定解问题
定解问题
例 .1 长为l 的弦在0x =端固定，另一端x l =自由，且在初始时刻0t =时处于水平状态，初始速度为()x l x -，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题.
【解】 （1）确定泛定方程：取弦的水平位置为x 轴，0x =为原点，因为弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程
20tt xx u a u -=
(2)确定边界条件： 对于弦的固定端，显然有(0,)0u t =，而另一端自由，意味着其张
力为零．故由式（9.1.39），则0
x l
u
x
=?=?.
(3)确定初始条件：根据题意，当0t =时，弦处于水平状态，即初始位移为零亦即
(,0)0u x =，初始速度 0
|()
t u
x l x t =?=-?
综上讨论，故定解问题为
20 (0,0) (0,)0,|0 (0) (,0)0,(,0)() (0)
tt xx x x l t u a u x l t u t u t u x u x x l x x l =?-=<<>?
==≥??==-≤≤?
解题说明：若题中只要求写出定解问题，可根据已经学习的数学物理模型直接写出定解问题.
但若题要求推导某定解问题，则必须详细写出泛定方程和定解条件的推导过程.
例.2 设有一长为l 的理想传输线，远端开路. 先把传输线充电到电位为0v
，然近端短路，试写出其定解问题.
【解】 （1）泛定方程：由于理想传输线仍然满足波动方程（数学物理方程）类型.
20xx a -=tt v v
（2）边值条件：至于边界条件，远端开路，即意味着x l =端电流为零，即|0x l i ==，
根据(9.1.13)公式得到
0i
L Ri x t ??++=??v 且注意到理想传输线0G R ≈≈，故i L
x t ??=-??v ，代入条件|0x l i ==有 (,)
||0
x x l x l i i l t L L t t ==??=-=-=??v
而近端短路，即意味着0x =端电压为零，即0
|(0,)0x t ===v v
（3）初始条件：而开始时传输线被充电到电位为0v ，故有初始条件0(,0)x =v v ，且此时
的电流
0|0t i ==，根据(9.1.14)公式，
0i C G x t ??++=??v v
且注意到理想传输线0G R ≈≈，故 1i t
C x ??=-?
??v ，因而有 0011(,0)||0t t i i x t C x C x ==???=-?=-?=???v
综上所述，故其定解问题为
20000
0 (0,0)|0,0 (0) |,0 (0)
xx x x x l t t t a x l t t x l ====?-=<<>?
=≥??=≤≤?tt v v v v |=v v v |=
例.3 设均匀细弦的线密度为ρ，长为l 且两端固定,初始位移为0, 开始时,在x c =处受到冲量k 的作用, 试写出此定解问题.
【解】 泛定方程为波动方程
22
222u u a t x ??=?? ()0,,0x l t ∈>
由边界两端固定知 ()()0,,0u t u l t ==
由初始位移为零知 (),00u x =
由开始时在x c =处受到的冲量k 知,对足够小的0ε>,弦段[],c c εε-+上的动量改变量即冲量k ,即有
()
[],02,,u x k x c c t ερ
εε?=∈-+?
由题ρ为弦的线密度, 均匀弦的ρ为常数,由此得
()[][][](),,2,000,0,,t k
x c c u x x c c l εεερεεε?∈-+?=→??∈-+?
于是,对应的定解问题为()()()()()[][][]22
222,0,,00,,0,0,00,0
,,2,00
0,0,,t u u a x l t t x u t u l t t u x x k
x c c u x x c c l εεερεεε???=∈>????
==≥??=≥???∈-+??
=→????∈-+??
注意: 对给定的数学物理问题要先确定其共性,由此确定泛定方程的类型, 然后分析物理问题的个性（特殊性）,即边界约束条件以及初始条件.
积分变换法求解定解问题
为了说明傅氏变换法解非齐次方程特别简便，我们特举一强迫弦振动问题： 例15.1求解无限长弦的强迫振动方程的初值问题
200(,), ()|() |()
tt xx t t t u a u f x t x u x u x ?ψ==?-=-∞<<∞?
=??=? 【解】 作傅氏变换
[(,)](,), [(,)](,),
[()](), [()]()
u x t U t f x t F t x x ωω?ωψω===Φ=ψF F F F
我们容易得到原定解问题可变换为下列常微分方程的问题
222
200(,)(,)(,)|(),(,)|(),t t t U a U t F t t U t U t ωωωωωωω==??+=????=Φ??=ψ?
上述问题的解为
01()
(,)(,)s i n ()d ()c o s ()
s i n (
)
t
U t F a t a t a t a a
ωωωτωττωωωωωψ=
-+Φ+?
利用傅氏变换的性质有
1 1[(,)](,)
1
[(,)](,)d i x x F t f x t F f ωωτξτξ
ω--==?F F
故得到
()1i ()
1
[(,)](,)d i x a t a t x e F t f τωτωξτξ
ω±--±-=?F i ()i ()1
sin[()][]
2i a t a t a t e e ωτωτωτ----=-
代入得到
()
()01(,)[(,)d (,)d ]d 211 [()()]()d 22t x a t x a t x x x at
x at u x t f f a x at x at a ττξτξξτξτ??ψξξ+---+-=
-+++-+????
即得
()
0()1(,)(,)d d 211 [()()]()d 22t x a t x a t x at
x at u x t f a
x at x at a ττξτξτ??ψξξ+---+-=
+++-+???
例15.2 求解无限长细杆的热传导（无热源）问题
2
00, (,0)|()
t x x t u a u x t u x ?=?-=-∞<<∞>?
=? 【解】 作傅氏变换，[(,)](,)u x t U t ω=F [()]()x ?ω=
ΦF 定解问题变换为
22(,)0(,0)()U a U t U ωωωω'?+=?
=Φ? 常微分方程的初值问题的解是
22
(,)()a t
U t e ωωω-=Φ 再进行逆傅里叶变换，
2222
1i i i 1(,)[(,)]()d 2π1 [()d ]d 2πa t x a t x u x t U t e e e e e ωωωξωωωωω?ξξω∞
---∞
∞∞
---∞-∞==Φ=???F
交换积分次序得
22i ()1(,)()[d ]d 2πa t x u x t e e ωωξ?ξωξ
∞
∞---∞-∞=??
引用积分公式
2
222
4
d
e e e
β
σωβωσ
ω
∞
-
-∞
=
?
且令i()
x
σβξ
==-以便利用积分公式，即得到
2
()
4
(,)(]d
x
a t
u x t
ξ
?ξξ
-
-
∞
-∞
=?
例 15.3定解问题
x
0 (,0)
(,0)()
lim(,)0
xx yy
u u x y
u x f x
u x y
→±∞
+=-∞<<∞>
?
?=
?
?=
?
【解】对于变量x作傅氏变换，有
1[(,)](,),[()]()
u x y U y f x F
ωω
-==
F F
定解问题变换为常微分方程
2
2
2
(,)0,
(,0)()
lim(,)0
U
U y
y
U F
U y
ω
ωω
ωω
ω
→±∞
?
-=
?
=
=
第一章 解表药
一、单项选择题 1、解表药的共性是（D） A、辛散行气 B、辛散活血 C、辛散通阳 D、辛散解表 2、既能发汗解表，又能宣肺平喘的药物是（A） A、麻黄 B、桂枝 C、紫苏 D、生姜 3、表实有汗，表虚有汗均可使用的药物是（A） A、桂枝 B、防风 C、荆芥 D、麻黄 4、风寒表证，咳嗽痰多又兼气滞胸闷，首选（C） A、生姜B防风C、紫苏D、荆芥 5、生姜止呕，最宜用于（A） A、胃寒呕吐 B、气滞呕吐 C、食积呕吐 D、胃热呕吐 6、长于祛风解表，有“风药中之润剂”之称的药物是（B） A、白芷 B、防风 C、荆芥 D、细辛 7、用于风寒湿邪所致肢节疼痛，尤以上半身疼痛为主的最佳药物是（B） A、防风 B、羌活 C、麻黄 D、紫苏 8、感受风寒，巅顶剧痛，当首选（D） A、防风 B、羌活 C、麻黄 D、藁本 9、功能解表化湿，可治疗阴暑证的药物是（C） A、细辛 B、白芷 C、香薷 D、桑叶 10、白芷善治（A） A、阳明头痛 B、太阳头痛 C、厥阴头痛 D、少阳头痛
11、用于治疗少阳证要药的是（B） A、葛根 B、柴胡 C、薄荷 D、桑叶 12、功善解肌退热，治疗外感表证、发热、项背强痛的药是（B） A、柴胡 B、葛根 C、牛蒡子 D、升麻 二、多项选择题 1、功能祛风解表，风寒、风热、风热表证均可用的药是（CE） A、羌活 B、牛蒡子 C、荆芥 D、薄荷 E、防风 2、细辛的适应证有（ABCD） A、头痛 B、牙痛 C、鼻渊头痛 D、风湿痹痛 E、疮疡肿痛 3、均有通鼻窍、散风寒作用，可协同治疗鼻渊的药物是（DE） A、葛根 B、柴胡 C、升麻 D、苍耳子 E、辛夷 4、下列药物属于辛凉解表药的是（BCE） A、羌活 B、蝉蜕 C、薄荷 D、香薷 E、牛蒡子 5、既能疏散风热，又能疏肝解郁的药是（BD） A、紫苏 B、薄荷 C、桑叶 D、柴胡 E、牛蒡子 6、具有透疹作用的药是（ACDE） A、升麻 B、柴胡 C、葛根 D、牛蒡子 E、荆芥 二、简答题 1．简述解表药的分类及各类的性能。
第一章解三角形练习题及答案
必修5第一章《解三角形》练习题 一、选择题 1．在ABC ?中，6=a ， 30=B ， 120=C ，则ABC ?的面积是（ ） A ．9 B ．18 C ．39 D ．318 2．在ABC ?中，若 b B a A cos sin = ，则B 的值为（ ） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 90 3．在ABC ?中，若B a b sin 2=，则这个三角形中角A 的值是（ ） A ． 30或 60 B ． 45或 60 C ． 60或 120 D ． 30或 150 4．在ABC ?中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A ．10=b ， 45=A ， 70=C B ．60=a ，48=c ， 60=B C ．7=a ，5=b ， 80=A D ．14=a ，16=b ， 45=A 5．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程02322 =-+x x 的根，则第三边长是（ ） A ．20 B ．21 C ．22 D ．61 6．在ABC ?中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++，那么角A 等于（ ） A ． 30 B ． 60 C ． 120 D ． 150 7．在ABC ?中，若 60=A ，16=b ，此三角形面积3220=S ，则a 的值是（ ） A ．620 B ．75 C ．51 D ．49 8．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ） A ． 223 B ．233 C ．2 3 D ．33 9．在ABC ?中，若12+= +c b ， 45=C ， 30=B ，则（ ） A ．2,1= =c b B ．1,2==c b C ．221,22+== c b D ．2 2 ,221=+=c b 10．如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ） A ．38=k B ．120≤ 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b wenjian 第一章解三角形 本章规划 《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学必修五de第一部分，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆de方程等与本章知识联系密切de内容，使这部分内容de处理有了比较多de工具，某些内容可以处理得更加简洁．教学中应加强与前后各章教学内容de联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识de学习和巩固．要重视与内容密切相关de数学思想方法de 教学，并且在提出问题、思考解决问题de策略等方面对学生进行具体示范、引导． 1.教学内容 全章有三大节内容： 第一大节：正弦定理和余弦定理，这一节通过初中已学过de三角中de边角关系，让学生从已有de几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角de边角关系.我们是否能得到这个边、角de关系准确量化de表示呢?”重点是正弦定理de概念和推导方法，体现了从特殊到一般de思想，并可以向学生提出用向量来证明正弦定理，这一点可以让学生探究．在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形de两条边及其所夹de角,根据三角形全等de判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定de三角形.我们仍然从量化de角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知de两边和它们de夹角计算出三角形de另一边和两个角de问题”．设置这些问题，都是为了加强数学思想方法de 教学．比如对于余弦定理de证明，常用de方法是借助于三角形de方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量de方法，发挥了向量方法在解决问题中de威力．第二大节：应用举例，在应用两个定理解决有关de解三角形和测量问题de过程中，一个问题也常常有多种不同de解决方案，应该鼓励学生提出自己de解决办法，并对于不同de方法进行必要de分析和比较．对于一些常见de测量问题甚至可以鼓励学生设计应用de 程序，得到在实际中可以直接应用de算法．学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学de数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识de实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法de能力较强，但当面临一种新de问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题de科学思维方法了解不够．针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题． 第三大节：实习作业，适当安排一些实习作业，目de是让学生进一步巩固所学de知识，提高学生分析问题和解决实际问题de能力、动手操作de能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果de能力，增强学生应用数学de意识和数学实践能力．教师要注意对学生实习作业de指导，包括对实际测量问题de选择，及时纠正实际操作中de 错误，解决测量中出现de一些问题． 2.作用与地位 本章de两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形de边角关系de结论．学习数学de最终目de是应用数学，而如今比较突出de两个问题是，学生应用数学de意识不强，创造能力较弱．为解决此问题，教学中要用联系de观点，从新de角度看过去de问题，使学生对于过去de知识有了新de认识，同时使新知识建立在已有知识de 坚实基础上，形成良好de知识结构． 3.学习目标 本章de中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形de工具，最后落实wenjian 1 第一章解表药... 第一章解表药 概念凡以发散表邪，解除治疗表证为主要作用的药物，谓之解表药。 药性特点多具辛味（辛能发散），主归肺与膀胱经，多具升浮之性。 作用及适应证 通过发散作用，能使外侵至肌表的的邪气外散或从汗而解，用于风寒、风热或风寒夹湿表证。 部分解表药还具有祛风湿止痛、止咳平喘、透疹、利水消肿、消疮等作用，可用于风湿痹痛、外风头痛、喘咳、麻疹、风疹、风水水肿、疮疡兼有表证者。 分类 根据其功效又分为发散风寒药和发散风热药。 辛温解表药----性味多辛温-----发散风寒-------风寒表证。 辛凉解表药----性味多辛凉-----疏散风热-------风热表证。 配伍 1.兼虚者，常与补虚药同用，以扶正祛邪。 2.温病初起，以辛凉解表药配清热解毒药同用。 使用注意 1.阳虚自汗、阴虚盗汗、久病体虚、失血过多，淋病及气血亏虚者，应慎用或忌用。 2.入汤剂不宜久煎，以免有效成分挥发而影响疗效。 3.解表药不宜多用、久用，中病即止，以免发汗太过伤津、伤阳。 考点：关注解表药的药性特点，分类。关注使用注意。 第一节辛温解表药 一、麻黄 药性味辛、苦，性温。归肺、膀胱经。 功用 1.发汗（解表），辛温发汗力强，治风寒表实证，证见发热、恶寒无汗。与桂枝相须为用。 2.（宣肺）平喘，用于邪实壅肺之喘咳。临床最宜治风寒表证兼咳喘证，也常用于寒饮伏肺之咳喘，配石膏、黄芩等清热之品，也可用于肺热咳喘。 3.利水（消肿），用于风水证或水肿兼有表证者。 用法用量发汗解表，利水消肿宜生用；止咳平喘多蜜为炙用。 使用注意表虚自汗，阴虚盗汗，虚证喘咳，虚证水肿均应忌用。 课题: §1．1．1正弦定理 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中， 角与边的等式关系。 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则 sin sin a b A B =， C 同理可得 sin sin c b C B =， b a 从而sin sin a b A B =sin c C = A c B 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C = [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例1．在?ABC 中，已知045A =，075B =，40a =cm ，解三角形。 例2．在?ABC 中，已知20=a cm ，202b =cm ，045A =，解三角形。 第十五章 积分变换法求解定解问题 １5.１ 傅里叶变换法解数学物理定解问题 用分离变量法求解有限空间的定解问题时，所得到的本征值谱是分立的，所求的解可表为对分立本征值求和的傅里叶级数．对于无限空间，用分离变量法求解定解问题时，所得到的本征值谱一般是连续的，所求的解可表为对连续本征值求积分的傅里叶积分．因此，对于无限空间的定解问题，傅里叶变换是一种很适用的求解方法．本节将通过几个例子说明运用傅里叶变换求解无界空间（含一维半无界空间）的定界问题的基本方法，并给出几个重要的解的公式．下面的讨论我们假设待求解的函数u 及其一阶导数是有限的． 15.1.1 弦振动问题 例15.1.1 求解无限长弦的自由振动定解问题 （假定：函数u 及其一阶导数是有限的，以后不再特别指出．这一定解问题在行波法中已经介绍，读者可以比较行波解法和傅氏解法） 2000,()|() |()t t x x t t t u a u x u x u x ?ψ==?-=-∞<<∞?=??=? 【解】 应用傅里叶变换，即用i x e ω-遍乘定解问题中的各式，并对空间变量x 积分（这里把时间变量看成参数），按照傅里叶变换的定义，我们采用如下的傅氏变换对： i i (,)(,)d 1(,)(,)d 2πx x U t u x t e x u x t U t e ωωωωω∞ --∞∞-∞==?? 简化表示为 [(,)](,)u x t U t ω=F 对其它函数也作傅氏变换，即为 ()() [][(])()x x ?ωψω==ΦψF F 于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题 222200((,)0(,)|(,))(|)t t t U a U t t U t U t ωωωωωω==Φψ??+=????=??=? 上述常微分方程的通解为 i i (,)()()at at U t A e B e ωωωωω-=+ 代入初始条件可以定出 111()()()22i 111()()()22i A a B a ωωωω ωωωω=Φ+ψ=Φ-ψ 这样 i i i i 1111(,)()()()()22i 22i () ()cos()sin()at at at at U t e e e e a a at at a ωωωωωωωωωωωωωωωω--=Φ+ψ+Φ-ψ=Φ+ψ 最后，上式乘以1 2π并作逆傅氏变换．应用延迟定理和积分定理得到 11(,)[()()]()d 22x at x at u x t x at x at a ??ψξξ+-=++-+? 数学5 第一章 解三角形 课题: §1．1．1 正弦定理 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, A 则 sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得 sin sin c b C B = ， b a 第一章 解三角形 1、正弦定理： 在C ?AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径,则有: 2sin sin sin a b c R C ===A B . 2、正弦定理的变形公式: ①2sin a R =A ,2sin b R =B ，2sin c R C =; ②sin 2a R A = ,sin 2b R B =,sin 2c C R =; ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B . 注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。 ２、已知两角和一边,求其余的量。 ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。(一解、两解、无解三中情况）如：在三角形AB Ｃ中,已知a 、ｂ、A(A 为锐角）求Ｂ。具体的做法是:数形结合思想 画出图：法一：把ａ扰着Ｃ点旋转，看所得轨迹以AD 当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则Ｂ有两个解。 法二:是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当a ＜bsinA ，则Ｂ无解 当bs ｉｎＡ<ａ≤b,则Ｂ有两解 当a=bsi ｎＡ或a>b 时，B 有一解 注:当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式： 111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B ． 4、余弦定理： 在C ?AB 中,有2 2 2 2cos a b c bc =+-A , 2 2 2 2cos b a c ac =+-B , 2222cos c a b ab C =+-. 5、余弦定理的推论： 222 cos 2b c a bc +-A =, 222 cos 2a c b ac +-B =， 222 cos 2a b c C ab +-=． (余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角） 第二章数学模型与定解问题 2.1典型方程 三类基本的二阶偏微分方程是: (1)波动方程 0)(2 =++-zz yy xx tt u u u a u (2)热传导方程 0)(=++-zz yy xx t u u u k u (3)拉普拉斯方程 0=++zz yy xx u u u 许多数学物理问题都可归结为解偏微分方程的问题,特别是可归结为解上面所列举的三个偏微分方程的问题.我们将开始研究这些方程,首先仔细考察表示这些物理问题的数学模型. 2.2弦的振动 在数学物理中最重要的问题之一是拉紧的弦的振动问题.由于它较简单, 且经常出现在许多数学物理的分支中,所以在偏微分方程理论中把它作为一个典型的例子. 让我们考察一长为 l 的两端固定的拉紧的弦.我们的问题是要确定弦的运动方程,用它来描述在给定初始扰动后任一时刻t 的弦的位移u(x,t). 为了能.得出一个较简单的方程,我们作下面的一些假设: (1)弦是柔软与有弹性的,即它不能抵抗弯矩,因此在任何时刻弦的张力总是沿着弦的切线方向; (2)弦的每一段都不伸长,因此根据胡克(Hooke)定律,张力是常数; (3)弦的重量与其张力相比很小; (4)弦的偏移与其长度相比很小; (5)位移后的弦在任一点上的斜率与1相比很小; (6)弦只有横振动. 我们考察弦上一微小元素.设T 是如图2.1所示的两端点上的张力.作用在弦的这一微小元素上的垂直方向的力是: αβsin sin T T - 图（Figure ）2.1 根据牛顿第二运动定律,合力等于质量乘以加速度.因此 tt su T T ?=-ραβsin sin (2.2.1) 其中ρ是弦的密度,s ?是这一小段位移后的弦的弧长.因为位移后的弦的斜率很小,所以有 x s ?≈? 因为角α和β都很小,所以 ααtan sin ≈, ββtan sin ≈ 于是等式(2.2.1)变成 tt u T x ?=-ραβtan tan (2.2.2) 但是,由微积分学我们知道,在时刻t 有 x x u )(tan ≈α 及 x x x u ?+≈)(tan β 于是等式(2.2.2)可以写成 tt x x x x x u t u u x ρ =-??+])()([1 令x ?趋于零取极限,得 xx tt u a u 2 = (2.2.3) 其中ρ T a = 2 。方程(2.2.3)称为一维波动方程. 如果在弦的每单位长度上有外力F 作用着,方程(2.2.3)具有下列形式: f u a u xx tt +=2 (2.2.4) Where ρ F f = ,而外力可以是压力、重力、阻力以及其他力等 2.3膜的振动 膜振动方程在数学物理的许多问题中出现.在我们导出膜振动方程前,像在弦振动的情形中一样,我们作下列一些简化的假设: （1） 膜是柔软与有弹性的,即它不能抵抗弯矩,因此在任何时刻它的张力 总是在膜的切平面内; (2) 膜的每一块元素都没有伸张变形, 因此根据胡克定律, 张力是常数; 〃[中药学各论部分] 第一章解表药 概论 1.概念:凡以发散表邪,解除表证为主要作用的药物. 2.解表药的性能特点： 味--辛能散 归经--肺(主宣发外合皮毛) 膀胱 (足太阳经循行体表) 质地—轻(升浮发散) 性发散 具发散解表功效，兼宣肺、利水、透疹、祛风湿等。 3.适应证及分类： 外感风寒--辛温解表药：辛温发散风寒发汗力强外感风热--辛凉解表药:辛凉疏散风热长透解表热 4.使用注意 1)注意适应证; 2)注意体质:体虚多汗、热病津亏忌用； 疮痈、淋病、失血慎用； 3)注意季节用药: 4)注意煎服法：入汤剂不可久煎。轻煎，短煎 5)发汗适宜. 第一节辛温解表药 【麻黄】(草质茎) 生用炙用 性味归经：辛微苦温肺膀胱 性能特点：辛散质轻苦降泄温通重在宣肺药力较强入肺和膀胱经，外能开腠理，透毛窍散风寒发汗解表;内能开宣肺气通畅气机以平喘通过宣肺又能通调水道下输膀胱以利水消肿 功效及主治： 1.发汗:风寒表实无汗(要药)～桂枝（麻黄汤） 2.平喘:咳喘实证 尤擅长风寒肺气不宣之咳喘～杏仁甘草（三拗汤）小青龙汤麻杏石甘汤等 3.利水:水肿兼有表证者宣肺利尿要药越婢加术汤麻黄入药特点: 1.作用趋向的双向性; 2.用药部位的相反性; 3.配伍应用的广泛性. 用法：解表生用平喘炙用 使用注意：发汗力强汗证及肾虚咳喘忌用 药理：发汗、解热、镇痛、抗炎、抗菌、抗病毒、抗过敏、镇咳、祛痰、平喘利尿、强心升压及中枢兴奋等。 【桂枝】(嫩枝) 川桂枝嫩桂枝 性味归经：辛甘温心肺膀胱 性能特点：辛温发散甘温助阳解表入心(走血) 入肺(宣发))入膀胱经(司水液,主肌表) 既走表又走里发汗力虽不如麻黄，但长于助阳，温通经脉。治风寒表实表虚皆宜，治疗阳虚经寒血滞所致诸证可投。 功效： 1.发汗解肌:风寒表虚有汗～白芍（桂枝汤）、 风寒表实无汗～麻黄 2.温通经脉:风寒湿痹～甘草、附子（桂枝附子汤） （数学5必修）第一章 解三角形 [基础训练A 组] 一、选择题 1 在△ABC 中，若0 030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A 1 B 1- C 32 D 32- 2 若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A A sin B A cos C A tan D A tan 1 3 在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 4 等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为0 60，则底边长为（ ） A 2 B 2 3 C 3 D 32 5 在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A 0 06030或 B 0 06045或 C 0 060120或 D 0 015030或 6 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A 0 90 B 0 120 C 0 135 D 0 150 二、填空题 1 在Rt △ABC 中，0 90C =，则B A sin sin 的最大值是_______________ 2 在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 22_________ 3 在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 0_________ 4 在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________ 5 在△ABC 中，,26-= AB 030C =，则AC BC +的最大值是________ 三、解答题 - 1 - 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；A+B<180°. 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 第一章．偏微分方程定解问题 偏微分方程：是指含有多元的未知函数u u(x) , ( , , , ) x 及其若干阶偏导数的关式 x1 x x n 2 u u u u 。 （1） F(x,u, , ,..., ,..., ) 0 m x x x n x x x 1 2 1 2 m m m n 1 2 n 其中，最高阶导数的阶数m 1 为方程的阶。我们把从物理问题中导出的偏微分 m m m 2 n 方程、常微分方程、积分方程称为数学物理方程。如果（1）式中与u(x) 有关的部分是u 及u 的偏导数的线性组合，则称方程（1）是线性偏微分方程。 偏微分方程的解：如果多元函数u( , ,, ) 在空间区域V 内具有方程中出现的各阶连 x1 x x n R n 2 续偏导数，并使（1）式成为恒等式，则称此函数为方程（1）在区域V 内的解或称古典解。 1.1 数理方程中的三个典型方程 1.1.1 数理方程中的三个典型方程： 2u a u f (t, x) （波动方程） 2 t 2 发展方程 u a u f (t, x) （热传导方程） 2 t x ), n n 1,2,3 稳态方程: x , u f ( ) （场位方程）x (x , x , 1 2 1.2 定解问题及其适定性：1. 2.1 通解和特解 偏微分方程的解族很大，可以包含任意函数，例如： 例1.2.1：求解二阶偏微分方程 2 0 u ，u u(,) 。 解：两边依次对，积分，得 u ， f () g() 对于任意C ( )函数f 和g ，都是方程在全平面的解。 1 R #称m 阶偏微分方程的含有m 个任意函数的解为方程的通解，不含任意函数或某些任意函数为常数的解为方程的一个特解。通解中的任意函数一旦确定，通解就成了特解。 对于一般的偏微分方程，找出通解非常困难。但我们可以根据方程的物理背景或数学特点，找出某些特定形式的特解来满足实际需要。例如，根据解析函数的实、虚部是调和函数，即可得到二维Lapl a ce 方程0 u ，周期解u e y ，多项式解 u 的中心对称解 ln 1 (r 0) x sin 2 r u 等。 x2 y 2 1.2.2 定解条件 方程的解中可以出现任意函数，不能确定一个真实的运动，这是因为在建立方程的过程中，仅仅考虑了系统内部的各部分之间的相互作用，以及外界对系统内部的作用。而一个确定的物理过程还要受到历史情况的影响和周围环境通过边界对系统内部运动的制约。通常把反映系统内部作用导出的偏微分方程称为泛定方程，把确定运动的制约条件称为定解条件。泛定方程配以适当的定解条件构成一个偏微分方程的定解问题。 常见的定解条件有： 1.初始条件：如果方程中关于时间自变量t 的最高阶导数是m 阶的，则 u u m 1 u 为泛定方程的初始条件。 0 , ,..., t t t0 t 0 m 1 第二章 牛顿定律 2 -1 如图(a)所示,质量为m 的物体用平行于斜面的细线联结置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为( ) (A) g sin θ (B) g cos θ (C) g tan θ (D) g cot θ 分析与解 当物体离开斜面瞬间,斜面对物体的支持力消失为零,物体在绳子拉力F Ｔ (其方向仍可认为平行于斜面)和重力作用下产生平行水平面向左的加速度a ,如图(b)所示,由其可解得合外力为mg cot θ,故选(D)．求解的关键是正确分析物体刚离开斜面瞬间的物体受力情况和状态特征． 2 -2 用水平力F N 把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止．当F N 逐渐增大时,物体所受的静摩擦力F f 的大小( ) (A) 不为零,但保持不变 (B) 随F N 成正比地增大 (C) 开始随F N 增大,达到某一最大值后,就保持不变 (D) 无法确定 分析与解 与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值μF N 范围内取值．当F N 增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态．由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选(A)． 2 - 3 一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R ,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ,要使汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率( ) (A) 不得小于gR μ (B) 必须等于gR μ (C) 不得大于gR μ (D) 还应由汽车的质量m 决定 分析与解 由题意知,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽车 第二章 牛顿定律 问题与习题解答 2-3 将一质量略去不计的轻绳，跨过无摩擦的定滑轮。一只猴子抓住绳的一端，绳的另一端悬挂一个质量和高度均与猴子相等的镜子。开始时，猴子与镜在同一水平面上。猴子为了不看到镜中的猴像，它作了下面三项尝试：（1）向上爬；（2）向下爬；（3）松开绳子自由下落。这样猴子是否就看不到它在镜中的像了吗？ 答：选地面为参考系，将镜子和猴子视为两个质点，且设猴子运动时与绳子间的相互作用力的大小为T F ，故镜子受到绳子的张力亦为T F ，设猴子运动时的加速度为a （如图所示）。 （1）猴子向上爬时，T m g F m a -=- 而对镜子有 T m g F m a '-=- 由此可得 a a '= 又因为猴子和镜子的初始状态都一样，因此可知两者随后向上运动的高度也相同，即猴子向上爬时总是看到镜中的像。 （2）同理，猴子向下爬时，镜子与猴子的加速度相同且因她们的初始状态都一样，因此猴子总是看到镜中的像。 （3）自由下落时，两者的加速度均为g ，因此猴子也总是看到镜中的像。 【或根据角动量守恒定律，考察两物体相对转轴的角动量，因为其合外力矩为零因而其总角动量为零，所以两物体的速度相同，即总能看到像（第四章）。不能用动量守恒定律，因为合外力不为零】 2-4 如图所示，轻绳与定滑轮间的摩擦力略去不计，且。若使质量为的两个物体绕公共竖直轴转动，两边能否保持平衡？ 答：忽略绳子的质量、绳轮间的摩擦力，且设绳子是不可伸长的，则绳在滑轮两边的张力大小相等。如果此张力1T F m g =，则两边保持平衡。 而从图中可知，2m 以角速度ω在水平面内稳定旋转时，绳子对其的张力分别为：22/co s T F m g θ= 而从图中又知 2212cos 2T T F F m g m g θ=== 所以两边保持平衡，且与ω的大小无关。 2-5 如图所示，一半径为R 的木桶，以角速度ω绕其轴线转动，有一人紧贴在木桶壁上，人与桶间的静摩擦因数为0μ。你知道在什么情形下，人会紧贴在木桶壁上而不掉下来吗？ 答：当桶壁对人的静摩擦力大于或等于人的重力时不会掉下来。 静摩擦力为00f F N m g μ==， 而正压力等于人作圆周运动的向心力：2 2 /N m v R m R ω== 所以，得 2 0m R m g μω≥ ，或ω≥ 2-8在空间站中的宇航员“没有重量”，你怎样判断地球引力对他的影响呢？ 答：（略） （选择题） 2-1 如图所示，质量为m 的物体用平行于斜面的细线连结并置于光滑的斜面上，若斜面向左方作加速运动，当物体刚脱离斜面时，它的加速度的大小为（ D ） a mg F T F T y F T 1、如何理解认识过程中的理性因素和非理性因素之间的关系？参考答案：理性因素与非理性因素是人类认识活动结构中不可分离的两个部分。“非理性”是相对于理性而言的。理性这个概念有广义和狭义之分。广义的理性是指认识过程中的感性认识和理性认识，包括感觉、知觉、表象、概念、判断、推理等认识形式；狭义的理性则是指作为认识过程高级阶段的理性认识，仅包括概念、判断、推理等抽象的逻辑思维形式。狭义的理性与感性相对；广义的理性包含狭义的理性，它与非理性相对。非理性因素主要是指主体的情感、意志、欲望、动机、信念、信仰、习惯、本能等意识形式。非理性因素，本身并不属于人的认识能力，但对人的认识活动的发动和停止、对主体认识能力的发挥与抑制起着重要的控制和调节作用。这些非理性因素给人的认识活动、认识过程提供了动力、动因和调节控制的机制。理解认识过程中的理性因素和非理性因素之间的关系的关键是理解它们之间所存在的辩证关系。在认识过程的辩证内容的理解上，曾经出现过忽视或者否认非理性因素的作用，过分地强调理性认识和理性因素的作用的倾向。但是近年来随着哲学认识论研究中的非理性主义思潮的传播和影响，又出现了过分地强调非理性因素作用，从而淡化理性因素地位的倾向。这两种倾向都是片面的，其特点是割裂了理性认识因素与非理性认识因素之间的辩证关系。马克思主义认识论，不但承认理性因素在认识过程中的重要作用，也不否认非理性因素的作用，同时，在对待非理性因素问题上，既看到了非理性因素的积极作用，也看到它可能产生的消极作用。同西方哲学中的非理性主义不同，马克思主义哲学认为，概念、判断、推理，分析、综合等理性认识的因素和直觉、灵感、顿悟等非理性认识因素是密切地联系在一起的。两者是互为前提、互相包含的、互相转化的。当理性因素的运用到一定的程度时，思维过程的矛盾和冲突被进一步揭露和展现时，沿着原来的逻辑思路无法进行时，转变思路和重新选择新的逻辑起点，直觉、灵感、顿悟的思维形式就发生了作用。所以，理性因素的作用是非理性因素作用的基础和平台。当直觉、灵感、顿悟的思维形式发生作用以后，仍然需要条理化、分析和推理性的工作。因此，非理性因素的思维形式必须转化为理性思维的形式。有时候直觉思维的目的是将那些相互断裂的逻辑链条连接起来。如果直觉思维的结果仍然是直觉，那么这种思维的结果是不能被传递和理解的，它永远只能停留在直觉者的头脑里，而不能转变为理论认识的成果。马克思主义哲学强调非理性因素要受到理性因素的制约，强调人应当在理性因素的主导下发挥非理性因素的积极作用。这与非理性主义把非理性因素看成是人的本质，把人的感觉、欲望、情绪、本能等看成是决定一切的东西，并且否定或贬抑人的理性、理性私情的作用是有本质区别的。人的认识过程是理性因素与非理性因素相互作用、相互统一的过程，人的理性因素与非理性因素共同对人的认识起推动作用。因此，理解认识过程中的理性因素和非理性因素之间的关系必须以辩证法的理论为指导才不会误入歧途。 2、如何理解创新思维？参考答案：创新思维是唯物辩证法在思维领域的综合运用，它充分体现了思维的辩证运动，因而是辩证分析的重要方法。我们进行辩证分析的目的，就是为了提高思维的创造性，以便更好地认识世界和改造世界。创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力。一个没有创新能力的民族，难于屹立于世界先进民族之林。掌握创新思维方法的重要意义，就在于此。创新思维是人类思维的高级形式，既具有一般思维的特点，又有不同于一般思维的特性。它和一般思维的本质区别，就在于有着鲜明的革命性。一般思维仅能浮浅地、简单地揭示事物的表象，以及事物之间的常规性活动轨迹，而创新思维不仅能够揭示事物的本质和事物之间的非常规性活动轨迹，而且能够提供新的、具有社会价值的产品。它可以便人类突破各种自然极限和人为设置的“认识路障”，在一切认知领域开创新的局面，以不断满足人类进步与社会发展的需求。创新思维不是生来俱有的，它主要来源于不断发展的新实践之中，产生于实践主体的不懈追求之中，形成于理论与实践的有机结合之中。现代社会特别强调人的创新精神和创造能力，而人的创造精神和创造能力，无不根源于人的创新思维。创新思维不是某种特定的思维方式，而是一个思维群，泛指具有超越常规的各种思维方式或思维方法。其主要包括以下几种：理性思维与非理性思维、求同思维与求异思维、收敛思维与发散思维。创新思维的实质是辩证思维，它是自觉运用思维辩证法进行的思维，是以马克思主义认识论和唯物辩证法为理论依据的。从认识论的角度看，思维是一种理性认识活动，是人脑对感性材料进行分析和综合，通过概念、判断、推理的形式，造成合乎逻辑的理论体系，反映客观事物的本质和规律的认识活动，是人的主观能动性的集中体现，它决不像费尔巴哈描述的那种照镜子式的直观反映，而是有主体因素参与建构和选择的能动过程。思维的这种能动性，就决定了它决不是被动保守的，而是积极并富有创造性的。从辩证法的角度看，思维活动同客观事物一样，也是一个充满矛盾的过程，因而是不断发展变化的，其中必然包含着否定、扬弃和飞跃。人类思维的这种辩证法，决定了思维必然具有创造性。其有以下几个特点：一是开拓性。他要求人们在进行思维活动时，无论在思维的角度上，还是在思路的选择上，或者是在思考的技艺上，都要具有不同于习惯性思维的独到之处，因而能想人所未想，见别人所未见；要注重质疑，敢于对既定的结论进行重新认识和重新思考，以求有新的发现和新的突破；要不屈从于他人，也不迷信书本，敢于对权威提出挑战；要勇于自我超越，善于打破自己和别人所设置的框框。创新与模仿完全是两个概念，我们要加以区分。二是灵活性。它要求人们在认识事物的时候，要善于运用发散思维，从多个角度来看待问题，提出多种设想和答案；善于进行思维的转向和换位思考，不僵化，能在某个方向的思维受到限制时，主动自觉地转向其他的方向，重新调整思维的角度和视阈，另辟蹊径；要善于进行思维的跃迁，从一种思维方法转到另一种思维方法。这个特点充分体现了创新思维的发散性方向，正如“他山之石，可以攻玉”一样。三是超前性。他要求人们在进行思维活动时，要着眼于事物的前进、发展和变化，通过总结过去、分析现实，更好的开辟未来。要注重用新的眼光去看待事物、解决问题，在分析问题、认识事物时，以先进事物、先进水平为参照系，并注重在与他们的比较中找出自己的差距，进而努力使自己的认识和行动与历史发展趋势相吻合，尽快赶上和超过先进事物或先进水平。四是综合性。创新思维要求人们在进行思维活动时，要善于广泛地吸收和借鉴历史与现实中人们所创造的文明成果，通过分析研究，进而对它们进行新的建构和巧妙组合，以此产生别具一格的新成果；善于对各个领域的思维成果进行概括、总结和归纳，通过提炼和升华，不仅使其科学化系统化，而且从中得到新的发现和启发；善于从事物的联系和关系中思考问题，通过全方位多角度的思考，从偶然中求出必然，从特异中求出一般，使认识产生突破。五是风险性。创新思维贵在求新、求异。它所探讨的问题往往是前人所没有解决的，不可能保证每次都取得成功，因而必然带有一定的风险性。没有不畏风险的精神，是不可能有创新思维的。 3、如何理解真理与价值的关系？参考答案：真理与价值的关系问题，本质上是主客体之间的整体关系内部的基本矛盾问题，是人类实践与认识活动之间的关系问题。真理原则和价值原则，是人类实践和认识活动中所包含和体现出来的两个相互关联的带根本性的原则，它们贯穿在社会生活进步发展的各个方面。第一，真理原则与价值原则的含义。所谓真理原则，就是人类必须按照世界的本来面目去认识和改造世界（包括人本身），追求和服从真理。所谓价值原则就是人类必须按照自己的尺度和需要去认识和改造世界，使世界适合人的生存和发展。真理和价值两个原则的根基，在于马克思所说的两个尺度的存在和作用，即马克思所说的：“动物只是按照它所属的那个种的尺度和需要来建造，而人却懂得按照任何一个种的尺度来进行生产，并且懂得怎样处处都把内在的尺度运用到对象上去。”（《马克思恩格斯全集》第42卷，第97页）真理和价值就是这两个尺度在人的活动中的表现。第二，真理原则与价值原则的区别。首先，真理原则是侧重于客体性的原则，价值原则侧重于主体性的原则；其次，真理原则是人的活动中的条件性原则，价值原则是人的活动中的目的性原则；第三，真理原则是社会历史活动中的统一性原则，价值原则是社会历史活动中的多样化原则。这两大原高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳
1.本章规划(第一章 解三角形)
第一章 解表药
高中数学必修5第一章解三角形全章教案整理
11(3)第十一章3 积分变换法求解定解问题
必修5第一章《解三角形》全章教案
高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题
第二章数学模型与定解问题
第一章解表药
数学5必修第一章解三角形基础训练A组及答案
高中数学必修五--第一章---解三角形知识点归纳
第一章解三角形知识点归纳及
chapter1偏微分方程定解问题
第二章课后知识题目解析
第二章 牛顿定律 问题与习题解答
第二章问题解析