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空间向量与立体几何高考题汇编

1.（2009北京卷）（本小题共14分）

如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.

（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；

（Ⅱ）当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与

平面PDB 所成的角的大小.

解:如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，设,,AB a PD h ==

则()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D P h ，（Ⅰ）∵()()(),,0,0,0,,,,0AC a a DP h DB a a =-==，

∴0,0AC DP AC DB ?=?=，

∴AC ⊥DP ，AC ⊥DB ，∴AC ⊥平面PDB ， ∴平面AEC PDB ⊥平面.

（Ⅱ）当PD =

且E 为PB 的中点时，()

11,,22P E a a ??

? ??

?，设AC ∩BD=O ，连接OE ，

由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ∵112,,,0,0,2222EA a a a EO a ????=--=-

? ? ? ????

?， ∴2

cos 2

EA EO AEO EA EO

?∠=

?， ∴45AOE ?

∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45?

2.(2009山东卷)（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2,

B 1

解法二:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F 是棱AB 的中点, 所以BF=BC=CF,△BCF 为正三角形, 因为ABCD 为等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF 的中点M, 连接DM,则DM ⊥AB,所以DM ⊥CD,

以DM 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴建立空间直角坐标系, ,则D （0,0,0）,A

）,F

）,C （0,2,0）,

C 1（0,2,2）,E

2-,0）,E 1

）,

所以131(

,1)22

EE =-,(3,1,0)CF =-,1(0,0,2)CC

向量为(,,)n x y z =则10

n CF n CC ??=???=??所以00y z -==??取(1,3,0)n =,则

131

11002

n EE ?=

?-?=,所以1n EE ⊥,所以直线EE 1//平面FCC 1. （2）(0,2,0)FB =,设平面BFC 1的法向量为1111(,,)n x y z =,则1110

0n FB n FC ??=???=??所以

1111020

y y z =??

++=??,取1n =,则121002n n ?=?+=, ||1(2n =+=,21||2n =+=,

所以111cos ,7||||2n n n n n n ???=

==?,由图可知二面角B-FC 1-C 为锐角,所以二面角B-FC 1-C 的余弦值为

. 3.（2009全国卷Ⅱ）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,AB AC D ⊥、E 分别为1AA 、

1B C 的中点，DE ⊥平面1BCC

（I ）证明：AB AC =

（II ）设二面角A BD C --为60°，求1B C 与平面BCD 所成的角的大小。

（I ）分析一：连结BE ，

111ABC A B C -为直三棱柱， 190,B BC ∴∠=?

E A

E 为1B C 的中点，BE EC ∴=。又DE ⊥平面1BCC ，

BD DC ∴=（射影相等的两条斜线段相等）而DA ⊥平面ABC ， AB AC ∴=（相等的斜线段的射影相等）。

分析二：取BC 的中点F ，证四边形AFED 为平行四边形，进而证AF ∥DE ，

AF BC ⊥，得AB AC =也可。

分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。

（II ）分析一：求1B C 与平面BCD 所成的线面角，只需求点1B 到面BDC 的距离即可。

作AG BD ⊥于G ，连GC ，则GC BD ⊥，AGC ∠为二面角A BD C --的平面角，

60AGC ∠=?.不妨

设AC =，则2,4A G G C ==.在RT ABD ?中，由AD AB BD AG ?=?

，易得AD =.

设点1B 到面BDC 的距离为h ，1B C 与平面

BCD 所成的角为α。利用111

B B

C BC

D S D

E S h ???=?，可求得h

=又可

求得1

BC = 11

s i n 30

h B C αα==∴=? 即1B C 与平面BCD 所成的角为30.?

分析三：利用空间向量的方法求出面BDC 的法向量n ，则1B C 与平面BCD 所成的角即为1BC 与法向量n 的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。

总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益 4.（2009全国卷Ⅰ）(本小题满分12分)

如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD

，AD =，

2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，∠ABM=60。

（I ）证明：M 是侧棱SC 的中点；

()II 求二面角S AM B --的大小。

解法二、分别以DA 、DC 、DS 为x 、y 、z 轴如图建立空间直角坐标系D —xyz ，则)2,0,0(),2,0,0(),0,2,2(),0,0,2(S C B A 。

（Ⅰ）设)0,0)(,,0(>>b a b a M ，则

)2,,0(),,2,2(),0,2,0(-=--=-=b a b a ，

)2,2,0(-=SC ，由题得 ??

????

-=-=++-?--)

2(22212)2(2)2(22

2b a b a a 解之个方程组得1,1==b a 即)1,1,0(M 所以M 是侧棱SC 的中点。

法2：设MC SM λ=，则)12

,12,2(),12,12,

0(λ

λλλλ+-+=++MB M 又o 60,),0,2,0(>=<= 故o 60cos ||||?=?，即

2)12()12(214λ

λλ++++=+，解得1=λ，所以M 是侧棱SC 的中点。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得)1,1,2(),1,1,0(--=M ，又)2,0,2(-=，)0,2,0(=，设),,(),,,(22221111z y x n z y x n ==分别是平面SAM 、MAB 的法向量，则

?????=?=?0011AS n MA n 且?????=?=?0

012AB n MA n ，即????

?=+-=--022*******z x z y x 且?????

==--02022222y z y x 分别令221=

=x x 得2,0,1,12211====z y y z ，即

)2,0,2(),1,1,2(21==n n ，

∴3

2202,cos 21=

?++>=

6arccos

-π。 5.（2009天津卷）（本小题满分12分）

如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=

AD (I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (II) 证明平面AMD ⊥平面CDE ；（III ）求二面角A-CD-E 的余弦值。

方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，

点A 为坐标原点。设，1=AB 依题意得()，，，001B ()，

，，011C ()，，，020D ()，，，110E ()，，，100F .21121M ???

?，，

（I ）()，，，解：101BF -= ()，

，，110DE -=

221

00=?++=

于是

所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为0

60.

（II ）证明：，，，由??

? ??=21121

()，，，101-= ()0020=?=，可得，，，

.AMD CE A AD AM .AD CE AM CE .0AD CE 平面，故又，因此，⊥=⊥⊥=?

.CDE AMD CDE CE 平面，所以平面平面而⊥?

（III ）????

?=?=?=.

0D 0)(CDE u CE u z y x u ，，则，，的法向量为解：设平面

.111(1.

00），，，可得令，于是==???=+-=+-u x z y z x

又由题设，平面ACD 的一个法向量为).100(，，

=v .33

3100cos =?++=?=

v u v u v ，所以， 6.（2009年上海卷）（本题满分14分）

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA BC AB ===,

AB BC ⊥,求二面角111B AC C --的大小。

【解】如图，建立空间直角坐标系

则A （2，0，0）、 C （0，2，0） A1（2，0，2），

B1（0，0，2）、C1（0，2，2） ……2分

设AC 的中点为M ，∵BM ⊥AC, BM ⊥CC1;

∴BM ⊥平面A1C1C,即BM =(1,1,0)是平面A1C1C 的一个法向量。……5分设平面111A B C 的一个法向量是(,,)n x y z = =（x ，y ，z ）， 1AC =（-2，2，-2）， 11A B =（-2，0，0） ……7分

120,2220,1,0,1(0,1,1)...................10n AB x n AC x y z z x y n ∴?=-=?=-+-====∴=令解得分

设法向量n BM 与的夹角为?，二面角111B AC C --的大小为θ，显然θ为锐角

1111cos cos ,233

n BM

n BM B AC C πθ?θπ

?==

==∴--解得二面角的大小为

…………………….14分

7（2010湖南）18.（本小题满分12分）

如图所示，在长方体1111ABCD A BC D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点

（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1

18.解 Ⅰ）如图，因为1111A B D C //，所以11B MA ∠异面

直线1A Ｍ和1C 1D 所成的角，因为1A 1

B ⊥平面11B BC

C ，所

以

1190=∠M B A ，而

1A 1

B =1，

2212111=+=MC C B M B ，

故21

1111==

∠B A M

B B MA tan . 即异面直线1A Ｍ和1

C 1

D 所成的角的正切值为2

（Ⅱ）由1A 1

B ⊥平面11B BC

C ，BM ?⊥平面11B BCC ，得1A 1B ⊥ BM ①

由（Ⅰ）知，21=

M B ， 222=+=CM BC BM ，21=B B ，所以

21221B B BM M B =+，

从而BM ⊥B 1M ② 又1111B M B B A = , 再由① ②得BM ⊥平面A 1B 1M ，而BM ?平面ABM ，

因此平面ABM ⊥平面A 1B 1M.

8.（2010辽宁理数）（19）（本小题满分12分）

已知三棱锥P －ABC 中，PA

⊥ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=?AB ，N 为AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点. （Ⅰ）证明：CM ⊥SN ；

（Ⅱ）求SN 与平面CMN 所成角的大小.

证明：设PA=1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴正向建立空间直角坐标系如图。

则P （0,0,1），C （0,1,0），B （2,0,0），M （1,0,12），N （12,0,0），S （1,1

,0）.……4分（Ⅰ）1

11(1,1,),(,,0)222

CM SN =-=--, 因为11

0022

CM SN ?=-

++=，所以CM ⊥SN ……6分（Ⅱ）1

(,1,0)2

NC =-

, 设a=（x ，y ，z ）为平面CMN 的一个法向量，

则10,2

210.2x y z x x y ?-+=??=?

?-+=??令，得a=(2,1,-2). ……9分

因为1cos ,2a SN -=

=所以SN 与片面CMN 所成角为45°。 ……12分

9.（2010江西理数）20. （本小题满分12分）如图△BCD 与△MCD 都是边长为

2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB = （1）求点A 到平面MBC 的距离；

（2）求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值。

解法二：取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB ⊥CD ，OM ⊥CD ，又平面MCD ⊥平面BCD ,则MO ⊥平面BCD .

以O 为原点，直线OC 、BO 、OM 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图. OB =OM

O （0，0，0），C （1，0，0），M （0，0

，B （0，

0），A （0，

，

（1）设(,,)n x y z =是平面MBC 的法向量，则BC=(1,3,0)，

BM =，由n B C ⊥

得0x =；由n B M ⊥

得

；取(3,1,1),n BA =-=，则距离 215

BA n d n

=（2

）(1

CM =-，(1,CA =-.

设平面ACM 的法向量为1(,,)n x y z =，由11n C M

n C A

?⊥??

⊥??

得

x x ?-=

-+=??.解得x =，y z =，取1(3,1,1)n =.又平面BCD 的法向量为(0,0,1)n =，则111cos ,5

n n n n n n

?<>=

? 设所求二面角为θ，则sin θ==. 10（2010四川）（18）（本小题满分12分）

已知正方体ABCD －A 'B 'C 'D '的棱长为1，点M 是棱AA '的中点，

点O 是对角线BD '的中点. （Ⅰ）求证：OM 为异面直线AA '和BD '的公垂线；

（Ⅱ）求二面角M －BC '－B '的大小；

（Ⅲ）求三棱锥M －OBC 的体积.

以点D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D -xyz

则A (1,0,0),B (1,1,0),C (0,1,0),A ’(1,0,1),C ’(0,1,1),D ’(0,0,1) (1)因为点M 是棱AA ’的中点,点O 是BD ’的中点

所以M (1

,0,

12),O (12,12,12) 11

(,,0)22

OM =-,'AA =(0,0,1),'BD =(-1,-1,1)

'OM AA =0, 11

'22

OM BD =-++0=0

?D 'A B

M O A '

B '

C '

所以OM ⊥AA ’,OM ⊥BD ’

又因为OM 与异面直线AA ’和BD ’都相交

故OM 为异面直线AA '和BD '的公垂线.………………………………4分 (2)设平面BMC '的一个法向量为1n =(x ,y ,z )

BM =(0,-1,1

), 'BC ＝(－1,0,1)

10'0n BM n BC ?=??

=?? 即1020

y z x z ?-+=???-+=? 取z ＝2,则x ＝2,y ＝1，从而1n =(2,1,2)取平面BC 'B '的一个法向量为2n ＝(0,1,0)

cos 1212121

||||9n n n n n n <>=

==由图可知，二面角M -BC '-B '的平面角为锐角

故二面角M -BC '-B '的大小为arccos

………………………………………………9分 (3)易知，S △OBC ＝

14S △BCD 'A '＝121244

=设平面OBC 的一个法向量为3n ＝(x 1,y 1,z 1) 'BD ＝(－1,－1,1), BC ＝(－1,0,0)

31'00

n BD n BC ?=??=?? 即111100x y z x --+=??

-=? 取z 1＝1,得y 1＝1，从而3

n ＝(0,1,1)点M 到平面OBC 的距离d ＝31

||24||BM n ==

V M －OBC ＝

11221

334424

OBC S d ?==…………………………………………12分 11（2010全国卷1理数）（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .

（Ⅰ）证明：SE=2EB ；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .

12.（11广东理18）

如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形，

且∠DAB=60?，PA PD ==

E,F 分别是BC,PC 的中点．

（1）证明：AD ⊥平面DEF; （2）求二面角P-AD-B 的余弦值．法二：（1）取AD 中点为G ，因为,.PA PD PG AD =⊥

又,60,AB AD DAB ABD =∠=??为等边三角形，因此，BG AD ⊥，从而AD ⊥平面

PBG 。延长BG 到O 且使得PO ⊥OB ，又PO ?平面PBG ，PO ⊥AD ，,AD OB G ?= 所以PO ⊥平面ABCD 。

以O 为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB ，OP 分别为x 轴，z 轴，平行于AD

的直线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系。

设11

(0,0,),(,0,0),(,,0),(,,0).

22P m G n A n D n -则

||||sin 60GB AB =?=

11(((,0),(,).2222n m B n C n E n F ∴+

由于

3(0,1,0),(

,0,0),()22n m

AD DE FE ===+-

得0,0,,,AD DE AD FE AD DE AD FE DE FE E ?=?=⊥⊥?

AD ∴⊥平面DEF 。

（2）

1(,,),()

2PA n m PB

n m =--=+-

22,1,2m m n ====解之得

取平面ABD 的法向量1(0,0,1),n =-

设平面PAD 的法向量

,,)n a b c =

由

2230,0,0,0,22b b PA

n a c PD n c ?=--=?=+-=得

由

取

2n =

12cos ,n n ∴<>=

13.（11湖南理19）

如图5，在圆锥PO 中，已知PO

⊙O 的直径2AB =,C 是AB 的中点，D 为AC 的中点．

（Ⅰ）证明：平面POD ⊥平面PAC ; （Ⅱ）求二面角B PA C --的余弦值。

解法2：（I ）如图所示，以O 为坐标原点，OB 、OC 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴，z 轴建立

空间直角坐标系，则

(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(0,1,0),O A B C P -，1

(,,0)

22D -

设

1111(,,)n x y z =是平面POD 的一个法向量，

则由110,0n OD n OP ?=?=，得

10,2

20.x y ?-+=?=

所以111110,,1,(1,1,0).z x y y n ====取得

设

2222(,,)n x y z =是平面PAC 的一个法向量，

则由

220,0n PA n PC ?=?=，

得22220,

0.x y ?--=??

+=?

? 所以22222,.1,x y ==取z

得

2(n =。

因为12(1,1,0)(0,n n ?=?= 所以

12.n n ⊥从而平面POD ⊥平面PAC 。

（II ）因为y 轴⊥平面PAB ，所以平面PAB 的一个法向量为

3(0,1,0).n =

由（I ）知，平面PAC

的一个法向量为2(n =

设向量

23n n 和的夹角为θ，则

2323cos ||||n n n n θ?=

==? 由图可知，二面角B —PA —C 的平面角与θ相等，

所以二面角B —PA —C

的余弦值为

14.（11辽宁理18）

如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，

QA=AB=1

2PD ．

（I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；（II ）求二面角Q —BP —C 的余弦值．

解：

如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D —xyz.

（I ）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0）. 则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).DQ DC PQ ===- 所以0,0.PQ DQ PQ DC ?=?=

即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC. 故PQ ⊥平面DCQ.

又PQ ?平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ. …………6分

（II ）依题意有B （1，0，1），(1,0),(12,1).C

B B P ==--

设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0,0,

20.0,n CB x x y z n BP ??==???

?-+-=?=???

即

因此可取(0,1,2).n =--

设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.m BP m PQ ??=??

?=??

可取

(1,1,1).cos ,m m n =<>=所以

故二面角Q —BP —C

的余弦值为5-

………………12分

15.（11全国大纲理19）

如图，四棱锥S ABCD -中， AB CD ⊥,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，

2,1AB BC CD SD ====．

（Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;

（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成角的大小．

解：以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C —xyz 。设D （1，0，0），则A （2，2，0）、B （0，2，0）。又设(,,),0,0,0.S x y z x y z >>>则

（I ）(2,2,),(,2,)AS x y z BS x y z =--=-，(1,,)DS x y z =-，由||||AS BS =得

故x=1。

由2

||11,DS y z =+=得

又由

222

||2(2)4,BS x y z =+-+=得

即

221410,,2y z y y z +-+===故 …………3分

于是

1333(1,,(1,,),(1,,)

222222S AS BS =--=-， 13

(0,,),0,0.

2DS DS AS DS BS =?=?=

故,,,DS AD DS BS AS BS S ⊥⊥=又

所以SD

⊥

平面SAB 。

…………6分

（II ）设平面SBC 的法向量(,,)a m n p =，

则,,0,0.a BS a CB a BS a CB ⊥⊥?=?=又33

(1,,),(0,2,0),

2BS CB =

故30,220.m n p n ?-+

=???=?

…………9分

取p=2得((2,0,0)a AB ==-

又。

cos ,7||||AB a AB a AB a ?=

=?故AB 与平面SBC 所成的角为

16.（11全国新课标理18）

如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，

60DAB ∠=?，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．

（I ）证明：PA BD ⊥；

（II ）若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值．

解：

（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=，由余弦定理得BD = 从而BD2+AD2= AB2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD

（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线

DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则

()

1,0,0

A ，

(

)0B ，

()C

-，()0,0,1P ．

(11),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-u u u v u u v u u u v

设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则

0,0,

{

n AB n PB ?=?

=u u u

u u u r

即

0x z -=-=

因此可取n=设平面PBC 的法向量为m ，则

m 0,

{

PB BC ?=?=u u u r

u u u r

可取m=（0，-1，

cos ,7m n =

故二面角A-PB-C 的余弦值为