曲顶柱体 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积 首先 用一组曲线网把 D 分成 n 个小区域 1 2 n 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线 作母线平行于 z 轴的柱面 这些柱面把原来的曲 顶柱体分为 n 个细曲顶柱体 在每个 i 中任取一点 ( i i ) 以 f ( ii ) 为 高而底为 i 的平顶柱体的体积为 f ( i i ) i (i 1 2n ) 这个平顶柱体体积之和 n V f ( i , i ) i i 1

可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限即 n V lim f ( i , i )i i 1 其中是个小区域的直径中的最大值 2平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D它在点(x y)处的面密度为(x y)这里(x y) 0 且在 D 上连续现在要计算该薄片的质量M 用一组曲线网把 D 分成 n 个小区域 12n 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量 (i i)i 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值 n M( i , i )i i 1 将分割加细取极限得到平面薄片的质量 n M lim( i , i )i i 1 其中是个小区域的直径中的最大值 定义设f(x y)是有界闭区域 D 上的有界函数将闭区域 D 任意分成n 个小闭区域 12n 其中i 表示第i 个小区域也表示它的面积在每个i 上任取一点(i i )作和n f ( i , i )i i 1 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数 f(x y)在闭区域 D 上的二重积分记作 f (x, y)d即 D

高数二重积分习题解答

第9章 重积分及其应用 1.用二重积分表示下列立体的体积: (1) 上半球体:2222{(,,)|;0}x y z x y z R z ++≤≥; (2) 由抛物面222z x y =--,柱面x 2+y 2=1及xOy 平面所围成的空间立体 解答:(1) 222d ,{(,)|}D V x y D x y x y R ==+≤; (2) 2222(2)d d ,{(,)|1}D V x y x y D x y x y =--=+≤?? 所属章节:第九章第一节 难度:一级 2.根据二重积分的几何意义,确定下列积分的值: (1) D σ,其中D 为222x y a +≤; (2) (D b σ??,其中D 为222,0x y a b a +≤>> 解答:(1) 32 π3D a σ=; (2) 232 (ππ3D b a b a σ=-?? 所属章节:第九章第一节 难度:一级 3.一带电薄板位于xOy 平面上,占有闭区域D ,薄板上电荷分布的面密度为(,)x y μμ=,且 (,)x y μ在D 上连续,试用二重积分表示该板上的全部电荷Q . 解答:(,)d D Q x y μσ=?? 所属章节:第九章第一节 难度:一级 4.将一平面薄板铅直浸没于水中,取x 轴铅直向下,y 轴位于水平面上,并设薄板占有xOy

平面上的闭区域D ,试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力 解答:d D p g x ρσ=?? 所属章节:第九章第一节 难度:一级 5.利用二重积分性质,比较下列各组二重积分的大小 (1) 21()d D I x y σ=+??与32()d D I x y σ=+??,其中D 是由x 轴,y 轴及直线x +y =1所围成的区域; (2) 1ln(1)d D I x y σ=++??与222ln(1)d D I x y σ=++??,其中D 是矩形区域:0≤x ≤1,0≤y ≤1; (3) 21sin ()d D I x y σ=+??与22()d D I x y σ=+??,其中D 是任一平面有界闭区域; (4) 1e d xy D I σ=??与22e d xy D I σ=??,其中D 是矩形区域:–1≤x ≤0,0≤y ≤1; 解答:(1) 在区域D 内部,1x y +<,所以I 1>I 2; (2) 在区域D 内部,22,x x y y <<,故22ln(1)ln(1)x y x y ++<++,所以 I 1>I 2;? (3) 由于22sin ()()x y x y +<+,所以I 1,所以I 1>I 2 所属章节:第九章第一节 难度:一级 6.利用二重积分性质,估计下列二重积分的值 (1) d ,{(,)|04,08}ln(4) D I D x y x y x y σ ==≤≤≤≤++?? ; (2) 2222π3πsin()d ,(,)44D I x y D x y x y σ? ?=+=≤+≤??????; (3) 22 1 d ,{(,)|||||1}100cos cos D I D x y x y x y σ==+≤++?? ; (4) 2 2 221e d ,(,)4x y D I D x y x y σ+? ?==+≤??? ???

高数(同济第六版)下册重积分习题精选

第十章 重积分一、计算二次积分dy xy dx x x 21 02∫∫解dx dx x x dy xy dx x x x x x )()(33 1063310210742?∫=?∫=∫∫40 1102415][85=?=x x 二、求由1=xy 及25=+y x 所围成区域的面积。解所求面积dy dx x x ∫∫?251212三、写出二重积分dxdy y x f D ),(∫∫的直角坐标计算公式,积分区域D 如下: 1.D 是以)0,0(O ,)1,2(A ,)1,2(?B 为顶点的三角形。解dy y x f dx dy y x f dx dxdy y x f x x D ),(),(),(1201022 121∫∫+∫∫=??∫∫dx y x f dy y y ),(2210∫∫=?2.D 是曲线2x y =,1=y 所包围的区域。 dx y x f dy dy y x f dx dxdy y x f y y x D ),(),(),(101112∫∫=∫∫=??∫∫3.其中D 是以)0,0(O ,)0,1(A ,)1,1(B 为顶点的三角形。解dx y x f dy dy y x f dx dxdy y x f y x D ),(),(),(110010∫∫=∫∫=∫∫四、写出二重积分dxdy y x f D ),(∫∫的极坐标计算公式,积分区域D 如下:1.{}222),(a y x y x ≤+)0(>a 解dxdy y x f D ),(∫∫=ρ ρθρθρθπd f d a )sin ,cos (020∫∫2.{} x y x y x 2),(22≤+解dxdy y x f D ),(∫∫=ρρθρθρθθπ πd f d )sin ,cos (cos 2022∫∫?3.{} 2222),(b y x a y x ≤+≤解dxdy y x f D ),(∫∫=ρ ρθρθρθπd f d b a )sin ,cos (20∫∫4.{} 10,10),(≤≤?≤≤x x y y x 解dxdy y x f D ),(∫∫=ρ ρθρθρθθθπd f d )sin ,cos (sin cos 1 200∫∫+0.00.20.40.60.8 1.0 0.00.5 1.0x y

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