解三角形_公式汇总
解三角形公式汇总一、正弦定理
公
式
正弦定理：
推论1：（边化角）
推论2：（角化边）
题型（1）已知sinB求B:一题多解型
判断依据：大角对大边，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
（2）asin B＝2b:
方法：边化角，推论1，a：b=sinA：sinB
（3）3sin A＝5sinB或sinA:sinB:sinC=1:2:3
方法：角化边，推论2,sinA：sinB=a：b
二、余弦定理
公式余弦定理：
（已知两边及夹角，求第三边）
推论1：
（已知三边，求角）
推论2：
（三边的平方关系）
a2＋b2－c2=2abcosC
b2＋c2－a2=2bccosA
a2＋c2－b2=2accosB
题型（1）已知a，b，角C,求c
方法：已知两边及夹角，求第三边，余弦定理c2=a2＋b2-2abcosC （2）已知a：b：c=1:2：，求cosB
方法：已知三边求角，余弦定理推论1，
（3）已知，求cosA
方法：已知三边平方关系，余弦定理推论2，b2＋c2－a2=2bccosA
三、求三角形面积
公式：
题型1：已知a，b，c，A 求△ABC的面积．
方法：带公式
题型2：已知A，a，b＋c，求△ABC的面积．
方法：
四、判断三角形形状
题型：cos cos sin
+=，判断三角形形状
b C
c B a A
方法1：角化边
公式：sinA:sinB:sinC=a:b:c 或
结论：
方法2：边化角
公式：a:b:c = sinA:sinB:sinC
将原式转化为sinBcosC＋sinCcosB=sin2A，用三角恒等变换公式求解。注：
三角形内常见角度转化：
最新解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b
解三角形公式
解三角形公式
海伦－秦九韶公式 假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： 而公式里的p为半周长（周长的一半）： 注1："Metrica"(《度量论》）手抄本中用s 作为半周长，所以 和 两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。cosC = (a^2+b^2-c^2）/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√（1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2] =1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2） （2ab-a^2-b^2+c^2）] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2
b^2=a^2+c^2-2ac cos B c^2=a^2+b^2-2ab cos C 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。 变形公式 cos C=(a^2+b^2-c^2)/2ab cos B=(a^2+c^2-b^2)/2ac cos A=(c^2+b^2-a^2)/2bc 海伦-秦九韶公式 p=(a+b+c)/2（公式里的p为半周长） 假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 高中数学基本不用。 已知三条中线求面积 方法一：已知三条中线Ma,Mb,Mc， 则 S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb) *(Ma+Mb-Mc)]/3 ； 方法二：已知三边a，b，c ；
解三角形题型汇总.docx
《解三角形》知识点归纳及题型汇总 1、①三角形三角关系： A+B+C=180°； C=180°— (A+B)； ② . 角平分线性质 : 角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比. ③ . 锐角三角形性质：若A>B>C则60 A 90 ,0 C 60 . 2、三角形三边关系： a+b>c; a-b 的外接圆的半径，则有 a b c 2R ．sin sin sin C 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边： a2Rsin， b2Rsin， c2Rsin C ； ②化边为角： sin a， sin b， sin C c ； 2R2R2R ③ a : b : c sin:sin:sin C ； ④a b c a b c=2R sin sin sin C sin sin sin C 6、两类正弦定理解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角. 7、三角形面积公式： S C1 bc sin1 ab sin C1 ac sin．=2RsinAsinBsinC=abc 2 2224R = r (a b c) =p( p a)( p b)( p c) ( 海伦公式 ) 2 8、余弦定理：在 C 中， a2b2c22bc cos，b2a2c22ac cos ， c2a2b22ab cosC ．9、余弦定理的推论： cos b2c2 a 2， cos a2c2b2， cosC a2b2c2． 2bc2ac2ab 10、余弦定理主要解决的问题： ①已知两边和夹角，求其余的量. ②已知三边求角 解三角形公式 1、内角和： 180=++C B A ； 1800,1800,1800<<<<< 4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形 建构知识结构 1．三角形基本公式： （1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===外 证明：由三角形面积 111 sin sin sin 222S ab C bc A ac B === 得sin sin sin a b c A B C == 画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c R A B C === 3．余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA , 222 cos 2b c a A bc +-=； 证明：如图ΔABC 中， sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===- 222222 2 2 sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。 要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 有三种情况：bsinA 解三角形的方法 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π< 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能 如图，在ABC ?中，已知a 、b 、A （1）若A 为钝角或直角，则当b a >时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A 为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b < 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1 三角形三角关系： A+B+C=180 ； C=180°— (A+B)； 2、三角形三边关系： a+b>c; a-b 海伦－秦九韶公式 假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： 而公式里的p为半周长（周长的一半）： 注1："Metrica"(《度量论》）手抄本中用s作为半周长，所以 和 两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。 cosC = (a^2+b^2-c^2）/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√（1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2] =1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，R是此三角形外接圆的半径）。 变形公式 （1）a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC （2）sinA：sinB：sinC=a：b：c （3）asinB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB （4）sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R （5）S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC 余弦定理 a^2=b^2+c2-2bcco s A b^2=a^2+c^2-2ac cos B c^2=a^2+b^2-2ab cos C 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。 变形公式 cos C=(a^2+b^2-c^2)/2ab cos B=(a^2+c^2-b^2)/2ac cos A=(c^2+b^2-a^2)/2bc 海伦-秦九韶公式 p=(a+b+c)/2（公式里的p为半周长） 假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 高中数学基本不用。 已知三条中线求面积 方法一：已知三条中线Ma,Mb,Mc， 则S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 ； 方法二：已知三边a，b，c ； 则S= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]；其中：p=(a+b+c)/2 ； 1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异 于原点），它与原点的距离 是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα== ， ()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：2 222 1 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin( ---- 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系： A+B+C=180 °； C=180 °— (A+B) ； 2、三角形三边关系： a+b>c; a-b 实用标准 解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中， C＝90°，AB＝ c， AC＝ b ， BC＝ a。 （1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A＋B＝ 90 °； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A＝ cos B＝a ， cos A＝sin＝ b ， tan A＝ a 。 c b c 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中， A、 B、 C 为其内角， a、b、 c 分别表示 A、 B、C 的对边。 （1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。 （2 ）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 a b c 2R （R为外接圆半径） sin A sin B sin C （ 3 ）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2 ＝ b 2＋2－ 2 bc cos A ； b 2 ＝ 2 ＋ a 2－ 2 ca cos B ； c 2＝ 2 ＋ b 2 －2 ab cos。 c c a C 3．三角形的面积公式： 1 ah a＝11 （1）S＝bh b＝ch c（ h a、 h b、 h c分别表示 a、b、 c 上的高）； 222 11 bc sin A＝1 （2）S＝ab sin C＝ac sin B； 222 求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平 分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1 ）两类正弦定理解三角形的问题： 第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2 ）两类余弦定理解三角形的问题： 第 1、已知三边求三角 . 第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 （ 1）角的变换 因为在△ABC 中， A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。 sin A B cos C ,cos A B sin C ；2222 （ 2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 6．求解三角形应用题的一般步骤： （1 ）分析：分析题意，弄清已知和所求； （2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图； （3）求解：正确运用正、余弦定理求解； （4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。 二、典例解析 题型 1 ：正、余弦定理 解三角形 一、【正弦定理】 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::； ()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =；（角化边） ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；（边化角） 二、【余弦定理】 1．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 2.余弦定理推论： 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=??+-?=???+-=?? . ①若222b a c +=，则90C =o ； ②若222b a c +<，则90C 解三角形公式汇总一、正弦定理 公 式 正弦定理： 推论1：（边化角） 推论2：（角化边） 题 型 （1）已知sinB求B:一题多解型 判断依据：大角对大边，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 （2）asin B＝2b: 方法：边化角，推论1，a：b=sinA：sinB （3）3sin A＝5sinB或sinA:sinB:sinC=1:2:3 方法：角化边，推论2,sinA：sinB=a：b 二、余弦定理 公 式 余弦定理： （已知两边及夹角，求第三边） 推论1： （已知三边，求角） 推论2： （三边的平方关系） a2＋b2－c2=2abcosC b2＋c2－a2=2bccosA a2＋c2－b2=2accosB 题 型 （1）已知a，b，角C,求c 方法：已知两边及夹角，求第三边，余弦定理c2=a2＋b2-2abcosC （2）已知a：b：c=1:2：，求cosB 方法：已知三边求角，余弦定理推论1， （3）已知，求cosA 方法：已知三边平方关系，余弦定理推论2，b2＋c2－a2=2bccosA 三、求三角形面积 公式： 题型1：已知a，b，c，A 求△ABC的面积． 方法：带公式 题型2：已知A，a，b＋c，求△ABC的面积． 方法： 四、判断三角形形状 题型：cos cos sin +=，判断三角形形状 b C c B a A 方法1：角化边 公式：sinA:sinB:sinC=a:b:c 或 结论： 方法2：边化角 公式：a:b:c = sinA:sinB:sinC 将原式转化为sinBcosC＋sinCcosB=sin2A，用三角恒等变换公式求解。注： 三角形内常见角度转化： 五、解三角形应用举例 仰角： 俯角： 坡度： 一、解三角形 1、 正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ?的外接圆半径） 变形：②2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（边化角公式） ③sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = ==(角化边公式) ④::sin :sin :sin a b c A B C = ⑤ 2sin sin sin sin sin sin a b b c c a R A B B C C A +++===+++ ⑥ 2sin sin sin a b c R A B C ++=++ 2、 余弦定理： 定义式：2222222222cos 2cos 2cos c a b ab C a b c bc A b c a ac B =+-=+-=+- 变形：222222222 cos ,cos ,cos 222a b c c a b b c a C B A ab ac bc +-+-+-=== 3.三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B 设a 、b 、c 是 C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若2 2 2 a b c +=，则90C = ； ②若2 2 2 a b c +>，则90C < ，cosC>0；③若2 2 2 a b c +<，则90C > ,cosC<0。 二、数列 1.递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +-> 2.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-< 3.数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 4.数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式 5.等差数列： 等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+- 海伦-秦九韶公式 假设在平面内,有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形得面积Ｓ可由以下公式求得: 而公式里得p为半周长(周长得一半）: 注1:"Meｔrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长,所以 与 两种写法都就是可以得,但多用p作为半周长。 cosＣ= （a^2+b＾2-c＾２)／2ａb S=1/2*ａb*sinC ＝1/2*ab*√（1-cｏs^２Ｃ) =1/2*ab*√[1－(ａ^2+ｂ＾２-c^2)＾２/4a^2*b^2] =1/4*√［4ａ^２*b＾2-(ａ^２+ｂ＾２－c＾2)^２] =1/4*√[（２aｂ+a^２+b＾２-ｃ^２)(2aｂ-a^2-b^2+c^2)] =１/4*√[(a+ｂ)^2-c^２][c^２-（a-b)＾2] ＝1／4*√［(a＋b+ｃ)（a＋b-c)(ａ-b＋c)（-a＋b+c)] 设p=(ａ＋ｂ+ｃ）/2 则ｐ＝（a+b+c)/2,p-a=(-a+b+ｃ）/2,p-b＝(a-ｂ+c)/２，p-c=(a+b－c)/2， 上式=√[(a+b+c)（a+b－ｃ)(a-b+c)(-a＋ｂ+ｃ)/16] =√[p（p-a)(p-b)（ｐ-ｃ)] 所以,三角形AＢC面积Ｓ=√[p(p-a)（p－ｂ)(p-c)] 正弦定理 ａ／sinＡ＝b／ｓinＢ＝c／siｎC=２R（2Ｒ在同一个三角形中就是恒量,R就是此三角形外接圆得半径)。 变形公式 (１)a＝2RｓinＡ,b=2RsｉｎB,c=２RsinC (2)sinA:sinB:ｓinC=a:ｂ:c (3)ａsinＢ＝bsinA,aｓｉnＣ=cｓiｎA,ｂsinC=ｃｓiｎB (4)siｎＡ=ａ/2Ｒ,siｎＢ=ｂ/２R,sｉnC=c/2R (５)S=1/2ｂcsiｎＡ＝1／２aｃsinB＝１／２abｓinC 解三角形常用知识点归纳与题型总结 1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； ②.角平分线性质定理:角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比. ③.锐角三角形性质：若A>B>C 则6090,060A C ?≤c; a-b 1、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与 原点的距离是0r = >，那么sin ,cos y x r r αα= =，()tan ,0y x x α=≠，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.特殊角的三角函数值： 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：22 sin cos 1αα+=（2）商数关系：sin tan cos α αα = 同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。 4.三角函数诱导公式 公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，απαtan )2tan( =+k 其中k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α. 公式五：sin ????π2－α＝cos_α，cos ????π2－α＝sin α. 公式六：sin ????π2＋α＝cos_α，cos ????π 2＋α＝－sin_α. （ 2 k πα+）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k π+α,02απ≤<；(2)转化为锐角三角函数。 5.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： 解三角形题型总结（原创） 解三角形题型总结 ABC 中的常见结论和定理： 一、内角和定理及诱导公式: 1 .因为A B C ? 所 以 sin(A B) =sin C, (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是 B=60°; ⑶△ ABC 是正三角形的充要条件是 A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列. 二、正弦定理： cos(A B) = _cosC, tan (A B) = _ ta nC ； sin( A C) 二 sin B, sin( B C)二 sin A, 因为ABC 二 cos(A C)二-cosB, cos(B C)二-cos 代 tan (A C)二- ta n B ； tan(B C)二-2 2 所以 sin =cos C ， 2 ?大边对大角 A B . C cos sin ， 2 ? 3.在△ ABC 记并会证 tanA+tanB+tanC=tanA tanB tanC; 公式变形：① a=2Rsin A b=2Rsin B c = 2RsinC （边转化成 角） 边） a:b: c =sin A: sinB: sinC 文字：在- ABC 中，任意一边的平方，等于另外两 边的平方和，减去这两边与它们夹角的余 弦值的乘积的两倍。 符号 : a 2 二 b 2 e 2 —2bccos A 2 2 2 c a b - 2ab cosC a sin A =— 2R b sin B =— 2R c sin C =— 2R （角转化成 ④ __ a be sin A +sinB +sin a _ b _ e sin A sinB sinC =2R 余弦定理: 2 2 2 b a c - 2ac cos B cosC 二 .2 2 2 cosA = b +c t 2bc a 2 b 2 -c 2ab cosB 二 c 2 「b 2ac 解三角形 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设?ABC 的三个内角A、B、C 的对边分别为a、b、c ，则有以下关系成立：（1）边的关系：a +b >c ，a +c >b ，b +c >a （或满足：两条较短的边长之和大于较长边）（2）角的关系：A +B +C =，0 ? 1 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能如 图，在 ?ABC 中，已知 a 、b 、 A （1） 若 A 为钝角或直角，则当 a > b 时， ?ABC 有唯一解；否则无解。 （2） 若 A 为锐角，则当 a < b sin A 时，三角形无解； 当 a = b sin A 时，三角形有唯一解； 当b sin A < a < b 时，三角形有两解； 当 a ≥ b 时，三角形有唯一解 实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。 板块二：余弦定理及面积公式 1. 余弦定理：在 ?ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，则有 ? ? cos A = b 2 + c 2 - a 2 ?a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ? 2bc ? 余弦定理： ?b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B ? ， 其变式为： ?cos B = a 2 + c 2 - b 2 2ac ?c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C ? ? a 2 + b 2 - c 2 2. 余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题： ?cos C = ? 2ab （1） 已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或 由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； （2） 已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦 定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； 说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决 3. 三角形的面积公式 1 1 1 （1） S ?ABC = 2 ah a = 2 bh b = 2 ch c （ h a 、 h b 、 h c 分别表示 a 、b 、c 上的高）； 1 1 1 （2） S ?ABC = ab sin C = bc sin A = ac sin B 2 2 2 （3） S ?ABC = 2R sin A sin B sin C 2 abc （ R 为外接圆半径） （4） S ?ABC = 4R ； （5） S ?ABC = 1 其中 p = (a + b + c ) 2 （6） S ?ABC = r ? l （ r 是内切圆的半径， l 是三角形的周长） 2 p ( p - a )( p - b )( p - c )解三角形公式整理
余弦定理公式大全
高中数学解三角形方法大全
(完整版)解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
解三角形公式
(完整版)三角函数及解三角形知识点总结
解三角形知识点归纳(附三角函数公式).doc
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1.docx
解三角形公式
解三角形公式汇总
必修5解三角形+数列公式总结
解三角形公式
解三角形常用知识点归纳与题型总结-解三角形题型归纳总结
向量解三角形三角函数公式
解三角形题型总结(原创)
(完整版)高中数学解三角形方法大全(可编辑修改word版)