2015年普通高等学校招生全国统一考试全国卷二理科数学真题

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（全国卷Ⅱ）

(青海、西藏、甘肃、贵州、内蒙古、新疆、宁夏、吉林、黑龙

江、云南、辽宁、广西、海南等)

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.

4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={-2,-1,0,1,2}，B={X|（X-1）（X+2）<0}，则A B=（）

A．{-1,0}B．{0,1}C．{-1,0,1}D．{0,1,2} 2.若a为实数，且（2+ai）（a-2i）= - 4i，则a=（）

A．-1B．0C．1D．2

3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图，

以下结论中不正确的是（）

A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C．2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势

D．2006年以来我国二氧化硫排放量与年份正相关

4.已知等比数列{} 满足=3，+=21，则++=（）

A．21B．42C．63D．84

5.设函数f（x）=则f（-2）+f（）=（）

A．3B．6C．9D．12

6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）

A．B．C．D．

7.过三点A（1,3），B（4,2），C（1，-7）的圆交y轴于M，N两点，则IMNI=（）

A．2B．8C．4D．10

8.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a , b分别为14 ，18，则输出的a=（）

A ．0

B ．2

C ．4

D ．14

9.已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90o

，C 为该球上的动点，若三棱锥O-ABC

的体积最大值为36，则球O 的表面积为（ ） A ．36π

B ．64π

C ．144π

D ．256π

10.如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=，将动点P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数，则()y f x =的图像大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

11.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）

A

B ．2

C

D 12.设函数f’(x)是奇函数f(x)(x R)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，x f’(x)- f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是（ ） A ．（，-1）∪（0,1） B ．（，0）∪（1,+）

C ．（

，-1）∪（-1,0）

D ．（，1）∪（1,+）

二、填空题

13.设向量a,b 不平行，向量λ a+b 与a+2b 平行，则实数 λ =

14.若x ，y 满足约束条件，则z=x+y 的最大值为

15.4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=

16.设S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，且1111,n n n a a s s ++=-=，则S n =

三、解答题

17.△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍 （I ）求

C

sin B

sin ∠∠ （II ）若AD=1，DC=2

2

，求BD 和AC 的长

18.某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机抽查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76

78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82

93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

记事件C：“A地区用户的满意等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果互相独立。根据所给的数据，以事件发生的频率作为响应事件的概率，求C 的概率

19.如图，长方形1111ABCD A BC D - 中，AB=16，BC=10，18AA = ,点E,F 分别在1111,A B D C 上，114A E D F == .过点E,F 的平面α 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

（Ⅰ）在途中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与α平面所成角的正弦值。

20.已知椭圆C:9x 2+y 2=M 2(m>0), 直线l 不过圆点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A,B ，线段AB 的中点为M 。

（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若l 过点（

3

m

,m ）,延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由。

21.设函数f(x)=e mx +x 2-mx.

（1）证明：f(c)在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；

（2）若对于任意x 1，x 2∈[-1,1]，都有︱f(x 1)-(x 2)︳≤e-1,求m 的取值范围。

22.选修4—1：几何证明选讲

如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，?O 与△ABC 的底边BC 交于M,N 两点，与底边的高AD 交于点G ，切与AB ，AC 分别相切与E ，F 两点。 （Ⅰ）证明：EF ∥BC ；

（Ⅱ）若AG 等于O 的半径，且AE MN ==EBCF 的面积。

23.选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos ,

sin ,x t y t αα=??=?（t 为参数，t ≠0），其中0α≤<π

在以

为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线

：

=2sin ，

：

=θ. （Ⅰ）求与交点的直角坐标； （Ⅱ）若与

相交于点

，

与

相交于点

,求|

|的最大值

24.选修4-5：不等式选讲

设,,,b c d α均为正数，且+=+b c d α，证明：

（Ⅰ）若>b cd α,则

|-|<|-|b c d α的充要条件。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅱ)

《理科数学》试卷参考答案

一、选择题 1.A 解析过程：

()()120x x -+<解得21x -<<，

{}21B x x ∴=-<<，{}1,0A B ∴?=-.

2.B 解析过程：

()()()()2222244ai a i a a a i i +-=++-=-，

244a ∴-=-解得0a =.

3.D 解析过程：

由柱形图得，从2006年以来， 我国二氧化硫排放量呈下降趋势， 故年排放量与年份负相关 4.B 解析过程：

()24241351113121a a a a a q a q q q ++=++=++=

2417q q ∴++=，整理得()()22320q q +-= 解得22q =357a a a ∴++246111a q a q a q =++

()22411a q q q =++32742=??=

5.C 解析过程：

()()221log 223f -=++=, ()222log 121log 3log 412log 1222f -+-==222log 3log 2

log 6226+===,

()()22log 129f f ∴-+=. 6.D 解析过程：

如图所示截面为ABC ，设边长为a ，则截取部分体积为3

1

13

6

ADC

S

DB a =

， 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为331161

516

a

a =-

7.C 解析过程：

由题可得193010442014970D E F D E F D E F ++++=??++++=??++-+=?，解得2420D E F =-??

=??=-?

，

所以圆方程为2224200x y x y +-+-=，令0x =

，解得2y =-±

所以(

)

22MN =-+--=8.B 解析过程： 输入14,18a b ==

第一步a b ≠成立，执行a b >，不成立执行18144b b a =-=-= 第二步a b ≠成立，执行a b >，成立执行14410a a b =-=-=， 第三步a b ≠成立，执行a b >，成立执行1046a a b =-=-= 第四步a b ≠成立，执行a b >，成立执行642a a b =-=-= 第四步a b ≠成立，执行a b >，不成立执行422b b a =-=-= 第五步a b ≠不成立，输出2a =.选B 9.C 解析过程：

设球的半径为r ，三棱锥O ABC -的体积为221111

3326

ABO V S h r h r h ==?=，

点C 到平面ABO 的最大距离为r ，31

366

r ∴=，解得6r =，

球表面积为24144r ππ=. 10.B 解析过程： 由已知得，

当点P 在BC 边上运动时，即04

x π

≤≤

时，

tan PA PB x +； 当点P 在CD 边上运动时，即

3,4

42

x x π

ππ

≤≤

≠时，

PA PB +=，

当2

x π

=

时，PA PB +=

当点P 在边DA 上运动时，即

34

x π

π≤≤时，

tan PA PB x +，

从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2

x π

=

对称，

且42f f ππ????

> ? ?????

，且轨迹非线性，故选B

11.D 解析过程：

设双曲线方程为()22

2210,0x y a b a b

-=>>，

如图所示，AB BM =，120ABM ∠=，

过点M 作MD x ⊥轴，垂足为D .在RtBMD 中，,BD a MD ==，

故点M 的坐标为()

2M a ，

代入双曲线方程得22

22431a a a b

-=，化简得22a b =，

所以e ===故选D

12.A

解析过程：记函数()()f x g x x

=

，则()()()

2

xf x f x g x x '-'=， 因为当0x >时，()()0f x f x '-<，

故当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在()0,+∞单调递减； 又因为函数()f x 是奇函数，故函数()g x 是偶函数， 所以()g x 在(),0-∞单调递减，

且()()110g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >； 当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，

综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是

()(),10,1-∞-，故选A.

二、填空题 13.

12

解析过程：

设()

2a b x a b λ+=+，可得12x x

λ=??=?，解得1

2x λ==.

14.

3

2

解析过程：

如图所示，可行域为ABC ，直线y x z =-+经过点B 时，z 最大.

联立20220x y x y -=??+-=?解得1

12

x y =??

?=??，所以max

13122z =+=

.

15.3 解析过程：

()()

4

0122334

4444441a x x C a C ax C ax C ax C ax ++=++++

01223344544444C x C x C x C x C x +++++，

所以130244444432C a C a C C C ++++=，解得3a =.

16.1n

-

解析过程：

111n n n n n a S S S S +++=-=，1

11=1n n S S +∴

- 即

111

1n n

S S +-=-，1n S ??∴????

是等差数列， ()1

11

111n n n n S S ∴

=--=--+=-即1n S n =-.

三、解答题

17.（Ⅰ）1

2

（Ⅱ）BD =1AC =

解析过程： （Ⅰ）如图所示， 由题意可得1

sin 2

ABD

S

AB AD BAD =

∠， 1

sin 2

ADC

S

AC AD CAD =

∠，

2,ABD

ADC

S

S

BAD DAC =∠=∠， 2AB AC ∴=，sin 1sin 2

AC B C AB ∠∴

==∠.

（Ⅱ）设BC 边上的高为h

，则1

1222

22

ABD ADC

S

BD

h S =

==??，

解得BD =,2AC x AB x ==，

则2

412

cos 4x BAD x

+-∠=

，2112cos 2x DAC x

+-∠=.

cos cos DAC BAD ∠=∠2211412

242x x x

x

+-+-∴=

，

解得1x =或1x =-（舍去）.1AC ∴=.

18.

（Ⅰ）如图所示.通过茎叶图可知A 地区的平均值比B 地区的高， A 地区的分散程度大于B 地区.

（Ⅱ）记事件不满意为事件1A ，1B ，满意为事件2A ，2B ， 非常满意为事件3A ，3B .则由题意可得

()()12412,2020,

P A P A =

=()()31410,,2020P A P B ==()()2382

,2020P B P B ==

则()()()()()()()21312P C P A P B P A P B P B =++.

1210410812202020202025

??=

?+?+=

??? 19.

（Ⅰ）如图所示

（Ⅱ）建立空间直角坐标系.由题意和（Ⅰ）可得

()()()()10,0,0,0,4,8,10,4,8,10,10,0A F E G 则()()()10,4,8,10,0,0,0,6,8AF EF EG =-=-=-.

设平面EFHG 的一个法向量为(),,n x y z =，

则00n EF n EG ??=???=??即100680

x y z -=??-=?， 解得0x =，令4,3y z ==，则()0,4,3n = 所以直线AF 与α平面所成角的正弦值为

sin cos ,5100AF n AF n AF n

θ?==

=

=. 20.

（Ⅰ）设直线l 的方程为(),0y kx b k =+≠，点()()1122,,,A x y B x y ，

则1212,22x x y y M ++??

???.联立方程222

9y kx b x y m =+??+=?， 消去y 整理得()2222920k x kbx b m +++-= （*） 所以1212222

2218,2999kb kb b x x y y k b k k k ??

+=-

+=-+= ?+++??

， 所以12

22

1218929922

OM AB

y y b k k k k k x x k kb +??+?=?=?-?=- ?++??. （Ⅱ）假设直线l 存在，直线方程为()()

13,33

m k m k y kx b --=+=. 设点(),p p P x y ，则由题意和（Ⅰ） 可得1212

22

218,99p p kb b

x x x y y y k k =+=-

=+=++，因为点P 在椭圆上， 所以2

2

2

22

218999kb b m k k ????-+= ? ?++????

，整理得()222369b m k =+， 即()()2

22

33693m k m k -

??=+ ???

，

化简得2890k k -+=，解得4k = 有（*）知()()2

22224490k b k b m =-+->， 验证可知4k =.

21.

（Ⅰ）因为()2mx f x e x mx =+-， 所以()2mx f x me x m '=+-，

()220mx f x m e ''=+≥在R 上恒成立， 所以()2mx f x me x m '=+-在R 上单调递增. 而()00f '=，所以0x >时，()0f x '>； 所以0x <时，()0f x '<.

所以()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增. （Ⅱ）有（Ⅰ）知()()min 01f x f ==， 当0m =时，()21f x x =+， 此时()f x 在[]1,1-上的最大值是2. 所以此时()()121f x f x e -≤-.

当0m ≠时，()11m f e m --=++，()11m f e m =+- 令()()()112m m g m f f e e m -=--=--， 所以()20m m g m e e -'=+-≥

所以()()()112m m g m f f e e m -=--=--在R 上单调递增. 而()00g =，所以0m >时，()0g m >，即()()11f f >-. 所以0m <时，()0g m <，即()()11f f <-

当0m >时，()()()121111m f x f x f e m e m -≤-=-≤-?≤ 当0m <时，

()()()1211f x f x f -≤--()m m e m e m --=+≤--

11e m ≤-?-≤10m ?-≤≤

所以，综上所述m 的取值范围是[]1,1-

22.

（Ⅰ）如图所示，连接,OE OF ，

则,OE AB OF AC ⊥⊥即90AEO AFO ∠=∠=. 因为OE OF =，所以OEF OFE ∠=∠，

所以90,90AEF OEF AFE OFE ∠=-∠∠=-∠，即AEF AFE ∠=∠. 因为180AEF AFE EAF ∠+∠+∠=， 所以()1

1802

AEF AFE EAF ∠=∠=

-∠. 因为ABC 是等腰三角形， 所以()1

1802

B C BAC ∠=∠=

-∠， 所以AEF AFE B C ∠=∠=∠=∠，所以EF BC . （Ⅱ）设O 的半径为r ，,2AG r OA r ∴==.

在Rt AEO 中，2

2

2

AE EO AO ∴+=.(()2

2

22r r ∴+=，解得2r =.

在Rt AEO 中，1

sin 22

OE r OAE OA r ∠=

==.30OAE ∴∠=， 1

,2

OAE OAF EAF AE AF ∠=∠=

∠=，260EAF OAE ∴∠=∠=， ,AEF ABC ∴是等边三角形.

连接OM ，2OM ∴=，OD MN ⊥，

1

2

MD ND MN ∴==

=在Rt ODM ，

1OD ===.

415AD OA OD ∴=+=+=.

在Rt ADB

中，5cos cos303

AD AB BAD =

==

∠. ∴四边形EBCF 的面积为

(

2

2

ABC AEF

S

S

-==

??. 23.

（Ⅰ）将曲线23,C C 化为直角坐标系方程

222C :20x y y +-=

,223:0C x y +-=.

联立2

2

22

200x y y x y ?+-=??+-=??

解得0,032

x x y y ?=?=????=??=??. 所以交点坐标为()0,0

，322??

? ???

.

（Ⅱ）曲线的极坐标方程为

，其中

.

因此的极坐标为，

的极坐标为

.

所以.

当时，

取得最大值，最大值为.

24.

（Ⅰ）由题意可得

2

a b =++

2

c d =++

,ab cd >>a b c d +=+，

2

2

∴

>

.

a b c d ?++>++

ab cd ?>?>

()()2

2

4444ab cd a b ab c d cd ?-<-?+-<+-

()()22

a b c d ?-<-

a b c d ?-<-